二次函数压轴题分类精选 - 相似

1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；

（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；

（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；

（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．

【解答】解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3， ∴A（1，0），B（4，3）， ∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B， ∴

，

解得：，

则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形， ∴∠APM=∠DPN=45°， ∴∠MPN=90°，

∴△MPN为直角三角形，

令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5， ∴D（5，0），即DP=5﹣1=4， 设AP=m，则有DP=4﹣m， ∴PM=

m，PN=

（4﹣m），

m×

（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，

∴S△MPN=PM?PN=×

∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）； （3）存在，

易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5）， 由题意得：∠BAD=∠ADC=45°， 当△ABD∽△DAQ时，解得：AQ=

，

，

=

，即

=

，

由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=解得：x=，此时Q（，﹣）； 当△ABD∽△DQA时，

=1，即AQ=

，

∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10， 解得：x=2，此时Q（2，﹣3），

综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二

次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

2．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点（1）求抛物线解析式；

（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积； （3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

．

【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；

（2）延长CA交y轴于D，如图1，易得OA=等腰直角三角形，所以OD=

，∠DOA=45°，则可判断△AOD为

OA=2，则D（0，2），利用待定系数法求出直线AD

得C（5，﹣3），然后利用三角形面

的解析式为y=﹣x+2，再解方程组

积公式，利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算； （3）如图2，作MH⊥x轴于H，AC=4

，OA=

，设M（x，﹣x2+x）（x＞0），

=

时，△OHM∽△OAC，即

根据三角形相似的判定，由于∠OHM=∠OAC，则当

=；当=时，△OHM∽△CAO，即=，则分别

解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标，由于△OMH∽△ONM，所以求得

的M点能以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣）， 把A（1，1）代入得a?1（1﹣）=1，解得a=﹣， ∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣）， 即y=﹣x2+x；

（2）延长CA交y轴于D，如图1， ∵A（1，1）， ∴OA=

，∠DOA=45°，

∴△AOD为等腰直角三角形， ∵OA⊥AC， ∴OD=

OA=2，

∴D（0，2），

易得直线AD的解析式为y=﹣x+2， 解方程组

∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD =×2×5﹣×2×1 =4； （3）存在．

如图2，作MH⊥x轴于H，AC=设M（x，﹣x2+x）（x＞0）， ∵∠OHM=∠OAC， ∴当

=

时，△OHM∽△OAC，即

=

，

（舍去），

=4

，OA=

，

得

或

，则C（5，﹣3），

解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣

解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=

，此时M点坐标为（，﹣54）；

当=时，△OHM∽△CAO，即=，

，此时M点的坐标为（

，此时M点坐标为（

，

），

）；

解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=

解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣∵MN⊥OM， ∴∠OMN=90°， ∴∠MON=∠HOM， ∴△OMH∽△ONM， ∴当M点的坐标为（

，﹣54）或（

，

，﹣

）或（，﹣）时，以点O，M，

N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

3．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

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