中考数学二次函数压轴题精编(含答案)

（2010湖北咸宁）16．如图，一次函数y?ax?b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，

k

的图象相交于C，D两点，分别过C，D两

y x

D 点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE． B 有下列四个结论： A O x F ①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE；

E C ③△DCE≌△CDF； ④AC?BD．

其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） （第16题） （2010江苏徐州）25．(本题8分)如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函

与反比例函数y?数y=

m的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C． x (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC的面积； (3)求不等式kx+b-

m<0的解集(直接写出答案)． xy 3 2 1 A －3 －2 －1 O 1 2 3 x －1 121. （2009遂宁）把二次函数y??x2?x?3用配方法化成y?a?x?h??k的形式 B －2 4A.y??1?x?2?2?2 B. y?1?x?2?2?4

4411?C.y??1?x?2?2?4 D. y???x???3 42??22－3 （第21题）

2. （2009嘉兴）已知a?0，在同一直角坐标系中，函数y?ax与y?ax2的图象有可能是（ ▲ ）

yy?1yy1Ox?1O1x?1O1x?1O1xABCD

3. （2009烟台）二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则一次函数y?bx?b2?4ac与反比例函

数y?a?b?c在同一坐标系内的图象大致为（ ） xy O D． x

y y y y x x x x ?1 O 1 O O O A． B． C． （第11题图） 4. （2009黄石）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示， 下列结论：①abc＞0 ②2a+b＜0 ③4a－2b+c＜0 ④a+c＞0， 其中正确结论的个数为（ ）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

5. （2009南州）二次函数y?x2?2x?3的图象关于原点O（0, 0）对称的图象的解析式是图4

_________________。

6. (2009重庆)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函

数关系y??50x?2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：

月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台 （1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？

（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%。国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴。受此政策的影响，今年3月份至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台。若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数） （参考数据：34?5.831，35?5.916，37?6.083，38?6.164）

7. （2009宁波）如图抛物线y?ax2?5x?4a与ｘ轴相交于点Ａ、Ｂ，且过点Ｃ（５，４）． (1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标． (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物．．

线的解析式．

8. （2009日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施

BC=1米；的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△

EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． （1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；

（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； （3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最G 大值；若没有，请说明理由． N M

C D

A B E

（第22题图）

9. (本题满分l2分)

（2009宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=

4，点B的坐标为(7，4)． 3yCB(1)求点A、C的坐标；

(2)求经过点0、B、C的抛物线的解析式；

(3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰

O第24题图Ax梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

10. （2009泸州） 如图已知二次函数y??与y轴相交于点C，且OC2?OA?OB．

(1)求c的值； (2)若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式； (3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在

点P使△PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图

11. (2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y 轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y?kx?3,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝

12x?bx?c(c?0) 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B， 2310。 10 (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

12. （2009莆田）已知，如图抛物线

y?ax2?3ax?c(a?0)与y轴交于C点，与x

轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在

以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13. （2009江苏）如图，已知二次函数y?x2?2x?1的图象的顶点为A．二次函数y?ax2?bx的图象

与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y?x2?2x?1的图象的对称轴上． （1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y?ax2?bx的关系式．

14. （2009泰安）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线

y 2 1 ?1 O 1 2 3 y?x2?2x?1

x ?2?1 A y??3 x?m与x轴交于点E。3（1） 求点E的坐标；

（2） 求过 A、O、E三点的抛物线解析式；

28（2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，73)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截

9得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

15. （2009湖州）已知抛物线y?x2?2x?a（a?0）与y轴

y N B C O A M 第（2）题

D Nx N B y C O A M 备用图

x 1相交于点A，顶点为M.直线y?x?a分别与x轴，y轴

2相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N.

(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则

M? ， ?，N? ， ?；

(2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

(3)在抛物线y?x2?2x?a（a?0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.

16. （2009广州）如图13，二次函数y?x?px?q(p?0)的图象与x轴交

于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴上午垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取

值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；

若不存在，请说明理由。

17. （2009江西）如图，抛物线y??x?2x?3与x轴相交于A、B两点（点

，与y轴相交于点C，顶点为D. A在点B的左侧）

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

A O （第24

B x C 225。 4y D

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.

18. （2009安顺）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式；

（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不

相似，请说明理由。

19. (2009洛江)我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件

的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元 ∕ 件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示关系． （1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和

40元时相应的日销售量；

（2）①试求出y与x之间的函数关系式；

②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为．．

多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。

20. （2009烟台） 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家

“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

21. （2009娄底）已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4.

（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.

2（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x2=5，与y轴的交点为C，

它的顶点为M，求直线CM的解析式.

22. (2009中山)正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，

A 当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直. （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值. B

23. （2009荆门）一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，

记抛物线顶点为C，且AC⊥BC． (1)若m为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

24. (2009杭州)已知平行于x轴的直线y?a(a?0)与函数y?x和函数y?B，又有定点P（2，0）。 （1）若a?0，且tan∠POB=

D

N

M

C

yDOACBx第25题图

1的图象分别交于点A和点x1，求线段AB的长； 98，且在它的对称轴左边时，3（2）在过A，B两点且顶点在直线y?x上的抛物线中，已知线段AB=

y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y?

92x的图象，求点P到直线AB的距离。 5

25. (2009重庆) (2009重庆已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半

轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。 （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

y（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点

F，另一边与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为

6，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成5AEODB立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

26. (2009南充)如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

Cx（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1?

2S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由． y 33 O A B 3 C 6 x D

27. （2009深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺

时针旋转120°，得到线段OB. （1）求点B的坐标；

y （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存

B 在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明A O x 理由.

28. （本题满分13分）（2009宁德）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于

2A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1． （1）求P点坐标及a的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为

C1 y C3，C3的顶点为M，当点P、MC1 M 关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分） A B A （3）如图（2），点Q是x轴O x 正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛P C2 物线C4的顶点为N，与x轴相交

图（图1） 于E、F两点（点E在点F的左边），

当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

29. （2009嘉兴）如图，曲线C是函数y?y N B Q O P 图图（2） E F x C3 C4 6在第一象限内的图象，抛物线是函数y??x2?2x?4的图x2，?）在曲线C上，且x，y都是整数． 象．点Pn(x,y)（n?1，（1）求出所有的点P，y)； n(x（2）在Pn中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；

（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．

y 6 4 2 O 2 4 6 x （第

30. （2009益阳）阅读材料：

如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离

叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.

我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABC?的一半.

解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点

A(3,0)，交y轴于点B.

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及

D 1 O

1

A

x

B

1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积2y C S?CAB；

(3)是否存在一点P，使S△PAB=

9S△CAB，若存在，求出P点8图12-2

的坐标；若不存在，请说明理由.

31. （2009衡阳）如图12，直线y??x?4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一

点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为

a（0?a?4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画

出该函数的图象．

y B D M O C 图

A x y B O A x y B O A x

图

图

32. （2009娄底）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH （HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3

（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.

（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个

单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯 形为DEFH′（如图12）.

探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，

请求出此时t的值；若不能，请说明理由.

探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠

部分的面积为y，求y与t的函数关系. 33. （2009南州）已知二次函数y?x2?ax?a?2。

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为

313，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。 2

32. （2009娄底）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH （HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3

（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.

（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个

单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯 形为DEFH′（如图12）.

探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，

请求出此时t的值；若不能，请说明理由.

探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠

部分的面积为y，求y与t的函数关系. 33. （2009南州）已知二次函数y?x2?ax?a?2。

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为

313，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。 2

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