2014高考数学 考前备战冲刺押题系列 名师预测卷 2

卷2

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．集合A＝{ x |1＜x≤3，x∈R }，B＝{ x |－1≤x≤2，x∈R }，则A?B＝ ． 2．已知|a|＝3，|b|＝2．若a?b＝－3，则a与b夹角的大小为 ． 3．设x，y为实数，且

xy5＋＝，则x＋y＝ ． 1?i1?2i1?3i4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为 ．

1????5．若?∈?，?，sin2?＝，则cos?－sin?的值是 ．

16?42?6．已知?＝{(x，y)|x＋y＜6，x＞0，y＞0}，A＝{(x，y)|x＜4，y＞0，x－2y＞0}，若

向区域?上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为 ．

7．已知a，b为异面直线，直线c∥a，则直线c与b的位置关系是 ． 8．一个算法的流程图如右图所示 则输出S的值为 ．

9．将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是 ．

10．某同学在借助题设给出的数据求方程lgx＝2－x的近似数(精确到0.1)时，设f(x)＝lgx＋x－2，得出f(1)＜0，且f(2)＞0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为 ．

??????1?????，?，ON＝(0，1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足11．设OM＝?12???????????????????0≤OP?OM≤1，0≤OP?ON≤1，则z＝y－x的最小值是 ．

12．设周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且满足f(1)＞－2，f(2)＝m－

3，则m的取值范围是 ． md?d2?x＋?a1??x＋c≥0的解集为[0，

2?2?13．等差数列?an?的公差为d，关于x的不等式

22]，则使数列?an?的前n项和Sn最大的正整数n的值是 ．

14．方程x2＋2x－1＝0的解可视为函数y＝x＋2的图象与函数y＝横坐标．若x4＋ax－9＝0的各个实根x1，x2，?，xk(k≤4)所对应的点(xi，1的图象交点的x9)(i＝1，2，?，xik)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 ．

二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知函数f(x)＝Asin(?x??)，x∈R(其中A＞0，?＞0，0＜?＜点中，相邻两个交点之间的距离为

（1）求f(x)的解析式；

（2）当x∈[，]时，求f(x)的值域．

122 16．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90?，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点．

（1）证明：DE∥平面PBC； （2）证明：DE⊥平面PAB．

17．（本小题满分14分）

有一气球以v(m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为45?；再过10分钟后，测得气球在P的东偏北30?方向T处，其仰角为60?(如图，其中Q、R分别为气球在S、T处时的正投影)．求风向和风速(风速用v表示)．

?)的图象与x轴的交2?2?，且图象上一个最低点为M(，?2)． 23?? 18．（本小题满分16分）

已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x?2)2＋(y?2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．

（1）求圆C的方程；

?????????（2）设Q为圆C上的一个动点，求PQ?MQ的最小值；

（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

19．（本小题满分16分）

设数列?an?的前n项和为Sn，且满足Sn＝2－an，n＝1，2，3，?． （1）求数列?an?的通项公式；

（2）若数列?bn?满足b1＝1，且bn?1＝bn＋an，求数列?bn?的通项公式； （3）设cn＝n (3－bn)，求数列?cn?的前n项和为Tn．

20．（本小题满分16分）

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f(kx)＝

k＋f(x)恒成立． 2（1）判断一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)是否属于集合M；

（2）证明函数f(x)＝log2x属于集合M，并找出一个常数k；

（3）已知函数f(x)＝logax( a＞1)与y＝x的图象有公共点，证明f(x)＝logax∈M．

理科加试

21．已知(x?12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列．

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项．

22．“抽卡有奖游戏”的游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏．

（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为

25．请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？ 28（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用?表示4人中的

某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求?的概率分布及?的数学期望．

23．已知曲线C的方程y2?3x2?2x3，设y?tx，为参数，求曲线C的参数方程．

24．已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(2, 0). （1）求抛物线C的方程；

（2）过N(?1,0)的直线交曲线C于A,B两点，又AB的中垂线交y轴于点D(0,t)，

求的取值范围．

参考答案

1．[－1，3] 2．120? 3．4 4．6．

115 5．? 442 7．相交或异面 8．45 9．8 10．1.75 9

11．－1 12．(??，?1)?(0，3) 13．11 14．(??，?24)?(24，??)

2??T，－2)得A＝2．由x轴上相邻两个交点之间的距离为得322?2?2?2?2???)＝－2，＝，即T＝?，?＝＝＝2．由点M(，－2)在图象上得2sin(2?2T?334?4??11????＝2k?－，k∈Z．所以?＝k?－??)＝－1．故即sin(．又0＜?＜，3326215．（1）由最低点为M(所以?＝

??，故f(x)＝2sin(2x?)． 66????7?（2）因为x∈[，]，所以(2x?)∈[，]．

122636???当2x?＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；

626?7??当2x?＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1．

662故f(x)的值域为[－1，2]．

16．（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，

1AB． 2故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF． 又ED?平面PBC，CF?平面PBC， 故DE∥平面PBC．

（2）因为PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PD．

又因为AB⊥AD，PD?AD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD． ED?平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA； PA?AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以ED⊥平面PAB．

17．10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为45?的S点处，即∠SPQ所以EF∥DC，且EF＝DC＝＝

?，所以PQ＝QS＝600v(m)． 4又10分钟后测得气球在P的东偏北30?方向，其仰角为60?的T点处，即∠RPQ＝

?，∠6TPR＝

?RT，RT＝2QS＝1200v(m)，于是PR＝＝4003v(m)．

?3tan3在△PQR中由余弦定理，得QR＝PQ2?PR2?2PQ?PRcos?QPR＝2003v(m)． 因为PR2＝(4003v)2＝(600v)2＋(2003v)2＝PQ2＋QR2．所以∠PQR＝正南风．

因为气球从S点到T点经历10分钟，即600s，所以风速为

?，即风向为2|QR|3v＝(m/s)． 6003?a?2b?2??2?0，??a?0，?2218．（1）设圆心C(a，b)，则?解得?

b?2?b?0.??1.?a?2?则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入，得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2．

?????????（2）设Q(x，y)，则x＋y＝2，且PQ?MQ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y222?????????＋x＋y－4＝x＋y－2，所以PQ?MQ的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．

（3）由题意，知直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设 PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)．

?y?1?k(x?1)，由?2得(1?k2)x2＋2k(1－k)x＋(1?k)2－2＝0． 2?x?y?2，k2?2k?1因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝，同理xB＝21?kyB?yA?k(xB?1)?k(xA?1)2k?k(xB?xA)k2?2k?1．所以＝＝＝＝1＝kOP． kAB2xB?xAxB?xAxB?xA1?k所以直线OP和AB一定平行．

19．（1）因为n＝1时，a1＋S1＝a1＋a1＝2，所以a1＝1． 因为Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，所以an?1＋Sn?1＝2．

两式相减：an?1－an＋Sn?1－Sn＝0，即an?1－an＋an?1＝0，故有2an?1＝an． 因为an≠0，所以

an?11＝( n∈N?)． an2n?11?1?所以数列?an?是首项a1＝1，公比为的等比数列，an＝??2?2?( n∈N?)．

n?1?1?（2）因为bn?1＝bn＋an( n＝1，2，3，?)，所以bn?1－bn＝???2?．从而有

1?1??1?b2?b1＝1，b3?b2＝，b4?b3＝??，?，bn?bn?1＝??2?2??2?将这n－1个等式相加，得

2n?2( n＝2，3，?)．

?1?1???2n?21?1?2?1?bn－b1＝1＋＋??＋?＋??＝??12?2??2?1?2?1?又因为b1＝1，所以bn＝3－2???2?n?1n?1?1?＝2－2???2?n?1．

( n＝1，2，3，?)．

?1?（3）因为cn＝n (3－bn)＝2n???2?n?1，

2n?2n?1??1?0?1??1??1??1??所以Tn＝2????2???3?????(n?1)???n???． ①

?2??2??2??2?????2??23n?1n??1?11?1??1??1??1??Tn＝2????2???3?????(n?1)???n???． ② 2?2??2??2??2????2?????1??1??1?1?1?①－②，得Tn＝2??????????????2?2????2??2??2?n02n?1n??1??－2n??．

?2????1?1???nn81112????故Tn＝4??－4n??＝8－n－4n??＝8－(8?4n)n( n＝1，2，3，?)．

122?2??2?1?2k20．（1）若f(x)＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有f(kx)＝akx＋b＝＋

2f(x)，即a(k－1)x＝

k?k?1?0，恒成立，得?无解，所以f(x)?M．

k?0，2?（2）log2(kx)＝∈M．

kk＋log2x，则log2k＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以f(x)＝log2x22x必有交点． 2（3）因为y＝logax( a＞1)与y＝x有交点，由图象知，y＝logax与y＝设logak＝

kk，则f(kx)＝loga(kx)＝logak＋logax＝＋f(x)，所以f(x)∈M． 22附加题

1、变换T1是逆时针旋转

?的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是2?11?M2???．

01??（Ⅰ）求点P(2,1)在T1作用下的点P'的坐标；

（Ⅱ）求函数y?x的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．

2解：（Ⅰ）M1???0?1??2??0?1??2???1?M???所以点P(2,1)在T1作用下的点P'的，1?????????10??1??10??1??2??1?1??x?，设??y?是变换后图像上任一点，与之对应

10????坐标是P'(?1,2)。（Ⅱ）M?M2M1???x0?的变换前的点是??/则M?y0??x0??x??x0?y0?x?x0?y?，即?，所以，?y??y?，也就是?x?yy?y?x?0?0?0???2所求曲线的方程是y?x?y。

???2、已知圆的极坐标方程为：?2?42?cos?????6?0．

4??⑴将极坐标方程化为普通方程；

⑵若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．

3、投掷四枚不同的金属硬币A、B、C、D，假定A、B两枚正面向上的概率均为

1，另两枚C、2D为非均匀硬币，正面向上的概率均为a（0＜a＜1），把这四枚硬币各投掷一次，设孜表示正面向上的枚数.

（1）若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值； （2）求孜的分布列及数学期望（用a表示）；

（3）若出现2枚硬币正面向上的概率最大，试求a的取值范围.

2?1??1?2.????????????2分 解：（Ⅰ）由题意，得2????1???a.?a?222????（Ⅱ）着=0，1，2，3，4.

1201022p(??0)?C2(1?)C2(1?a)?(1?a);??????????????????3分

241012211120p(??1)?C2(1?)C2(1?a)?C2(1?)Ca(1?a)?(1?a);????????4分

222211122221202110p(??2)?C2()C2(1?a)?C2(1?)C2a(1?a)?C2(1?)C2a

222212 ?(1?2a?2a);????????????????????????5分

4122a212111p(??3)?C2()C2a(1?a)?C2(1?)C2a?,?????????????6分

22221221222p(??4)?C2()C2a?a.??????????????????????7分

24得孜的分布列为： 孜 0 1 2 3 4 p 142424孜的数学期望为：

11a122E??1?(1?a)?2?(1?2a?2a)?3??4?a?2a?1,????????8分

242411（Ⅲ）?0?a?1,显然(1?a)2?(1?a),即p(??0)?p(??1);???????9分

42a12又?a,即p(??3)?p(??4).???????????????????10分 2411122由p(??2)?p(??1)?(1?2a?2a)?(1?a)??(2a?4a?1)≥0 .

4241a122且p(??2)?p(??3)?(1?2a?2a)???(2a?1)≥0 . ??????11分

4242?2?22?2a?4a?1?0,得?解得?a?. 222??2a?1?0.(1?a) 21(1?a) 1(1?2a?2a) 2a 1a 2即a的取值范围是??2?2?2,?.????????????????????12分 2?2?1121． 解：（1）由题设，得 C0， ?C2?C1n?n?2?n42即n2?9n?8?0，解得n＝8，n＝1（舍去）． 1r?1?1rC≥C8，8r?1??2r2（2）设第r＋1的系数最大，则? 11r?1?Cr≥C8.8rr?1??221?1≥，?8?r2(r?1)?即? 解得r＝2或r＝3．

11?≥.??2r9?1所以系数最大的项为T3?7x，T4?7x．

2Cn2522．解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，1?2?

C828592解得n=3 即盒中有“会徽卡”3张．

（2）因为?表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，

C525所以?的所有可能取值为1，2，3，4， P(??1)?2?；

C814112C32C52C3?C5C42P(??2)?2?2???；

C8C6C82C627

11111122211C32C1?C5C3?C5C3?C5C323C4C2C4C2?C4P(??3)?2?2?2??2?2??2?2?； 22C8C6C4C8C6C4C8C6C4141111112C3?C5C1?C3C2?C4C21P(??4)?????， 22C82C62C4C27概率分布表为： 1 2 3

P

4

5142731417523115?2??3??4??。 1471477??的数学期望为E??1?

23．解：将y?tx代入y2?3x2?2x3，

得t2x2?3x2?2x3，即2x3?(3?t2)x2． 当 x=0时，y=0；

3?t2当x?0时， x?．

23t?t3 从而y?．

2?3?t2x?,??2 ∵原点(0,0)也满足?， 3?y?3t?t??2?3?t2x?,??2（为参数） ∴曲线C的参数方程为?． 3?y?3t?t??224．解：（1）设抛物线方程为y?2px，则所以，抛物线的方程是y?8x．

22p?2，?p?4 2?y?k(x?1),（2）直线的方程是y?k(x?1)，联立?消去x得ky2?8y?8k?0，

2?y?8x.显然k?0，由??64?32k2?0，得0?|k|?2．

8,y1y2?8， ky?y2844所以x1?x2?1?2?2?2，则AB中点E坐标是(2?1,)，

kkkk由韦达定理得，y1?y2?由 kDE?k??1可得 k3t?3k2?4?0， 所以，t?143，令??x，则t?4x3?3x，其中|x|?2， 3kkk222),(,??)上增函数． 22因为t??12x2?3?0，所以函数t?4x3?3x是在(??,?所以，的取值范围是(??,?52)?(52,??)．

22

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