竞赛数学

竞赛数学

----论中学数学竞赛及高考

课辅导

学号：200908140150 姓名：曾 祥 超 班级： 09 级（1）班

[内容提要] 数学竞赛中的问题，即具有基础性、综合性和教育性，又凸现

了挑战性与创造性，调动与活化了数学课本中很多潜在的知识、原理和解题策略。中学数学竞赛在各级各类数学考试中占有举足轻重的地位，无论在省级，还是国际都举办了中学数学竞赛，比如：地方性竞赛、国际数学奥林匹克竞赛。 近几年高考试题立足于高中数学教材，注重几何主干知识的集中考查，而辅导课辅导立足于难点分析，不要求每一个人都懂，所以它注重重难点讲解，它和学科课是有一定区别的。

（关键字）：解题策略 区别 正文 ：

一、辅导课与学科课的区别：

（一）从教学目标看，学科课有教学大纲的统一要求，其具体教

学目标统一且稳定，要求绝大多学生达标。有较严密的定量化的考核评定制度。而辅导活动课不对学生个体作统一的要求，其具体教学目标有明显的弹性，一般不要求人人都懂，个个都会，只要求积极参与，尽情投入，学到多少算多少。因而，辅导活动课的考核评定不宜像学

科课那样严密和定量化，而适宜采用模糊评判的方法。通过学生的自我和相互评价，引导学生关注和认识自己及他人在学习过程中的发展和变化。

（二）从教学内容看，学科课有较稳定的教学内容，选择的知识主要是学术理性知识，教材有严密的、科学的编排体系。而辅导活动课的教学内容不很要求有严密的知识体系，活动内容是不断更新的，选择的知识主要是现实有用的经验性知识。

（三）从施教方式看，学科课注重的是学生在教师指导下，以简约的方式学习人类千百年来积累下来的知识精华，并经过反复练习和巩固。它主要采用班级授课制，以课堂教学为主，以教师传授知识为主，教师居于主导地位。而辅导活动课侧重的是学生个体实践，直接体验和感受，它的教学组织形式灵活多样，不受课堂限制。可以是班级的，也可以是小组的，个别的和群众性的；可以在课内，也可以在课外，也可以走向社会。它以学生的独立自主活动为主，教师起辅导作用。

辅导活动课和学科课有本质上的区别，但又有紧密的联系。这种联系首先是在教学目标上虽各有侧重，但培养目标是一致的，即从不同侧面，运用不同方式使学生在教学活动中得到全面的发展。其次是课程内容相辅相成。例如，数学学科课就为数学活动课提供了必要的数学知识、技能基础和一定的内容来源；反过来，辅导活动课的内容又会受到学科课内容和教学进程的制约。

辅导活动课是在育人功能上相互补充，使学生个性在全面发展的

同时，又有特色发展。

因此，学科课程虽然是主要部分，辅导活动课程是辅助部分，但辅导活动课程可以弥补学科课程的诸多不足，具有学科课程不可替代的功能。我们在活动课教学中要注意处理好学科课与活动课两者之间的关系，发挥各自的优势，互相紧密配合，相辅相成，相得益彰。 二、数学竞赛中客观型试题的求解策略： 解题策略一:

合理预测法；依据题目中的信息特征，通过对试题条

件及结论的深刻分析，先进行初步预测结果，再逐步验证，是解决问题的常用思路。

无中生有——合情预测 无中生有是指依据题目的信息特征，通过对试题条件、结论的深刻分析，先预测其结论具有某种特殊性，再根据研究对象的特征，逐步论证，逐步调整。“无”与“有”是相互矛盾而又相互依存的，“有”蕴涵在“无”中，“无”可以创造出“有”。 “无”孕育着不见踪影又无法寻觅，从整体到分散，再由分散聚为整体，包含一切变化。

合理预测法具有探索性、归纳性、仿造性、审美性、类比性、构造性等特点 例1、设x,y,z为正实数，且满足x?y?z?1，

则x2?xy?y2?y2?yz?z2?z2?zx?x2的最小值为 √3 。 例2、设x,y,z为正实数，且满足xyz?yzx?zxy?1， 则x?y?z的最小值为 。

例3、四面体P?ABC的6条棱长的和为l，且?APB??BPC??CPA?900，则四面体的体积的最大值是 。

例4、任何面积为1的凸四面形，其周长及对角线的长度之和的最小值为 。

x2?y2?2(x?1)(1?y)例5、若实数x,y满足1?cos(2x?3y?1)?，则xy的

x?y?12最小值是 。

解题策略二: 极端原理法；通过最大、最小、最远最近等特殊数量或位置的考察，从而发现问题的解题思路（特殊引路，探求一般证题规律） 1、 以退为进——投石问路 2、 动静结合——破除定势 3、李代桃僵——以小换大

所谓以退为进就是把一个比较复杂的问题，“退”到最简单、最原始的状态，找出规律，把简单情形作为考察问题的起点，使问题的解决产生一个质的飞跃，使问题进一步深化。从“退”中逐渐创造出“进”的解题条件，以实现“进”的目的。

所谓动静结合就是观察、分析事物不能采用静止、孤立的思考方法，而应从变化、发展、运动的观点来剖析和判断。正确处理运动和静止的辨证关系，巧妙地将动静有机结合，破除思维定势，将问题的本质展现出来，起到化难为易，快速解题的效果。

所谓以小换大就是在解题非常困难的情况下，用小的代价，换取大的胜利的策略或谋略。其精要是隐微曲折，以退为进；要点是趋利

避害“两利相权取其重，两害相衡取其轻”，以很小的精力，不为小利影响，要从全局的优劣形势分析对比，争取主动优势。 例1 设O是正三棱锥P?ABC底面?ABC的中心，过

O的动平面与P?ABC的三条侧棱或其延长线的交

111（ ） ??PQPRPS点分别记为Q,R,S，则和式

（A）有最大值而无最小值； （B）有最小值而无最大值；

（C）既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等； （D）是一个与平面QRS位置无关的常量。 分析与解答 如图2 考察动平面QRS，将动平面QRS“退”到底面

ABC，则和式

111111????“退”为（定值）；当动平PAPBPCPQPRPS面QRS的点Q“退”到A，R“退”到PB的中点，则动平面QRS“退”到与直线PC平行，相交于无穷远点，和式

111??“退”至PQPRPS12111?（定值）??因此从以上两种情况可得出结论和式PAPBPQPRPS是一个定值，答案为（D）。 例2 过抛物线y?x2上的一点A(1,1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，且满足

AEBF??1，点F在线段BC上，且满足??2，且?1??2?1，线段CDECFC与EF的交于点P，当C在抛物线上移动时，则点P的轨迹方程是 。

解析 如图 由题意计算知D为AB的中点，题目中涉及两个变量?1,?2，考察问题的特殊情况和极限情况：（1）当?1??2?时，则

AEBF1??，EF//AB，点P为三角形ABC的重心；（2）当?1趋ECFC212近于（等于）0，?2趋近于（等于）1，或当?1趋近于（等于）1，

?2趋近于（等于）0时，点P仍为三角形ABC的重心。因此可以得

出结论：点P为三角形ABC的重心。

对点P为三角形ABC的重心的证明也比较容易，如图7，过A,B分别作EF的平行线交CD于

HPAENPBF???1，???2，?1??2?1，PCECPCFCHPNP2DP1???1，DP?PC，点P为三角形故

PCPCPC2H,N，则

ABC的重心。再根据重心的性质求出点P的轨

1323迹方程为y?(3x?1)2,(x?) 解题策略三:合理构造法；通过观察给定条件或结论的结构特征，构造解题模型，是竞赛解题的常用手段，通常合理构造可使问题巧妙解决。 合理构造法分成两种类型：

1、模型性构造：构造函数、方程、图形、数列、不等式、复数等模型；

2、技巧性构造：构造对偶式、“抽屉”、算法。 例1、对所有满足（x?3)2?(y?3)2?6的所有实数对(x,y)，则的最大值是 。

yx例2、设函数f(x)?x4?ax3?bx2?cx?d,其中a,b,c,d为常数，

如果f(1)?10,f(2)?20,f(3)?30, 则f(10)?f(?6)= 如果f(1)?1,f(2)?2,f(3)?3 则

f(4)?f(0)= 432??x?3x?5x?1例3、x,y?R且满足?3 则x?y的值是 。 2??y?3x?5y?5参考文献

1、书名：《初等几何研究新论》；作者：邓鹏、康纪权、孙海；

出版日期：2011年6月 2、书名：《竞赛数学解题策略》；作者：马兵；出版日期：2008年5月

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