数学竞赛

大连市第五届大学生高等数学竞赛试题（理工类本科） 一、设当时, 求函数及.

二、知在的邻域内为可导函数,且求极限 三、设 其中具有连续导数且 （１）试确定使连续;

（２）在1的结果下问是否连续(要求过程) 四、设 求

五、级数…+…的收敛并求其和．

六、设为连接的某一曲线弧，且与直线段所包围的图形面积为与除外无其它交点，自身也不相交，计算曲线积分

七、计算曲面积分是曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的外侧． 八、试利用函数对于证明以下不等式

九、设对于为一非负的增函数，证明 （１）当时，证明不等式 （２） 由此求

十．求用平面与椭圆柱面相交所成的椭圆的面积． 大连市大学生第六届高等数学竞赛试卷 ９６.６.３０ （本科）

一（１０分）设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ（１＋ｓｉｎｘ）（２＋ｓｉｎｘ）……（１９９６＋ｓｉｎｘ），求 二（１０分）求

三（１０分）设ｆ（ｘ）的原函数为，求不定积分 四（１０分）讨论ａ取何值，使及方程有一二三个实根 五（１０分）设连续，求证＝并计算

六（１０分）设在及的条件下，于处 取极值ｍ，证明三曲面，，在点处的三条法线共面。 七 （１０分）设连续，ｆ（１）＝２，ｆ（０）＝１，求 八（１０分）计算，：

九（１０分）计算，ｃ为正向 十（１０分）证明收敛，并求和

大连市第七届大学生高等数学竞赛试题（理工类本科） １９９７年６月２８日 注：共１０题，每题１０分。 一． 设（ｎ＝１，２，……），证明收敛，并求

二． 设函数f（x）=，a，b，为常数，问a，b为何值时，f（x）在上连续，可导 ？ 三． 试确定a值，使方程在[-1，+1]上有两个相异的实根。

四． 设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内大于零并满足，又曲线y=f（x）与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求函数y=f（x）及图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体体积

五． 设y=f（x，t），而t是由方程F（x，y，t）=0所确定的x，y的函数，其中 f，F 都具有一阶连续偏导数，试导出的公式。 六． 在第一挂限内作椭球面的切平面，使得切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为最小，求切点的坐标

七． 计算曲线积分，其中Ｃ是曲线上以（０，０）为始点，（４，８）为终点的曲线段 八． 求幂级数的收敛区间，若令ｓ（ｘ）＝，求

九． 设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，且在（ａ，ｂ）内有。证明存在唯一的使得ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｆ（），ｘ＝ａ所围成的平面图形与 ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｆ（），ｘ＝ｂ所围成的平面图形相等。

十．设ｆ（ｘ）存在二阶导数，且。证明ｆ（ａ）〈〈

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