百例高考数学压轴题精编精解

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个

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高考数学压轴题精编精解

精选100题，精心解答{完整版}

1

．

设

函

数

()1,12

1,23

x f x x x ≤≤?=?

-<≤?，

()()[],1,3g x f x ax x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。

（I ）求函数()h a 的解析式； （II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,

()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求

证:

（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<

（Ⅲ）若12

a =则当n ≥2时,!n n

b a n >?.

3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：

（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，

a 为常数）；

（2）(0)()14f f π==；（3）当0,4

x π

∈

［］时，()f x ≤2

求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（只有通过不停的对x1和x2带入0 和

pai/4的整式从而才能合理利用条件1，类似的题目比这个通常简单，但他

们的方法却如出一辙，这个压轴题仅仅是用了三个方程，比别的题多一个方程）（Ⅱ）常数a 的取值范围．（没有考虑全面）

4．设)0(1),(),,(22

222211>>=+b a b

x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，

满足0),(),(

2211=?a y b x a y b x ，椭圆的离心率,2

3=e 短轴长为2，0为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（y1*y2可由直线方程和x1*x2而得到从而用上坐标积的条件，并且得到一个关于k 的方程，这不就是列方程么）

（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.（思路正确，计算错误，根据调节找到K ，b 关系，最后必然会被约掉）

5．已知数列{}n a 中各项为： 12、1122、111222、……、

111n ?????? 222

n ?????? …… （999等的表达方式一样） （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n . 6、设1F 、2F 分别是椭圆

22

154

x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，

使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；

.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-

（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由

（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.

8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)2f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

9、已知二次函数),(2)(2R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ，且关于x 的方程0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。 （1）求实数b 的取值范围；

（2）若函数)(log )(x f x F b =在区间（-1-c ，1-c ）上具有单调性，求

实数C 的取值范围

10、已知函数,1)2

1(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的x 、)1,1(-∈y 都

有

).

1()()(xy

y

x f y f x f ++=+ （1）若数列

).(),(12,21}{*

2

11n n

n n n x f N n x x x x x 求满足∈+==+ （2）求)21()1

31()111(

)51(12+++++++n f n n f f f 的值. （什么分之一，肯定用裂项相消法啊，如果不能直接消就看条件的变形）

11.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面

内两点G 、M 同时满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB

= ||MC

③GM ∥AB

（1）求顶点C 的轨迹E 的方程

（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F

） ，

已知PF ∥FQ

, RF ∥FN 且PF 2RF = 0.求四边形PRQN 面积

S 的最大值和最小值.

12．已知

α

为锐角，且

12tan -=α，函数

)4

2s i n (2t a n )(2π

αα+?+=x x x f ，数列{a n }的首项

)(,2

1

11n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：

n n a a >+1； ⑶

求

证：

),2(211

11111*21N n n a a a n

∈≥<++++++<

13．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()

111,21n n a a a n N *

+==+∈

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44

4411

11321+=---- ，证明：{}

n a 是等差数列；

2

（Ⅲ）证明：

()23111123

n n N a a a *++++<∈ （裂项相消法不行，归纳法不行，缩放法不行，常用不等式不行？哪还

有什么方法？）缩放法加函数思想，类似于根据Sn 求an 的方法。）

14．已知函数()(),02

32

32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g 在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值

范围； （II ）当2

1≥

a 时，（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/

≤x g 的充要条件是4

3≤c ；

（2）若关于x 的实系数方程()0/

=x g 有两个实根βα,，求证：,

1≤α

且1≤β的充要条件是.4

12a a c -≤≤-

15．已知数列{a n }前n 项的和为S n ，前n 项的积为n T ，且满足(1)2n n n T -=。 ①求1a ；②求证：数列{a n }是等比数列；③是否存在常数a ，使得

()

()()2

12n n n S a S a S a ++-=--对n N +∈都成立？ 若存在，求出a ，若

不存在，说明理由。

16、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，其图像均在x 轴的上方，对任意的[0,)m n ∈+∞、，都有()[()]n f m n f m = ，且(2)4f =，又当

0x ≥时，其导函数'()0f x >恒成立。

（Ⅰ）求(0)(1)F f -、的值；（Ⅱ）解关于x

的不等式：2

2f ??

≥????

，其中(1,1).k ∈-

17、一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在

()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则

称()f x 为“保三角形函数”． （I ）判断(

)1f x =

()2f x x =，()23f x x =中，哪些是“保三角形函

数”，哪些不是，并说明理由；

（II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三角形函数”；

（III ）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值．

（可以利用公式sin sin 2sin cos 22

x y x y

x y +-+=）

18、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =

--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21=+n

n n

S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11

11n n n c a a +=

++-，数列{}n c 的前n 项和为T n .

求证：1

23

n T n >-．

19、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，1

23n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。 （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式。（一步错，步步错，计算准确很重要）

（III ）由数列{}n a 中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b n }，

求n

n n b b 1

lim

+∞→的值。

20、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动

点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=?=NP GQ NQ NP . （I ）求点G 的轨迹C 的方程；(定义法)

（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原

点，设,+= 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.

21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A ，B ，C ），B 在A 的正东

方向，相距6km,C 在B 的北偏东300

，相距4km,P 为航天员着陆点，某一时刻A 接到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s. （1）求A 、C 两个救援中心的距离；（2）求在A 处发现P 的方向角； （3）若信号从P 点的正上方Q 点处发出，则A 、B 收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.

22．已知函数||1y x =+

，y =，11()2t y x x

-=+

(0)x > 的最小值恰好是方程32

0x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．（Ⅰ）

求证：2

23a b =+；(三次方程的因式分解)

（Ⅱ）设1(,)x M ，2(,)x N 是函数3

2

()f x x ax bx c =+++的两个极值点． ①若122

||3

x x -=，求函数()f x 的解析式；②求||M N -的取值范围．

23．如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P (2，1)，且与x 轴交于

点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（2，0）. （I ）若动点M 满足

0||2=+?，求点M 的轨迹C ；

（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不

同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

24．设.2)(,ln )(),(2)(--==--

=e

p

qe e g x x f x f x q px x g 且其中（e 为自然对数的底数）

（I ）求p 与q 的关系； （II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，

C

B

A

3

求p 的取值范围；

（III ）证明： ①)1()1(->≤+x x

x f ；

②)1(412ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n n n

n （n ∈N ，n ≥2）.

25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =

--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设021n

n

S b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11

11n n n c a a +=

++-，数列{}n c 的前n 项和为T n ，求证：1

23

n T n >-．

26、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()

f x 的不动点．如果函数2()(,*)x a

f x b c N bx c

+=

∈-有且仅有两个不动点0、2，且1

(2)2

f -<-

． （Ⅰ）试求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）已知各项不为零的数列{}n a 满足1

4(

)1

n n

S f a = ，求证：1111ln n n

n a n a ++-

<<-； （Ⅲ）设1

n n

b a =-

，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<．

27、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x - y ） =

f (x )·f (y )＋1

f (y )－f (x )

成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 <

x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；

（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．

28、已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点

M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ +=

，0RP PM ?= .（Ⅰ）⑴当点P 在

y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且111, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使AB AN λ=

，且16

3

AB ||=

29、已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x

轴上，离心率为

3

间的距离为6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C .

（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）求证：CF FB λ=

(λ∈R )；（Ⅲ）求MBC

?面积S 的最大值.

30、已知抛物线2

:ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜

率为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，

y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0.

（I ）求抛物线C 的焦点坐标； （II ）若点M 满足=，求点

M 的轨迹方程.

31．设函数321()()3

f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点

(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -．（Ⅰ）

求证：01b

a

<≤

；（Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；（Ⅲ）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒

有1()0f x a -+<，试求k 的最小值．

32．如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头A 所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界线的概率为01.，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字）

33．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22

22

162x y m m

+=(0)m >的左，右焦点． （1）当P C ∈，且210PF PF =

，12||||8PF PF ?=时，求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ．

（2）1F 、2F 是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知2F 的半径是1，

过动点Q 的作2F 切线QM ，

使得1QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．

34．已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．

（1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设3(3)n n n n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *

∈恒成立，求m 的取值范

35．已知集合{}121212()00D x x x x x x k =>>+=，

，，（其中k 为正常

数）．

（1）设12u x x =，求u 的取值范围； （2）求证：当1k ≥时不等式21212112

(

)()()2k x x x x k

--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立；

（3）求使不等式21212112

(

)()()2k x x x x k

--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的2

k 的范围．

36、已知椭圆C ：22a

x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36

，过右焦点F

且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。（1）求

直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON ；

（2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：

4

＝cos θ＋sin θOB 成立。

37、已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。

（1）求曲线

C

的方程；

（2）过点

.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线

①当m 求直线时,1=λ的方程；②当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值。

38、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ． （1）求数列}{n a 的通项公式． （2）若n k n a b n 2=，求数列}

{n b 的前n 项和n T ．

（3）设},2{},,{*

*∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列

}{n c 的任一项R Q c n ?∈，其中1c 是R Q ?中的最小数，11511010<

39、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1

23,22

a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中*2,n n N ≥∈. (1)求数列{}n a 的通

项公式n a ；(2)计算lim n n n

S n

a →∞-的值. ( 文) 求 n S .

40、函数)(x f 对任意x ∈R 都有f(x)＋f(1－x)＝1

2

. （1）求

))(1()1()21(N n n

n f n f f ∈-+和的值； （2）数列

}

{),1()1

()2()1()0(}{n n n a f n

n f n f n f f a a 求数列满足+-++++= 的通项公式。

（3）令n

S b b b b T a b n n n n n 16

32,,1

442

232221-

=++++=-=

试比较T n 与S n 的大小。

41．已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。

（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值；

（3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。

42．已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1。

（1）求抛物线C 的方程； （2）若过焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，M 在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN 的方程；

（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题． 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥

的体积”．求出体积163

后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底

面边长为4，体积为163

，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163

，

求所有侧面面积之和的最小值”．

现有正确命题：过点(,0)2

p

A -

的直线交抛物线C ：22(0)y px p =>于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过焦点F 。 试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

43．已知函数f(x)=

52168x

x

+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．

(I)写出2a ，3a 的值; (Ⅱ)试比较n a 与5

4

的大小，并说明理由；

(Ⅲ)设数列{}n b 满足n b =5

4－n a ，记S n =1

n

i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n

＜

14

(2n

－1)．

44．已知函数f(x)=x 3

－3ax(a ∈R)． (I)当a=l 时，求f(x)的极小值； (Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m ∈R 都不是曲线y=f(x)的切线，求a 的取值范围；

(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x ∈[－l ，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．

45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中

),(),,(n n n n b n B a n A

)0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）在方向向量为（1，6）的

线上.,11a b a a -== （1）试用a 与n 表示)2(≥n a n ；

（2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围。

46．已知2||||),0,2(),0,2(2121=--PF PF P F F 满足点，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；

（2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点. （i ）无论直线l 绕点

F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求

实数m 的值.

（ii ）过P 、Q 作直线2

1

=

x 的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，记|

|||||AB QB PA +=

λ，求λ的取值范围.

47．设x 1、)0()()(223212>-+=≠a x a bx ax x f x x x 是函数 的两个极值点. （1）若2,121=-=x x ，求函数f (x )的解析式； （2）若

b x x 求,22||||21=+的最大值；

（3）若)()()(,,1221x x a x f x g a x x x x --'==<<函数且，求证：

.)23(12

1

|)(|2+≤

a a x g 48．已知}{),10(log )(n a a a x x f <<=，若数列{a n }

*)(42),(,),(),(),(,2321N n n a f a f a f a f n ∈+ 使得成等差数列.

（1）求{a n }的通项a n ;

（2）设),(n n n a f a b ?= 若{b n }的前n 项和是S n ，且

.312:,1122

4

224<-+<-+a

na S a a n n 求证 49．点P 在以21,F F 为焦点的双曲线1:22

22=-b

y a x E )0,0(>>b a 上，已

知21PF PF ⊥，||2||21PF PF =，O 为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心

5

B

C

B

O 率e ；

（Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于21,P P 两点，且

4

27

21-

=?OP OP ，221=+PP ，求双曲线E 的方程； （Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且QN MQ λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使)(21GN GM F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

50.已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线

9:+=kx y m ，又0)1(=-'f ． （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是

)(x g y =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由．

（Ⅲ）如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围．

51．已

知二次函数

),,(,)(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对

任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当∈x （1，3）时，有2)2(8

1

)(+≤

x x f 成立。 （1）证明：2)2(=f 。

（2）若)(,0)2(x f f =-的表达式。

（3）设x m

x f x g 2

)()(-= ),0[+∞∈x ，若)(x g 图上的点都位于直

线4

1

=y 的上方，求实数m 的取值范围。

52．（1）数列{a n }和{b n }满足)(1

21n n b b b n

a +++=

（n=1，2，3…），求证{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。（8分） （2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差

数列的充分必要条件，需说明理由。[提示：设数列{b n }为

)3,2,1(2 =-=+n a a b n n n

53．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为

21，乙赢的概率为3

1

，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n 局赢、平、输的得分分别记为2=n a 、1=n a 、0=n a ,51,*

≤≤∈n N n 令n n a a a S +++= 21.

(Ⅰ)求53=S 的概率；（Ⅱ）若随机变量ξ满足7=ξS （ξ表示局数），求ξ的分布列和期望.

54．如图，已知直线l 与抛物线y x 42

=相切于点P(2, 1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0) .（I ）

若动点

M 满足0=+?，求点M 的轨迹C ； （II ）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E

在B 、F 之间），试求?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围.

55,已知A 、B 是椭圆

)0(12

22

2>>=+b a b y a x 的一条弦，M (2，1)是AB 中点，

以M 为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于N (4，—1). (1)设双曲线的离心率e ，试将e 表示为椭圆的半长轴长的函数. (2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程. (3)求出椭圆长轴长的取值范围.

56已知：)1,(,}{,14)(12

+-+-=n n n n n a a P S n a x

x f 点项和为的前数列在曲线

.0,1),()(1*>=∈=n a a N n x f y 且上

（1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足

381622

1

21--+=++n n a T a T n n

n n ，设定b 1的值，使得数列{b n }是等差数列； （3）求证：*,1142

1

N n n S n ∈-+>

57、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2,na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1). （1）求数列n n a a 的通项公式}{； （2）设

.,}2{

n n

n

n T n a T 求项和的前为数列 58、已知向量a ax x f a a a m -=>=22

1

)()0( )21,

1(，将函数的图象按向量m 平移后得到函数)(x g 的图象。

（Ⅰ）求函数)(x g 的表达式；（Ⅱ）若函数]2,2[)(在x g 上的最小值为

)()(a h a h ，求的最大值。

59、

已知斜三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2， 侧棱1BB 与底面ABC

所成角为3

π

，

且侧面⊥11A ABB 底面ABC .

（1）证明：点1B 在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点；

（2）求二面角B AB C --1的大小 ；（3）求点1C 到平面A CB 1的距离.

60、如图，已知四棱锥S ABCD -中，SAD ?是边长为a 的正三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠= ，P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点.

（Ⅰ）求证：//PQ 平面SCD ；（Ⅱ）求二面角B PC Q --的大小．

61．设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：

①;

2

12

++≤+n n n

a a a ②,.*N n M a n ∈≤其中M 是与n 无关的常数. （1）若{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3=4，S 3=18，证明：{S n }∈W

（2）设数列{b n }的通项为W b n b n n

n ∈-=}{,25且，求M 的取值范围； （3）设数列{c n }的各项均为正整数，且1.}{+≤∈n n n c c W c 证明：

S Q

D B

P

6

62．数列{}n a 和数列{}n b （n ∈+N ）由下列条件确定：（1）10a <，10b >； （2）当2k ≥时，k a 与k b 满足如下条件：当

11

02k k a b --+≥时，1k k a a -=，112k k k a b b --+=

；当11

02

k k a b

--+<时，112

k k k a b

a --+=，1k k

b b -=.

解答下列问题：（Ⅰ）证明数列{}k k a b -是等比数列；

（Ⅱ）记数列{}()k n n b a -的前n 项和为n S ，若已知当1a >时，lim 0n

n n

a →∞=，求lim n n S →∞

.

（Ⅲ）(2)n n ≥是满足12n b b b >>> 的最大整数时，用1a ，1b 表示n 满足的条件.

63. 已知函数()()1

ln ,0,f x x ax x x

=+

+∈+∞ (a 为实常数)． (1) 当a = 0时，求()f x 的最小值；

(2)若()f x 在[2,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列}{n x 满足()*1

1

ln 1,n n x n N x ++

<∈ 证明：n x ≤1(n ∈N *)．

64.设函数32()f x x ax bx =++(0)x >的图象与直线4y =相切于

(1,4)M ．

（Ⅰ）求32()f x x ax bx =++在区间(0,4]上的最大值与最小值； （Ⅱ）是否存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数

32()f x x ax bx =++的值域也是[,]s t ，若存在，求出所有这样的正数

,s t ；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数

32()f x x ax bx =++的值域是[,]ks kt ，求正数k 的取值范围．

65. 已知数列{}n a 中，11a =，()

*

1122(...)n n na a a a n N +=+++∈．

（1）求234,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）设数列{}n b 满足21111,2n n n k

b b b b a +=

=+，求证：1()n b n k <≤ 66、设函数()()()x x x f +-+=1ln 212

.(1)求()x f 的单调区间; (2)若当??

????--∈1,11

e e x 时,(其中 718.2=e )不等式()m x

f <恒成立,求实数m 的取值范围;

(3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2

在区间[]2,0上的根的个数.

67、已知2()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x Φ=?. （1）当1a =时，求()x Φ的单调区间； （2）求()g x 在点(0,1)处的切线与直线1x =及曲线()g x 所围成的封闭图形的面积；

（3）是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不

存在，请说明理由.

68、已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b

y a x C 的离心率为33

，直线l ：y=x+2

与以原点为圆心、椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切。 （1）求

椭圆C 1的方程；

（2）设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1，且垂直

于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；

（3）设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在C 2上，且 满足

0=?RS QR ，

求||的取值范围。

69、已知F 1,F 2是椭圆C: 22

221x y a b

+=（a>b>0）的左、右焦点，点

P (在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足20PM F M +=

。（1）求椭圆C

的方程。（2）椭圆C 上任一动点M 00(,)x y 关于直线y=2x 的对称点为M 1

（x 1,y 1）,求3x 1-4y 1的取值范围。

70、已知C B A ,,均在椭圆)1(1:2

22>=+a y a

x M 上，直线AB 、AC 分

别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ?= 时，有2

1219AF AF AF =?.

(Ⅰ)求椭圆M 的方程; (Ⅱ)设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆

()12:2

2=-+y x N 的任一条直径，求?的最大值.

71.如图，

()A m

和(,)B n 两点分别在射线

OS 、OT 上移动，且12

OA OB ?=-

，O 为坐标原点，动点P

满足OP OA OB =+ .

（Ⅰ）求m n ?的值； （Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？ （Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两

点，且3ME EN =

，求l 的方程.

72.

已

知

函

数

2

1()ln ,()(1)(1),()()()2

f x x a x

g x a x a H x f x g x =

+=+≠-=-。 (1)若函数f （x ）、g （x ）在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；

(2)α、β是函数H （x ）的两个极值点，α<β，(1,]( 2.71828)e e β∈= 。求证：对任意的x 1、x 2[,]αβ∈，不等式12|()()|1H x H x -<成立

73. 设)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且当01<≤-x 时，

2352)(ax x x f +=b x a ++24

(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式； (Ⅱ) 当31≤

(Ⅲ)如果对满足31≤

0)(≤x f ，求实数b 的取值范围．

74.已知椭圆C 的中心为原点，点F )0,1(是它的一个焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交于B A ,两点，且当直线l 垂直于x 轴时，6

5

=

?OB OA ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l ，使得在椭圆C 的右准线上可以找到一点P ，满足ABP ?为正三角形．如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明

7

理由．

75. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2

111

N n n a a a n n

n n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）设2

1n

n a b =，求数列{}n b 的前n

项和n S ；

（Ⅲ）设2)12(sin

π

-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*

∈N n ，7

4

76、已知函数2

1()()(0)ax f x x x e a a

=--≠

（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程 （2）当0a <时，求函数()f x 的单调区间

（3）当0a >时，若不等式33()0,,f x x a a ??

+≥∈-+∞????

对恒成立，求a 的取值范围。

77、已知函数x

a

x x f ln )(-=

，其中a 为实数． (1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； (2)是否存在实数a ，使得对任意),1()1,0(+∞∈ x ，x x f >)(恒成立?

若不存在，请说明理由，若存在，求出a 的值并加以证明．

78、已知217

()ln ,()(0)22

f x x

g x x mx m ==++<，直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；

（Ⅱ）若()(1)'()('()()h x f x g x g x g x =+-其中是的导函数），求函数()h x 的最大值；

（Ⅲ）当0b a <<时，比较：2()a af a b ++与2(2)b af a +的大小，

79、已知抛物线C ：x y 42

=的准线与x 轴交于M 点，过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点(A 在M 、B 之间)． (1)F 为抛物线C 的焦点，若||4

5

||AF AM =

，求k 的值； (2)如果抛物线C 上总存在点Q ，使得QB QA ⊥，试求k 的取值范围． 80、在平面直角坐标系中，已知定圆

F:（F 为圆心），

定直线

,作与圆F 内切且和直线相切的动圆P ， (1)试求动圆圆

心P 的轨迹E 的方程。 （2）设过定圆心F 的直线自下而上依次交轨迹E 及定园F 于点A 、B 、

C 、

D ， ①是否存在直线

，使得

成立？若存在，请求出这条直线的

方程；若不存在，请说明理由。 ②当直线

绕点F 转动时，

的

值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

81.已知函数

()

2

f

x x m x n =+

+的图像过点()13，，且

()()11f x f x -+=--对任意实数都成立，函数()y g x =与()y f x =的图像关于原点对称。

()()()1113f x f x f -+=--=，

（Ⅰ）求()f x 与()x g 的解析式；

（Ⅱ）若()()x g x F =—()f x λ在[-1，1]上是增函数，求实数λ

的取值

范围；

82.设数列{}{}n n b a ,满足3,4,6332211======b a b a b a ，且数列

{}()++∈-N n a a n n 1是等差数列，数列{}()+∈-N n b n 2是等比数列。 （I ）

求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（II ）是否存在+

∈N k ，使??

? ??∈-21,0k k b a ，若存在，求出k ，若不存在，说明理由。

83. 数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和S n 与a n 之间满足

).2(1

222

≥-=n S S a n n

n

（1）求证：数列{

n

S 1

}的通项公式； （2）设存在正数k ，使12)1()1)(1(21+≥+++n k S S S n 对一切*N n ∈都成立，

求k 的最大值.

84.已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，其左

准线与x 轴相交于点N ，并且满足，.2||,221121==F F NF F F 设A 、B 是上半椭圆上满足λ=的两点，其中].3

1,51[∈λ （1）求此椭圆的方程及直线AB 的斜率的取值范围；

（2）设A 、B 两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P ，求证：点P 在一条定直线上，并求点P 的纵坐标的取值范围.

85.已知函数.ln )(,2

)23ln()(x x g x x x f =++=

（1）求函数f (x )是单调区间；

（2）如果关于x 的方程m x x g +=

2

1

)(有实数根，求实数m 的取值集合； （3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程)()(x kg x f =有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由.

86、已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，直线l 过点)0,4(A 且与抛物线交于Q P ,两点.并设以弦PQ 为直径的圆恒过原点.(Ⅰ)求焦点坐标； (Ⅱ)若=+，试求动点R 的轨迹方程.

87、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的点到右焦点F 的最小距离

1，F 到上顶点的距离为2，点)0,(m C 是线段OF 上的一

个动点.（I ）求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,使得⊥+)(,并说明理由.

88、椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为)2,0(A ，右焦点F

与点

,B 的距离为2。

（1）求椭圆的方程； （2）是否存在斜率0≠k 的直线l ：2-=kx y ，

8

使直线l 与椭圆相交于不同的两点N M ,满足||||AN AM =，若存在，求直线l 的倾斜角α；若不存在，说明理由。

89、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切正整数n 都有

n n a n S 2

1

2+

=。 （1）证明：241+=++n a a n n ；（2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）设121

11

111)(21+???

? ??-???? ??-???? ??-=n a

a a n f n ，求证：)()1(n f n f <+对*∈N n 都成立。

90、已知等差数列{}n a 的前三项为1,4,2,a a -记前n 项和为n S ． (Ⅰ)设2550k S =，求a 和k 的值； (Ⅱ)设n

n S b n

=

，求37114n b b b b -+++???+的值．

91.已知()x f 定义在R 上的函数，对于任意的实数a ，b 都有

()()()a bf b af ab f +=，且()12=f

（1） 求??

?

??21f 的值 ， （2）求()

n f -2的解析式（*∈N n ）

92. 设函数()b a x x x f +-= （1）求证：()x f 为奇函数的充要条件是02

2=+b a

（2）设常数b ＜322-，且对任意x []1,0∈，()x f ＜0恒成立，求实数a 的取值范围

93.已知函数2

2

()(3)3f x x a x a a =+-+-（a 为常数）.

（1）如果对任意2

[1,2],()x f x a ∈>恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设实数,,p q r 满足：,,p q r 中的某一个数恰好等于a ，且另两个恰为方程()0f x = 的两实根，判断①p q r ++，②2

2

2

p q r ++，③3

3

3

p q r ++是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数()g a ，并求()g a 的最小值；

（3）对于（2）中的()g a ，设1()[()27]6

H a g a =--，数列{}n a 满足

1()n n a H a += *()n N ∈，且1(0,1)a ∈，试判断1n a +与n a 的大小，并证明.

94．如图，以A 1，A 2为焦点的双曲线E 与半径为c 的圆O 相交于C ，D ，C 1，D 1，连接CC 1与OB 交于点H ，且有：)323(+=。其中A 1，A 2，B 是圆O 与坐标轴的交点，c 为双曲线的半焦距。（1）当c=1时，求双曲线E 的方程；

（2）试证：对任意正实数c ，双曲线E 的离心率为常数。

（3）连接A 1C 与双曲线E 交于F ，是否存在实数A λλ=1,使恒成立， 若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由. 95.设函

数

))(,(),1(,1(),(3

1)(23

m f m B f A c b a cx bx ax x f 其图象在点<<++=

处的切线的斜率分别为0，－a. （1）求证：10<≤a b

；

（2）若函数f （x ）的递增区间为[s ，t]，求|s －t|的取值范围.

（3）若当x ≥k 时，（k 是a ，b ，c 无关的常数），恒有0)('<+a x f ，试求k 的最小值

96. 设函数??

?<->=++=)()

()

0()()(),,(1)(2x x f x x f x F b a bx ax x f 为实数 （1）若0)1(=-f 且对任意实数均有0)(≥x f 成立，求)(x F 表达式； （2）在（1）在条件下，当kx x f x g x -=-∈)()(]2,2[时，是单调函数，

求实数k 的取值范围；

（3）设mn<0，m+n>0，a >0且)(x f 为偶函数，证明.0)()(>+n F m F

97. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为

)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足

2

2|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7， （1）求曲线C 的方程； （2）求m 的值。

98.数列{}n a ，)(32,1211*+∈+-==N n n n a a a n n

⑴是否存在常数λ、μ，使得数列{}n n a n μλ++2是等比数列，若存在，求出λ、μ的值，若不存在，说明理由。

⑵设n n

n n n b b b b ，S

n a b ++++=-+=

- 3211

21

，证明：当2≥n 时，

3

5

)12)(1(6<<++n S n n n .

99、数列{}n a 的前n 项和为11,10,910n n n S a a S +==+。 （I ）求证：{lg }n a 是等差数列；（Ⅱ）设n T 是数列13

(lg )(lg )n n a a +?

?????

的

前n 项和，求n T ；

（Ⅲ）求使2

1(5)4

n T m m >-对所有的n N *∈恒成立的整数m 的取值集合。

100、已知数列｛n a ｝中，111

,22

n n a n a a +=-,点（）在直线y=x 上，其中n=1,2,3….

（1）令11n n n b a a ,+=--求证数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}的通项；

n a ⑶ 设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+??

?

???

为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由。

（其实挺简单的、只不过千万不要计算错，一步错可就全错了）

9

高考数学压轴题汇总详细解答

1．解：（I ）()()1,12

11,23

ax x g x a x x -≤≤?=?--<≤?

（1）当0a <时，函数()g x 是[]1,3增函数，此时，

()()m a x

323g x g a ==-， ()()min 11g x g a ==-，所以()12h a a =-；——2分

（2）当1a >时，函数()g x 是[]1,3减函数，此时，

()()m i n

323g x g a ==-， ()()max 11g x g a ==-，所以()21h a a =-；————4分

（3）当01a ≤≤时，若[]1,2x ∈，则()1g x a x =-，

有()()()21g g x g ≤≤；

若[]2,3x ∈，则()()11g x a x =--，有()()()23g g x g ≤≤； 因此，()()min 212g x g a ==-，————6分 而()()()()3123112g g a a a -=---=-，

故当1

02

a ≤≤时，()()max 323g x g a ==-，有()1h a a =-；

当1

12

a <≤时，()()max 11g x g a ==-，有()h a a =；————8分 综上所述：()12,0

11,021,12

21,1a a a a h a a a a a -

?-≤≤?=?

?<≤??->?

。————10分

（II ）画出()y h x =的图象，如右图。————12分 数形结合，可得()min 11

22

h x h ??==

???

。————14分

2．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*

n N ∈. （1）当n=1时,由已知得结论成立;

（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时, 因为0

x

f x x x '=-

=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)

故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立.————4分

又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,

从而1n n a a +<.

综上可知10 1.n n a a +<<<————6分

(Ⅱ)构造函数g(x)=22

x -f(x)= 2

ln(1)2x x x ++-, 0

由2

()01x g x x

'=>+,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.

因为01n a <<,所以()0n g a >,即()2

2n n a f a ->0,从而

2

1.2

n n a a +<————10分

(Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=

≥+,所以0n b >,1n n

b

b +12n +≥ ,

所以1211211

!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=

??≥? ————①

, ————12分 由(Ⅱ)

2

1,

2

n n a a +<知

:

12

n n

n a a a +<, 所以

1n a a =3121212122

2n n n a a a a a a

a a a --?< ,

因为1a =

, n≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1121222n a a a a -

122n

a ?=12n ————② . ————14分

由①② 两式可知: !n n b a n >?.————16分

3．（Ⅰ）在21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+中,分别令

120x x x

=??

=?；

1244

x x x ππ?=+???

?=??；

1244

x x x ππ?

=???

?=+??得

22()()2cos 24sin , (+)()2 2(+)()2cos 2)4sin 224

f x f x x a x f x f x a f x f x x a x π

πππ?

?+-=+??+=??

?+-+??，

＝（＋（＋）①②③

由①＋②－③， 得

1cos 2()

1cos 242()22cos 22cos(2)44222

x x f x a x x a a π

π-+-=+-++［］-［］ ＝22(cos 2sin 2)2(cos 2sin 2)a x x a x x ++-+

∴

())sin(2)4

f x a a x π

=-+

（Ⅱ）当0,4x π∈［］时，sin(2)4x π+

∈2

．

（1）∵()f x ≤2，当a <1时

，1[(1)]2

a a =-≤()f x

≤)a a -≤2．

即1

(1a

≤2-

a ≤1．

（2）∵()f x ≤2，当a ≥1时，- 2

≤a a 1-)≤()f x ≤1．即1≤a

≤4+

故满足条件a 的取值范围[

4+．

4．（1）3.22

3

,1.2222==?=-====e a a b a a c e b b

椭圆的方程为14

22

=+x y （2分） （2）设AB 的方程为3+=kx y

10

由

41,4320132)4(1

4

3

2212212222

+-=+-=+=-++??????=++=k x x k k x x kx x k x y kx y （

4分）

由已知

43

)(43)41()3)(3(410212122121221221++++=+++=+=x x k x x k kx kx x x a y y b x x ±=++-?++-+=k k k k k k 解得,4

343243)41(44222 2 （7分）

（3）当A 为顶点时，B 必为顶点.S △AOB =1 （8分） 当A ，B 不为顶点时，设AB 的方程为y=kx+b

42042)4(1

4

2212

222

2+-=+=-+++??????=++=k kb x x b kbx x k x y b

kx y 得到 442221+-=k b x x

:04

)

)((0421212121代入整理得=+++?==

b kx b kx x x y y x x 4222=+k b （11分）

4

16

44|||4)(||21||||2122

22122121++-=

-+=--=k b k b x x x x b x x b S 1|

|242

==

b k

所以三角形的面积为定值.（12分）

5（1）12(101)10(101)99

n n n

n a =-?+?- ……………………………… (2

分 )

1(101)(102)9n n

=-?+101101()(1)33

n n --=?+…………………………………(4分)

记：A =1013n - , 则A=333

n

?????? 为整数 ∴

n

a = A (A+1) ， 得

证 ………………………………………………………( 6分) (2)

2112

1010999

n n n a =

+- ………………………………………………… (8分)

2422112(101010)(101010)999n n n S n =++??????++++??????- 2211(101110198210)891n n n ++=+?--……………………………………………(12分)

6、解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===

设P （x ，y ），则1),1(),1(2

221-+=--?---=?y x y x y x PF PF

35

1

1544222+=--

+x x x ]5,5[-∈x ，

0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3；

当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k

直线l 的方程为)5(-=x k y

由方程组22

22221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ?+

=?+-+-=??=-?

，得 依题意2

20(1680)0k k ?=-><<

，得 当5

5

55<

<-

k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，

则4

5252,455022

2102

221+=+=+=+k k x x x k k x x .4

520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k

k k k x k y

又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F

1204204

5251)4520(02

22

222-=-=+-+-

-?=?∴k k k k k k

k k k R

F ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|

综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|

7、解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.

:

y x

4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得???

=--=--=.

3

16

2x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

14y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()13

1(,)316()32y ()13(22222

2222

2解得相减得-=-+=++?????=-

++=+++

因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，

.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )

1x (3y ≠=???-=--=故三点共线此时得由， 9

256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又，

, 392

y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->

+++>

∠CAB 为钝角.

9256

y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即

当

.CBA 3310

y 为钝角时∠-<

2

2222y y 3428y 3y

349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又 0)32y (,034y 334y :2

2<+<++

即.

个

11

该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.

因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:

)32(93

23310≠>-

解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:

38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为

到直线圆心-=-=++-. ).33

2,1(G L AB ,-

-相切于点为直径的圆与直线以所以

当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 93

2y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-

得令垂直的直线为且与过点.

33

10

y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=

+得令垂直的直线为且与过点.

,

)32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=???

-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.

因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：

).32(93

23310≠>-

8、解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1

（2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ )

x (f 1

)x (f =-

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴ 0)x (f 1

)x (f >-=

又x=0时，f(0)=1>0 ∴ 对任意x ∈R ，f(x)>0

(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴

1)x x (f )x (f )x (f )

x (f )

x (f 121212>-=-?= ∴ f(x 2)>f(x 1) ∴ f(x)在R 上是增函数

（4）f(x)2f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R 上递增 ∴ 由f(3x-x 2)>f(0)得：x-x 2>0 ∴ 0

9、解：（1）由题意知021)1(=++=c b f ，∴b c 21--=

记

1)12()12()()(22--++=++++=++=b x b x c b x b x b x x f x g

则

075)3(>-=-b g 051)2(<-=-b g 7

55

1

<

b

01)0(<--=b g 01)1(>+=b g 即)7

5,51(∈b

（2）令u=)(x f 。∵17

5

510<<<

而b x c bx x x f b b c -=++=->=--的对称轴为函数2)(,212

∴)1,1)(c c x f ---在区间（上为增函数， 从而)1,1()(log )(c c x f x F b ---=在上为减函数。

且)1,1)(c c x f ---在区间（上恒有)(x f >0 ,只需0)1(≥--c f ，

且27

17

)7551(12-≤<-

<<--=c b b c 所以

10、解：（1）.21

1|12|

||2112

2

=≤+∴≥+x x x x x n

n n n 又 1|12|

2

<+∴n

n

x x 1)2

1

()(1-==f x f

而).(2)()()1()12(

)(2

1n n n n n n

n n

n n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=++=+=+ 2)

()

(1=∴

+n n x f x f 12)(,2,1)}({--=-∴n n n x f x f 故为公比的等比数列以为首项是以

（2）由题设，有0)0(),0()010

0(

)0()0(==++=+f f f f f 故 又,0)0()1()()(),1,1(2

==--=-+-∈f x

x

x f x f x f x 有 得)1,1()(),()(--=-在故知x f x f x f 上为奇函数. 由

1

)2)(1(1

1312-++=

++k k k k )

2)(1(1

121

11)2)(1(11)2)(1(1++-+-

+=++-++=k k k k k k k k

得)21

()11()21()11()1

31(

2

+-+=+-++=++k f k f k f k f k k f 于是

∑=+--=+-=++n

k n f n f f k k f 1

2).21(1)21()21()1

31(

故.0)21

()1

31()111()5

1(12=+++++++n f n n f f f

11.解：（1）设C ( x , y )， 2GA GB GO += ,由①知2GC GO =-

,∴G

为

△

ABC

的

重

心

，

∴

G(

3x ,3

y

) …………………………………………（2分） 由②知M 是△ABC 的外心，∴M 在x 轴上。 由③知M （

3

x

，0）， 由|| ||MC MA =

得

= 化简整理得：2

213

x y +=（x ≠0 ）…(6分) （2）F 0 ）恰为2

213

x y +=的右焦点 设PQ 的斜率为k ≠0且k ≠±

2

，则直线PQ 的方程为y = k ( x 由2222

2

2

((31)630330

y k x k x x k x y ?=??+-+-=?+-=?? 设P(x 1 , y 1) ，Q (x 2 ,y 2 ) 则x 1 + x 2 = 22

31

k + , x 12x 2 =226331k k -+ …… （8分） 则

|

PQ

|

=

·

=

-7-

12

RN ⊥PQ,把k 换成

1

k

-

得

|

RN

|

=

221)

3k k ++ ………………………（ 10分)

∴S =12| PQ | · | RN | =22

22

6(1)(31)(3)

k k k +++=228

21

3()10

k k

-++

22183()102k k S

∴+

+=- 221k k + ≥2 ， 82S ∴-≥16，3

2∴≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等

号) ……（12分）

又当k 不存在或k = 0时S = 2 综上可得

3

2

≤ S ≤ 2， ∴S max = 2 ， S min = 3

2

……………………………………（14分）

12．解：⑴1)

12(1)

12(2tan 1tan 22tan 2

2=---=-=ααα 又∵α为锐角 ∴42πα= ∴1)4

2sin(=+πα x x x f +=2

)(

⑵ n n n a a a +=+2

1 ∵2

11=a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴

02>n a ∴n n a a >+1

⑶ n

n n n n n n a a a a a a a +-

=+=+=+11

1)1(11121 ，∴1

1

111+-

=+n n n a a a . ∴13221211

11111111111+-

++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1

111

211++-

=-=n n a a a ∵4321)21(22=+=a , 14

3

)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12

∴131>≥+a a n ， ∴21

211

<-

<+n a ，∴2111111121<++++++

a a a

13 (本小题满分

14

分)解：（1）121+=+n n a a ，

)1(211+=+∴+n n a a ……………2分

故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。……3分

n n a 21=+∴，12-=n n a …4分

（

2

）

n

n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，

n n nb n b b b 24)(21=∴-+++ ……………5分

n n nb n b b b =-+++2)(221 ①

1121)1()1(2)(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②

②—①得n n n nb b n b -+=-++11)1(22，即

1)1(2+-=-n n b n nb ③……………………8分 212)1(++=-+∴n n nb b n ④

④—③得112-++=n n n nb nb nb ，即112-++=n n n b b b ………9分 所以数列}{n b 是等差数列

（3）1

111

212211211-++=

-<-=n n n n a a ………………………………11分 设

1

32111++++=

n a a a S ，则

)111(211322n a a a a S ++++<

)1

(2111

2+-+=n a S a …………13分

3

213212112<-=-<

++n n a a a S ………………………………14分

14. (本小题满分16分

（1）当

1

=a 时，

cx

x x x g ++-=232

1

31)(，

c x x x g ++-='2)(………………1分

)(x g 在（—1，1）上为单调递增函数，0)(≥'∴x g 在（—1，1）上恒

成立…………2分

02≥++-∴c x x 在（—1，1）上恒成立…………3分 2≥∴c ………

4分

（2）设)()(x f x g ='，则

15、①11a =；③4

3

a =

16、解：(1)由f(m·n)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0

∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……3分∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0 ∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2……3分

(2)

(

)()

2

22211

f f f f f f

??

??????

≥?≥?≥±?≥

???

???

??

又当0

x≥时，其导函数()

'0

f x>恒成立，∴()

y f x

=在区间

[)

0,+∞上为单调递增函数

()

22

12140

kx k x kx

≥?+≥?-+≥

①当0

k=时，{}0

x∈；

②当10

k

-<<时，

22

44

00

11

k k

x x x

k k

??

-≤?≤≤

?

--

??

，

∴

2

4

,0

1

k

x

k

??

∈??

-

??

；

③当01

k

<<时，

22

44

00

11

k k

x x x

k k

??

-≤?≤≤

?

--

??

，

∴

2

4

0,

1

k

x

k

??

∈??

-

??

综上所述：当0

k=时，{}0

x∈；当10

k

-<<时，

2

4

,0

1

k

x

k

??

∈??

-

??

；

当01

k

<<时，

2

4

0,

1

k

x

k

??

∈??

-

??

。

17、解：（I）()()

12

,

f x f x是“保三角形函数”，()

3

f x不是“保三角形

函数”．1分

任给三角形，设它的三边长分别为,,

a b c，则a b c

+>，不妨假设

,

a c

b c

剟，

>>，所以()()

12

,

f x f x是“保三角形函

数”. 3分

对于()

3

f x，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但222

335

+<，

所以不存在三角形以222

3,3,5为三边长，故()

3

f x不是“保三角形函

数”．4分

（II）设0

T>为()

g x的一个周期，由于其值域为()

0,+∞，所以，存

在0

n m

>>，使得()()

1,2

g m g n

==，

取正整数

n m

T

λ

-

>，可知,,

T m T m n

λλ

++这三个数可作为一个三

角形的三边长，但()1

g T m

λ+=，()()

1,2

g T m g n

λ+==不能作为任

何一个三角形的三边长．故()

g x不是“保三角形函

数”．8分

（III）A的最大值为

5

6

π

．9分

一方面，若

5

6

A

π

>，下证()

F x不是“保三角形函数”.

取()

55

,,0,

266

A

πππ

∈，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，

但

5151

sin1,sin,sin

26262

πππ

===不能作为任何一个三角形的三边

()

F x不是“保三角形函数”.

5

6

A

π

=时，()

F x是“保三角形函数”．

对任意三角形的三边,,

a b c，若

5

,,(0,)

6

a b c

π

∈，则分类讨论如下：

（1）2

a b cπ

++…，

此时

55

22

663

a b c

πππ

ππ

-->--=

…，同理，,

3

b c

π

>，

∴

5

,,(,)

36

a b c

ππ

∈，故

1

s i n,s i n,s i n

2

a b c∈，

11

sin sin1sin

22

a b c

+>+=…．

同理可证其余两式.

∴sin,sin,sin

a b c可作为某个三角形的三边长．

（2）2

a b cπ

++<

此时，

22

a b c

π

+

+<，可得如下两种情况：

22

a bπ

+

≤时，由于a b c

+>，所以，0

222

c a bπ

+

<<≤.

由sin x在(0,]

2

π

上的单调性可得0sin sin1

22

c a b

+

<<≤；

22

a bπ

+

>时，0

222

c a bπ

π

+

<<-<，

同样，由sin x在0,

2

π

??

?

??

上的单调性可得0sin sin1

22

c a b

+

<<<；

总之，0sin sin1

22

c a b

+

<<≤.

又由

5

6

a b c

π

-<<及余弦函数在()

0,π上单调递减，得

5

cos cos cos cos0

22212

a b

a b cπ

-

-

=>>>，

∴sin sin2sin cos2sin cos sin

2222

a b a b c c

a b c

+-

+=>=．

同理可证其余两式，所以sin,sin,sin

a b c也是某个三角形的三边长．故

5

6

A

π

=时，()

F x是“保三角形函数”．

综上，A的最大值为

5

6

π

．

18、解：（Ⅰ）

11

(1),

1

－

=-

a

S a

a

∴

1

,

=

a a

当2

n≥时，

11

,

11

n n n n n

a a

a S S a a

a a

--

=-=-

--

1

n

n

a

a

a

-

=，即{}

n

a是等比数列．∴

1

n n

n

a a a a

-

=?=；……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

2(1)(31)2

11

(1)

n

n

n n n

a

a a a a

a

b

a a a

?---

-

=+=

-

，若{}

n

b为等

比数列，

则有2

213

,

b b b

=而

2

1232

32322

3,,,

a a a

b b b

a a

+++

===

故

2

2

2

32322

()3

a a a

a a

+++

=?，解得

1

3

a=，………………………………7分

13

14

再将13a =代入得3n n b =成立， 所以1

3

a =． …………8分 （III ）证明：由（Ⅱ）知1

()3

n n a =，所以

1

1111331131311()1()

33

n n n n n n n c +++=+=+

+-+- 111311311111131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+-1112()3131

+=--+-n n ， ………… 9分

由111111,313313n n n n ++<>+-得11

1111

,313133

n n n n ++-<-+- 所

以

11

1311

2(

)2()313133＋++=-->---n n n n n c ， …………………… 12分

从

而

122231111111

[2()][2()][2()]333333

n n n n T c c c +=+++>--+--+--

22311111112[()()()]333333n n n +=--+-++- 1111

2()2333

n n n +=-->-

．

即1

23

n T n >-． ………………………14分

19、解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，

所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．

当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．…… 4分（文6分）

（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，……

1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)

[12(1)]2

n n n a a n c c --=+++-=

。 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，．当n=1时，上式也成立，所以2

2(12)n a n n n =-+= ，，……8分 （III ）b n =32n-2-3n-1+2, ∴n n n b b 1

lim +∞→=9. ……12分

20、解：（1）???

?

??=?=02Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN

?GQ 为PN 的中垂线?|PG|=|GN|

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长

半轴长3=a ，半焦距5=

c ，∴短半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程

是14

92

2=+y x ………5分 （2）因为+=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得||=||，则四边形OASB 为矩形0=?∴

若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =2，由??

???±==?????=+=35221492

22y x y x x 得

0,09

16

=?>=

?∴与矛盾，故l 的斜率存在. ………7分

设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=

0)1(3636)49(149

)

2(222222=-+-+????

??=+-=k x k x k y x x k y 由

4

9)

1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ①

)]2()][2([2121--=x k x k y y

4

920]4)(2[22

21212

+-=++-=k k x x x x k ② ……………9分

把①、②代入2

3

02121±

==+k y y x x 得

∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的

对角线相等.

21、 解：（1）以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则

()()

()

A B C -3030523，，，，，则

()()

A C k m =++

=53232192

2

即A 、C 两个救援中心的距离为219k m

（2）∵||||P C P B =，所以P 在BC 线段的垂直平分线上

又∵||||P BP A -=4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上，且A B =6

∴双曲线方程为()x y x 22

45

10-=<

BC 的垂直平分线的方程为x y +-=370 联立两方程解得：x =-8

()

∴，，∠P k P A B P A

-==-8533t a n ∴∠PAB ＝120°所以P 点在A 点的北偏西30°处

（

3）如图，

设

P Q h P B x P A y ===，，∵Q B Q A x h y h -=+-+2222

()=-

+++=-++++xy x h y h x y x y

x h y h

22

22222222

2 又∵

x y x h y h

++++<2

2

2

2

1

QB QA PB PA -<-∴1111

QB QA PB PA

-<-∴ 即A 、B 收到信号的时间差变小

22、解：（Ⅰ）三个函数的

最小值依次为1

，

，

，…………………… …3分

由(1)0f =，得1c a b =--- ∴

3232()(1)f x x ax bx c x ax bx a b =+++=++-++2(1)[(1)(1)]x x a x a b =-+++++，

故方程2

(1)(1)0x a x a

b +++++=

．

15

(1)a =-+

1a b =++．………………………4分

22(1)a =+，即222(1)(1)a b a +++=+

∴ 2

23a b =+． …………………………………………………………5分

（Ⅱ）①依题意12,x x 是方程2'()320f x x ax b =++=的根，故有

1223

a

x x +=-

，123b x x =，

且△2(2)120a b =->，得3b <．

由

12||x x -==

=

………………………7分

3

23=；得，2b =，2

237a b =+=．

由（Ⅰ

(1)0a =-+>，故1a <-， ∴

a =

(1)3c a b =-++=

∴ 3

2

()23f x x x =+．…………………………………………9分

②12|||()()|M N f x f x -=-3322

121212|()()()|x x a x x b x x =-+-+-

212121212|||()()|

x x x x x x a x x b =-?+-++

+222|()()|333

a b a

a b =

--+?-+ 324(3)27b =-（或3

2249()272

a -）． ………………………………………11分 由（Ⅰ

）22(1)2a +==+∵ 01t <<，∴ 22(1)4a <+<， 又1a <-，∴

21a -<+<

31a -<<

，239a +<

3b <<） (13)

分

∴ 3

24

0||(32)27

M N <-<．…………………………………15分

23．（本小题满分12分）

解：（I ）由22

414x y y x =

=得，.2

1

x y ='∴∴直线l 的斜率为1|2='=x y ，………1分

故

l

的方程为1-=x y ，∴点

A

坐标为（1，

0） …………………………………… 2分

设),(y x M 则),1(),,2(),0,1(y x y x -=-==， 由0||2=+?得 .0)1(20)2(22=+-?+

?+-y x y x

整理，得.12

22

=+y x ……4分 ∴点M 的轨迹为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆 ……… 5分

（II ）如图，由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设l 方程为y=k (x －

2)(k ≠0)①

将①代入12

22

=+y x ，整理，得

0)28(8)12(2222=-+?-+k x k x k ，

由△>0得0

2

1

. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2) 则

???

????+-=+=+.1228,12822

2122

21k k x x k k x x ②………………………………………………………7分

令

|||

|,BF BE S S OBF OBE ==

??λλ则，由此可得

.10,2

2

,21<<--=

?=λλλ且x x 由②知,1

24

)2()2(221+-=

-+-k x x

121212222

22

22

22)(2)2()4.

21

2141,.10(1)8(1)2

1411

0,0,332(1)22

01,

x x x x x x k k k k λλλλλλλλ-?-=-++=

++∴==-++<<∴<-<-<<++<< （即分解得又

1223<<-∴λ.∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（3－

22，1）.……12分

24．（本小题满分14分）解：（I ）由题意,ln 2)(x x

q

px x g --

= 分

而又3.,01

,

0)1

)((,01)()(,22,2)( q p e e e

e q p e q p e q p e

q qe e q pe e q pe e g =∴≠+=+-∴=-+-∴--=--∴--

= （

II

）

由

（

I ）

知

：

x x

p

px x g ln 2)(--

=，

,22)(2

22x

p

x px x x p p x g +-=-+=' 令h (x )=p x 2－2x +p.要使g(x )在（0，+∞）为单调函数，只需h(x )在（0，

+∞）满足：

h(x )≥0或h(x )≤0恒成立.………………………………4分

①x x h p 2)(,0-==时，,02)(,0)(,02

<-

='∴<∴>x x

x g x h x ∴g(x )在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意.………………………5分

②当p>0时，h (x )=p x 2－2x +p 图象为开口向上抛物线， 称轴为x =

p 1∈（0，+∞）.∴h (x )min =p －p 1.只需p －p

1

≥0，即p ≥1时h (x )≥0，g ′(x ) ≥0，

∴g(x )在(0,+ ∞)单调递增，∴p ≥1适合题意.…………………………7分

③当p<0时，h (x )=p x 2－2x +p 图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x =

p

1

?（0，+∞），

16

只需h (0)≤0，即p ≤0时h (0)≤（0,+ ∞)恒成立.

∴g ′(x )<0 ，∴g(x )在（0,+ ∞）单调递减，∴p<0适合题意.

综上①②③可得，p ≥1或p ≤0.……………………………………9分 （III ）证明：①即证：ln x －x +1≤0 (x >0)，

设x

x x x k x x x k -=-=

'+-=111)(,1ln )(则. 当x ∈（0，1）时，k ′(x )>0，∴k (x )为单调递增函数； 当x ∈（1，∞）时，k ′(x )<0，∴k (x )为单调递减函数； ∴x =1为k(x )的极大值点，∴k(x )≤k(1)=0.

即ln x －x +1≤0，∴ln x ≤x －1.………………………………11分 ②由①知ln x ≤x －1,又x >0

，

x

x x x x 1

11ln .

-=-≤∴

22

2222222222222ln 1*,2,,1.

ln 11(1),2ln 2ln 3ln 1111(111)23222311111111[(1)]()][(1)()]22322334(1)

1111111111[1()][1()223341221n n N n x n n n

n n n n n n n n n n n n n n n ∈≥=≤-∴≤-∴+++≤-+-++-=--+++<--+++??+=---+-++-=---++ 时令得221

]4(1)

n n n --=+

∴结论成

立.…………………………………………………………………………14分

25．解：（Ⅰ）111

(1),a S a a

-=

- ∴10,a = 当2n ≥时，11,11

n n n n n a a

a S S a a a a --=-=---

1

n

n a a a -=，即

{}

n a 是等比数列． ∴

1n n n a a a a -=?=； ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)

(31)211(1)

n n n n n a

a a a a a

b a a a ?

----=+=

-，若{}n b 为等比数列，

则有2213,b b b =而2

1232

32322

3,,,a a a b b b a a +++==

= 故22232322()3a a a a a +++=?，解得13a =，再将1

3

a =代入得3n n

b =成立， 所以1

3

a =．

（III ）证明：由（Ⅱ）知1

()3

n n a =，所以

1

111133

3131

1()1()33

n n n n n n n c +++=+=++-+-

111311311111131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+-1212()3131

n n +=--+-，

由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133

n n n n ++-<-+- 所以111311

2()2()313133

n n n n n c ++=-->----，

从而

122231111111

[2()][2()][2()]333333

n n n n T c c c +=+++>--+--+--

22311111112[()()()]333333n n n +=--+-++- 1111

2()2333

n n n +=-->-

．

即123

n T n >-．…………………………14分

26、解：（Ⅰ）设

22(1)0(1)x a

x b x cx a b bx c

+=?-++=≠- 201201c b

a b ?

+=-??-????=?-? ∴012a c b =???=+?? ∴

2

()(1)2

x f x c

x c

=+-

由21

(2)1312

f c c --=

<-?-<<+ 又∵,*b c N ∈ ∴2,2c b ==

∴2

()(1)2(1)

x f x x x =≠- …………………… 3分

于是222222(1)22()4(1)2(1)x x x x x

f x x x ---'==-- 由()0f x '>得0x <或2x >； 由()0f x '<得01x <<或

12x <<

故函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(2,)+∞，

单调减区间为(0,1)和(1,2) ……………………4分

（Ⅱ）由已知可得2

2n n n S a a =-， 当

2n ≥时，2111

2n n n S a a ---=- 两式相减得11()(1)0n n n n a a a a --+-+=

∴1n n a a -=-或11n n a a --=-

当1n =时，2111121a a a a =-?=-，若1n n a a -=-，则21

a =这与1n a ≠矛盾

∴11n n a a --=- ∴n a n =- (6)

分

于是，待证不等式即为

111ln 1n n n n

+<<+． 为此，我们考虑证明不等式

111ln ,01x x x x x

+<<>+ 令1

1,0,t x x

+=>则1t >，11x t =-

再令()1l n g t t t =--，1

()1g t t

'=- 由(1,)t ∈+∞知

()0g t '>

∴当(1,)t ∈+∞时，()g t 单调递增 ∴()(1)0g t g >= 于

是1ln t t ->

即

11ln ,0x x x x

+>> ① 令1()ln 1h t t t =-+，22111

()t h t t t t

-'=-= 由(1,)t ∈+∞知

()0h t '>

∴当(1,)t ∈+∞时，()h t 单调递增 ∴()(1)0h t h >= 于是

17

1

ln 1t t

>-

即11

ln

,01

x x x x +>>+ ② 由①、②可知

111ln ,01x x x x x

+<<>+ ……………………10分

所以，111ln 1n n n n +<<+，即1111l n n n

n a n a +-<<- ……11分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知1n b n = 则111123n T n

=++++ 在

111ln 1n n n n

+<<+中令1,2,3,,2007n = ，并将各式相加得

11123

200811

1

l n l n l n 123200812

2007232007

+++<+++<+++

+

即200820071ln 2008T T -<<

27、解：（1）∵定义域{x | x ≠ kπ，k ∈Z }关于原点对称， 又f （- x ） = f [（a - x ） - a ]=

f (a －x )·f (a )＋1f (a )－f (a －x )= 1＋f (a －x )

1－f (a －x )

=

1＋f (a )·f (x )＋1 f (x )－f (a )1－f (a )·f (x )＋1 f (x )－f (a ) = 1＋

1＋f (x ) f (x )－11－

1＋f (x ) f (x )－1 = 2f (x )

－2 = - f （x ），对于定义域内的每个x

值都成立

∴ f （x ）为奇函数

------------------------------------------------------------------------------------（4分）

（2）易证：f （x + 4a ） = f （x ），周期为4a ．------------------------------------------（8分）

（3）f （2a ）= f （a + a ）= f [a -（- a ）]= f (a )·f (－a )＋1f (－a )－f (a ) = 1－f 2(a )

－2f (a ) =

0，

f （3a ）= f （2a + a ）= f [2a -（- a ）]=

f (2a )·f (－a )＋1f (－a )－f (2a )= 1

－f (a )

=

- 1．

先证明f （x ）在[2a ，3a ]上单调递减为此，必须证明x ∈（2a ，3a ）

时，f （x ） < 0，

设2a < x < 3a ，则0 < x - 2a < a ，

∴ f （x - 2a ）=

f (2a )·f (x )＋1f (2a )－f (x )

= - 1

f (x ) > 0，∴ f （x ）<

0---------------------（10分）

设2a < x 1 < x 2 < 3a ，

则0 < x 2 - x 1 < a ，∴ f （x 1）< 0 f （x 2）< 0 f （x 2 - x 1）> 0，

∴ f （x 1）- f （x 2）=

f (x 1)·f (x 2)＋1

f (x 2－x 1)

> 0，∴ f （x 1）> f （x 2），

∴ f （x ）在[2a ，3a ]上单调递减

--------------------------------------------------（12分） ∴ f （x ）在[2a ，3a ]上的最大值为f （2a = 0，最小值为f （3a ）= - 1

28、解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由230PM MQ += 得P(0，2y -)，Q(,03

x

).

由0,RP PM ?= 得(3，2y -)2(x ，32

y

)＝0,即

x y 42=

又点Q 在x 轴的正半轴上，0>∴x 故点M 的轨迹C 的方程是

24(0)y x x =>.… …6分

（Ⅱ）解法一：由题意可知N 为抛物线C:y 2＝4x 的焦点，且A 、B 为过焦点N 的直线与抛物线C 的两个交点。

当直线AB 斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|16

43

=<，不合题意；………7分

当直线AB 斜率存在且不为0时，设: (1)AB l y k x =-，代入24y x =得

2

2

2

2

2(2)0k x k x k -++=

则|AB|

2122

22(2)416

2243k x x k k

+=++=+=+=,解得

32=k …………………10分

代入原方程得031032

=+-x x ，由于11>x ，所以1213,3

x x ==,

由

AB AN

λ= ，得

2111

343313

N x x x x λ-

-==

=--. ……………………13分 解法二：由题设条件得

?????

?

?????

=-+--=--=-==)

5(316)()()4()3()1()2(4)1(42

122121

1

211222

2121y y x x y

y y x x x x y x y λλ 分

化简后可得

）

）并结合（）代入（）、（同样把（分

）代入上式并化简得

再把（）得代入（）得）、（由（11)7(3

16

)1(15439)6(1

)1(1)

1(44)1(2)1()

1(4311112121

2112 =

+=--+=-??

?-=-+=λλλλλλx x x x y y y x x x

由（6）、（7）解得?????

==3341

x λ或???

??==3141x λ，又11

>x ，故34=λ.

29、解：（Ⅰ）设椭圆W 的方程为22

221x y a b

+=，由题意可知

222

2

,26,c a a b c a c ?=???=+????=??

解得a =2c =

，b = 所

以

椭

圆

W

的

方

程为

22

162

x y +=．……………………………………………4分 （Ⅱ）解法1：因为左准线方程为2

3a x c

=-=-，所以点M 坐标为(3,0)-.于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+．

22

(3),

16

2y k x x y =+???+=??得2222

(13)182760k x k x k +++-=. 由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知

2222(18)4(13)(276)0k k k ?=-+->，解得22

3

k <

． 设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ,

则2

1221813k x x k -+=

+，2122

276

13k x x k

-=+，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+．

因为(2,0)F -，11(,)C x y -，

所以11(2,)FC x y =+- ，22(2,)FB x y =+

.

18

又因为

1(2)(2)

x y x y +-+

-1

(2)(3x k x x =+++ 1212[25()12]k x x x x =+++22

22

541290[

12]1313k k k k k --=++++ 2222

(5412901236)

013k k k k k

--++==+， 所以C F F

λ=

．…………10分 解法2：因为左准线方程为2

3a

x c

=-

=-，所以点M 坐标为(3,0)-. 于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+，点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，

22(,)x y ,

则点C 的坐标为11(,)x y -，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 由椭圆的第二定义可得

22113||

||||3||

x y FB FC x y +==

+, 所

以

B

，

F

，

C

三点共线，即

CF FB λ=

．…………………………………10分

(Ⅲ)由题意知

1211

||||||||22

S MF y MF y =

+121

||||2

MF y y =

?+121

|()6|2

k x x k =++ 2

3||13k k =

+313||||

k k =≤=+，当且仅当2

13k =时“=”成立， 所以MBC ?面积S 的最大值为

32

． 30、解：（I ）将P （1，－1）代入抛物线C 的方程2ax y =得a =－1， ∴抛物线C 的方程为2x y -=，即.2y x -=

焦点坐标为F （0，－

4

1

）.……………………………………4分 （II ）设直线PA 的方程为)1(11-=+x k y ，

联立方程???-=-=+.

),1(12

1x y x k y 消去y 得,01112

=--+k x k x 则.1,111111--=--=?k x k x 即

由.2,0)2()1(412

112

1-≠>+=---=?k k k k 得………………7分

同理直线PB 的方程为),1(12-=+x k y

联立方程??

?-=-=+.

),

1(12

2x y x k y 消去y 得,01222

=--+k x k x

则.2.1,1122222-≠--=--=?k k x k x 且即

又.2,0121≠∴=+k k k …………………………9分

设点M 的坐标为（x ，y ），由.2

,2

1x x x +=

=则

.2

)

(22112121k k k k x +--=----=

又.1,021-=∴=+x k k …………………………………………11分

.

5,2,

1)1(2)1()1(2)1()1(22121212122212

22121-≠∴±≠-≤+-=-----=

-----=--=+=y k k k k k k x x y y y 又

∴所求M 的轨迹方程为：).51(1-≠-≤-=y y x 且

31．解：（Ⅰ）2()2f x ax bx c '=++，由题意及导数的几何意义得

(1)20f a b c '=++=， （1）

2()2f m am bm c a

'=++=-，

（2） ………………2分

又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即40

4a c <<，故0,0,a c <> ………3分

由（1）得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得

113b a

-<<，

（3） ……………………4分

将2c a b =--代入（2）得2

220a m

b m b +-=，即方程

2220ax bx b +-=有实根．

故其判别式2480b ab ?=+≥得

2b

a

-≤，或

b a

≥0，

（4） ……………………5分

由（3），（

4

）

得

01b

a

<≤； ……………………6分

（Ⅱ）由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '?=->， 知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ， 又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根，则有根与

系数的关系得

122122,10b b

x x x x a a

+=-

=--<<， ……………………9分

当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>， 故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2b s t x x a -=-=+

，由（Ⅰ）知01b

a

<≤得||s t -的取值范围为[2,4)；…12分

（Ⅲ）由()0f x a '+<，即220ax bx a c +++<，即2220ax bx b +-<，

因为0a <，则2220b b x x a a +?

-?>，整理得2(22)0b

x x a

-+>， 设2()(22)b b g x x a a

=-+，可以看作是关于b

a 的一次函数，

由题意()0b g a >对于01b

a

<≤恒成立，

故(1)0,(0)0,g g -??>?≥ 即2

2220,

0,

x x x ?-??>??≥+

得1x ≤

或1x ，

由题意，[,)(,1]1,)k +∞?-∞+∞ ，

故

1k ，因此k 的最小值

为

1． ……………………16分

19

32．（本小题满分12分） 解：（1）依题意，随机变量ξ的取值是0，1，6，8．

P(ξ=0)=01.，P(ξ=1)=3098.?，P(ξ=6)= 3098.?，P(ξ=8)= 2

098

.?． 得ξ分布列： ……6分

（2）

E ξ=001.?+

3098.??1+3098.??6+2

098

.??842.≈．……12分 33．（本小题满分14分）

解：（1）∵222c a b =-，∴224c m =．……2分 又∵021=?PF ∴12PF PF ⊥，…………3分 ∴()2

2

2

2

12216PF PF c m +==． (5)

分

由椭圆定义可知122PF PF a +==，

()

2

22

1

2

16824PF

PF m m +=+=，…6分

从而得21m =，2244c m ==，

2c =． ∴()120F -，、()220F ，． …………7分

（2）∵

F 1（-2，0），F 2（2，0），

由已知：1QF =，即2

2

12QF QM =，所以有：

(

)

2

2

1221QF QF =-，设P （x ，y ）， …9分 则

()

()2

2

2

2

2221x y x y ??++=-+-??

，…12分

即()2

2

632x y -+=（或221240x y x +-+=）

综上所述，所求轨迹方程为：()2

2

632x y -+=．…14分

34．（本小题满分14分）

解：（1）由a n ＋1＝a n ＋6a n －1，a n ＋1＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1) (n≥2) ∵a 1＝5，a 2＝5 ∴a 2＋2a 1＝15

故数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分

（2）由（1）得a n ＋1＋2a n ＝5·3n 由待定系数法可得(a n ＋1－3n ＋

1)＝－2(a n －3n )

即a n －3n ＝2(－2)n －1 故a n ＝3n ＋2(－2)n －

1＝3n －(－2)n ………9分

（3）由3n

b n ＝n(3n

－a n )＝n[3n

－3n

＋(－2)n

]＝n(－2)n

，∴b n ＝n(－2

3

)n

令S n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝23＋2(23)2＋3(23)3＋…＋n(2

3)n

23S n ＝(23)2＋2(23)3＋…＋(n －1)(23)n ＋n(23)n ＋

1 …………11分

得13S n ＝23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)n －n(23)n+1＝23[1－(2

3)n ]1－

23－n(23)n+1＝2[1－(2

3

)n ]－n(23

)n+1 ∴ S n ＝6[1－(23)n ]－3n(2

3

)n+1＜6

要使得|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＜m 对于n ∈N ＊

恒成立，只须m≥6 …14分

35．（本小题满分14分）

解：（1）

2

21212()24x x k x x +≤=

，当且仅当122k x x ==时等号成立， 故u 的取值范围为

2

(0,]

4k ．……5分 （2）解法一（函数法）

121212121221

111

(

)()x x x x x x x x x x x x --=+-- 22

22121212121212111

22

x x k k x x x x u x x x x x x u

+--=+-=-+=-+……6分

由2

04k u <≤，又1k ≥，210k -≥，∴2

1()2k f u u u -=-+在2(0,]4

k 上是增函数， ……7分

所以

121211()()x x x x --=212

k u u

--+2222

2214222()4424

k k k k k k k -≤-+=-+=- 即当1k ≥时不等式21212112

(

)()()2k x x x x k

--≤-成立． ………9分 解法二（不等式证明的作差比较法）

2

2112()()()2k x k --=21212212

211424x x k x x x x x x k +----+ 2

121221

()(2)4x x k x

x x x --+-2212121212

4()4k x x x x x x ---，

将22

12124()k x x x x -=-代入得

21212112()()()2k x x x x k ----2221212212

()(44)4x x k x x k k x x ---=， ……6分

∵212()0x x -≥，1k ≥时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<，

∴22212122

12

()(44)

04x x k x x k k x x ---≤， 即当1k ≥时不等式21212112

(

)()()2k x x x x k

--≤-成立．……………9分 （3）解法一（函数法）

记121211()()x x x x --=212()k u f u u -++=，则22

2()()22

k k f k -=，

即求使2()()4k f u f ≥对2

(0,]4

k u ∈恒成立的k 的范

围． …………10分 由（2）知，要使21212112

()()()2k x x x x k

--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立，必有01k <<， 因此210k ->，

20

∴函数2

1()2k f u u u

-=++

在

上递减，在)+∞上递

增，………12分

要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f ≥

，必有2

4k ≤，即

4216160k k +-≤，

解得208k <≤． ……………14分 解法二（不等式证明的作差比较法）

由(2)可知21212112()()()2k x x x x k ----=2221212212

()(44)

4x x k x x k k x x ---，

要不等式恒成立，必须2

2

12440k x x k --≥恒成立， …………10分

即2

122

44k x x k

-≤恒成立， …………11分

由21204k x x <≤得22

2

444k k k -≤

，即4216160k k +-≤， …………13分

解得2

08k <≤． 因此不等式21212112

(

)()()2k x x x x k

--≥-恒成立的2k

的范围是208k <≤． ……14分

36、解：(1）设椭圆的焦距为2c ,因为36

=a c ，所以有322

22=-a

b a ，故有2

2

3b a =。从而椭圆C 的方程可化为：22233b y x =+ ① ………2分 易知右焦点F 的坐标为（0,2b ）， 据题意有

AB

所在的直线方程为：b x y 2-=

② ………3分

由①，②有：032642

2

=+-b bx x ③

设),(),,(2211y x B y x A ，弦AB 的中点),(00y x N ，由③及韦达定理有：

.4

2

2,423200210b b x y b x x x -=-==+=

所

以

3

1

00-==

x y K ON ，即为所

求。 ………5分

(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数μλ,，使得等式

μλ+=成立。设),(y x M ，由1）中各点的坐标有：),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，

所以2121,y y y x x x μλμλ+=+=。 ………7分 又点在椭圆C 上，所以有2

2

212

213)(3)(b y y x x =+++μλμλ

整理为2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ。

④

由③有：4

3,2232

2121b x x b x x =

?=+。所以 0

6936)(234)2)(2(332222212121212121=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤

又A ﹑B 在椭圆上，故有22

22

222

12

13)3(,3)3(b y x b y x =+=+ ⑥ 将

⑤

，

⑥

代

入

④

可

得

：

122=+μλ。 ………11分

对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式μλ+=成立，而122=+μλ

在直角坐标系y o x --中，取点P （μλ,），设以x 轴正半轴为始边，以射线OP 为终边的角为θ，显然 θμθλsin ,cos ==。也就是：对于椭圆C 上任意一点M ，总存在角θ（θ∈R ）使等式：＝cos θ＋

sin θ成立。

37、（1）解法一：设1|2|||),,(-+=y MF y x M 则由题设得，

…………1分

即1|2|)1(2

2-+=-+y y x

当y

x y y x y 4,1)1(,2222=+=-+-≥化简得时；

…………3分

当,

3)1(,222--=-+-

…………4分

化简得3882-<+=y y x 与不合 故

点

M

的

轨

迹

C

的

方

程

是

y

x 42=

…………5分

（1）解法二：2:)0,1(-=y l F M 的距离比它到直线到点点 的距离小于1，

∴点M 在直线l 的上方，

点M 到F （1，0）的距离与它到直线1:-='y l 的距离相等

…………3分

为准线的抛物线为焦点是以的轨迹点l F C M '∴, 所

以

曲

线

C

的

方

程

为

y

x 42=

…………5分 （2）当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意，

设直线m 的方程为)22(),2(2k kx y x k y -+=-=-即， 代入

)1(84422=-+-=k kx x y x 得 （☆）

21

…………6分

m R k k k 直线所以恒成立对,,0)22(162∈>+-=?与曲线C 恒有

两个不同的交点

设交点A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， 则)

1(8,42121-==+k x x k x x

…………7分

①由的中点是弦得点且AB P 1,==λλ，

1,44,421=-∴===+∴y x m k k x x 的方程是直线得则

…………9分

②

)

22)(1(4]4))[(1()()(||22122122212212+-+=-++=-+-=k k k x x x x k y y x x AB

点O 到直线m 的距离2

1|22|k k d +-=

，

242)1()1(422|1|4||2

1

-+-=+--=?=

∴?k k k k k d AB S ABO …………10分

24)1()1(4,2424=-+-∴=?k k S ABO ，

2)1(1)1(,02)1()1(2224-=-=-=--+-∴k k k k 或（舍去）

2

0==∴k k 或

…………12分

当,0时=k 方程（☆）的解为22±

若2231

22222,22,2221-=---=

-==λ则x x

若2

232

22222,22,2221+=-+=

=-=λ则x x

…………13分

当,2时=k 方程（☆）的解为224± 若2232

22222,224,22421+=---=

-=+=λ则x x

若2

232

22222,224,22421-=++-=

+=-=λ则x x

…………14分

所以，223223-=+=λλ或

38、解：（1） 点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2

+=的图像上，

∴2*2()n S n n n N =+∈,

当n 2≥时，12 1.n n n a S S n -=-=+

当ｎ＝1时，113a S ==满足上式，所以数列}{n a 的通项公式为

2 1.n a n =+…….3分

（2）由x x x f 2)(2

+=求导可得()22f x x =+‘

过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ，22n k n ∴=+.

24(21)4n k n n n b a n ∴=?+?＝.

12343445447421)4n n ∴=??+??+??+????+?n T +4（①

由

①

34

，得

2

3

4443445n n +

=

??+??

n T +4（② ①-②得：

()231

343424421)4n n n +??-=?+?++???+???

n T +4-（

2

1141434221)414n n n -+??-=?+?+???

-??

（4）-（

26116

499

n n ++∴=

?-n T ………..7分 （

3

）{22,},{42,}

Q x x n n N R x x n n N **==+∈==+∈ ,

Q R R ∴?=.

又n c Q R ∈? ，其中1c 是R Q ?中的最小数，16c ∴=.

{}n c 是公差是4的倍数，*1046()c m m N ∴=+∈.

又10110115c << ，*

11046115

m m N <+

设等差数列的公差为d ，则1011146

121019

c c

d ---＝

＝＝，

6(1)12126n c n n ∴=++?=-，所以

{}

n c 的通项公式为

126n c n =-…………12分

39、解：① 113210n n n S S S +--++=?112()1n n n n S S S S +--=--

?

121(n n a a n +=-≥

---------2分 又

123

,2

2

a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈?112(1)n n a a +-=-（*n N ∈）

∴数列{}1n a -是公比为2，首项为11

12

a -=的等比数列

----------- 4分

12

1

1222

n n n a ---=?=

-------------- 6分

②12...n n S a a a =+++()()()()

1012212121...21n --=++++++++

②12...n n S a a a =+++

()(

)()

()

1012212121...21n --=++++++++ (

)

10

12

222 (2)

n n --=++++ 21

2

n n -=

+ -------------（9分）

于是111212lim lim lim 212

2222n

n n n x x x n n

S n a -→∞→∞→∞-

--===++ ---------------（12分）

40、解：（1）令4

1)21(21==

f x 的 令)1

(

)1(21)11()1(1n

n f n f n f n f n x -+==-+=得 （2）)1()1

(

)1()0(f n n f n f f a n +-+++= 又)0()1

()1()1(f n

f n n f f a n +++-+= ，两式相加