2016年广东省广州市中考数学试卷

2016年广东省广州市中考数学试卷

一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）

1．（3分）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）

A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元 2．（3分）如图所示的几何体左视图是（ ）

A． B． C． D．

3．（3分）据统计，2015年广州地铁日均客运量均为6 590 000人次，将6 590 000用科学记数法表示为（ ） A．6.59×104

B．659×104

C．65.9×105

D．6.59×106

4．（3分）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A．

B． C． D．

5．（3分）下列计算正确的是（ ） A．C．2

B．xy2÷

D．（xy3）2=x2y6

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6．（3分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ） A．v=320t B．v=

C．v=20t

D．v=

7．（3分）如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD=（ ）

A．3 B．4 C．4.8 D．5

8．（3分）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）

A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0 9．（3分）对于二次函数y=﹣

+x﹣4，下列说法正确的是（ ）

A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点

10．（3分）定义运算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b?b﹣a?a的值为（ ） A．0

二．填空题．（本大题共六小题，每小题3分，满分18分．） 11．（3分）分解因式：2a2+ab= ． 12．（3分）代数式

有意义时，实数x的取值范围是 ．

B．1

C．2

D．与m有关

13．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm．

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14．（3分）分式方程的解是 ．

15．（3分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12

，OP=6，则劣弧AB的长为 ．

16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论： ①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5

其中正确的结论是 ．

三、解答题

17．（9分）解不等式组

并在数轴上表示解集．

18．（9分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．

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19．（10分）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组各项得分如表： 小组 甲 乙 丙 研究报告 91 81 79 小组展示 80 74 83 答辩 78 85 90 （1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；

（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？ 20．（10分）已知A=（1）化简A；

（2）若点P（a，b）在反比例函数y=﹣的图象上，求A的值．

21．（12分）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

（a，b≠0且a≠b）

22．（12分）如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30

m到达A′处，

（1）求A，B之间的距离；

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（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1） （1）求直线AD的解析式；

（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．

24．（14分）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B

（1）求m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标； （3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．

25．（14分）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45° （1）求证：BD是该外接圆的直径； （2）连结CD，求证：

AC=BC+CD；

上，且不

（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

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2016年广东省广州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）

1．（3分）（2016?广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）

A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

【解答】解：根据题意，收入100元记作+100元， 则﹣80表示支出80元． 故选：C．

【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

2．（3分）（2016?广州）如图所示的几何体左视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据几何体的左视图的定义判断即可． 【解答】解：如图所示的几何体左视图是A，

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故选A．

【点评】本题考查了由几何体来判断三视图，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．

3．（3分）（2016?广州）据统计，2015年广州地铁日均客运量均为6 590 000人次，将6 590 000用科学记数法表示为（ ） A．6.59×104

B．659×104

C．65.9×105

D．6.59×106

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将6 590 000用科学记数法表示为：6.59×106． 故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2016?广州）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A．

B． C． D．

【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可． 【解答】解：∵共有10个数字， ∴一共有10种等可能的选择， ∵一次能打开密码的只有1种情况， ∴一次能打开该密码的概率为故选A．

【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

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．

5．（3分）（2016?广州）下列计算正确的是（ ） A．C．2

B．xy2÷

D．（xy3）2=x2y6

【分析】分别利用二次根式加减运算法则以及分式除法运算法则和积的乘方运算法则化简判断即可． 【解答】解：A、B、xy2÷C、2

+3

无法化简，故此选项错误；

=2xy3，故此选项错误； ，无法计算，故此选项错误；

D、（xy3）2=x2y6，正确． 故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及分式除法运算和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

6．（3分）（2016?广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ） A．v=320t B．v=

C．v=20t

D．v=

【分析】根据路程=速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题． 【解答】解：由题意vt=80×4， 则v=故选B．

【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型．

7．（3分）（2016?广州）如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC

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．

的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD=（ ）

A．3 B．4 C．4.8 D．5

【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．

【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴BC2+AC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形， ∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线， ∴DE=3， ∴AD=DC=故选：D．

=5．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD的长是解题关键．

8．（3分）（2016?广州）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）

A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0

【分析】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题． 【解答】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0，

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∴ab＜O，故A错误， a﹣b＜0，故B错误， a2+b＞0，故C正确，

a+b不一定大于0，故D错误． 故选C．

【点评】本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型．

9．（3分）（2016?广州）对于二次函数y=﹣

+x﹣4，下列说法正确的是（ ）

A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点

【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解． 【解答】解：∵二次函数y=﹣又∵a=﹣＜0

∴当x=2时，二次函数y=﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3． 故选B．

【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

10．（3分）（2016?广州）定义运算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b?b﹣a?a的值为（ ） A．0

B．1

C．2

D．与m有关

+x﹣4可化为y=﹣（x﹣2）2﹣3，

【分析】（方法一）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．

（方法二）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b?b﹣a?a=（a﹣b）（a+b﹣1），代入a+b=1即可得出结论．

（方法三）由一元二次方程的解可得出a2﹣a=﹣m、b2﹣b=﹣m，根据新运

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算找出b?b﹣a?a=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a），代入后即可得出结论． 【解答】解：（方法一）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根， ∴a+b=1，

∴b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0． （方法二）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根， ∴a+b=1．

∵b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b﹣b2﹣a+a2=（a2﹣b2）+（b﹣a）=（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）=（a﹣b）（a+b﹣1），a+b=1， ∴b?b﹣a?a=（a﹣b）（a+b﹣1）=0．

（方法三）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根， ∴a2﹣a=﹣m，b2﹣b=﹣m，

∴b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a）=m﹣m=0． 故选A．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．

二．填空题．（本大题共六小题，每小题3分，满分18分．） 11．（3分）（2016?广州）分解因式：2a2+ab= a（2a+b） ． 【分析】直接把公因式a提出来即可． 【解答】解：2a2+ab=a（2a+b）． 故答案为：a（2a+b）．

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．

12．（3分）（2016?广州）代数式

有意义时，实数x的取值范围是 x≤9 ．

【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得，9﹣x≥0， 解得，x≤9，

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故答案为：x≤9．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

13．（3分）（2016?广州）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 13 cm．

【分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm，进而得出BE=EF=4cm，进而求出答案．

【解答】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF， ∴EF=DC=4cm，FC=7cm， ∵AB=AC，BC=12cm， ∴∠B=∠C，BF=5cm， ∴∠B=∠BFE， ∴BE=EF=4cm，

∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）． 故答案为：13．

【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出BE的长是解题关键．

14．（3分）（2016?广州）分式方程

的解是 x=﹣1 ．

的解，记住最后要进

【分析】根据解分式方程的方法可以求得分式方程行检验，本题得以解决． 【解答】解：

方程两边同乘以2x（x﹣3），得 x﹣3=4x

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解得，x=﹣1，

检验：当x=﹣1时，2x（x﹣3）≠0， 故原分式方程的解是x=﹣1， 故答案为：x=﹣1．

【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确解分式方程的解得方法，注意最后要进行检验．

15．（3分）（2016?广州）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12

，OP=6，则劣弧AB的长为 8π ．

【分析】连接OA、OB，由切线的性质和垂径定理易得AP=BP=角三角函数的定义可得∠AOP=60°，利用弧长的公式可得结果． 【解答】解：连接OA、OB， ∵AB为小⊙O的切线， ∴OP⊥AB， ∴AP=BP=∵

∴∠AOP=60°，

∴∠AOB=120°，∠OAP=30°， ∴OA=2OP=12， ∴劣弧AB的长为：故答案为：8π．

=

=8π．

=， ，

，由锐

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【点评】本题主要考查了切线的性质，垂径定理和弧长公式，利用三角函数求得∠AOP=60°是解答此题的关键．

16．（3分）（2016?广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论： ①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5

其中正确的结论是 ①②③ ．

【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，

∵△DHG是由△DBC旋转得到，

∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°， 在RT△ADE和RT△GDE中，

，

∴AED≌△GED，故②正确， ∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG， ∴∠AED=∠AFE=67.5°，

∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF， ∴AE=EG=GF=FA，

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∴四边形AEGF是菱形，故①正确，

∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确． ∵AE=FG=EG=BG，BE=∴BE＞AE， ∴AE＜，

∴CB+FG＜1.5，故④错误． 故答案为①②③．

AE，

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．

三、解答题

17．（9分）（2016?广州）解不等式组

并在数轴上表示解集．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来． 【解答】解：解不等式2x＜5，得：x＜， 解不等式3（x+2）≥x+4，得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜， 将不等式解集表示在数轴上如图：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，

第16页（共28页）

熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18．（9分）（2016?广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．

【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴AO=OB， ∵AB=AO， ∴AB=AO=BO，

∴△ABO是等边三角形， ∴∠ABD=60°．

【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．

19．（10分）（2016?广州）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组各项得分如表： 小组 研究报告 小组展示 第17页（共28页）

答辩

甲 乙 丙 91 81 79 80 74 83 78 85 90 （1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；

（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？

【分析】（1）根据表格可以求得各小组的平均成绩，从而可以将各小组的成绩按照从大到小排列；

（2）根据题意可以算出各组的加权平均数，从而可以得到哪组成绩最高． 【解答】解：（1）由题意可得， 甲组的平均成绩是：乙组的平均成绩是：丙组的平均成绩是：

（分）， （分）， （分），

从高分到低分小组的排名顺序是：丙＞甲＞乙； （2）由题意可得， 甲组的平均成绩是：乙组的平均成绩是：丙组的平均成绩是：

由上可得，甲组的成绩最高．

【点评】本题考查算术平均数、加权平均数、统计表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

20．（10分）（2016?广州）已知A=（1）化简A；

（2）若点P（a，b）在反比例函数y=﹣的图象上，求A的值．

【分析】（1）利用完全平方公式的展开式将（a+b）2展开，合并同类型、消元即

第18页（共28页）

（分）， （分）， （分），

（a，b≠0且a≠b）

可将A进行化解；

（2）由点P在反比例函数图象上，即可得出ab的值，代入A化解后的分式中即可得出结论． 【解答】解：（1）A=

，

=，

==

．

，

（2）∵点P（a，b）在反比例函数y=﹣的图象上， ∴ab=﹣5， ∴A=

=﹣．

【点评】本题考查了分式的化解求值以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）将原分式进行化解；（2）找出ab值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原分式进行化解，再代入ab求值即可．

21．（12分）（2016?广州）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【分析】利用尺规作∠EAC=∠ACB即可，先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明CD∥AB即可．

【解答】解：图象如图所示，

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∵∠EAC=∠ACB， ∴AD∥CB， ∵AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD．

【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型．

22．（12分）（2016?广州）如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30（1）求A，B之间的距离；

（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．

m到达A′处，

【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过A′作A′E⊥BC交BC的延长线于E，连接A′D，于是得到A′E=AC=60，CE=AA′=30，在Rt△ABC中，求得DC=结论．

【解答】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt△ABC中，AC=60m，

AC=20

，然后根据三角函数的定义即可得到

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∴AB===120（m）；

（2）过A′作A′E⊥BC交BC的延长线于E，连接A′D， 则A′E=AC=60，CE=AA′=30

，

在Rt△ABC中，AC=60m，∠ADC=60°， ∴DC=∴DE=50

AC=20，

=

=

．

．

，

∴tan∠AA′D=tan∠A′DC=

答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值是

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．

23．（12分）（2016?广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1） （1）求直线AD的解析式；

（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．

【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；

（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，

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1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到代入数据即可得到结论．

【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b， 将A（，），D（0，1）代入得：

，

或，

解得：．

故直线AD的解析式为：y=x+1；

（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0）， ∴OB=2，

∵点D的坐标为（0，1）， ∴OD=1，

∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0）， ∴OC=3， ∴BC=5

∵△BOD与△BEC相似， ∴∴

=

=

或或

， ， ，或CE=，

∴BE=2，CE=

∵BC?EF=BE?CE， ∴EF=2，CF=

=1，

∴E（2，2），或（3，）．

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【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．

24．（14分）（2016?广州）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B （1）求m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标； （3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．

【分析】（1）根据题意得出△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，得出1﹣4m≠0，解不等式即可；

（2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要x2﹣2x﹣3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=﹣1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）； （3）由|AB|=|xA﹣xB|得出|AB|=|﹣4|，由已知条件得出≤＜4，得出0＜|﹣4|≤

，因此|AB|最大时，|

|=

，解方程得出m=8，或m=

（舍

去），即可得出结果．

【解答】（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去； 当m≠0时，

∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B， ∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0， ∴1﹣4m≠0， ∴m≠，

∴m的取值范围为m≠0且m≠；

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（2）证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m， ∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，

抛物线过定点说明在这一点y与m无关， 显然当x2﹣2x﹣3=0时，y与m无关， 解得：x=3或x=﹣1，

当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）； 当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0）， ∵P不在坐标轴上， ∴P（3，4）；

（3）解：|AB|=|xA﹣xB|=

=

=

==||=|﹣4|，

∵＜m≤8， ∴≤＜4， ∴﹣

≤﹣4＜0，

，

|=

，

∴0＜|﹣4|≤∴|AB|最大时，|

解得：m=8，或m=（舍去），

，

∴当m=8时，|AB|有最大值

此时△ABP的面积最大，没有最小值， 则面积最大为：|AB|yP=×

×4=

．

【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点P的坐标是解决问题的关键．

25．（14分）（2016?广州）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在

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上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45° （1）求证：BD是该外接圆的直径； （2）连结CD，求证：

AC=BC+CD；

（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°；

（2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAF是等腰直角三角形即可得出结论；

（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=

AM，然后再证明△ABF≌

△ADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系． 【解答】解：（1）∵∴∠ACB=∠ADB=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠BAD=90°，

∴BD是△ABD外接圆的直径；

=，

（2）在CD的延长线上截取DE=BC， 连接EA，

∵∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD，

∵∠ADE+∠ADC=180°，

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∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADE， 在△ABC与△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE=90°， ∵

=

∴∠ACD=∠ABD=45°， ∴△CAE是等腰直角三角形， ∴∴

AC=CE，

AC=CD+DE=CD+BC；

（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，

由对称性可知：∠AMB=∠ACB=45°， ∴∠FMA=45°，

∴△AMF是等腰直角三角形， ∴AM=AF，MF=

AM，

∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB， ∴∠FAB=∠MAD， 在△ABF与△ADM中，

，

∴△ABF≌△ADM（SAS）， ∴BF=DM， 在Rt△BMF中，

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∵BM2+MF2=BF2， ∴BM2+2AM2=DM2．

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．

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参与本试卷答题和审题的老师有：nhx600；王学峰；gbl210；HJJ；弯弯的小河；sd2011；张其铎；曹先生；HLing；知足长乐；zgm666；fangcao；三界无我；家有儿女；神龙杉（排名不分先后） 菁优网

2017年3月1日

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