2011年广东省河源市中考数学试卷

2011年广东省河源市中考数学试卷

一、选择题：每小题3分，共15分.每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．

1．（3分）?A ．?2

1的倒数等于( ) 2B ． 2 C ．?1 2D ．

1 22．（3分）下列各式运算正确的是( ) A．a2?a3?a5

B．a2a3?a5

C．(ab2)3?ab6

D．a10?a2?a5

3．（3分）如图是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是( )

A． B． C． D．

4．（3分）下列四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A．等边三角形

B．平行四边形

C．等腰梯形

D．正方形

5．（3分）某市五月份连续五天的日最高气温分别为：23、20、20、21、26（单位：?C)，这组数据的中位数和众数分别是( ) A．22?C，26?C

B．22?C，20?C

C．21?C，26?C

D．21?C，20?C

二、填空题：每小题4分，共20分． 6．（4分）4是 的算术平方根． 7．（4分）函数y?1中，自变量x的取值范围是 ． x?18．（4分）我市山清水秀，被誉为绿色明珠，是中国优秀旅游城市，年接待中外游客约5000000人，这个数字用科学记数法表示为 人．

9．（4分）如图，在Rt?ABC中，?B?90?．ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知?BAE?30?，则?C的度数为 ?．

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10．（4分）凸n边形的对角线的条数记作an(n…4)，例如：a4?2，那么：①

4，用n含的代a5? ；②a6?a5? ；③an?1?an? ．(n…数式表示）

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分） 111．（6分）计算：|?3|?(2011??)0?()?1?3cos30?．

312．（6分）化简：(a?b)2?(a?b)2?a(1?4b)

13．（6分）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进200米到点C处，测得B在点C的南偏西60? 的方向上，他们测得东江的宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：2?1.414,3?1.732)

14．（6分）王老师对河东中学九（一)班的某次模拟考试成绩进行统计后，绘制了频数分布直方图．根据图形，回答下列问题：（直接填写结果）

（1）该班有 名学生；

（2）89.5??99.5这一组的频数是 ，频率是 ． （3）估算该班这次数学模拟考试的平均成绩是 ．

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15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A(?4,4)，点B(?4,0)，将?ABO绕原点O按顺时针方向旋转135?得到△A1B1O．回答下列问题：（直接写结果） （1）?AOB? ?；

（2）顶点A从开始到A1经过的路径长为 ； （3）点B1的坐标为 ．

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）

16．（7分）如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．

（1）求证：?DQP∽?CBP；

（2）当?DQP??CBP，且AB?8时，求DP的长．

17．（7分）如图，我市某展览厅东面有两个入口A、B，南面、西面、北面各有一个出口．小华任选择一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开． （1）利用树状图表示她从进入到离开的所有路径； （2）她从入口A进入展厅并从北出口离开的概率是多少？

18．（7分）如图，反比例函数y1?

m(x?0)的图象与一次函数y2??x?b的图象交于点A、x第3页（共17页）

B，其中A(1,2)．

（1）求m，b的值；

（2）求点B的坐标，并写出y2?y1时，x的取值范围．

19．（7分）为了鼓励城区居民节约用水，某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水量不超过20度时(1度?1米3)，水费为a元/度；超过20度时，不超过部分仍为a元/度，超过部分为b元/度．已知某用户四份用水15度，交水费22.5元，五月份用水30度，交水费50元． （1）求a，b的值；

（2）若估计该用户六月份的水费支出不少于60元，但不超过90元，求该用户六月份的用水量x的取值范围．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

20．（9分）如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD?BC．将?ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．

（1）点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由； （2）当AB?4时，求此梯形的面积．

21．（9分）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正?APC和正?PBD．

（1）当?APC与?PBD的面积之和取最小值时，AP? ；（直接写结果）

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设?AQC??，那么?的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；

（3）如图2，若点P固定，将?PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180?)，此时?第4页（共17页）

的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

22．（9分）如图，已知抛物线y?x2?4x?3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C． （1）对于任意实数m，点M(m,?2)是否在该抛物线上？请说明理由； （2）求证：?ABC是等腰直角三角形；

（3）已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2011年广东省河源市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共15分.每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．

1．（3分）?A ．?2

1的倒数等于( ) 2B ． 2

1的倒数是?2． 2C ．?1 2D ．

1 2【解答】解：?故选：A．

2．（3分）下列各式运算正确的是( ) A．a2?a3?a5

B．a2a3?a5

C．(ab2)3?ab6

D．a10?a2?a5

【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能直接合并，故本选项错误；

B、a2a3?a5，计算正确，故本选项正确；

C、(ab2)3?a3b6，原式计算错误，故本选项错误；

D、a10?a2?a8，原式计算错误，故本选项错误；

故选：B．

3．（3分）如图是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是( )

A． B． C． D．

【解答】解：圆柱的主视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，故选C． 4．（3分）下列四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A．等边三角形

B．平行四边形

C．等腰梯形

D．正方形

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．

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故选：D．

5．（3分）某市五月份连续五天的日最高气温分别为：23、20、20、21、26（单位：?C)，这组数据的中位数和众数分别是( ) A．22?C，26?C

B．22?C，20?C

C．21?C，26?C

D．21?C，20?C

【解答】解：把所给数据按照由小到大的顺序排序后为20、20、21、23、26， ?中位数为21，众数为20．

故选：D．

二、填空题：每小题4分，共20分． 6．（4分）4是 16 的算术平方根． 【解答】解：42?16，

?4是16的算术平方根．

故答案为：16． 7．（4分）函数y?1中，自变量x的取值范围是 x?1 ． x?1【解答】解：根据题意得：x?1?0， 解得：x?1． 故答案为：x?1．

8．（4分）我市山清水秀，被誉为绿色明珠，是中国优秀旅游城市，年接待中外游客约5000000人，这个数字用科学记数法表示为 5?106 人． 【解答】解：将5 000 000用科学记数法表示为5?106． 故答案为：5?106．

9．（4分）如图，在Rt?ABC中，?B?90?．ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知?BAE?30?，则?C的度数为 30 ?．

【解答】解：

?AE?CE， ??EAC??C，

第7页（共17页）

ED是AC的垂直平分线，

又?B?90?，?BAE?30?，

??AEB?60?，

又?AEB??EAC??C?2?C，

??C?30?．

故答案为30．

10．（4分）凸n边形的对角线的条数记作an(n…4)，例如：a4?2，那么：①a5? 5 ；②a6?a5? ；③an?1?an? ．(n…4，用n含的代数式表示）

【解答】解：①五边形有 5 条对角线； ②六边形有 9 条对角线，

9?5?4；

③n边形有

n(n?3)条对角线， 2(n?1)(n?2)n?1边形有条对角线，

2(n?1)(n?2)n(n?3)an?1?an???n?1．

22故答案为： 5 ； 4 ；n?1．

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分） 111．（6分）计算：|?3|?(2011??)0?()?1?3cos30?．

3【解答】解：原式?3?1?3?3?3?3?1?3?

21??．

23 212．（6分）化简：(a?b)2?(a?b)2?a(1?4b)

【解答】解：原式?a2?2ab?b2?(a2?2ab?b2)?a?4ab?4ab?a?4ab?a．

13．（6分）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进200米到点C处，测得B在点C的南偏西60? 的方向上，他们测得东江的宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：2?1.414,3?1.732)

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【解答】解：在Rt?ABC中，?BAC?90?，AC?200， tan60??AB， AC?AB?200?3

?200?1.732 ?346（米)

14．（6分）王老师对河东中学九（一)班的某次模拟考试成绩进行统计后，绘制了频数分布直方图．根据图形，回答下列问题：（直接填写结果）

（1）该班有 40 名学生；

（2）89.5??99.5这一组的频数是 ，频率是 ． （3）估算该班这次数学模拟考试的平均成绩是 ． 【解答】解：（1）学生总数?3?4?8?2?12?40；

（2）通过观察发现89.5??99.5这一组的频数是8人， 频率?8?40?0.2；

（3）(64.5?4?74.5?8?84.5?12?94.5?8?104.5?4?114.5?4)?40?87.5（5分） 15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A(?4,4)，点B(?4,0)，将?ABO绕原点O按顺时针方向旋转135?得到△A1B1O．回答下列问题：（直接写结果） （1）?AOB? 45 ?；

第9页（共17页）

（2）顶点A从开始到A1经过的路径长为 ； （3）点B1的坐标为 ．

【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，点A(?4,4)，点B(?4,0)，

?AB?OB?4，?ABO?90?． ??AOB?45?；

（2）在Rt?AOB中，OA?AB2?OB2?42 AA?的长度l?135?42??32?；

180

（3）设OA的中点为C，连接BC． 1则BC?OA．BC?OC?OA?22．

2?B1的横纵坐标相等，OB1?4，

?根据旋转的性质知点B1的坐标为(22，22)．

故答案为：（1）45；（2）32?；（3）(22，22)．

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）

16．（7分）如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．

第10页（共17页）

（1）求证：?DQP∽?CBP；

（2）当?DQP??CBP，且AB?8时，求DP的长．

【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ?AQ//BC， ??QDP??BCP，

又?QPD??BPC， ??DQP∽?CBP；

（2）解：?DQP??CBP， 1?DP?CP?CD，

2AB?CD?8，

?DP?4．

17．（7分）如图，我市某展览厅东面有两个入口A、B，南面、西面、北面各有一个出口．小华任选择一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开． （1）利用树状图表示她从进入到离开的所有路径； （2）她从入口A进入展厅并从北出口离开的概率是多少？

【解答】解：（1）一共有六种情况；

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（2）P（从入口A进入展厅并从北出口离开）?18．（7分）如图，反比例函数y1?1． 6m(x?0)的图象与一次函数y2??x?b的图象交于点A、xB，其中A(1,2)．

（1）求m，b的值；

（2）求点B的坐标，并写出y2?y1时，x的取值范围．

【解答】解：（1）反比例函数y1?mm(x?0)的图象过点A(1,2)，?2?，m?2； x1一次函数y2??x?b的图象过点A(1,2)，?2??1?b，b?3． （2）

2??y?， x???y??x?3?x?1?x?2解得?1，?2，

y?2y?1?1?2?点B(2,1)，

根据图象可得，当1?x?2时，y2?y1．

19．（7分）为了鼓励城区居民节约用水，某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水量不超过20度时(1度?1米3)，水费为a元/度；超过20度时，不超过部分仍为a元/度，超过部分为b元/度．已知某用户四份用水15度，交水费22.5元，五月份用水30度，交水费50元．

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（1）求a，b的值；

（2）若估计该用户六月份的水费支出不少于60元，但不超过90元，求该用户六月份的用水量x的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意得：a?22.5?15?1.5；b?(50?20?1.5)?(30?20)?2；

20?1.5?2(x?20)90， （2）根据题意列不等式组得：60剟x50， 解得：35剟x50． 即该用户六月份的用水量x的取值范围为35剟五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

20．（9分）如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD?BC．将?ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．

（1）点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由； （2）当AB?4时，求此梯形的面积．

【解答】解：（1）点C在以AB为直径的圆上． 理由如下：连接MC，

AB//CD， ??DCA??BAC，

?DAC??BAC，?DCA??MCA， ??DAC??MCA， ?AD//MC，

?四边形AMCD是平行四边形，

?AM?CD，

?ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合， ?DC?MC， ?AM?MC，

点M是AB的中点，

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?AM?BM，

?AM?MC?BM，

?点C在以AB为直径的圆上；

（2）由（1）得四边形AMCD是平行四边形，

?AD?MC， AD?BC， ?MC?BC，

??BCM是等边三角形，

AB?4，

?BC?BM?1AB?2， 2过点C作CE?MB，垂足为E， 1则BE?MB?1，

2由勾股定理得，CE?BC2?BE2?22?12?3， 1?梯形ABCD的面积?(2?4)?3?33．

2

21．（9分）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正?APC和正?PBD．

（1）当?APC与?PBD的面积之和取最小值时，AP? a ；（直接写结果）

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设?AQC??，那么?的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；

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（3）如图2，若点P固定，将?PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180?)，此时?的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

【解答】解：（1）设AP的长是x，则BP?2a?x， ?S1?APC?S?PBD?2x32x?12(2a?x)32(2a?x) ?3x2?3ax?3a22， 当x??b?32a??a?a时?APC与?PBD的面积之和取最小值，2?32故答案为：a；

（2）?的大小不会随点P的移动而变化， 理由：?APC是等边三角形，

?PA?PC，?APC?60?，

?BDP是等边三角形， ?PB?PD，?BPD?60?，

??APC??BPD， ??APD??CPB， ??APD??CPB， ??PAD??PCB，

?QAP??QAC??ACP?120?， ??QCP??QAC??ACP?120?， ??AQC?180??120??60?；

（3）此时?的大小不会发生改变，始终等于60?． 理由：?APC是等边三角形，

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?PA?PC，?APC?60?，

?BDP是等边三角形， ?PB?PD，?BPD?60?，

??APC??BPD， ??APD??CPB， ??APD??CPB， ??PAD??PCB，

?QAP??QAC??ACP?120?， ??QCP??QAC??ACP?120?， ??AQC?180??120??60?．

22．（9分）如图，已知抛物线y?x2?4x?3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C． （1）对于任意实数m，点M(m,?2)是否在该抛物线上？请说明理由； （2）求证：?ABC是等腰直角三角形；

（3）已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）假如点M(m,?2)在该抛物线上， ??2?m2?4m?3， ?m2?4m?5?0，

?△?(?4)2?4?1?5??4?0， ?此方程无实数解，

?点M(m,?2)不会在该抛物线上；

（2）过点C作CH?x轴，交x轴与点H，连接CA、CB，

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如图，当y?0时，x2?4x?3?0，x1?1，x2?3，由于点A在点B左侧， ?A(1,0)，B(3,0)

?OA?1，OB?3，

?AB?2 y?x2?4x?3 ?y?(x?2)2?1，

?C(2,?1)，

?AH?BH?CH?1

在Rt?AHC和Rt?BHC中，由勾股定理得， AC?2，BC?2，

?AC2?BC2?AB2，

??ABC是等腰直角三角形；

（3）存在这样的点P．

根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分， ?点P的纵坐标是1，

点P在抛物线y?x2?4x?3上，

?当y?1时，即x2?4x?3?1，解得x1?2?2，x2?2?2， ?点P的坐标是(2?2，1)或(2?2，1)．

第17页（共17页）

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