2005年广东省中考数学试卷

2005年广东省中考数学试卷（课标卷）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）（2005?中山）计算的结果是﹣1的式子是（ ） 0 A．﹣|﹣1| B． C． ﹣（﹣1） （﹣1） 1D． 1 ﹣2．（3分）（2005?中山）已知⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，两圆的圆心距O1O2为3，则两圆的位置关系是（ ） A．相交 B． 相离 C． 外切 D． 内切 3．（3分）（2005?中山）函数y=与y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点的个数是（ ） A．1个 B． 2个 C． 3个 4．（3分）（2005?中山）如图所示的几何体的左视图是（ ）

D． 0个 A． B． C． D． 5．（3分）（2005?中山）将4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情（ ） A．可能发生 B． 不可能发生 C． 很可能发生 D． 必然发生 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 6．（4分）（2005?中山）长江三峡水电站的总装机容量是18 200 000千瓦，用科学记数法表示为 _________ 千瓦．

7．（4分）（2005?中山）方程x=2x的解是 _________ ． 8．（4分）（2005?中山）若一组数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是 _________ ． 9．（4分）（2005?中山）如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有 _________ 对．

2

10．（4分）（2005?中山）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，则∠P的大小是 _________ 度．

三、解答题（共12小题，满分85分）

22

11．（6分）（2005?中山）分解因式：ax﹣4ay．

12．（6分）（2005?中山）解方程：

13．（6分）（2005?中山）将方格中的图案作下列变换，请画出相应的图案： （1）沿y轴正向平移4个单位； （2）关于y轴轴对称．

14．（6分）（2005?中山）如图，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形长为a米，宽为b米．

（1）分别用代数式表示草地和空地的面积；

（2）若长方形长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留到整数）．

15．（6分）（2005?中山）某电视台的娱乐节目《周末大放送》有这样的翻奖牌游戏，数字的背面写有祝福语或奖金数，游戏规则是：每次翻动正面一个数字，看看反面对应的内容，就可知是得奖还是得到温馨祝福．计算： 正面： 1 4 7 2 5 8 3 6 9 反面： 祝你开心 万事如意 奖金1000元 身体健康 心想事成 奖金500元 奖金100元 生活愉快 谢谢参与 （1）“翻到奖金1000元”的概率； （2）“翻到奖金”的概率； （3）“翻不到奖金”的概率． 16．（7分）（2005?中山）某市选自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交消费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．

（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式； （2）若某用户该月用水21吨，则应交水费多少元？

17．（7分）（2005?中山）如图，为测量小河的宽度，先在河岸边任意取一点A，再在河的另一岸取两点B、C，测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC长为20米．

（1）求小河的宽度（使用计算器的地区，结果保留三位有效数字；不使用计算器的地区，结果保留根号）； （2）请再设计一种测量河宽度的方案，画出设计草图并作简要说明．

18．（7分）（2005?中山）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．

（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，求出a2，a3，a4的值．

（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式．

19．（7分）（2005?中山）初三（1）班某一次数学测验成绩如下：

63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77．

数学老师按10分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数分布直方图． 成 绩 段 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～99.5 频数纪录 丅 正 正正 正正 正 2 9 14 5 频 数 0.050 0.225 0.250 0.350 频 率 （1）请把频数分布表及频数分布直方图补充完整； （2）请说明哪个分数段的学生最多？哪个分数段的学生最少？ （3）请你帮老师统计一下这次数学考试的及格率（60分以上含60分为及格）及优秀率（90分以上含90分为优秀）．

20．（9分）（2005?中山）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点．

（1）求证：四边形MENF是菱形；

（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．

21．（9分）（2005?中山）某夏令营的活动时间为15天，营员的宿舍安装了空调．如果某间宿舍每天比原计划多开2个小时的空调，那么开空调的总时间超过150小时；如果每天比原计划少开2个小时的空调，那么开空调的总时间不足120小时，问原计划每天开空调的时间为多少小时？ 22．（9分）（2005?中山）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上． （1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式； （2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；

（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．

2005年广东省中考数学试卷（课标卷）

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）（2005?中山）计算的结果是﹣1的式子是（ ） ﹣10 A．﹣|﹣1| B． C． ﹣（﹣1） D． （﹣1） 1 考点： 负整数指数幂；相反数；绝对值；零指数幂． 分析： 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0． 任何不等于0的数的0次幂都等于1．一个数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数． 去括号法则：括号前面是负号，括号内的各项符号要改变． 解答： 解：A、原式=﹣1，符合； B、原式=1，不符合； C、原式=1，不符合； D、原式=1，不符合． 故选A． 点评： 此题主要考查了绝对值的定义、去括号法则以及幂运算法则． 2．（3分）（2005?中山）已知⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，两圆的圆心距O1O2为3，则两圆的位置关系是（ ） A．相交 B． 相离 C． 外切 D． 内切 考点： 圆与圆的位置关系． 分析： 根据两圆半径之和与圆心距的大小关系解答． 解答： 解：∵R+r=1+2=3， ∴两圆外切． 故选C． 点评： 本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离（d＞R+r）、内含（d＜R﹣r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）． 3．（3分）（2005?中山）函数y=与y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点的个数是（ ） A．1个 B． 2个 C． 3个 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 数形结合． 分析： 根据反比例函数与正比例函数图象的性质作答． 解答： 解：函数y=中，k＞0时，过一、三象限； D． 0个 y=x的图象过一、三象限． 故有两个交点． 故选B． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，只有正确理解性质才能灵活解题． 4．（3分）（2005?中山）如图所示的几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图． 专题： 压轴题． 分析： 找到从左面看所得到的图形即可． 解答： 解：从左面看可得到左边有2个正方形，中间有1个正方形，右边有1个正方形，所以选A． 点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 5．（3分）（2005?中山）将4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情（ ） A．可能发生 B． 不可能发生 C． 很可能发生 D． 必然发生 考点： 可能性的大小． 专题： 压轴题． 分析： 根据相应事件类型判断可能性即可． 解答： 解：4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里， 若摸到所有的红球与白球共7个，一定还会摸到1个黑球； 若摸到所有的白球与黑球共5个，还会摸到3个红球； 若摸到所有的红球与黑球共6个，还会摸到2个白球； 所以从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是必然事件． 故选D． 点评： 解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．关键是得到相应事件的类型． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

7

6．（4分）（2005?中山）长江三峡水电站的总装机容量是18 200 000千瓦，用科学记数法表示为 1.82×10 千瓦． 考点： 科学记数法—表示较大的数． 专题： 应用题． n分析： 根据科学记数法的定义，将原数写成a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 解答： 解：18 200 000=1.82×107千瓦． 点评： 本题考查的是科学记数法的表示方法．出题人有意联系近期生活的大事出题，而三峡工程十分引人注意． 7．（4分）（2005?中山）方程x=2x的解是 x1=0，x2=2 ． 考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 计算题． 2

分析： 先移项得到x2﹣2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x﹣2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=2． 2解答： 解：∵x﹣2x=0， ∴x（x﹣2）=0， ∴x=0或x﹣2=0， ∴x1=0，x2=2． 故答案为x1=0，x2=2． 点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解． 8．（4分）（2005?中山）若一组数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是 7和8 ． 考点： 众数；算术平均数． 专题： 计算题． 分析： 根据平均数先求出x，再确定众数． 解答： 解：因为数据的平均数是7，所以x=42﹣8﹣9﹣7﹣8﹣3=7． 根据众数的定义可知，众数为7和8． 故填7和8． 点评： 主要考查了众数和平均数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数．要注意本题有两个众数． 9．（4分）（2005?中山）如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有 4 对．

考点： 全等三角形的判定． 专题： 压轴题． 分析： 根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证． 解答： 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AO平分∠BAC， ∴△ODA≌△OEA， ∴∠B=∠C，AD=AE， ∴△ADC≌△AEB， ∴AB=AC， ∴△OAC≌△OAB， ∴△COE≌△OBD． 故填4． 点评： 本题考查了三角形全等的判定方法；提出猜想，验证猜想是解决几何问题的基本方法，做题时要注意从已知条件开始思考结合全等的判定方法逐一判断，做到不重不漏，由易到难． 10．（4分）（2005?中山）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，则∠P的大小是 40 度．

考点： 切线的性质． 专题： 压轴题． 分析： 连接BC，OB，根据PA、PB是⊙O的切线可知∠OAP=∠OBP=90°；再根据直径所对的圆周角是90度可知∠ABC=90°，求得∠C=70°，最后由圆周角定理知∠AOB=2∠C=140°，利用四边形内角和可求得∠P=40°． 解答： 解：连接BC，OB； ∵PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点 ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°； ∵∠BAC=20°， ∴∠C=70°， ∴∠AOB=2∠C=140°， ∴∠P=180°﹣∠AOB=40°． 点评： 本题利用了切线的概念，直径对圆周角是直角，四边形的内角和是360度求解． 三、解答题（共12小题，满分85分）

11．（6分）（2005?中山）分解因式：ax﹣4ay． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 计算题． 分析： 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解答： 解：ax2﹣4ay2， 22

=a（x﹣4y）， =a（x+2y）（x﹣2y）． 点评： 本题关键在于提取公因式后可以利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底． 12．（6分）（2005?中山）解方程：

22 考点： 解分式方程． 专题： 计算题． 分析： 观察可得方程最简公分母为（x﹣2）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答： 解：去分母， 2得：（x+1）+x﹣2=（x﹣2）（x+1） 整理得：4x=﹣1，x=﹣． 经检验x=﹣是原方程的解． 所以原方程的解为x=﹣． 点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 13．（6分）（2005?中山）将方格中的图案作下列变换，请画出相应的图案： （1）沿y轴正向平移4个单位； （2）关于y轴轴对称．

考点： 作图-轴对称变换；作图-平移变换． 专题： 网格型． 分析： （1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可； （2）根据关于y轴轴对称的性质找出各个对应点的坐标，顺次连接即可． 解答： 解： 点评： 本题考查的是平移变换与轴对称变换作图． 作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为： ①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点； ②确定图形中的关键点； ③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点； ④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形． 作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是： ①先确定图形的关键点； ②利用轴对称性质作出关键点的对称点； ③按原图形中的方式顺次连接对称点．

14．（6分）（2005?中山）如图，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形长为a米，宽为b米．

（1）分别用代数式表示草地和空地的面积；

（2）若长方形长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留到整数）．

考点： 列代数式；代数式求值． 分析： （1）草地面积=4×四分之一圆形面积；空地的面积=长方形面积﹣草地面积； （2）把长=300米，宽=200米，圆形的半径=10米代入（1）中式子即可． 解答： 222解：（1）草地面积为：4×πr=πr米， 空地面积为：（ab﹣πr）米； （2）当a=300，b=200，r=10时， ab﹣πr=300×200﹣100π≈59686（米）， 2∴广场空地的面积约为59686米． 点评： 解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．要熟练运用长方形面积和圆面积公式． 15．（6分）（2005?中山）某电视台的娱乐节目《周末大放送》有这样的翻奖牌游戏，数字的背面写有祝福语或奖金数，游戏规则是：每次翻动正面一个数字，看看反面对应的内容，就可知是得奖还是得到温馨祝福．计算： 正面： 1 4 7 2 5 8 3 6 9 反面： 祝你开心 万事如意 奖金1000元 身体健康 心想事成 奖金500元 奖金100元 生活愉快 谢谢参与 （1）“翻到奖金1000元”的概率； （2）“翻到奖金”的概率； （3）“翻不到奖金”的概率． 考点： 概率公式． 专题： 图表型． 分析： 根据概率的求法，找准两点： 1、全部情况的总数； 2、符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 解答： 解：（1）根据题意分析可得：每次翻动正面一个数字共9种情况，其中有1种情况是“翻到奖金1000元”，2222故其“翻到奖金1000元”的概率为； （2）根据题意分析可得：每次翻动正面一个数字共9种情况，其中有3种情况是“翻到奖金”；“翻到奖金“的概率 ；

（3）根据题意分析可得：每次翻动正面一个数字共9种情况，其中有6种情况是“翻不到奖金”“翻不到奖金”的概率． 点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 16．（7分）（2005?中山）某市选自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交消费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．

（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式； （2）若某用户该月用水21吨，则应交水费多少元？

考点： 一次函数的应用． 分析： 先根据待定系数法求得直线OA和AB的解析式为y=x和y=2.5x﹣10.5（x≥15）；某用户该月用水21吨其实就是x=21，代入求解即可． 解答： 解：（1）当0≤x≤15时，过点（0，0），（15，27） 设y=kx， ∴27=15k，∴k=， ∴y=x（0≤x≤15）． 当x≥15时，过点A（15，27），B（20，39.5） 设y=k1x+b 则解得 ∴y=2.5x﹣10.5（x≥15）； （2）∵x=21＞15， ∴y=2.5×21﹣10.5=42（元）． 点评： 主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息． 17．（7分）（2005?中山）如图，为测量小河的宽度，先在河岸边任意取一点A，再在河的另一岸取两点B、C，测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC长为20米．

（1）求小河的宽度（使用计算器的地区，结果保留三位有效数字；不使用计算器的地区，结果保留根号）； （2）请再设计一种测量河宽度的方案，画出设计草图并作简要说明．

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 专题： 应用题；方案型． 分析： （1）做AD⊥BC与D，设公共直角边为未知数，利用特殊的角的三角函数表示出组成BC的各边，相加等于BC的长度即可求得小河的宽度； （2）取一点A，AB⊥BC，量取∠ACB=30°，再测量BC的长，则有AB=BC?tan30°． 解答： 解：（1）过点A作AD⊥BC于点D． 在Rt△ABD中，∵∠ABC=45°， ∴BD=AD， ∵BC=20， ∴CD=BC﹣BD=20﹣AD， 在Rt△ACD中，∠ACD=30°，tan∠ACD=∴AD=CDtan∠ACD， 即AD=（20﹣AD）， ， ∴AD=10（﹣1）≈7.32（米）． 答：小河的宽度约为7.32米； （2）先取点A，测量得∠ABC=90°处取点B，然后取∠ACB=30°，量出BC的长度即可． 点评： 解此题的关键是把实际问题抽象到直角三角形中，利用公共边及特殊的三角函数求解． 18．（7分）（2005?中山）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．

（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，求出a2，a3，a4的值．

（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式．

考点： 勾股定理． 专题： 规律型． 分析： （1）求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4． （2）由（1）知，a2=a1，a3=a2…，an=an﹣1可以找出第n个正方形边长的表达式． 222解答： 解：（1）a2=AC，且在直角△ABC中，AB+BC=AC， ∴a2=a1=， 同理a3=a4=a3=a2=a1=2a1=2， ； （2）由（1）结论可知： a2=a1=， a3=a4=a2=a3=a1=2， a1=2； … 故找到规律 an=a1=． 点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键． 19．（7分）（2005?中山）初三（1）班某一次数学测验成绩如下：

63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77．

数学老师按10分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数分布直方图． 成 绩 段 49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～99.5 频数纪录 丅 正 正正 正正 正 2 9 14 5 频 数 0.050 0.225 0.250 0.350 频 率 （1）请把频数分布表及频数分布直方图补充完整； （2）请说明哪个分数段的学生最多？哪个分数段的学生最少？ （3）请你帮老师统计一下这次数学考试的及格率（60分以上含60分为及格）及优秀率（90分以上含90分为优秀）．

考点： 频数（率）分布直方图；频数与频率；频数（率）分布表． 专题： 阅读型；图表型． 分析： （1）根据直方图的画法可将频数分布直方图补充完整， （2）读图可知在79.5～89这个数段的学生最多；在49.5﹣59这个数段的学生最少． （3）根据频率、频数的关系频率=解答： 解： （1） 成 绩 段 频数纪录 可计算出数学考试的及格率与优秀率． 69.5～79.5 正 正正 2 9 10 频 数 0.050 0.225 0.250 频 率 （2）79.5﹣89数段的学生最多，49.5﹣59数段的学生最少． （3）及格率为：优秀率为：×100%=95%； 49.5～59.5 丅 59.5～69.5 79.5～89.5 正正 14 0.350 89.5～99.5 正 5 0.125 ×100%=12.5%． 点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20．（9分）（2005?中山）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点．

（1）求证：四边形MENF是菱形；

（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．

考点： 等腰梯形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的判定． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据等腰梯形的中位线的性质求出四边形四边相等即可； （2）利用等腰梯形的性质和正方形的性质解答． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AB=CD，∠A=∠D． ∵M为AD的中点， ∴AM=DM．（2分） ∴△ABM≌△DCM．（1分） ∴BM=CM．（1分） ∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点， ∴EN、FN分别为△BMC的中位线， ∴EN=MC，FN=MB， 且ME=BE=MB，MF=FC=MC． ∴EN=FN=FM=EM． ∴四边形ENFM是菱形．（1分） （2）解：结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半． 理由：连接MN， ∵BM=CM，BN=CN， ∴MN⊥BC． ∴MN是梯形ABCD的高．（2分） 又∵四边形MENF是正方形， ∴∠EMF=90°， ∴△BMC为直角三角形． 又∵N是BC的中点， ∴MN=BC．（1分） 即等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半． 点评： 本题比较复杂，涉及面较广，需要同学们把所学知识系统化，提高自己对所学知识的综合运用运用能力． 21．（9分）（2005?中山）某夏令营的活动时间为15天，营员的宿舍安装了空调．如果某间宿舍每天比原计划多开2个小时的空调，那么开空调的总时间超过150小时；如果每天比原计划少开2个小时的空调，那么开空调的总时间不足120小时，问原计划每天开空调的时间为多少小时？ 考点： 一元一次不等式组的应用． 专题： 应用题；压轴题． 分析： 设原计划每天开空调的时间为x小时，依题意可得，解不等式组即可． 解答： 解：设原计划每天开空调的时间为x小时，依题意可得 解得8＜x＜10 答：每天开空调的时间为8＜x＜10小时． 点评： 此题的不等关系比较明显，列不等式组即可．读懂题意，找到相等或不等关系准确的列出式子是解题的关键．

22．（9分）（2005?中山）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上． （1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式； （2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；

（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可． 22（2）设C（x，0），则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x），A（4﹣x，4x﹣x）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法进行求解； （3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底时，共有4个点符合条件． 解答： 解：（1）根据题意，得P（2，4）；M（4，0）． 2设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）+4， 过点M（4，0），则4a+4=0， 222∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）+4=4x﹣x，即y=﹣x+4x； （2）设C（x，0）， 22则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x），A（4﹣x，4x﹣x）． ∵l=2（BC+CD） 2=2[（4﹣2x）+（4x﹣x）] 2=2（﹣x+2x+4） 2=﹣2（x﹣1）+10， ∵当x=1时，l有最大值，即l最大值=10； （3）存在．应该一共存在4个点，OP的垂直平分线与抛物线有两个交点， 以O为圆心，OP为半径作圆，圆与抛物线也有两个交点（除P点以外）， 这四个点都符合题意． 点评： 能够根据已知条件选择恰当的待定系数法求得二次函数的解析式；能够利用建立函数关系式的方法求得周长或面积的最值；若要构成等腰三角形，则已知的边可以当底，也可以当腰．

22．（9分）（2005?中山）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上． （1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式； （2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；

（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可． 22（2）设C（x，0），则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x），A（4﹣x，4x﹣x）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法进行求解； （3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底时，共有4个点符合条件． 解答： 解：（1）根据题意，得P（2，4）；M（4，0）． 2设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）+4， 过点M（4，0），则4a+4=0， 222∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）+4=4x﹣x，即y=﹣x+4x； （2）设C（x，0）， 22则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x），A（4﹣x，4x﹣x）． ∵l=2（BC+CD） 2=2[（4﹣2x）+（4x﹣x）] 2=2（﹣x+2x+4） 2=﹣2（x﹣1）+10， ∵当x=1时，l有最大值，即l最大值=10； （3）存在．应该一共存在4个点，OP的垂直平分线与抛物线有两个交点， 以O为圆心，OP为半径作圆，圆与抛物线也有两个交点（除P点以外）， 这四个点都符合题意． 点评： 能够根据已知条件选择恰当的待定系数法求得二次函数的解析式；能够利用建立函数关系式的方法求得周长或面积的最值；若要构成等腰三角形，则已知的边可以当底，也可以当腰．

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