宁夏中卫市海原县李俊中学2015年中考数学五模试卷(解析版)

2015年宁夏中卫市海原县李俊中学中考数学五模试卷

一、选择题

1．下列计算正确的是（ ）

A．3a2﹣a2=3 B．a6÷a2=a3 C．（a2）3=a5

2．2011年3月11日，日本发生了里氏9.0级大地震，导致当天地球自转时间减少了0.0000016秒，将0.0000016用科学记数法表示为（ ）

A．16×10﹣7 B．1.6×10﹣6 C．1.6×10﹣5 D．0.16×10﹣5

3．不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

D．a2?a3=a5

A．C．

B． D．

4．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A．4

5．2015年达到2160元．某企业退休职工李师傅2013年月退休金为1500元，设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，可列方程为（ ） A．2160（1﹣x）2=1500 B．1500（1+x）2=2160 C．1500（1﹣x）2=2160

D．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160

6．如图，由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是（ ）

B．﹣4 C．1

D．﹣1

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A．

B． C． D．

7．若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ）

A．1.5 B．2

C．3 D．6

8．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=

的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．分解因式：2a2﹣4a+2= ．

第2页（共23页）

10．若a﹣2b=3，则2a﹣4b﹣5= ．

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是 ．

12．某校篮球队10名队员的身高（精确到cm）如表所示，则10名队员身高的众数是 ． 身高（单位：cm） 人 数

13．某商场购进一品服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的标价是 元．

14．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是 cm．

15．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸出小球的标号和等于6的概率是 ．

16．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4的直径AE= ．

，AC=5，AD=4，则⊙O

163 1 165 2 168 2 172 3 175 2

三、解答题（共24分） 17．计算：

第3页（共23页）

﹣（﹣）﹣2﹣4cos60°+|

﹣2|

18．解方程：

19．化简求值：

=1﹣．

÷（x+1﹣），其中x=2tan45°﹣2．

20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1． （1）画出旋转后的图形；

（2）点A1的坐标为 ； （3）求弧BB1的长（写过程）．

21．某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图10所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图．

根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图，并指出这个样本数据的中位数落在第 小组；

（2）若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，本校九年级女生共有260人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；

第4页（共23页）

（3）如测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于170次的成绩为满分，在这个样本中，从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是多少？

22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．

（1）求证：△ACD≌△EDC；

（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．

23．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．

（1）求证：PQ是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE=

，求弦AD的长．

24．如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积？

第5页（共23页）

25．某花店计划下个月每天购进80只玫瑰花进行销售，若下个月按30天计算，每售出1只玫瑰花获利润5元，未售出的玫瑰花每只亏损3元．以x（0＜x≤80）表示下个月内每天售出的只数，y（单位：元）表示下个月每天销售玫瑰花的利润．根据历史资料，得到同期下个月内市场销售量的频率分布直方图（2013?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

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2015年宁夏中卫市海原县李俊中学中考数学五模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．下列计算正确的是（ ）

A．3a2﹣a2=3 B．a6÷a2=a3 C．（a2）3=a5

D．a2?a3=a5

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【解答】解：A、3a2﹣a2=2a2，故错误； B、a6÷a2=a4，故错误； C、（a2）3=a6，故错误； D、正确； 故选：D．

【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

2．2011年3月11日，日本发生了里氏9.0级大地震，导致当天地球自转时间减少了0.0000016秒，将0.0000016用科学记数法表示为（ ）

A．16×10﹣7 B．1.6×10﹣6 C．1.6×10﹣5 D．0.16×10﹣5 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【专题】计算题．

【分析】将比较小数写成a×10n的形式，注意a≥1，n为负整数． 【解答】解：0.0000016=1.6×故选B．

【点评】本题考查了用科学记数法表示比较小的数，在解题时注意n的符号．

3．不等式组

=1.6×10﹣6．

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

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A．

D．

B．

C．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可 【解答】解：故选：D．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的“≤”要用实心圆点表示；“＜”，个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“＞”要用空心圆点表示．

4．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A．4

B．﹣4 C．1

D．﹣1 解得﹣3＜x≤4，

【考点】根的判别式． 【专题】计算题．

【分析】根据根的判别式的意义得到△=22﹣4?（﹣a）=0，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得△=22﹣4?（﹣a）=0， 解得a=﹣1． 故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

5．2015年达到2160元．某企业退休职工李师傅2013年月退休金为1500元，设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，可列方程为（ ） A．2160（1﹣x）2=1500 B．1500（1+x）2=2160 C．1500（1﹣x）2=2160

D．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160

第8页（共23页）

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题．

【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，那么根据题意可用x表示今年退休金，然后根据已知可以得出方程． 【解答】解：如果设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x， 那么根据题意得今年退休金为：1500（1+x）2， 列出方程为：1500（1+x）2=2160． 故选：B．

【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

6．如图，由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解；从正面看第一层是三个正方形，第二层是中间一个正方形． 故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

7．若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ）

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A．1.5 B．2 C．3 D．6

【考点】弧长的计算．

【分析】本题考查圆锥的侧面展开图．根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长．

【解答】解：设这个圆锥的底面半径是R，则有2πR=120π×故选C．

【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

8．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=

的图象可能是（ ）

，解得：R=3．

A． B． C． D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．

【分析】根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．

【解答】解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，

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所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1）， 反比例函数y=

的图象位于第二四象限，

纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．

【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键． 二、填空题

9．分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题．

【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1） =2（a﹣1）2．

故答案为：2（a﹣1）2．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10．若a﹣2b=3，则2a﹣4b﹣5= 1 ． 【考点】代数式求值．

【分析】把所求代数式转化为含有（a﹣2b）形式的代数式，然后将a﹣2b=3整体代入并求值即可． 【解答】解：2a﹣4b﹣5 =2（a﹣2b）﹣5 =2×3﹣5 =1．

故答案是：1．

【点评】本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a﹣2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答．

第11页（共23页）

．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2， ∴AC=∴cosA=

==

， ．

【点评】本题考查锐角三角函数的概念及勾股定理，比较简单．

12．某校篮球队10名队员的身高（精确到cm）如表所示，则10名队员身高的众数是 172cm ． 身高（单位：cm） 人 数 【考点】众数．

【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知172出现的次数最多． 【解答】解：数据172出现了3次最多为众数， 故答案为：172cm．

【点评】此题主要考查了众数，关键是把握众数定义，难度较小．

13．某商场购进一品服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的标价是 400 元． 【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．

【分析】设该服装的标价为x元，根据六折出售每件服装仍能获利20%，列方程求解． 【解答】解：设该服装的标价为x元， 由题意得，0.6x﹣200=200×20%， 解得：x=400． 故答案为：400．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

14．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是 5【考点】菱形的性质；特殊角的三角函数值．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，∴x+2x=180°，所以x=60°，画出其图形，根据三角函数，可以得到其中较长的对角线的长．

第12页（共23页）

163 1 165 2 168 2 172 3 175 2 cm．

【解答】解：∵菱形的周长为20cm， ∴菱形的边长为5cm， ∵两邻角之比为1：2， ∴较小角为60°， 画出图形如图所示： ∴∠ABO=30°，AB=5cm，

∵最长边为BD，BO=AB?cos∠ABO=5×∴BD=2BO=故答案为：

． ．

=

【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直且平分各角，特殊三角函数的熟练掌握．

15．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸出小球的标号和等于6的概率是 【考点】列表法与树状图法．

【分析】列举出所有情况，看两次摸出的小球的标号的和等于6的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解：

．

共16种情况，和为6的情况数有3种，所以概率为故答案为：

．

．

【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．正确的列表或树状图是解答本题的关键，难度不大．

第13页（共23页）

16．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4的直径AE= 5

．

，AC=5，AD=4，则⊙O

【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．

【分析】首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．

【解答】解：由圆周角定理可知，∠E=∠C， ∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C， ∴△ABE∽△ACD． ∴AB：AD=AE：AC， ∵AB=4∴4

，AC=5，AD=4，

：4=AE：5，

，

．

∴AE=5

故答案为：5

【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ADC∽△ABE．

三、解答题（共24分） 17．计算：

﹣（﹣）﹣2﹣4cos60°+|

﹣2|

【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质和绝对值以及特殊角的三角函数值化简各数求出即可．

【解答】解：原式=﹣3﹣4﹣4×+2﹣=﹣1﹣

．

【点评】此题主要考查了立方根的性质以及负整数指数幂的性质和绝对值以及特殊角的三角函数值等知识，正确掌握相关性质是解题关键．

第14页（共23页）

18．解方程：

=1﹣

．

【考点】解分式方程． 【专题】计算题．

【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：2x=x﹣2+1， 解得：x=﹣1，

经检验x=﹣1是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

19．化简求值：

÷（x+1﹣

），其中x=2tan45°﹣2．

【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=

÷

=

?

=

，

当x=2×1﹣2=0时，原式=．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1． （1）画出旋转后的图形；

（2）点A1的坐标为 （﹣2，3） ； （3）求弧BB1的长（写过程）．

第15页（共23页）

【考点】作图-旋转变换；弧长的计算． 【专题】作图题．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；

（3）利用勾股定理列式求出OB，再根据弧长公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△A1OB1如图所示；

（2）点A1的坐标为（﹣2，3）；

（3）由勾股定理得，OB=弧BB1的长为：

=

=π．

，

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

21．某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图10所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图．

第16页（共23页）

根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图，并指出这个样本数据的中位数落在第 三 小组；

（2）若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，本校九年级女生共有260人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；

（3）如测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于170次的成绩为满分，在这个样本中，从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是多少？

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；概率公式． 【分析】（1）首先求得总人数，然后求得第四组的人数，即可作出统计图； （2）利用总人数260乘以所占的比例即可求解； （3）利用概率公式即可求解．

【解答】解：（1）总人数是：10÷20%=50（人）， 第四组的人数是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4=10，

，

中位数位于第三组；

（2）该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是：（3）成绩是优秀的人数是：10+6+4=20（人），

成绩为满分的人数是4，则从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是

=0.2．

×260=104（人）；

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题

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22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．

（1）求证：△ACD≌△EDC；

（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．

【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；

（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知）， ∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）； ∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）； 又∵AB=AC（已知），

∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角）， ∴∠EDC=∠ACD（等量代换）； ∵在△ADC和△ECD中，

，

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等）， ∴AE∥CD， ∵点D是BC中点， ∴BD=CD，

∴AE=CD（等量代换），

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∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”性质）， ∴∠ADC=90°，

∴四边形ADCE是矩形．

【点评】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．

23．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD的延长线的垂线PQ，垂足为C．

（1）求证：PQ是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为2，若过点O作OE⊥AD，垂足为E，OE=

，求弦AD的长．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）由同圆的半径相等和角平分线证出∠OTA=∠CAT，得出OT∥AC，由PQ⊥AC，证出PQ⊥OT，即可得出结论；

（2）由垂径定理得出AE=DE，由勾股定理求出AE，即可得出AD的长． 【解答】（1）证明：连接OT，如图1所示： ∵OA=OT， ∴∠OAT=∠OTA， ∵AT平分∠BAD， ∴∠OAT=∠CAT， ∴∠OTA=∠CAT， ∴OT∥AC， ∵PQ⊥AC， ∴PQ⊥OT， ∴PQ是⊙O的切线；

第19页（共23页）

（2）解：如图2所示： ∵OE⊥AD，

∴AE=DE，∠AEO=90°， ∴AE=

∴AD=2AE=2．

=

=1，

【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行线的判定；熟练掌握圆的有关性质，证明平行线和运用垂径定理是解决问题的关键．

24．如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积？

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

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【专题】计算题．

【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；

（2）直接求出BN，CN的长，进而求出BC的长，即可求出△ABC的面积． 【解答】解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1， ∴一次函数解析式为y=x+1；

将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2， ∴反比例解析式为y=；

（2）∵N（3，0）， ∴点B横坐标为3，

将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反比例解析式得：y=， 即CN=，BC=4﹣=则S△ABC=×

×2=

，A到BC的距离为：2， ．

【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

25．某花店计划下个月每天购进80只玫瑰花进行销售，若下个月按30天计算，每售出1只玫瑰花获利润5元，未售出的玫瑰花每只亏损3元．以x（0＜x≤80）表示下个月内每天售出的只数，y（单位：元）表示下个月每天销售玫瑰花的利润．根据历史资料，得到同期下个月内市场销售量的频率分布直方图（2013?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

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【考点】相似形综合题． 【专题】压轴题．

【分析】根据勾股定理求得AB=5cm．

（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；

（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S=（t﹣）2+最值的求法即可得到S的最小值．

【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得

=5cm．

（0＜t＜2.5），则由二次函数

（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时，解得t=；

②当△APM∽△ABC时，

=

，即

=

，

=

，即

=

，

解得t=0（不合题意，舍去）；

综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；

（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值． 如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴

=

，即

=

，

∴PH=t，

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∴S=S△ABC﹣S△BPN， =×3×4﹣×（3﹣t）?t， =（t﹣）2+∵＞0， ∴S有最小值． 当t=时，S最小值=

．

．

（0＜t＜2.5）．

答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是

【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．

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