2019 - 2020学年高中数学课时分层作业25二面角及其度量含解析新

课时分层作业(二十五) 二面角及其度量

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，

E分别是点A在PC，PB上的射影，则( )

A．∠ADE是二面角A-PC-B的平面角 B．∠AED是二面角A-PB-C的平面角 C．∠DAE是二面角B-PA-C的平面角 D．∠ACB是二面角A-PC-B的平面角 B [由二面角的定义及三垂线定理，知选B.]

2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝小为( )

A．30° B．45° C．60° D．90° C [如图取BC的中点为E，连接AE，DE， 由题意得AE⊥BC，DE⊥BC， 且AE＝DE＝

33a，又AD＝a， 22

3

a，则二面角A-BC-D的大2

∴∠AED＝60°，即二面角A-BC-D的大小为60°.]

3．如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )

A.C.π 12π 6

B.D.π 4π 3

D [设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，1

×2ah26h33π则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝.]

18h′2234×ah′2

4．已知二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1＝?

1?3?

，－，－2?，平面β的

2?2?

?1?一个法向量为n2＝?0，，2?，则二面角α-l-β的大小为( )

?2?

A．120°

B．150°

C．30°或150° D．60°或120°

|n1·n2|3

C [设所求二面角的大小为θ，则|cos θ|＝＝，所以θ＝30°或150°.]

|n1||n2|25．如图所示，P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α-AB-β的大小为( )

A．60° B．70° C．80°

D．90°

D [不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB交AB于点E，NF⊥AB交AB于点F(图略)，因为∠EPM＝∠FPN＝45°，故PE＝

a，PF＝

22

b→→→→→→→→→→

，于是EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－

→→→→

baabababababPE·PN＋PE·PF＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋

22222222＝0.因为EM，FN分别是α，β内的两条与棱AB垂直的线段，所以EM与FN之间的夹角就是所求二面角的大小，所以二面角α-AB-β的大小为90°.]

二、填空题

6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．

60°或120° [设二面角大小为θ，由题意可知 8＋5－764＋25－491

cos θ＝＝＝，

2×8×5802所以θ＝60°或120°.]

7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，则二面角P-BC-A的大小为________．

90° [取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P-BC-A的平面角．又

2

2

2

PO＝AO＝3，PA＝6，所以∠POA＝90°.]

→→

π

8．在空间四面体O-ABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．

3→→→→→0 [OA·BC＝OA·(OC－OB) →→→→＝OA·OC－OA·OB

→→→→

ππ

＝|OA|·|OC|cos－|OA|·|OB|·cos

33→→→

1

＝|OA|(|OC|－|OB|)＝0. 2→→

→→

|OA·BC|

∴cos〈OA·BC〉＝＝0.]

→→|OA||BC|三、解答题

9．如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，平面ABCD是一个直角梯形，

AB⊥AD，AB，CD为梯形的两腰，且AB＝AD＝AA1＝a.

(1)若截面ACD1的面积为S，求点D到平面ACD1的距离； (2)当为何值时，平面AB1C⊥平面AB1D1?

[解] (1)由VD-ACD1＝VC-ADD1，过C作CE⊥AD，垂足为E. ∵AA1⊥平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AA1D1D，

∴CE⊥平面AA1D1D，∴CE＝a是C到平面ADD1的距离，设点D到平面ACD1的距离为h， 1112a由Sh＝×a×a，得h＝. 3322S(2)分别以A1B1，A1D1，A1A所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

3

ABBC

则A1(0,0,0)，A(0,0，a)，B1(a,0,0)，

设C(a，b，a)，且n1＝(x，y，z)是平面AB1C的法向量， →

∴AB1＝(a,0，－a)，AC＝(a，b,0)． →

→

则n1·AB1＝0，n1·AC＝0，即ax－az＝0，ax＋by＝0， 得z＝x，y＝－x，取x＝1，则y＝－，z＝1，

→

abab??则n1＝?1，－，1?为平面AB1C的一个法向量．

?

?

同理可得平面AB1D1的一个法向量为n2＝(1,1,1)． 若平面AB1C⊥平面AB1D1，则n1·n2＝0，∴＝2， 即当＝2时，平面AB1C⊥平面AB1D1.

10．如图所示，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂1

直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中

2点．

(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值． [解] (1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF. 因为E是PD的中点， 1所以EF∥AD，EF＝AD.

2

由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD. 1

又BC＝AD，所以EF綊BC，

2四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF.

又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.

→→

(2)由已知，得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立→

如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，3)，PC＝(1,0，→

－3)，AB＝(1,0,0)．

ababABBC

设M(x，y，z)(0

→

→

BM＝(x－1，y，z)，PM＝(x，y－1，z－3)． 因为BM与底面ABCD所成的角为45°， 而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量， →

所以|cos〈BM，n〉|＝sin 45°， 即

|z|2

?x－1?2

＋y2

＋z2

＝2

， 即(x－1)2

＋y2

－z2

＝0.① →→

又M在棱PC上，设PM＝λPC，则

x＝λ，y＝1，z＝3－3λ.②

?x＝1＋2

2

，x＝1－

2

2

，由①②解得??

y＝1，

(舍去)，或??

y＝1，

?z＝－6

2，

????z＝6

2，

所以M??1－2?2，1，6?2??

， →

从而AM＝?

?26??

1－2，1，2??.

设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则

??

→

?m·AM＝0，

即?

?2－2?x0＋2y0＋6z0＝0，??→?x0＝0，

m·AB＝0，

?所以可取m＝(0，－6，2)． 于是cos〈m，n〉＝

m·n10

|m||n|＝5

. 因此二面角M-AB-D的余弦值为

10

5

. [能力提升练]

1．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，

PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C-BF-D的正切值为( )

A.

3

63 3

B.

3 423 3

C.D.

D [如图所示，连接BD，AC∩BD＝O，连接OF.以O为原点，

OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.

设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝3.所以B?

1??3??

，0，0?，F?0，0，2?，

??2??

??C?0，，0?，D?－

2?

?

1

??3?，0，0?. 2?

→→

1??结合图形可知，OC＝?0，，0?且OC为平面BDF的一个法向量， ?2?→→

31?1???3

由BC＝?－，，0?，FB＝?，0，－?，

2??22??2可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，3，3)． →→

212

所以cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝7，

77→

2

所以tan〈n，OC〉＝3.

3即二面角C-BF-D的正切值为2

3.] 3

2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为( )

12A．－ B. 23C.

32 D. 32

1??B [建系如图，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)、A1(1,0,1)、E?1，1，?.

2??→

1??∴DA1＝(1,0,1)，DE＝?1，1，?. 2??

设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)． →

x＋z＝0??

则?1

x＋y＋z＝0?2?

1

.令x＝1，则z＝－1，y＝－，

2

→

1??∴n＝?1，－，－1?.又平面ABCD的一个法向量为DD1＝(0,0,1)． 2??

→

∴cos〈n，DD1〉＝

－12

＝－.

39

·14

又平面A1ED与平面ABCD所成的二面角为锐角， 2

∴平面A1ED与平面ABCD所成二面角的余弦值为.]

3

3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________．

π

[∵底面对角线长为26，∴底面边长为23，从而利用体积得四棱锥的高为3，所3

高3

求二面角的正切为＝＝3.

底面边长的一半3

π

∴侧面与底面所成的二面角为.] 3

4．已知正四棱锥的底面边长为23，高为3.则侧面与底面所成的二面角等于________． 60° [如图，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，连接AC，BD相交于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD.作OE⊥CD，连接PE，则∠PEO即为侧面与底面所成二面角的平面角．

由题意知PO＝3，

OE＝3，∴tan∠PEO＝

∴∠PEO＝60°.]

33

＝3.

5.如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点．

(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E-AG-C的大小．

[解] (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP. 又BP?平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.

(2)法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH. 因为∠EBC＝120°， 所以四边形BEHC为菱形，

所以AE＝GE＝AC＝GC＝3＋2＝13. 取AG的中点M，连接EM，CM，EC， 则EM⊥AG，CM⊥AG，

所以∠EMC为所求二面角的平面角． 又AM＝1，

所以EM＝CM＝13－1＝23. 在△BEC中，由于∠EBC＝120°，

由余弦定理得EC＝2＋2－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC＝23，所以△EMC为等边三角形， 故所求的角为60°.

法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3，3)，C(－1，3，0)， →→→

故AE＝(2,0，－3)，AG＝(1，3，0)，CG＝(2,0,3)． 设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，

2

2

2

22

??由?→??m·AG＝0，

→

m·AE＝0，

?2x1－3z1＝0，可得?

?x1＋3y1＝0.

取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－3，2)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，

??由?→??n·CG＝0，

→

n·AG＝0，

?x2＋3y2＝0，可得?

?2x2＋3z2＝0.

取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－3，－2)．

m·n1

所以cos〈m，n〉＝＝.

|m|·|n|2

故所求的角为60°.

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