奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合-学生版

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-1-奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合

同学须知：

本讲内容比较多，倍数、余数、质数、合数，都要涉及到，题量不能太大，所以，基本上就是讲基础。内容设计25道题，尽量涵盖数论的基本问题。课后练习5道题。

【基本特点汇总】

整除的一些基本性质：

1、尾数判断法：

（1）能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。【尾数系】

（2）能被4、25整除的数的特征：末两位能被4和25整除。【双尾数】

（3）能被8、125整除的数的特征：末三位能被8和125整除。【三尾数】

2、数字求和法：

能被3、9整除的数的特征：各个数位的数字之和能被3或9整除；

弃3法，

弃9法。

3、奇偶位求差法：

能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。（大减小）

4、和的整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那么他们的和与差也能被a 整除。

5、能被7、11、13整除的数的特征：求末三位数与之前的数之差（大减小）

6、能被99

整除的数的特征：两位截断求和（从右向左截断）。

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-2-【1】能同时被2，3，5整除的最大的三位数是（）。

【2】能同时被2，5，7整除的最大的五位数是（）。

【3】1到100之内所有不能被3整除的数的和是（）。

【4】小猪写了一个两位数59，小牛写了一个两位数89，他们让小羊写一个一位数放在59和89之间拼成一个五位数8959□，使得这个五位数能被7整除，那么小羊写的数应该是(

)。

【提示】后三位截断法+尝试法。【5】如果九位数789AB 1234能被99整除，那么AB 代表的两位数是()。

【6】（试除法）在1992后面补上三个数字，组成7位数，使他能被2，3，5，11整除，这个七位数最小值是（）。

【提示】首先求出2，3，5，11的最小公倍数，用1992000除以最小公倍数（试除法），然后采用“补余”法，求出最小值。

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-3-【7】特点：余数的和等于（被除数）和的余数；原则上余数小于除数，特殊情况下除外。

有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是()。

【解析】此类题用被除数的和减去余数的和，然后将其差分解质因数即可。

【词语区别】除以、除、去除、整除、被整除，这5种说法是有区别的：

（1）A 除以B

（2）A 除B

（3）A 去除B

（4）A 能整除B

（5）A 能被B 整除

【8】523除以一个数所得的商是10，并且除数与余数的差是5，求除数是(

)，余数是()。【解析】根据余数小于除数，再由公式商

余数被除数除数-=，即可得出正确的结果。【9】（周期求余）整数61111111420÷ 个的余数是（）

【解析】分解求余，找到规律。

【10】（缺同，同补）一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是()。

【解析】专业术语：同补或同缺。由于这个自然数加上2就是3、5、7的倍数，所以可将此题转化成3、5、7的最小公倍数减2。

【11】（两个同缺）一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，适合条件的最小自然数是(

)。

【解析】此题采用“逐级满足法”。

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-4-【12】（容斥原理）在1到200之间，被3或7除都余2的数有()个。

【解析】本题的关键是分别求出被3除余2和被7除余2的数，再把除以21余2的数减去即可。

【13】一个自然数除以3余1，除以5余2，除以7余3，那么这个自然数最小是（

）。

【提示】标准逐级满足法。【14】求714389÷的余数是（）。

【15】有一个自然数，用它去除226余数是a，去除411余数是（a+1），去除527余数是（a+2），则a=（）。

【16】用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数只用一次），且这四个数两两互质。其中的四位数是2940。另外三个数可能是（）、（）、（）。

【17】算式：150149333231????? 的计算结果的末尾有（）个连续的0。

【18】在等式：□△□△□△◇△□○△□□△=???中，不同的符号代表不同的数字。四位数□△○◇=

（）。

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-5-【19】右面三个算式中,相同汉字代表相同数字,不同汉字代表不同数字；那么四位数"李白杜甫

"=

【20

】【21】在横式2017=?+?D C AB ABC 中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代不同的数字。若等式成立，那么AB 代表的两位是（

）。【22】若x，y，z，w 是四个互不相等的自然数，且它们之积为1998，试求x+y+z+w 的最大值是（）。

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-6-【23】

小峰说∶"我们几人的话中共有___A__个2."

小光说∶"我们几人的话中共有__B___个0."

小叶说∶"我们几人的话中共有___C_个1."

小健说∶"我们几人的话中共有___D___个 4."

现在分别用0～9中的数字替换A 、B 、C 、D （ABCD 可以相同），使得他们说的话都是真话，那么四位数：ABCD=

【24】请在下图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字，其中双向箭头表示箭头所指的两个方向的全部数字里有多少种不同的数字那么下图中第二行从左到右所填数字依次组成的四位数是（右图是一个3×3的例子）

.

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-7-【25】自然数240的分解质因数形式是（

）；这个数的所有因数个数是（）个。将所有的因数相乘所得的乘积再次分解质因数，那么这个数的

分解式是（

）。【课后作业】

【作业1】自然数12的所有因数之和是（）。

【作业2】算式：□???972935975，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，方块内

最小应该填的数字是（）。

【作业3】如果三个互不相同的质数相加，和为52,这三个质数可能是（）。

冯老师奥数杯赛-第3讲-专题3-数论综合点滴积累，成就未来-8-【作业4】有一个数75M 3222???=，那么这个数M 的所有奇数因数的和是

（）。

【作业5】有三个不同的质数，这三个质数的平方之和是318，那么这三个质数的乘

积是（）。

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