2015高中数学1.4.3正切函数的性质与图象教案新人教A版必修4（数

正切函数的性质与图像

一 教材分析：

《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。

一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。 二 教学目标

（一）知识与技能目标：

1.在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。 2.通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。 3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。 （二）过程与方法目标：

在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （三）情感态度价值观目标

在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三 教学重点

利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质. 四 教学难点

正切函数的单调性和值域 五 学法与教法

学生已基本掌握正切函数的定义、诱导公式等知识；基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.但是由于该课涉及到的知识内容较多，特别是涉及到正切线时，学生会感到困难.我班学生有扎实的知识基础，学习的主动性和积极性也较高，已基本形成自主学习的习惯和能力.有合作学习的经验和氛围.因此学生学法为合作交流，教法为探究与发现式。

六 教学过程及学生活动

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（一）创设情境 做好铺垫

一般来说，对函数性质的研究可以先作图象，通过观察图象获得对性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格证明。如前面我们学习的正弦函数，余弦函数.但对于正切函数性质咱们换一新视角来研究，先研究性质，再根据性质研究图象。下面借助研究正弦函数，余弦函数的图象和性质的经验，根据诱导公式和正切线对正切函数的性质进行研究。 设计说明：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面. （二） 利用旧知 研究性质

活动一：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，请尝试用代数方法研究正切函数的性质. 设计说明：利用已有的认知结构，探究未知的问题

提问1：类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？

设计说明：类比，是研究问题最重要的方法之一

1．定义域：

2．奇偶性：奇函数

【提醒先检验定义域是否关于原点对称】 3.正切函数是不是周期函数？

【 引导学生用正切线来检验，教师用几何画板演示】 设计说明：为后面研究单调性，值域提供了方法。

4．单调性：小组讨论，让学生大胆猜想，小心求证。老师点评引导

5．值域：

活动二：当学生用代数方法遇到困惑时提醒学生尝试用正切线研究正切函数的单调性和值域.

4．单调性

小组讨论，老师引导如何选择一个范围研究单调性

问题：观察正切线的变化为什么教材是从第四象限到第一象限？而不是习惯从第一象限到第四象限？ 5. 值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于?切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于

?2且无限接近??2时,正

??且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方222

向无限延伸.因此,tanx在(???2,

2)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.

因此,正切函数的值域是实数集R. 教师用几何画板演示

（三）利用性质 动手作图

我们要想更全面认识函数性质，我们还需作出函数图象

活动三：我们已知了正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切函数的图像？ 设计说明 ：利用已知的性质，如何画函数的图像

由于正切函数的是最小正周期是

的周期函数，所以我们只需要画出他在一个周期内

的图像，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图像。

追问1：为什么先画 追问2： 直线

的图象？

x??π2与图象的位置关系怎样？

可以选择区间

；而正切函数又是奇函数，所以只需画出在的图像。

，且的图象，称“正切曲线”。

追问3：只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(?学生可看出有三个点很关键:(???2,

2)的简图？

?,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简

44????图的方法就是:先描三点(?,-1),(0,0),(, 1),再画两条平行线x=?,x=,然后连

4422,-1),(0,0),(

线.

追问4：怎样得到整个定义域内的图象？ （四） 观察图像 丰富性质

活动:你能观察正切函数图象进一步确认性质吗？

设计说明 形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数的性质和图像，分析各个性质在图像上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图像，函数的图像是其性质的直观反应

?

3

从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=

?+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲2线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(??2+kπ,

?2+kπ),k∈Z,没有减区间. 追问：在整个定义域上是增函数吗．

注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增。 它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数. 追问：认真观察图象还有其它的对称中心吗？

通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(

k?2,0),k∈Z 强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x轴的交点 （五）及时训练 巩固新知

设计说明：1.你能求函数 利用图象解三角函数不等式 的定义域 让学生体会数形结合方法的应用

2.求函数 的定义域、周期、单调性，

设计说明

对正切函数性质的复习

3函数y(x)＝tan xln x2

的部分图象大致是图中的( )

A

B

C

D

设计说明：体现本节课的设计意图利用函数性质研究图象 （六）归纳小结

提问 这节课你学到什么？

1.正切函数的性质与图象.

2. 性质有助于更有效的作图，研究图象；图象有助于更直观的研究性质

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