2014年高中数学 第二讲 函数的图象与性质

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与函数 第二讲 函数的图象与性质

函数定义

映射

定义解析法

基本初等函数 Ⅰ 列表法

指数函数图象法

幂函数图象

对数函数

定义、图象、性质

函数图象变换

表示法常见函数的图象

平移变换

伸缩变换对称变换性质最大 小 值单调性周期性对称性奇偶性

1．(函数的定义域)若f(x)＝

1

f(x)的定义域为__________．

log2x＋1 2

11

【解析】 要使f(x)有意义，需log(2x＋1)>0＝，

221

∴0<2x＋1<1，∴－<x<0.

21

【答案】 (－，0)

2

x，x≥0，

2．(分段函数求值)设函数f(x)＝ 1x

2，x＜0，

则f(f(－4))＝________.

1 －4

【解析】 ∵f(－4)＝ 2 ＝16， ∴f(f(－4))＝f(16)＝＝4. 【答案】 4

3．(函数的奇偶性与周期性)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，3

－，0 时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 014)＝________. 且x∈ 2

【解析】 由函数的周期性知，f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)， 3

－，0 知f(－1)＝log24＝2. 由－1∈ 2

又函数f(x)是奇函数，从而f(2 014)＝f(1)＝－f(－1)＝－2. 【答案】 －2

10.50.5

4．(函数的单调性)设a＝ ，b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是________． 21 0.50.5【解析】 由函数y＝x0.5在(0，＋∞)上为增函数知，0.30.5＜ ＜1＝1. 2 又c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1， ∴c＞a＞b. 【答案】 c＞a＞b

5．(函数图象变换)若函数y＝f(x)的图象关于点(5,0)对称，则把f(x)的图象向________ 才能使函数y＝f(x)变为奇函数．

【解析】 奇函数的图象关于原点(0,0)对称，故需把y＝f(x)向左平移5个单位． 【答案】 左平移5个单位 错误!

(1)(2013·山东高考)函数f(x)＝1－2＋A．(－3,0] B．(－3,1]

C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]

2x＋a，x<1，(2)(2013·无锡模拟)已知实数a≠0，函数f(x)＝ 若f(1－a)＝f(1＋a)，则

－x－2a，x≥1.

1

的定义域为( ) x＋3

a的值为__________．

【思路点拨】 (1)根据函数式的特点，转化为关于x的不等式组求解．

(2)欲求f(1－a)与f(1＋a)，关键在于判定1－a、1＋a与1的大小关系．因此分a>0和a<0两种情况求解．

x

1－2≥0， x≤0， 【自主解答】 (1)由题意知解得 x＋3＞0， x＞－3，

∴－3＜x≤0.

(2)①当1－a<1，即a>0时a＋1>1， 由f(1－a)＝f(1＋a)，

3

得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，∴a＝－舍去)；

2②当1－a>1，即a<0时，此时a＋1<1， 由f(1－a)＝f(1＋a)．

3

得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，∴a＝－

4

3

综上所述，a＝－.

43

【答案】 (1)A (2)－

4

1．第(2)小题的求解关键在于确定f(1－a)与f(1＋a)的值，应重点讨论1＋a与1－a和1的大小关系．

2．(1)函数的定义域应使每个含有自变量的式子都有意义．(2)求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性．

1变式训练1 (2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝1＋9x－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg )＝

2( )

A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】 ∵f(lg 2)＝1＋9 lg 2 －3lg 2)＋1， 1

f(lg )＝f(－lg 2)＝1＋9 lg 2 ＋3lg 2)＋1，

21

∴f(lg 2)＋f(lg 2

＝ln(1＋9 lg 2 －3lg 2)＋1＋9 lg 2 ＋3lg 2)＋2 ＝ln 1＋2＝2. 【答案】 D

错误!

(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f(x)

＝(1－cos x)·sin x在[－π，π]的图象大致为( )

2 xx≥2，(2)(2013·荆州模拟)已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)＝k有两个不同

3 x－1 ，x<2，

的实根，则实数k的取值范围是________．

【思路点拨】 (1)利用函数的奇偶性、特殊值及极值点排除． (2)作出函数f(x)的图象简图，数形结合确定实数k的取值范围． 【自主解答】 (1)在[－π，π]上，

∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)． ∴函数f(x)是奇函数，排除B.

π ππ

1－sin1＞0，排除A. 又f ＝22 2

f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x＝－2cos2x＋cos x＋1， 1

令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－2

2

则f(x)在(0，π]上的极值点为π，靠近π，故选C.

3(2)函数f(x)的图象，如图所示：

由图象知，当0<k<1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．因此，实数k的取值范围是(0,1)．

【答案】 (1)C (2)(0,1)

1．第(1)题易错选D，原因是忽视了函数极值的位置；第(2)题求解的关键是正确画出f(x)的简图，特别是当x＜2时，f(x)＝(x－1)3的图象．

2．在观察、分析图象时，要注意图象的分布及变化趋势，尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等，找准解析式与图象的对应关系．

3．函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质，求解方程(不等式)中的参数取值等．

x3变式训练2 (1)(2013·四川高考)函数y＝(

)

3－1

(2)(2013·北京高考)函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于

y轴对称，则f(x)＝( )

A．ex1 B．ex1

＋

－

C．e

－x＋1

D．e

－x－1

x3

【解析】 (1)由3－1≠0得x≠0，∴函数y＝{x|x≠0}，可排除选项A；

3－1

x

－1 33

当x＝－1时，y＝，可排除选项B；

12－1364

当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，排除D，故选C.

80

(2)曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝ex，将y＝ex的图象向左平移1个单位长度得

－

－

到y＝e

－(x＋1)

，即f(x)＝e

－x－1

.

【答案】 (1)C (2)D

错误!

(1)(2013·湖北高考)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]

在R上为( )

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)

【思路点拨】 (1)把函数f(x)写成分段函数的形式，画出其图象判断．

(2)先根据条件f(x－4)＝－f(x)判断函数的周期性，再根据奇偶性、周期性，将f(－25)、f(11)、f(80)转化到函数f(x)的同一单调区间上进行比较．

x＋1 －1≤x＜0，【自主解答】 (1)f(x)＝x－[x]＝ x 0≤x＜1，

x－1 1≤x＜2，

图象如图所示：

，

由图象知函数f(x)是周期函数，故选D.

(2)由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f[(x－4)－4]＝－f(x－4)＝f(x) 从而f(x＋8)＝f(x)，故函数f(x)的一个周期为8.

所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)． 又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数． 所以f(x)在[－2,2]上为增函数，从而f(－1)＜f(0)＜f(1)． 即f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D. 【答案】 (1)D (2)D

1．解答第(1)题时，无法使用定义，故需画出函数的图象；第(2)题求解的关键是借助恒等式求出函数的周期．

2．若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝

1

a为常数，且a≠0)，则2a为f(x)的一f x

a＋b

个周期，若满足f(x＋a)＝f(－x＋b)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．在解题时，

2应根据需要，借助函数的奇偶性灵活变形．

变式训练3 (1)(2013·天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋1

∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log)≤2f(1)，则a的取值范围是( )

2

1

A．[1,2] B(0，]

21

C．2] D．(0,2]

2

(2)(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0 C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0

1

【解析】 (1)∵fa)＝f(－log2a)＝f(log2a)，

2∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．

又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数， 1

∴－1≤log2a≤1a≤2.

2

b

(2)由f(0)＝f(4)>f(1)知，函数图象开口向上且对称轴为x＝2，即a>0，－＝2，∴a＞

2a

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7dh1.html