《复变函数与积分变换（刘建亚）》作业答案

《复变函数与积分变换》作业参考答案 习题1: 4、计算下列各式 (1 3i(3i(1+3i-; (3 2 3(3i- (5 13i 2 z += ,求2z ,3z ,4 z ; (7 6 1-。 解:(1

3i(3i(1+3i=3i(3+3i i+3=3i(2i+23=6+63i ---; (3 2

333(223i3(223i333 i 41288(3i223i (223i(223i ++====++---+; (5 213i 3i 3223i 13

i 4422 z ++--+= ==-+, 3213i 13i 13 1224

z z z -++--=?= ?==-, 4313 i 22 z z z =?=--. (7 因为1cos isin π π-=+,所以 6 221cos isin 6 6 k k ππ ππ ++-=+,

即

0k =时,031cos isin i 6 6 22 w π π =+=

+; 1k =时,133cos isin i 66

w ππ=+=; 2k =时,25531cos

isin i 6622w ππ=+=-+; 3k =时,37731cos isin i 6622w ππ=+=--; 4k =时,499cos isin i 66 w ππ=+=-; 5k =时,5111131cos isin i 6622 w ππ=+=-. 习题2:

3、下列函数在何处可导?何处解析?在可导点求出其导数. (2 2(i f z x y =-; (4 (sin ch icos sh f z x y x y =+

(6

(az b f z cz d += +。

解:(2 因为2(,u x y x = ,(,v x y y =-,

2x u x '=,0y u '=,0x v '=,1y v '=-.

这四个一阶偏导数都连续,故(,u x y 和(,v x y 处处可微,但柯西-黎曼方程仅在1 2 x =-

上成立,所以(f z 只在直线1 2x =-

上可导,此时1122

(21x x f z x =-=-'==-,但复平面上处处不解析. (4 因为(,sin ch u x y x y =,(,cos sh v x y x y =,

cos ch x u x y '=,sin sh y u x y '=,sin sh x v x y '=-,cos ch y v x y '=.

这四个一阶偏导数都连续,故(,u x y 和(,v x y 处处可微,且满足柯西-黎曼方程,所以(f z 在复平面

内解析,并且

((i i i i iz iz (i cos ch isin sh cos isin 22 cos isin cos isin 2222cos 22 y y y y

x x y y y y x x y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e e e e e z -------+-+-'''=+=-=? -?=-++=?+?++===. (6 02 0((1(lim lim (lim

(((z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bc cz c z d cz d cz d ?→?→?→?? +?-+?++=-????+?++?? --== +?+++ 所以, (f z 在除d z c

. 20、求2 1,2 (2 -,i 1-,i i ,1i (34i +-的值. 解:22Ln1 22i 1

cos(22isin(22k e e k k πππ===+; ( 22Ln(2 2ln 2(212i 2 (2 2 cos (21 2isin (212k e

e

k k πππ-++????-===+++???? ;

i iLn1i(2i21k k e e e ππ---===; 1i i 2i 2i iLni 22i k k e e e πππ ?? ?

?+-+ ? ??? ? ?===;

((444(1iln5arctan i 2i ln5arctan 2i ln5arctan 231i (1iLn(34i 332(34i 4

5cos ln 5isin ln 5,arctan ,3

k k k k e e e

e k Z πππθπ θθθ??? ???

++-++-+-+ ??? ? ++-???? ??

--====-+-=∈???? 22、解方程: (1 ch 0z =;

解:1Arch0Ln(001Lni 2i 2z k π? ?==+-==+ ?? ?,k Z ∈. 习题3:

1、沿下列路径计算积分

2i 20 z dz +? :

(1 从原点至2i +的直线段;

(2 从原点沿实轴至2,再由2铅直向上至2i +; (3 从原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平方向向右至2i +. 解:(1 从原点至2i +的直线段的复参数方程为i

2x z x =+,1 (1i2

dz dx =+,参数:02x →,所以 2 2i 2 2323330 00 1111

(1i(1i(2i2323z dz x dx x +=+=+=+? ?

(2 从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为z x =,参数:02x →,由2铅直向上至2i +的直线段

的复参数方程为2i z y =+,参数:01y →,所以 1 2 2i 2 1 222 2 20 2

132300(2i i 18i 2111 (i 44i24i=i (2i333333 C C z dz z dz z dz x dx y dy x y y dy +=+=++=+--+=--++=+? ?????

(3 从原点沿虚轴至i 的直线段的复参数方程为i z y =,参数:01y →,由i 沿水平方向向右至2i +的

复参数方程为i z x =+,参数:02x →,所以 1 22i 1 2 2222 20 1 2 2 2 33

00(i i (ii 1i 1 i (i(2i(2i3333

C C z dz z dz z dz y dy x dx y dy x dx +=+=++=-++=-+++=+?

??????

2、分别沿y x =与2y x =算出积分1i 20(i x y dz +-?的值. 解:

y x =的复参数方程为(1iz x =+,(1idz dx =+,参数:01x →所以 1i 1 2 20 51 (i (i (1ii 66

x y dz x x dx +-=-+=

-??; 2y x =的复参数方程为2i z x x =+,(12idz x dx =+,参数:01x →所以 1i 1 2220 51(i (i (12ii 66 x y dz x x x dx +-=-+= +? ?

5、计算积分 C z dz z ?

的值,其中C 为正向圆周: (1 3z =

解:设1C 是C 内以被积函数的奇点0z =为圆心的正向圆周,那么 1111 32i=6i C C C C z z z z

dz dz dz z dz z z z z z ππ?====?? ???

6、试用观察法得出下列积分的值,并说明观察时所依据的是什么?C 是正向圆周1z =:

(1 2 C

dz z +? ; (2 223C dz z z ++? ; (3 cos C dz z ? ; (4 13 C dz z -? ; (5 z C ze dz ? ; (6 i 522C dz z z ????++ ??

?

???? . 解:(1 02C dz

z =+? ,根据柯西积分定理;

(2 2023C dz z z =++? ,根据柯西积分定理; (3 0cos C dz z =? ,根据柯西积分定理; (4 2i 13

C dz z π=-? ,根据复合闭路定理; (5 0z C ze dz =?

,根据柯西积分定理; (6 4i

i 55i 22C dz z z π=-????++ ??

???? ,根据柯西积分定理及复合闭路定理. 7、沿指定曲线的正向计算下列积分: (1

?

3z C

e dz z -? ,:31C z -=; (2 22 C dz z a -? ,: C z a a +=; (3 i 2 1 z C

e dz z +? ,4:2i 3C z -=; (4 3 C zdz z +? ,:2C z =; (5

23(1(1C dz z z +-? ,:1C z r =<; (6 3cos C z zdz ?

,C 为包围0z =的闭曲线; (7 22(1(4C dz z z +-? ,3:2 C z =; (8 sin C z dz z ? ,:3C z =; (9 2 cos 2C z dz z π? ? - ??

?? ,:3C z =; (10

5z C e dz z ? ,:1C z =. 解:(1 33 2i 2i 3 z z

z C e dz e e z ππ==?=-? ; (2 22 12i i C z a dz z a z a a π π=-=?=- --? ; (3

i i 2i 2i 1i z z C z e e dz z z e π

π==?=++? ; (4 03 C zdz z =+? ; (5 230(1(1C dz z z =+-? ; (6 3 cos 0C z zdz =? ; (7

222222i i 1(1(42i (i(4(i(4111 02i 44C C C z z dz dz dz z z z z z z z z =-=??-=-?? +-+---??

??-=-= ?--????? ;

(8

0sin 2i sin 0z C z dz z z π==?=? ; (9 (2 2

cos 2sin 21!2C z z i

dz z i z ππππ= =?-=-? ? - ?? ?? ; (10 50 2(51!12 z z C z e i i dz e z ππ==?=

-? .

21、证明:22u x y =-和22 y v x y =

+都是调和函数,但是i u v +不是解析函数. 证明:因为2u x x ?=?,222u x ?=?,2u y y ?=-?,222u y ?=-?, 2 22

2(v xy x x y ?-=?+,223222362(v x y y x x y ?-= ?+,22222(v x y y x y ?-= ?+,2322223 26(v y x y y x y ?-= ?+, 所以 222

20u u x y ??+=??,22220v v x y

??+=??,且x y u v ''≠,y x u v ''≠-. 即22u x y =-和22 y v x y =

+都是调和函数,但是i u v +不是解析函数. 22、由下列各已知调和函数求解析函数 (i f z u v =+,并写出z 的表达式: (1

22((4u x y x xy y =-++; (2 22 y v x y = +, (20f =; (3

2(1u x y =-,(2i f =-. 解:(1 因为

(i f z u v =+是调和函数,所以

22363v u x xy y x y ??=-=-++??,22363v u x xy y y x ??==+-??. 于是

22223(363(33v x xy y dy g x x y xy y =+-=++-?. 那么 222(63363v

g x xy y x xy y x ?'=++=-++?, 则 3(g x x C =-+, 所以

322333v x x y xy y C =-++-+, 322332233223

3((33i(33i (1i3(i 3(i (i i (1ii f z x x y xy y x x y xy y C x x y x y y C z C

=+--+-++-+??=-++++??=-+ (2 2 22

2(v xy x x y ?-=?+,222 22

(v x y y x y ?-=?+. 因为

(i f z u v =+是调和函数,所以 22222222222222

2(i 11(i i ((((i y x

x y xy x y f z v v x y x y x y x y z ---'''=+=+===++++, 从而1 (f z C z =-+. 由

(20f =知12C =,所以11 (2f z z =-. (3 因为

(i f z u v =+是调和函数,所以 2(1v u x x y ??=-=--??,2v u y y x ??==??. 于是 22(v ydy g x y ==+?. 那么 (2(1v g x x x ?'==--?, 则

2(2g x x x C =-++, 所以

222v x x y C =-+++, 222

2((22i(2i i (i 2(i 1i i(1i f z xy y x x y C x y x y C z C

=-+-+++??=-+-+++??=--+ 由(2i f =-知0C =,所以2(i(1f z z =--. 习题4: 1、下列数列

{}n z 是否收敛?若收敛,求其极限. (1

1i 1i n n z n +=-; (2 i 12n n z -?? =+ ? ?? ; (3 i (11

n

n z n =-++; (4 i 2n n z e π-=. 解:(1

222221i 12i 12i

1i 111n n n n n n z n n n n +-+-===+-+++,当n →∞时,实部 2 2

111n n -→-+,虚部2 201n n

→+,所以{}n z 收敛于1-. (2 i i 5122n n n n z e ---??? ?=+= ? ? ???

??,当n →∞时502n -??→ ? ???

,那么0n z →,所以{}n z 收敛于0.

(3 当n →∞时,实部(1n -是发散的,所以 {}n z 发散. (4 i 2 cos isin 22 n n n n z e πππ-

==-,实部和虚部都发散,所以 {}n z 发散.

2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性: (1 21131i n n n n ∞ =??

??++?? ??????? ∑; (3 i 2 2 1

n n e n π - ∞ =∑ . 解:(1 记2 131i n n z n n ?? =++ ???

,则当n →∞时1Re(1n n z e n ?? =+→ ???

,那么n z 不趋近于0,所 以级数发散. (3 i 2 2 21

11n n n e n n π - ∞ ∞ ===∑ ∑

收敛,即级数 i 2 2 1 n n e n π- ∞ =∑

绝对收敛,所以收敛.

7、将下列各函数展成z 的幂级数,并指出它们的收敛半径. (1 3

11z +; (3 2cos z . 解:(1 336 33

11(111(n n z z z z z ∞ ===-=-+-+--∑ . 因为1(1lim 1(1 n n n ρ+→∞

-==-,所以收敛半径1R =. (3 22

021*******

cos 211(2cos (1122(2!21222(11(2!22!4!6!n n n n n n n z z z n z z z z n ∞=-∞ =??+==-+?? ??

=-+=-+-+∑∑ 因为21 1 21 2(1 (22! 4 lim lim 0(21(22 2(1 (2! n n n n n n n n n n ρ ++-→∞

→∞-+===++-,所以收敛半径R =∞.

8、将下列各函数在指定点0z 处展成泰勒级数,并指出它们的收敛半径. (3 2 1z ,0

1z =-; (4 1 43z

-,01i z =+; (6 arctan z ,00z =. 解:(3 (2 0((1(1!1!!

n n n n z z f z n z c n n n --=-+== =+,则20 1

(1(1n n n z z ∞ ==++∑. 因为1 lim 1n n n ρ→∞

+==,所以收敛半径1R =. (4 (1 01

(3!(433!! (13in n n n

n n z z f z n z c n n --+=-== =-,则 [] 1

013(1i43(13in n n n z z ∞ +==-+--∑. 因为1 2 1 333lim (13i(13i10 n n

n n n ρ+++→∞==--,所以收敛半径103R =. (6 21222000000 arctan (((1 121n z

z z n n n n n n dz z z z dz z dz z n +∞∞∞=====-=-=-++∑∑∑???. 因为1 (1(1lim

123 21 n n

n n n ρ+→∞--==++,所以收敛半径1R =.

10、求下列各函数在指定圆环域的洛朗级数展开式: (2 2

1(1z z -,01z <<,11z <-<+∞; (5 21 (i

z z -,在以i 为中心的圆环域内; (7 1 (2(3 z z --,3z >.

解:(2 在01z <<内,由于011n n z z ∞ ==-∑,且2

11(11z z '??= ?--??

,所以 2 1

(1(1n n n z z ∞ ==+-∑, 从而21 1(2(1n n n z z z ∞ =-=+-∑.

在11z <-<+∞内,由于 1 11

z <-,所以 011111111(111111 n

n z z z z z z ∞=??==?=?- ?+----?? +-∑, 从而23 01(1(1(1n n n z z z ∞ +=-=--∑

. (5 当0i 1z <-<时,由于2

11z z ' ??=- ??? ,且 1

0011111i (i(1i i (ii i i i 1i n

n n n n n z z z z z ∞∞

+==--??==?=-=- ?-+-??+∑∑, 所以12111(i(1i n n n n n z z -∞ +=-=--∑,从而2121 11(i(1(ii n n n n n z z z -∞ -+=-=--∑.

当1i z <-<∞时,由于 i 11 z <-,所以 1

0011111i i (1i i (ii i i (i1i n

n n n n n z z z z z z z ∞∞

+==??==?=?-=- ?+-----??+-∑∑, 且2 11z z ' ??=- ??? ,从而221

1(1i (1(in n n n n z z ∞ +=+=--∑,所以 2 3

11(1i (1(i(in n n n n z z z ∞ +=+=---∑. (7 由于 21z <且3 1z <,所以 1

0000111111(2(332131213213232n n n n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z z ∞∞∞∞ +====?? =-=?- ?

------??

??--????=-==?? ? ?????????∑∑∑∑ 习题5:

1、求下列函数的孤立奇点并确定它们的类别,若是极点,指出它们的级. (1 22 1 (1z z +; (3

3sin z z ; (4 ln(1z z +; (7 21 (1 z

z e -; (11 1sin 1z -. 解:(1 易见 0z =,i z =±是 22 1 ((1f z z z = +的孤立奇点.由于 22 1

lim

(1z z z →=∞+, 22i 1 lim

(1z z z →±=∞+,所以0z =,i z =±是极点. 0z =,一级极点,i z =±,二级极点. (3 3 0sin lim z z

z →=∞,所以0z =是极点.0z =,二级极点. (4 易见0z =是ln(1(z f z z +=的孤立奇点,且0ln(1

lim 1z z z

→+=,所以0z =是可去奇点; (7 0z =,三级极点,2i 1,2,z k k π==±± (,一级极点; (11 1z =,本性奇点.

5、求下列各函数在有限奇点处的留数. (2 (21 1z z -; (3 ( 2221z z +; (6

21 sin z z . 解:(2 记 ( 2 1 (1f z z z =

-,则易见0,1±是(f z 的孤立奇点,且他们都是一级极点.由规则Ⅰ, (2 01

Res[(,0]lim 0(lim 11z z f z z f z z →→=-==-, (1 1 11

Res[(,1]lim 1(lim (12

z z f z z f z z z →→-=-==-+,

(1 111

Res[(,1]lim 1(lim (12

z z f z z f z z z →-→--=+==--. (3 记 ( 2 2 2 (1z f z z = +,则

(f z 有二级极点i ±.由规则Ⅱ, (3 i i 12i i

Res[(,i]lim i (lim (21!(i4z z d z f z z f z dz z →→= -==-????-+, (3i i 12i i Res[(,i]lim i (lim (21!(i4

z z d z f z z f z dz z →-→---= +==????--. (6 记 21(sin f z z z

=,则(f z 有本性奇点00z =.因为1 sin z 在00z =的去心邻域0z <<∞内 的洛朗级数为 2101(1sin (21! n n n z z n --∞=-=+∑ 于是有 (21 2

01(1sin 0(21!

n n n z z z z n -+∞=-=<<∞+∑ 其中1n

=的项的系数113!c -=-,所以 1Res[(,0]6 f z =-

6、利用留数定理计算下列积分. (1

22(1(1C

dz z z -+? ,C 为圆周22 2(x y x y +=+ 解:被积函数

(f z 在圆周C 的内部有一级极点0i z =和二级极点11z =,由留数的计算规则Ⅰ、Ⅱ得

(2 i i 11

Res[(,i]lim i (lim (1(i4

z z f z z f z z z →→=-==-+, (2 2211121Res[(,1]lim 1(lim (21!(i2 z z d z f z z f z dz z →→-??= -==-??-+.

于是由留数定理得积分值 {}22i

2i Res[(,i]Res[(,1](1(12C dz f z f z z z ππ=+=--+? (2

222 (1z

z e dz z =-? 解:被积函数

(f z 在2z =内有一个二级极点01z =,由留数的计算规则Ⅱ得 (2

22111Res[(,1]lim 1(lim 22(21!z z z d f z z f z e e dz →→??= -==? ?-

于是由留数定理得积分值 2222

2iRes[(,1]4i (1z z e dz f z e z ππ===-? (4 32

sin z z dz z = ?

解:被积函数 (f z 在3 2 z =

内有可去奇点00z =,则Res[(,0]0f z =,所以由留数定理知 32 sin 0z z dz z ==? (6 sin 2212 (1 z

z e dz z z = +? 解:被积函数 (f z 在1 2 z =

内有一个二级极点00z =,由留数的计算规则Ⅱ得 sin 2sin 222 001(1cos 2Res[(,0]lim (lim 1(21!(1z z z z d e z z ze f z z f z dz z →→+-??===??-+ 于是由留数定理得积分值 sin 22 1 2

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