《复变函数与积分变换（刘建亚）》作业答案

《复变函数与积分变换》作业参考答案

习题1：

4、计算下列各式

(1) 3i(3?i)(1+3i)； (3)

3； 2(3?i)6(5) z?1?3i234，求z，z，z； (7) 2?1。

解：(1) 3i(3?i)(1+3i)=3i(3+3i?i+3)=3i(2i+23)=?6+63i；

(3)

333(2?23i)3(2?23i)333?????i； 24?1288(3?i)2?23i(2?23i)(2?23i)(5) z2?1?3i?3i?3?2?23i13????i，

4422?1?3i1?3i?1?3????1， 224z3?z2?z?13z4?z3?z???i．

22(7) 因为?1?cos??isin?，所以

6?1?cos??2k?6?isin??2k?6，

即

k?0时，w0?cosk?1时，w1?cos?6?isin?6?31?i； 223?3??isin?i； 66k?2时，w2?cos5?5?31?isin???i； 66227?7?31?isin???i； 66229?9??isin??i； 66k?3时，w3?cosk?4时，w4?cosk?5时，w5?cos

11?11?31?isin??i． 6622习题2：

3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数．

(2) f(z)?x2?iy； (4) f(z)?sinxchy?icosxshy (6) f(z)?az?b。 cz?d解：(2) 因为u(x,y)?x2，v(x,y)??y，

???u?x?2x，uy?0，vx?0，vy??1．

这四个一阶偏导数都连续，故u(x,y)和v(x,y)处处可微，但柯西-黎曼方程仅在x??成立，所以f(z)只在直线x??处不解析．

(4) 因为u(x,y)?sinxchy，v(x,y)?cosxshy，

1上21上可导，此时f?(z)x??1?2xx??1??1，但复平面上处222???u?x?cosxchy，uy?sinxshy，vx??sinxshy，vy?cosxchy．

这四个一阶偏导数都连续，故u(x,y)和v(x,y)处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以f(z)在复平面内解析，并且

ey?e?yey?e?y?f?(z)?u??isinx?x?ivx?cosxchy?isinxshy?cosx?22eye?yey?ixe?yix??cosx?isinx??． ?cosx?isinx???e??e2222ey?ix?e?y?ixe?iz?eiz???cosz22 (6)

?z?0limf(z??z)?f(z)1?a(z??z)?baz?b??lim??z?0?z?c(z??z)?d?zcz?d????limad?bcad?bc??z?0(cz?c?z?d)(cz?d)(cz?d)2ad?bcd外处处解析，且f?(z)?． 2c(cz?d)

所以，f(z)在除z??

4、指出下列函数的奇点． (1)

z?1z?2； (2) ． 2222z(z?4)(z?1)(z?1)解：(1)

z2(z2?4)?(z?1)(4z3?8z)?3z4?4z3?4z2?8zf?(z)??422z(z?4)z4(z2?4)2??3z?4z?4z?8z3(z2?4)232

所以，f(z)的奇点为0，?2i．

(z?1)2(z2?1)?2(z?2)(z?1)(2z2?z?1)3z3?9z2?5z?3(2) f?(z)? ??422322(z?1)(z?1)(z?1)(z?1)所以，f(z)的奇点为?1，?i．

10、如果f(z)?u?iv在区域D内解析，并且满足下列条件之一，试证f(z)在D内是一常数．

(2) f(z)在D内解析；

?证明：由f(z)?u?iv在区域D内解析，知u(x,y)、v(x,y)在区域D内可微，且u?x?vy，????D内解析，知u?u?y??vx．同理，由f(z)在x??vy，uy?vx．

???D内是一从而我们得到u?x?vy?uy?vx?0，所以u(x,y)、v(x,y)皆为常数，故f(z)在

常数．

15、求解下列方程：

z(2) e?1?0

z解：e??1，于是

z?Ln(?1)?ln1?iarg(?1)?2k?i=(2k?1)?i,k?Z

18、求Ln(?i)，Ln(?3?4i)的值及主值． 解：Ln(?i)?ln?i?iarg(?i)?2k?i???2i?2k?i，所以其主值为??2i；

4Ln(?3?4i)?ln?3?4i?iarg(?3?4i)?2k?i?ln5?i(??arctan)?2k?i，所以其主

3值为ln5?i(??arctan 19、求e解：e

1?i1?i

4)． 3?2

，e

1?i?4

，3i，(1?i)i的值．

?2?e?ei(?)2??????e?cos(?)?isin(?)???ie；

22??e1?i?4?e?e14i?4?2???2?24??e?cos?isin??4e??i?e?1?i?； ???44222????143i?eiLn3?ei(ln3?2k?i)?e?2k?+iln3?e?2k??cosln3?isinln3?； (1?i)i?eiln(1?i)?e

20、求1，(?2)解：122???i?ln2?i?2k?i?4???e1????2k????iln24???e1????2k???4??ln2ln2??cos?isin??．

22??2，1，i，(3?4i)1?i的值．

2k?i?ii?e2Ln1?e2?e?cos(22k?)?isin(22k?)；

?22(?2)2?e2Ln(?2)2ln2?(2k?1)2?i?cos??(2k?1)??2????isin?(2k?1)2??；

?1?i?e?iLn1?e?i(2k?i)?e2k?；

i?eiiLni?e???i?i?2k?i?2???e1????2k???2??；

(3?4i)1?i?e(1?i)Ln(3?4i)?e4????(1?i)?ln5???arctan?i?2k?i?3?????e44??ln5?arctan?2k??i?ln5?arctan?2k??33???5e??2k?4cosln5???isinln5??,??arctan,k?Z????????3

22、解方程： (1) chz?0；

解：z?Arch0?Ln(0?0?1)?Lni??2k?

??1???i，k?Z． 2?习题3：

1、沿下列路径计算积分

?2?i0z2dz：

(1) 从原点至2?i的直线段；

(2) 从原点沿实轴至2，再由2铅直向上至2?i；

(3) 从原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至2?i． 解：(1) 从原点至2?i的直线段的复参数方程为z?x?ix1，dz?(1?i)dx，参数22x:0?2，所以

?2?i01111zdz??(1?i)3x2dx?(1?i)3x3?(2?i)3

023230222(2) 从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为z?x，参数x:0?2，由2铅直向上至2?i的直线段的复参数方程为z?2?iy，参数y:0?1，所以

?2?i0z2dz??z2dz??z2dz??x2dx??(2?iy)2idyC1C200221118i2111?x3??(?iy2?4y?4i)dy???2?4i=?i?(2?i)330033333

(3) 从原点沿虚轴至i的直线段的复参数方程为z?iy，参数y:0?1，由i沿水平方向向右至2?i的复参数方程为z?x?i，参数x:0?2，所以

?

2?i01z2dz??z2dz??z2dz??(iy)2idy??(x?i)2dxC1C200212i1i1???iy2dy??(x?i)2dx???(2?i)3??(2?i)300333322、分别沿y?x与y?x算出积分

?1?i0(x2?iy)dz的值．

解：y?x的复参数方程为z?(1?i)x，dz?(1?i)dx，参数x:0?1所以

??

5、计算积分

1?i0(x2?iy)dz??(x2?ix)(1?i)dx?0151?i； 66y?x2的复参数方程为z?x?ix2，dz?(1?2xi)dx，参数x:0?1所以

1?i0(x?iy)dz??(x2?ix2)(1?2xi)dx?02151?i 66??Czdz的值，其中C为正向圆周： z(1) z?3

解：设C1是C内以被积函数的奇点z?0为圆心的正向圆周，那么

??Czzz?zdz??dz?dz?z???CC11zzzz1??C1zdz?3?2?i=6?i

6、试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C是正向圆周z?1： (1) (4)

??Cdz； (2) z?2??Cdz； (3) 2z?2z?3dz??Ccosz；

dz??C1； (5) z?3??Czezdz； (6)

dz??C?i??5?． ?z???z??2??2??dz??Cz?2?0，根据柯西积分定理； dz(2) ??Cz2?2z?3?0，根据柯西积分定理；

dz(3) ??Ccosz?0，根据柯西积分定理；

dz(4) ??C1?2?i，根据复合闭路定理；

z?3解：(1) (5)

??zedz?0，根据柯西积分定理；

Cz(6)

dz4?i???C?i??5?5?i，根据柯西积分定理及复合闭路定理．

?z???z??2??2??

7、沿指定曲线的正向计算下列积分： (1)

????Cezdz，C:z?3?1； z?3dz，C:z?a?a； 22z?a(2)

C(3)

??Ceiz4C:z?2i?dz，； 23z?1zdz，C:z?2； z?3(4)

??C(5)

dz??C(z2?1)(z3?1)，C:z?r?1；

(6)

??Cz3coszdz，C为包围z?0的闭曲线；

(7)

dz3C:z?，； ??C(z2?1)(z2?4)2(8) (9)

sinz??Czdz，C:z?3；

???Ccosz2???z??2??dz，C:z?3；

ez(10) ??Cz5dz，C:z?1． ezz解：(1) ??Cz?3dz?2?i?e(2)

z?3?2?e3i；

dz1?2?i???Cz2?a2z?a??z??a?ai；

eizeiz?(3) ?； dz?2?i???Cz2?1z?iz?ie(4)

??Czdz?0； z?3(5)

dz??C(z2?1)(z3?1)?0；

(6)

??zC3coszdz?0；

?dz?1?dzdz??2??C(z2?1)(z2?4)2i?????C(z?i)(z2?4)??C(z?i)(z?4)?(7) ；

??1?11??2?2??02i?z?4z??iz?4z?i?(8) (9)

sinz??Czdz?2?i?sinzz?0?0；

???Ccosz??z???2??dz?22?i???sinz???2?i；

?1!z?2ez2?iz(10) ?dz??e5?Cz(5?1)!

?z?0?i12．

21、证明：u?x?y和v?22y都是调和函数，但是u?iv不是解析函数． 22x?y?2u?u?u?2u?2x，2?2，??2y，2??2， 证明：因为?x?x?y?y?v?2xy?2v6x2y?2y3?vx2?y2?2v2y3?6x2y?2，2?，，2?， ?22222322223?x(x?y)?x(x?y)?y(x?y)?y(x?y)所以

?2u?2u?2v?2v????2?0，2?2?0，且u?x?vy，uy??vx． 2?x?y?x?y即u?x2?y2和v?

22、由下列各已知调和函数求解析函数f(z)?u?iv，并写出z的表达式： (1) u?(x?y)(x2?4xy?y2)； (2) v?y都是调和函数，但是u?iv不是解析函数．

x2?y2y，f(2)?0； 22x?y(3) u?2(x?1)y，f(2)??i．

解：(1) 因为f(z)?u?iv是调和函数，所以

?v?u?v?u????3x2?6xy?3y2，??3x2?6xy?3y2． ?x?y?y?x于是

v??(3x2?6xy?3y2)dy?g(x)?3x2y?3xy2?y3．

那么

?v?g?(x)?6xy?3y2??3x2?6xy?3y2， ?x则

g(x)??x3?C，

所以

v??x3?3x2y?3xy2?y3?C，

f(z)?(x3?3x2y?3xy2?y3)?i(?x3?3x2y?3xy2?y3)?iC3223?(1?i)??x?3x(iy)?3x(iy)?(iy)???iC

?(1?i)z3?iC?v?2xy?vx2?y2?(2) ，． ??x(x2?y2)2?y(x2?y2)2因为f(z)?u?iv是调和函数，所以

x2?y2?2xy(x?iy)211?， f?(z)?v??iv??i???yx(x2?y2)2(x2?y2)2(x2?y2)2(x?iy)2z2从而f(z)??1z?C． 由f(2)?0知C?12，所以f(z)?112?z．

(3) 因为f(z)?u?iv是调和函数，所以

?v?u?v?x???y??2(x?1)，?y??u?x?2y． 于是

v??2ydy?g(x)?y2．

那么

?v?x?g?(x)??2(x?1)， 则

g(x)??x2?2x?C，

所以

v??x2?2x?y2?C，

f(z)?(2xy?2y)?i(?x2?2x?y2)?iC??i??(x?iy)2?2(x?iy)?1???iC

??i(z?1)2?iC由f(2)??i知C?0，所以f(z)??i(z?1)2．

习题4：

1、下列数列?zn?是否收敛？若收敛，求其极限．

?n(1) z1?ni?i?nin?1?ni； (2) zn???1?2??； (3) zn?(?1)?n?1；n?i(4) z?n?e2．

1?ni1?n2?2ni1?n22n1?n2???i??1，虚解：(1) zn?，当n??时，实部1?ni1?n21?n21?n21?n2部

2n?0，所以?zn?收敛于?1． 21?n?ni??(2) zn??1???2?敛于0．

?5??ni?5?，当时??en????2???2???0，那么zn?0，所以?zn?收

?????n?n(3) 当n??时，实部(?1)n是发散的，所以?zn?发散． (4) zn?e?n?i2?cosn?n??isin，实部和虚部都发散，所以?zn?发散． 22

2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性：

??1?3?(1) ???1???i2?； (3)

n?n?1???n???n?n?1?e?n?i22n．

n3?1??1?解：(1) 记zn??1???i2，则当n??时Re(zn)??1???e，那么zn不趋近于

n?n??n?0，所以级数发散．

n?i2n?i2n(3)

?n?1?e?n2??1e收敛，即级数绝对收敛，所以收敛． ?22nn?1n?1n???

7、将下列各函数展成z的幂级数，并指出它们的收敛半径． (1)

12cosz． ； (3) 31?z?11解：(1) ???(?z3)n?1?z3?z6??． 331?z1?(?z)n?0因为??lim(?1)n?1(?1)nn???1，所以收敛半径R?1．

2n?cos2z?11??n(2z)cosz????(?1)?1?22?n?0(2n)!?(3)

2n?12n23456?2z12z2z2z??(?1)n??1?????(2n)!22!4!6!n?02

(?1)因为??limn??n?122n?1(2n?2)!n22n?1(?1)(2n)!?lim4?0，所以收敛半径R??．

n??(2n?1)(2n?2)

8、将下列各函数在指定点z0处展成泰勒级数，并指出它们的收敛半径． (3)

11，； (4) ，z0?1?i； (6) arctanz，z0?0． z??102z4?3z?1?n?1，则2??(n?1)(z?1)n．

zn?0f(n)(z0)(?1)n(n?1)!z?n?2解：(3) cn??n!n!因为??limn??z?z0n?1n?1，所以收敛半径R?1．

3n，则 ?(1?3i)n?1f(n)(z0)3nn!(4?3z)?n?1(4) cn??n!n!z?z0?13nn． ??z?(1?i)??4?3zn?0(1?3i)n?13n?1因为??limn??(1?3i)n?2z3103n，所以收敛半径． R??n?13(1?3i)102n?1??zzdz?2n2nnz(6) arctanz??． ???n?0(?z)dz???(?z)dz??(?1)01?z2002n?1n?0n?0(?1)n?1因为??limn??2n?3(?1)n?1，所以收敛半径R?1．

2n?1

10、求下列各函数在指定圆环域的洛朗级数展开式： (2)

1，0?z?1，1?z?1???； 2z(1?z)1，在以i为中心的圆环域内；

z2(z?i)1，z?3．

(z?2)(z?3)(5)

(7)

?11?1??n??解：(2) 在0?z?1内，由于??z，且?，所以 2(1?z)1?zn?0?1?z??1??(n?1)zn， 2(1?z)n?0?1从而??(n?2)zn． 2z(1?z)n??1在1?z?1???内，由于

1?1，所以 z?1n11111??1??????????， z1?(z?1)z?11?1z?1n?0?z?1?z?1?1(?1)n从而． ??2n?3z(1?z)n?0(z?1)1?1??(5) 当0?z?i?1时，由于????2，且

z?z?n?11111??z?i?n(z?i)， ??????????(?1)n?1z?izi?(z?i)i1?in?0?i?n?0iinn?1n?2??11nn(z?i)n?1n(z?i)所以2???(?1)，从而2． ??(?1)n?1n?1ziz(z?i)in?1n?1当1?z?i??时，由于

i?1，所以 z?1n?11111??i?inn， ???????????(?1)zi?(z?i)z?i1?iz?in?0?z?i?n?0(z?i)n?1z?in?11?1??n(n?1)i且????2，从而2??(?1)，所以 n?2zzz(z?i)??n?1n?1n(n?1)i． ??(?1)z2(z?i)n?1(z?i)n?3(7) 由于

23?1且?1，所以 zz1111?11????????(z?2)(z?3)z?3z?2z?1?3z1?2z? nnnnnn????1??3?3?2?2??13?2??????????????nn?1z?zzzzz????n?0n?0n?0n?0???

习题5：

1、求下列函数的孤立奇点并确定它们的类别，若是极点，指出它们的级． (1)

11sinz1ln(z?1)sin； (3) ； (4) ； (7) ； (11) ．

z31?zzz2(ez?1)z(z2?1)211lim??，的孤立奇点．由于2222z?0z(z?1)z(z?1)解：(1) 易见z?0，z??i是f(z)?1??，所以z?0，z??i是极点．

z??iz(z2?1)2limz?0，一级极点，z??i，二级极点．

sinz(3) lim3??，所以z?0是极点．z?0，二级极点．

z?0zln(z?1)ln(z?1)?1，所以z?0是可去奇点；(4) 易见z?0是f(z)?的孤立奇点，且lim

z?0zz(7) z?0，三级极点，z?2k?i（k??1,?2,?），一级极点； (11) z?1，本性奇点．

5、求下列各函数在有限奇点处的留数．

z2112zsin(2) ； (3) ； (6) ． 222zz?1?z??z?1?解：(2) 记f(z)?规则Ⅰ，

1，则易见0，?1是f(z)的孤立奇点，且他们都是一级极点．由2z?1?z?1?1，

z?01?z2Res[f(z),0]?lim?z?0?f(z)?limz?0Res[f(z),1]?lim?z?1?f(z)?limz?1z?1?11??，

z(1?z)2Res[f(z),?1]?lim?z?1?f(z)?limz??111??．

z??1z(1?z)2(3) 记f(z)?z2?z2?1?2，则f(z)有二级极点?i．由规则Ⅱ，

Res[f(z),i]?1d2izi， lim?z?if(z)?lim??????z?i(z?i)3(2?1)!z?idz?41d?2izi． lim?z?if(z)?lim????3??z??iz??i(2?1)!dz(z?i)411，则f(z)有本性奇点z0?0．因为sin在z0?0的去心邻域

zzRes[f(z),?i]?2(6) 记f(z)?zsin0?z??内的洛朗级数为

1?(?1)nz?2n?1 sin??zn?0(2n?1)!于是有

1?(?1)nz?2n?1zsin??zn?0(2n?1)!2?0?z???

其中n?1的项的系数c?1??13!，所以

Res[f(z),0]??

6、利用留数定理计算下列积分． (1)

1 6dz22C，为圆周x?y?2(x?y) 22??(z?1)(z?1)C解：被积函数f(z)在圆周C的内部有一级极点z0?i和二级极点z1?1，由留数的计算规则Ⅰ、Ⅱ得

Res[f(z),i]?lim?z?i?f(z)?limz?iz?i11?， 2(z?1)(z?i)4Res[f(z),1]?1d?2z12lim??z?1?f(z)??lim2??．

?z?1(z?i)2(2?1)!z?1dz?2于是由留数定理得积分值

dz?i?2?iRes[f(z),i]?Res[f(z),1]?? ??22??(z?1)(z?1)2Ce2zdz (2) ?2?(z?1)z?2解：被积函数f(z)在z?2内有一个二级极点z0?1，由留数的计算规则Ⅱ得

Res[f(z),1]?1d2lim??z?1?f(z)??lim2e2z?2e2

?z?1(2?1)!z?1dz?于是由留数定理得积分值

e2z2dz?2?iRes[f(z),1]?4?ei 2??(z?1)z?2(4)

z?sinz??3zdz

2解：被积函数f(z)在z?知

3内有可去奇点z0?0，则Res[f(z),0]?0，所以由留数定理2z?sinz??3zdz?0

2(6)

??z?12esinzdz

z2(z2?1)1内有一个二级极点z0?0，由留数的计算规则Ⅱ得 2解：被积函数f(z)在z?1d2esinz(z2?1)cosz?2zesinzRes[f(z),0]?lim?zf(z)??1 ??limz?0(2?1)!z?0dz?(z2?1)2于是由留数定理得积分值

??z?12esinzdz?2?iRes[f(z),0]?2?i 22z(z?1)d?

5?3cos?i? 9、(1)

?2?0z2?1dz解：令z?e，则d??，cos??．于是

iz2zI??被积函数f(z)?2?0d?2dz ??25?3cos?iz?3z?10z?3?111z??在内有一个一级极点，其留数 z?123z?10z?33

111?1?Res[f(z),?]?lim?z??f(z)?lim?

13z??1?3?8z??3(z?3)33所以

21?I?2?i???

i82(5)

???0x2dx

(x2?1)(x2?4)x2解：R(x)?2是偶函数，而R(z)在上半平面内有一级极点z0?i和z1?2i，2(x?1)(x?4)且

z2i， Res[R(z),i]?lim?z?i?R(z)?lim?z?iz?i(z?i)(z2?4)6z2iRes[R(z),2i]?lim?z?2i?R(z)?lim2??，

z?2iz?2i(z?1)(z?2i)3所以

???0x21?ii??dx??2?i?????

(x2?1)(x2?4)2?63?6(6)

?????cosxdx

(x2?1)(x2?9)1，m?4，n?0，m?n?1，且R(z)在实轴上无孤立奇点，故

x4?10x2?9??解：R(x)?积分

?存在，所求积分I是它的实部．

??eixdx 22(x?1)(x?9)函数R(z)在上半平面有两个一级极点z0?i和z1?3i，而且

eizi， Res[R(z)e,i]?lim?z?i?R(z)e?lim??z?iz?i(z?i)(z2?9)16eizizeizi， Res[R(z)e,3i]?lim?z?3i?R(z)e?lim2?z?3iz?3i(z?1)(z?3i)48e3iziz从而

?????eixi???i2dx?2?i???3e?1? ??223?3(x?1)(x?9)?16e48e?24e所以

?

????cosx?2dx?3e?1? ?223(x?1)(x?9)24e习题8：

4、试求f(t)?e?t的傅氏变换．

解：f(t)的傅里叶变化为

F(?)????e??0????f(t)e?j?tdt??ete?j?tdt??e?te?j?tdt??00??(1?j?)tdt??e?(1?j?)tdt0??0??11(1?j?)t0?e?e?(1?j?)t??1?j??(1?j?)112???21?j?1?j???1

5、试求矩形脉冲f(t)??

?A,0?t??,的傅氏变换．

?0,其他解：f(t)的傅里叶变化为

F(?)??????f(t)e?j?tdt??Ae?j?tdt0?A?j?t?A(1?e?j??)?e?0?j?j?

6、求下列函数的傅氏积分：

?0,???t??1,??1,?1?t?0,?(1) f(t)??

?1,0?t?1,??0,1?t???.解：f(t)是(??.??)上的奇函数，则

a(?)?0，

b(?)?2????0f(?)sin??d??2??10sin??d???21?cos??，

?于是

f(t)??a(?)cos?td???b(?)sin?td?00??????

??0?21?cos?2??1?cos???sin?td???sin?td?

??0?22??1?t,t?1,7、求函数f(t)??的傅氏积分，并计算 2t?1??0,?a(?)?2????xcosx?sinxx?cosdx． 3x2解：f(t)是(??.??)上的偶函数，则

????0f(?)cos??d??2??10(1??2)cos??d??4(sin???cos?)??3，

b(?)?0，

于是

f(t)??a(?)cos?td???b(?)sin?td?00??????

??4(sin???cos?)0??3?cos?td??4????sin???cos?

0?3cos?td?10、求符号函数sgnt????1,t?0,的傅氏变换．（提示：sgnt?2u(t)?1．）

?1,t?0?1?2． ???(?)??2??(?)?j?j?????解：方法一：F[sgnt]?2F[u(t)]?2??(?)?2???0方法二：F(?)?

???sgnt?e?j?tdt???e???j?tdt??e?j?tdt?02． j?11、求函数f(t)?sin2tcost的傅氏变换． 解：f(t)?sin2tcost?sin(2t?t)?sin(2t?t)1??sin3t?sint?，则

22F[f(t)]?1?F[sin3t]?F[sint]?2j??[?(??3)??(??3)??(??1)??(??1)]2

15、利用位移性质计算下列函数的傅氏变换：

(1) u(t?C)；(2)

1[?(t?a)??(t?a)] 2解：(1)

F[u(t?C)]?e?j?CF[u(t)]?e?j?C??1?1?j?C???(?)??e???(?)； ?j??j?j?a?j?a??(t?a)??(t?a)?F[?(t?a)]?F[?(t?a)]e?e(2) F????cos?a． ?222??

23、求下列函数的傅氏变换： (2) f(t)?ej?0tu(t)；(3) f(t)?ej?0tu(t?t0)；(4) f(t)?ej?0ttu(t)．

1???(?)，由卷积j?j?0t解：(2) 记F(?)?F[e]?2??(???0)，F2(?)?F[u(t)]?1定理有

11F[f(t)]?F1(?)?F2(?)?2?2??1?2??(???)???(???)0??d????j(???)??????1???(t)????(??t??0)?dt(令t????0) ???j(??t??0)????11???(??t??0)????(???0)j(??t??0)j(???)0t?01j?0t(3) 记F]?2??(???0)，F2(?)?F[tu(t)]??1(?)?F[e?2?j???(?)，由卷积

定理有

F[f(t)]???1?2??(???)??j??(???)d?0??2????(???)?????1????(t)???j??(??t??0)?dt(令t????0) 2??(??t??)0??11F1(?)?F2(?)?2?2?????11??j??(??t??)???j???(???0)022(??t??0)(???0)t?01?j?t0e???(?)，由j?j?0t(4) 记F]?2??(???0)，F2(?)?F[u(t?t0)]?1(?)?F[e卷积定理有

F[f(t)]???11F1(?)?F2(?)?2?2??1???(t)?e?j(??t??0)t0???j(??t??0)?

?1??j(???)t02??(???)e???(???)d?0??????j(???)?????(??t??0)?d?(令t????0)

???11e?j(??t??0)t0???(??t??0)?e?j(???0)t0???(???0)j(??t??0)j(???0)t?0习题9：

2、求下列函数的拉氏变换：

?1,0?t?1,?(1) f(t)???1,1?t?5,

?0,t?5?(3) f(t)?cost?(t)?sintu(t). 解：(1) L[f(t)]????01f(t)edt??edt??e?stdt?(1?2e?s?e?5s)．

01s?st1?st5(3) L[f(t)]????0f(t)edt???st??01s2(1?sint)edt?1?2?．

s?1s2?1?st

3、求下列周期函数的拉氏变换：

?sint,0?t??,2?(1) f(t)以为周期且在一个周期内的表达式为f(t)??．

0,??t?2??T?11?stL[f(t)]?f(t)edt?sinte?stdt?sT?0?sT?01?e1?e解：

?11?(j?s)t1??edt??sinte?(j?s)tdt??2?s?01?e2j0(1?e??s)(s2?1)??

4、求下列函数的拉氏变换： (1) f(t)?(t?1)e； (2) f(t)?5sin2t?3cost； (3) f(t)?1?te；

(6) f(t)?ecoskt（k为实常数）；

tt2t(9) f(t)?te?3tsin2t； (10) f(t)?t?e0t?3tsin2tdt；

e?3tsin2t(11) f(t)?．

tL[f(t)]?L[t2et?2tet?et]?L[t2et]?2L[tet]?L[et]解：(1)

211s2?4s?5??2???32(s?1)(s?1)s?1(s?1)3103s? s2?4s2?1

(2) L[f(t)]?5L[sin2t]?3L[cost]?(3) L[f(t)]?L[1]?L[te]?t11?； 2s(s?1)(6) F(s)?L[coskt]?s?1sL[f(t)]?F(s?1)?，则由位移性质有；

s2?k2(s?1)2?k224(s?3)?L[f(t)]??F(s)?，则； 222(s?3)?4[(s?3)?4]2?te?3tsin2tdt??1F(s)，从而 L，则

????0?s(s?3)2?4(9) F(s)?L[e?3tsin2t]?(10) F(s)?L[e?3tsin2t]?2d?1?2(3s?12s?13)； L[f(t)]???F(s)??222ds?ss[(s?3)?4]?(11) F(s)?L[e??3tsin2t]?2，则

(s?3)2?4s?3s?3?arccot． 22L[f(t)]??F(s)ds?s?2?arctan

(9) f(t)?te?3tsin2t； (10) f(t)?t?e0t?3tsin2tdt；

e?3tsin2t(11) f(t)?．

tL[f(t)]?L[t2et?2tet?et]?L[t2et]?2L[tet]?L[et]解：(1)

211s2?4s?5??2???32(s?1)(s?1)s?1(s?1)3103s? s2?4s2?1

(2) L[f(t)]?5L[sin2t]?3L[cost]?(3) L[f(t)]?L[1]?L[te]?t11?； 2s(s?1)(6) F(s)?L[coskt]?s?1sL[f(t)]?F(s?1)?，则由位移性质有；

s2?k2(s?1)2?k224(s?3)?L[f(t)]??F(s)?，则； 222(s?3)?4[(s?3)?4]2?te?3tsin2tdt??1F(s)，从而 L，则

????0?s(s?3)2?4(9) F(s)?L[e?3tsin2t]?(10) F(s)?L[e?3tsin2t]?2d?1?2(3s?12s?13)； L[f(t)]???F(s)??222ds?ss[(s?3)?4]?(11) F(s)?L[e??3tsin2t]?2，则

(s?3)2?4s?3s?3?arccot． 22L[f(t)]??F(s)ds?s?2?arctan

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