微分方程与差分方程_详解与例题

第七章 常微分方程与差分方程

常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容：

1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。

【考点八十三】形如y f(x)g(y)的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当g(y)

0时,y f(x)g(y)

dyg(y)

f(x)dx

，然后左、右两端积分

dyg(y)dyg(y)

f(x)dx C,

1g(y)

上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数，

f(x)dx

表示函数

的一个原函数，

xy x y 1

表示函数

f(x)

的一个原函数.

【例7.1】微分方程y 的通解为____________。

【详解】 y x 1 y 1

dydx

，

dyy 1

x 1 dx .

12

两边积分得

1

dyy 1

x 1 dx， 即 lny 1

1

x 1 2

c1，

y 1 e

c1

e

2

x 1 2

Ce

2

2

x 1 2

1

，

y Ce

2

x 1 2

1

，C为任意常数。

0

【例7.2】微分方程 xy【详解】分离变量得

xx

2

xdx xy ydy 0

2

，当x时，y

x

1的特解为____________。

xy

2

1dx yx

2

1dy 0

，

x

2

dx

y

y

2

dy 0

.

1

2

1

积分得

lnx

2

dx

1

2

yy

2

1

dy C1

，

12

lnx

2

1

12

lny

1 C1，

1y

1 2C1，即 x2 1 y2 1 e2C1 C.

令x 0,y 1，则 2 C

， ∴所求特解为 x2

1y

2

1 2

.

【例7.3】若连续函数f x 满足关系式f x 0

f

2x

t

f dt ln2，则 2

x 等于（ ）

x

2x

（A）eln2.（B）e

ln2.（C）e

x

ln2.（D）e

2x

ln2.

【详解】对所给关系式两边关于x求导，得f x 2f x ，且有初始条件f 0 ln2. 于是，

f x 2f

x ，

ln|f

dff

x

x

2dx，积分得

x |

2x ln|C|，故 f

2x

x

Ce

2x

.

令x 0,得C ln2.故f x eln2.应选（B）。

1

,其上任一点 且2

x过点 0, 【例7.4】已知曲线y f

x, y处的切线斜率为

xln1 x

2

,则f x _______.

【详解】y f x 满足

y

dydx

xln1 x

2

,y|x 0

1

12

.

1

xln

1 x2 dx 2 ln 1 x2 d x2 2 1 x2 ln 1 x2 2x2 C

12

代入上式,得C

1

12.

故f

1

将

x 0,y

x

22

1 x ln 1 x 1 . 2

0

【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k。

假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的

78

，问雪堆全部融化需要多少小时？

43

3

2

【详解】半径为r的球体体积为 r，表面积为4 r，而雪堆为半球体状，故设雪堆在t时刻的底面半径为r，于是雪堆在t时刻的体积V 与侧面积S均为时间t的函数。

由题意，有即

drdt

dvdt

kS.

23

23

r，侧面积S 2 r。其中体积V，半径r

32

3r

2

drdt

k 2 r

2

。

k,dr kdt，

0

dr k dt， r kt c

又 t而V

k

时，r

18V

t 0

r0, r0 C，即r kt r0 .

23

t 3

t 0

，即

16

3k r0

3

123

r083

.

16

r0，r

r0t r0

。

当雪堆全部融化时，r

0,V 0

令0

16

r0t r0

，得t

6

（小时）。

【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为

N，在t 0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)（将x(t)视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数k 0，求x(t)。

【详解】首先要根据题中所给条件，建立x(t)的微分方程。由于题中条件很明确，即：x(t)的变化率

dxdt

与x(t) N x(t) 成正比，容易得出x(t)的微分方程，再求出特解即得x(t)。

dxx N x

dx

kx N x

由已知得 dt

xt 0 x0

, 分离变量，得

kdt

.

积分得 即

dxx N x

kdt

dx x x

1N

kt c1

N

ln

x

ln

1

1

dx

N x N

1

x

1

dx

x N

1

x

1N

xx N

1N

xN x

ln

N x

Nce1 ce

Nkt

Nkt Nc1 ,

xN x

e

NC1

e

Ntk

Ce

x0N x0

Nkt

.

x

Nkt

, 又

x

t 0

x0

∴代入得

C

，

故

x(t)

Nx0e

Nkt

Nkt

。

N x0 x0e

【考点八十四】形如

u ux,

du

dy

y dx x

的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令u

dudx

u yx

yx

，则

dydx

u x

dxx

dudx

，代入得

u x

.分离变量，得

du

u u

dxx

。两端积分，得

u u

【例

，求出积分后，将u换成，即得齐次方程的通解。

22

y x y dx xdy 0 x 0

7.7】求初值问题 的解。

yx 1 0

x

2

【详解】 y

y

2

dx xdy 0

x

yx

0

2

dydx

x

y

x

故此方程为齐次方程，其解法是固定的。 令u

du1 u

2

yx

,y xu,

dydx

u x

dudx

，故u

x

dudx

2

u 1 u

2

dxx

，积分得 lnu 1 u

lnx c

1

u u

2

e

lnx C1

e

c1

x Cx

代入u

yx

，得

yx

1

yx

22

Cx

即y

0

2

x

2

y

2

cx

2

，由已知y

1

2

x 1

0

，代入得

0

2

C 1 ， C

y

y

2

∴所求初值问题的解为

x x

2

，化简得y

12

x

2

1

.

【例7.8】设函数f(x)在[1, )上连续。若由曲线y f(x)，直线x 1,x t(t 1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 V(t)

y f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y

3

[t

2

f(t) f(1)].试求

x 2

29

的解。

【详解】由旋转体体积计算公式得V(t)

t

1

f

2

(x)dx,于是，依题意得

t

1

f

2

(x)dx

2

3

[t

2

f(t) f(1)] .

2

两边对t求导得 3f(t) 2tf(t) tf'(t).

dydx

yx

yx

将上式改写为 xy' 3y 2xy，即

22

3()

2

2 .

令u

yx

，则有 x

dudx

3u(u 1).

当u 0,u 1时，由

duu(u 1)yx

3dxx

. 两边积分得

u 1u

Cx

3

.

从而方程

dydx

3(

yx

)

2

2 的通解为y x Cxy(C为任意常数）。

3

由已知条件，求得C 1,从而所求的解为

x1 x

3

3

y x xy或y

(x 1).

【例7.9】求微分方程(3x 2xy y)dx (x 2xy)dy 0的通解.

222

【详解】将微分方程(3x 2xy

dydx

y

2

22

y)d x(x

2

2x)y d进y0行恒等变形，化为

2xy 3xx

2

2

. 设y xu，有

2xy

x

dudx

3u

2

u 1

2u 1

2

，则

u

3

2u 1

2

du

2

3

3x

dx.

u 1

2

积分得 u u 1 Cx

dydx

,即xy xy x C.

【考点八十五】1. 形如 p(x)y Q(x) 0的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其

p(x)dx

e Q(x)e

通解公式为：y

p(x)dx

c

.

【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分

p(x)dx和

Q(x)e

p(x)dx

dx

，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c。

2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。

3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程y p(x)y Q(x)等价于

e p

(x)dx

[y p(x)y ]

p(x)dx

pe

xd(x)

Q(即x)[e.

dx c,

p(x)dx

y] e

p(x)dx

Q(x).

两边积分得e

y

Q(x)e

p(x)dx

即

y e

p(x)dx

[ Q(x)e

p(x)dx

dx c].

【例7.10】微分方程xy 2y xlnx满足y(1)

19

的解为.

【分析】直接套用一阶线性微分方程y P(x)y Q(x)的通解公式：

P(x)dx

P(x)dx

[ Q(x)edx C]， y e

再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y

2x

y lnx，

2x

于是通解为 y e

13

2x

dxdx

[ lnx e

dx C]

1x

2

[ xlnxdx C]

2

=xlnx

19

x C

1x

2

，

由y(1)

19

得C=0，故所求解为y

13

xlnx

19

x.

【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为

xy 2xy xlnx，即 [xy] xlnx，两边积分得 xy

22

2

2

2

xlnxdx

2

13

xlnx

3

19

x C，

3

再代入初始条件即可得所求解为y

微分方程【例7.11】设y e是

x

13

xlnx

19

x.

xy yp)x( x的一个解

,求此微分方程满足条件y

x ln2

0

的特解。

【详解】先求p(x), y e是方程xy p(x)y x的解， 代入方程得x (e) p(x)e x,解出p(x)

xe

x

x

x

x

x.代入原方程得

-x

xy (xe

-x

x)y x，即 y (e 1)y 1.

p(x)y Q(x)的通解公式为

这是一阶线性非齐次微分方程，而y

-y e

p(x)dx

：

Q(x)e

p(x)dx

dx C

对应地，P(x)

y e

e

e

x

1,Q(x) 1

x

x 1 dx

e

e

x

e

1 e

1dx

x e x e x e x dx c dx c e

e

x e x

d e

x

C

e

1

x e x e e x

C

ex Ce

12

x e x

又由y

x ln2

0，得0 2 2e2 C，即c e

(x e

x

，

y e

x

12

)

e

f(x)

。

【例7.12】设

y ay f(x)

yx 0 0

为连续函数，（1）求初值问题

f(x) k

的解y(x)，其中a是正常数；（2）若

ka

（k为常数）。

证明：当x

0

时，有

y(x)

1 e

ax

【详解】原方程的通解为

adx adxdx C e ax

y e f(x)e

f(x)e

ax

dx C

Ce

ax

e

ax

f(x)e

ax

dx

0

x

由于在本题中未给出函数

f(x)

的具体表达式，在上式中想利用初始条件y

ax

x 0

来确定常数C

at

很困难。而通解中的式子 通解为y令x

0

Ce

ax

f(x)edx

实为

f(x)e

ax

的一个原函数，因此改写为

f(t)edt

，于是

e

ax

0

x

f(t)e

at

dt

。 即c

0

，由y 0

，得0及x

C 0

.故所求的解是y

e

ax

0

x

f(t)e

at

dt

。

（2）由题设当x

0

f(x) k 0

知，

dt

时，

e

y e

x

ax

0

x

f(t)e

at

e

x

ax

0

x

f(t)eka

at

dt

ax

ax

f(t)e

at

dt ke

ax

e

at

dt e

ax

e

1

ka

1 e

ax

【例7.13】设有微分方程y 2y

(x)

2,若x 1 0,若x 1

(x)

，其中

y(x)

试求在 , 内的连续函数y，使之在 ,1 和 1, 内都满足所给方

程，且满足条件y 0 0。

【详解】线性方程y 2y (x)中的非齐次项 (x)有间断点x 1。在点x 1处 (x)无定义，且x 1为 (x)的第一类间断点中的跳跃间断点。当x 1及x 1时均可求出方程的解y y(x)，二者相等。又因为y

y(x)

是连续函数，故

lim

x 1 0

y(x) lim

x 1 0

y(x) y(1)

，从而可以确定y(x)中的任

意常数，得到解y(x)。 ∵当x 1时方程为y 2y

2

，其通解是

2dx 2dx 2x

y e 2e dx c1 e

2e

2x

dx c1 c1e

2x

1。

将初始条件y 0

c1 1

代入通解中，得到

e

2x

∴得特解y

，

e

1 x 1 .又 当x

1

时方程为y 2y

0

，

即

dydx

2y

dyy

2x

2dx

，两端积分得 lny 2x c2， .因为y

y(x)

2x

即y

e

c2

Ce

2x

是连续函数，所以有

1 e

2

lim

x 1 0

e

2x

1 limCe

x 1 0

， C

1 e

.

故当x

1

时，特解为y

2

e

2x

。

补充

y y(x)

在x

1

处的函数值

y(1) e

2

1

，则得到在 , 上的连续函数，即所求解为

2x 1,若x 1 e

y x

22x

e,若x 1 1 e

.

【例7.14】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在( , )内满足以下条件：f (x) g(x)，

g (x) f(x)，且f(0)=0, f(x) g(x) 2e.

x

(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式.

【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程. 【详解】 (1) 由

22

F (x) f (x)g(x) f(x)g (x)=g(x) f(x)

=[f(x) g(x)] 2f(x)g(x)=(2e)-2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为 F (x) 2F(x) 4e

2dx2dx2x

(2) F(x) e [ 4e e dx C]

2x

2x2

.

=e

2x

[ 4e

4x

dx C]=e

2x

Ce

2x

.

2x

将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是 F(x) e e

2x

.

【例7.15】f (u , v)具有连续偏导数，且满足fu (u,v) fv (u,v) uv. 求y(x) e

2x

f(x,x)所满足的一阶微分方程，并求其通解.

【分析】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程。先求y ，利用已知关系

fu (u,v) fv (u,v) uv，可得到关于y的一阶微分方程.

【详解】因为

y 2e

2x

f(x,x) e

2x

2x2 2x

fu (x,x) efv (x,x) 2y xe，

所以，所求的一阶微分方程为y 2y xe

2 2x

.

13 2dx2 2x 2dx 2x

( xeedx C) (x C)e解得 y e (C为任意常数).

3

【例7.16】设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(esiny)满足方程

x

z x

2

2

z y

2

2

e

2x

z,求f(u)。

【详解】

z x

2

x

f (u)esiny,

z y

x

f (u)ecosy,

z

x

2

2

x2x2

f (u)esiny f (u)esiny,

z y

2

x2x2

f (u)esiny f (u)ecosy

2

代入原方程，得f (u) f(u) 0。特征方程为r 1 0，特征根为

r=1,-1, 故f(u) C1e C2e

u u

【例7.17】设f(x)是可微函数且对任何x,y

yx

恒有f(x y) ef(x) ef(y), 又f (0) 2，求f(x)所满足的一阶微分方程，并求f(x)

【详解】 令x=y=0,得f(0)=2f(0)， 故f(0)=0。

在方程f(x y) ef(x) ef(y)两边对y求偏导数，有

yx

f (x y) ef(x) ef (y) 。

y

x

x

令y=0，得f (x) f(x) ef (0) 。于是求f(x)，归法为求解下列初值问题：

f (x) f(x) 2ex

f (0) 2,f(0) 0

解得 f(x) e

dx

C 2e

x

e

xdx

dx=ce 2xe

xx

。

由f(0)=0，得C=0，故f(x) 2xe 。

【例7.18】求ylnydx x lny dy 0的通解。

dxdy

xylny

1y

x

【详解】化为标准型：

dydx

，

对比公式：

p(x)x Q(x)

，通解为

y e

p(x)dx

Q(x)e

p(x)dx

dx c

得新公式：

dxdy

P(y) x Q(y)，通解为

x e

p(y)dy

Q(y)e

p(y)dy

dy c

dyylny

而本题：P(y)

1ylny

1y

,Q(y)

1y

,

P(y)dy

lnlny，

Q(y)e

P(y)dy

dy

e

lnlny

dy

1y

lnydy

12

ln

2

y,

∴通解为x e

lnlny

1 12 12

lny C lny c， 2 lny 2

即2xlny lny C 【例7.19】设y(x)连续，求解方程 【详解】因为原方程中x2， 0转化为微分方程：

y(x)

12

y (x) 2x

x

x

2

y(s)dx

12

y(x) x

2

.

y(s)dx

均可导，故y(x)可导。对方程两边同时求导，将积分方程

，即y (x) 2y(x)

4x

.

根据一阶线性微分方程通解公式，得

2dx 2dxdx c e 2x

y(x) e 4xe

4xe

0

2x

dx c 2x 1 Ce

2x

又

2

y(x) 2x

0

x

y(s)ds

, ∴当x

1

时，y 0

2x

.

代入得

0 1 C

C.

y(x) e

2x 1

【例7.20】设函数在区间 a,b 上连续，且满足方程且x1,x2

a,b ，求f(x)

1x2 x1

x1

x2

f(x)dx

12

f(x1) f(x2) ，x1 x2

，

。

1x a

【详解】当x a,b 时，由已知条件 即

x

a

x

f(t)dt

12

f(a) f(x) ，

a

f(t)dt

12

x a2

f(a)

f(x)

f(x) . x a2

两边对x求导得

即

f (x)

1x a

f(x)

f(a)x a

f(x)

f(a) f (x), .

这是一阶线性微分方程，代入通解公式，得

f(a) ( x a)dx ( x a)dx

f(x) e edx C C(x a) f(a) .

x a

1

1

令x

b

，得c

f(b) f(a)

b a

，故

f(x)

f(b) f(a)

b a

(x a) f(a)

。

【例7.21】过点

1

,0 且满足关系式y arcsinx 2

1的曲线方程为y ______.

【详解】方程化为y

1arcsinx1

.

设

P

1

Q

arcsinx

.

于是 Pdx 通解

y e

darcsixn

lnarcsxi n

arcsixn

arcsinx

1

e

lnarcsinx

.

x C

dx C .

arcsinx

.

lnarcsinx

由y

111 1

0可定出C ,故曲线方程为y x

2arcsinx 2 2

【例7.22】求微分方程xdy x 2y dx 0的一个解y y x ，使得由曲线

y y x 与直线x 1,x 2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。

【详解】题设方程可化为

2

dydx

2x

y 1.利用求解公式，得通解

y ex

dx

2 dx

exdx C x Cx2.

旋转体体积V C x Cx1

62 5

2

2

2

7 31215

dx C C .

23 5

由V C

C

75627515

C .VC 0.C 0解得由于故为惟一极

2 1245124

75124

x.

2

小值点，也是最小值点，于是得y x

【考点八十六】可降阶的高阶微分方程：

1.大纲要求：会用降阶法解下列高阶微分方程：

y

(n)

f(x)

；

2．方程y(n)

y f(x,y )y

（缺y）；

。 f(y,y )（缺x）

：直接求n次积分，即可求解。

f(x)

3．方程y f(x,y )：这类方程的特点是不显含未知函数y。

令p y ，则化为关于P的一阶微分方程u f(x,p)，然后再用解一阶微分方程的解法解之。

4．方程y f(y,y )：这类方程的特点是不显含自变量x。

令P P(y) y ，则

y

d

2

y

2

dx

dpdydpdpd dy

P

dx dx dxdydxdy

.

因而原方程化为关于P的一阶微分方程：P

2

1 y 2yy ,

7.23】求初值问题 的解。

y(1) 1,y(1) 1

dpdy

f y,p .

【例

【详解】 方程1

y

2

2yy 不显含x，

dpdx

dpdy

dydx

dpdy

令p y ，y

d

2

y

2

dy dx

p

dx

。

代入原方程得1

p

2

2yp

dpdy

，即

dpdy

1 p2yp

2

。分离变量，得

2pdp1 p

2

dyy

。

两边积分，得ln p由初始条件：y

P

2y 1

2

lny C1， 1 p2 ec1y Cy

1时，p 1，故c 2， P2 2y 1 .

，p

2y 1

（不合题意舍去）.

.两边积分得

2y 1 x C1，

dydx

2y 1

，即

dy2y 1

dx

再由y(1) 1，得c1

2

.∴所求特解为

2y 1 2 x

，即y

12

x

2

4x 5

.

【例7.24】微分方程xy 3y 0的通解为__________。 【详解】设y

dpp

3dxx

P

，则y

dpdx

.方程化为x

dpdx

3p 0

。分离变量，得

。两端积分，得lnp 3lnx c1

c1

P e

c2

1x

3

cx

3

，即

c3x

2

dydx

cx

3

， dy

cx

3

dx

. .

轴上的截距等于

x0

1

x

积分得y

1x

2

c2 c2

. 因此应填y

c3x

2

c2

【例7.25】设对任意x求

f(x)

0

，曲线y f(x)上点 x,f(x) 处的切线在y

f(t)dt

，

的一般表达式。

f(x)在点 x,f(x) 处的切线为Y

【详解】曲线y

令x

0

f(x) f (x) X x 。

，得切线在y轴上的截距为Y

f(x) xf (x)

1x

f(x) xf (x)

(x) x

2

。

由已知

0

x

f(t)dt

，即xf

f (x)

0

x

f(t)dt

。

两端对x求导，得 令P

f (x)

xf (x) f (x) 0dpdx

。

P 0

，则

dpp

f (x)

。代入得x

P

C1x

dpdx

，

c1x

分离变量，得

dxx

。 即

df(x)dx

。

积分得f(x) c1lnx C2。 【例7.26】求微分方程y 【详解】设

1dp2

dy

2

12

(y )

2

2y

满足条件y

dpdy

dydx

p

x 0

2

，y

x 0

2

的特解。

Pdpdy

12p

2

p y

，于是

dpdy

y

dpdx

dpdy

. 代入原方程，得

2y

，即

12

2

p

2

2y

.

p

2

4y

。

这是关于p2和y的一阶线性方程，其通解为

p

2

1dy 1dy y

e 4ye dy C1 e

4ye

y

dy C1

p

2

e

y

4ye

y

4e

y

C1 c1e

y

4 y 1 .

解出P，则P

c1e

y

4 y 1 或P

c1e

y

4 y 1 （不合题意舍去）

P y

c1e

y

4 y 1 。

，即y

4 y 1

又

y

x 0

2

，y

x 0

2

， c1

0

dy 2y 1

，分离变量，得

dy 2dx

.

dx

y 1

两边积分得y 1 x C

， y x c 2

1

，

代入y

，得c 1. y x 1 2

1 x

2

x 0

2

2x 2

.

【例7.27】函数f x 在[0, )上可导,f 0 1.且满足等式

f x f

x

1

x

x 1 0

f t dt 0,

（1）求导数f x ；

（2）证明：当x 0时,成立不等式:e

x

f

x 1.

【详解】（1）原方程两边乘x 1后再求导，得

x 1 f x x 2 f x .

设f (x) p,则f x

dpdx

.方程化为 x 1

dpdx

x 2 p，

，故 dp

x 2p

x 1

x，f x p

Ce

x

x 1

.

由f 0 1及f 0 f 0 0，知f 0 1，从而C 1，故f x

e

x

x 1

.

x

（2）对f x

e

两端积分，得

x 1

xe

t

t

f

x

f

0 0

t 1

t，即

xe

t 1

t 1 f

x .

当x 0时,有0 xe t

x

0t 1

dt

e tdt 1 e x

0.

于是 0 1 f

x 1 e x

，所以 e x

f

x 1.

【考点八十七】二阶常系数齐次线性微分方程:

1．标准形式：y py qy 0，p,q均为常数。

2．通解公式：①特征方程为r2

pr q 0

；

②若特征方程有互异实根r1 ry

cr2

，则通解为1

1e

cr2

2e

；

③若特征方程有相等实根r1 rr

，则通解为y

c crx

2 12x e；

④若特征根为共轭复根r i

（ , 为常数， 0

），

则通解为y

e

x

c1cos x c2sin x

【例7.28】求下列微分方程的特解：

2y 3y 26y ，当x 0

时，y

0

，y 1。

【详解】对应的特征方程为

2r2

26r 3 0

，有二重特征实根

r66x

1 r2

2

. 所以微分方程的通解为y

c1 c2x e

rx

c1 c2x e

2

。

6求导得

x

y 66

2

c1 c2 c2x 2e

.

2

由已知，当x

0

时，y 0,y 1。

∴代入得，

c1 0 c 即 1 0 ，

1 6

c

21 c2 c2 1

6

故所求特解为x

y

xe

2

。

【例7.29】设二阶线性常系数齐次微分方程

y by y 0的每一个解y(x)都有在区间(0,

)

上有界，则实数b（ ）。

（A） 0, （B） ,0 （C） ,4 （D） , 解：应选（A）。 对应的特征方程为

r

2

br 1 0

r

b

b2

则 4

2

（1）当b 2

时，‘

特征根r1

rb2

2

，其通解为

的取值范围是

y c1 c2x e

rx

c1 c2x e

x

。

其中c12

lim

x

c2 0 c2x e

x

2

，而此时

c1

∴在区间(0, )内， 当b

2

，通解y c1

2

c2x e

x

无界。

不合题意，故b（2）当b可以等于2。

（3）当b2

r1

b

2 b

b2

2

。

r2

b2

1，其通解为y c1 c2x e

x

2

时，特征根r1

，在(0, )内有界。故b

4 0b

2

时，特征根

b

b2b

b2

2

4

2

4

b 42

2

r2

4

2

b

4

其通解为y∴当b2

b

b2

2

b 42

b

c1e c2e

4 0 4

时，要想使通解y在区间(0, )上有界，只需要 且

b

b2

2

0

4

0

成立。

即b

2

4 0

2

（4）当b2

r

b

b2

x

时，特征根为共轭复根，

b

4 bi2

2

4

则其通解为

y e

c1

b

cos x c2sin x

e

2

x

ccos 1

b

2

4

2

c2sin

b

2

4

2

要想使通解y在区间(0, )上有界， 只需要

b2 0

，即b

0

且b

2

，

0 b 2

综上所述，当且仅当b 0时，方程

y by y 0的每一个解y(x)都在区间(0, )上有界，故选（A）。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t1pj.html