常微分方程第三版课后答案

常微分方程 习题2.2

求下列方程的解 1．

dy

dx

=y sinx 解： y=e dx( sinxe dx

dx c)

=ex[-

12e x

(sinx cosx)+c] =c ex-1

2

(sinx cosx)是原

方程的解。 2．

dx

dt

+3x=e2t 解：原方程可化为：

dx

=-3x+e2tdt

所以：x=e 3dt

(

e

2t

e

3dt

dt c) =e 3t (1

e5t5+c)

=c e 3t+1

e2t5

是原方

程的解。

3．

ds

dt

=-scost+12sin2t

解：s=e costdt( 1

2

sin2te 3dtdt c )

=e sint( sintcostesintdt c) = e sint(sintesint esint c) =ce sint sint 1 是原方程的解。 4．

dydx x

n

y exxn ， n为常数. 解：原方程可化为：dydx x

n

y exxn

n

n

y e

xdx

( exxn

e

xdx

dx c)

xn(ex c) 是原方程的解.

5．

dydx+1 2x

x

2y 1=0 解：原方程可化为：dydx=-1 2x

x

2y 1

x 1 2xy e

2x

2

dx

(e

1x2

dx

dx c)

2 e

(lnx 1

2

)

( e

lnx2

1

x

dx c)

1=

x2

(1 cex

)是原方程的解.

7.dydx 2yx 1 (x 1)3dydx 2yx 1

(x 1)3

P(x) 2,Q(x) (x 1)3

x 1

P(2

e x)dx

e x 1dx (x 1)2

方程的通解为：

y=e P(x)dx( e P(x)dx

Q(x)dx c)

=(x+1)(2

13

(x 1)

2

*(x+1)dx+c) =(x+1)(2

(x+1)dx+c)

2

(x 1)2 =(x+1)(2 c)

即：2y=c(x+1)2+(x+1)为方程的通解。4

dydx =

yx y3

dxdy x+y3y 1y

x y2

则P(y)=1

,Q(y) y2

y

1

e P(y)dy e ydy y

方程的通解为： x=e

P(y)dy

( e P(y)dy

Q(y)dy c)

=y( 1

y

*y2dy c)

y3

=2

cy

y3即 x=2

9.

dydx ayx x 1

x

,a为常数解：（Px) ax,Q(x)

x 1

xa

e P(x)dx

e xdx xa

方程的通解为： y=e

P(x)dx

(e P(x)dx

Q(x)dx c)

=xa(

1x+1

xax

dx+c)

当 a 0时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 a 1时，方程的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 a 0，1时，方程的通解为 y=cxa+x1

1-a-a

10.x

dy

y x3dxdy 1

x

y x3

dxP(x) 1

x,Q(x) x3

1e P(x)dx e xdx

1x

方程的通解为：　　 y=e

P(x)dx

( e P(x)dxQ(x)dx c)

=1

x( x*x3dx c)

=x3c4 x方程的通解为：　y=x3c4

x

11.

dy

xy x3y3dxdy

xy x3y3

dx两边除以y3dy

xy 2 x33ydx

dy-2

2( xy 2 x3)dx令y 2 z

dz

2( xz x3)dx

P(x) 2x,Q(x) 2x3e dx e

p x

2xdx

13

2xydy (2y2 x)dxdy2y2 xy1 dx2xyx2y这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以

1

， y

ex

2

dyy21y dxx2

方程的通解为：

p x p x

z= e dx( e dxQ(x)dx c)

令y2 z

dzdy 2y dxdx

=ex( e x( 2x3)dx c) =x2 cex 1

故方程的通解为：y2(x2 cex 1) 1,且y 02

2

22

dz2y22z

1 1 dxxx

clnx1

12.(ylnx 2)ydx xdyx2

424

dylnx22y y dxxx

2

两边除以ydylnx2y

y2dxxx

1

1

P(x)=

2

Q(x)=-1 x

由一阶线性方程的求解公式

dx dx

z e x( e xdx c)

2

2

=x x2c

dylnx2y

dxxx 令y 1 zdz2lnx z dxxx

2lnxP(x) ,Q(x)

xx方程的通解为：z e

P(x)dx

P(x)dx( e Q(x)dx c)

1

y2 x x2c

dyey 3x

14 2dxx

2

dy(ey) 3xey

两边同乘以e e dxx2

y

y

令ey z

dzydy e dxdx

22

22dx dxlnx1lnx 2xxdzz 3xz3zzz e( e( )dx c) x( 2( )dx c 2 这是n=2时xxx2

dxxxx

c2lnx1 x 424

的伯努利方程。

c2lnx1

方程的通解为:y(x ) 1,424

两边同除以z2

1dz31

22

dz2y

3=3

zdxxz令1

z T dT1dzdT dx zdx 3Tdxx 12 x

2 P（x）= 3x Q(x)= 1

x

2

由一阶线性方程的求解公式

3T e xdx3

( 1 xdxx

2dx c)

=x 3( 1

x22 c)

= 1

2x 1 cx 3

z( 1

x 1 cx 32) 1

ey( 1

2x 1 cx 3) 1

1

2x2ey cey x3 1x2

x3e y2

c 15

dydx 1xy x3y3

dx

dy

yx y3x3 这是n=3时的伯努利方程。

1dxx3

dy y

x

2 y3 令x 2 z dzdy 2x 3ddxdy 2x

2y 2yz 2yP(y)=-2y Q(y)= 2y3 由一阶线性方程的求解公式 z e

2ydy

( 2y3e 2ydy

dy c)

=e y2

( 2y3ey2

dy c) = y2

1 ce

y2

x2( y2 1 ce y2

) 1 x2ey2

( y2 1 ce y2

) ey2

ey2

(1 x2 x2y2) cx2

16 y=ex+ x

0y(t)dt

dy

dx ex y(x) dy

dx

y ex P(x)=1 Q(x)=ex 由一阶线

性方程的求解公式

y e 1dx( exe 1dx

dx c)

x3

=ex( exe xdx c) =ex(x c)

ex(x c) ex x

ex(x c)dx

c=1 y=ex(x c)

x y

y211x2[ ]dx [ ]dy 0 22

xy(x y)(x y)

解：

习题2.3

1、验证下列方程是恰当方程， M2y(x y)2 2y2(x y)( 1)2xy

y(x y)4(x y)3

并求出方程的解。

1. (x2 y)dx (x 2y)dy 0 解： M

y

1， N x=1 .

则

M N

y x

所以此方程是恰当方程。 凑

微分

，

x2dx 2y

(yd xd) y0 dx

得 ：1

3

x3 xy y2 C

2． (y 3x2)dx (4y x)dy 0

解： M

N y

1， x 1 . 则

M y N

x

. 所以此方程为恰当方程。

凑

微

分

，

ydx xdy 3x2dx 4ydy 0

得 x3 xy 2y2 C 3

．

N x 2x(x y)2 2x2(x y)2xy

(x y)4 (x y)3

则

M N

x y

. 因此此方程是恰当方程。

uy21

x (x y)2 x

（1）

u1x2

y y

(x y)2

（2）

对（1）做x的积分，则

y2u(x y)2

dx 1

xdx (y) =

y2 x y

lnx (y) （3） 对（3）做y的积分，则

u ( 1)y2

(x y)2y d (y) y(x y)2

dy

y

=

2xy y2(x y)

2

d (y)

dy =

1x2

y (x y)

2

则

d (y)1x2y2 2xy1x2 2xy y21

dy y (x y)2 (x y)2 y (x y)2 y

1

(y) (1

y

1)dy lny y

u y2yy2 xy y2yx y lnx lny y lnxyx x y lnx x y

故此方程的通解为

ln

yx xy

x y

C 4

、2(3xy2 2x3)dx 3(2x2y y2)dy 0

解：

M

y

12xy， N

x

12xy . M y N

x

. 则此方程为恰当方程。 凑

微分，

6xy2dx 4x3dx 6x2ydy 3y2dy 0

3d(x2y2) d(x4) d(x3) 0

得 ：x4 3x2y2 y3 C

5.(

1ysinx

y-yy1x

2cosx+1)dx+(x

cosy

xx-

y2

sinx1y+y2)dy=0

解： M=1ysinx

y-yyx

2cosx+1 N=1

yxx

cos-y2

sinxxy+1y2

M y=-1

xxx1y

2 siny-y3cosy-x2 cosy+

yyxx3

sinx Nxxx x=-1

y

siny-12y3cosy-x2 cosyx

+yx3

siny

x 所以， M y

= N x，故原方程为恰当方程

因为

1x

yy1ysiny

dx-x2cosxdx+dx+x

cosy

dy-

xxxy2 sinydy+1y

2

dy=0 d(-cosx

y

)+d

y1

(sin)+dx+d(-)=0

xy

x3y2=C

8. 2xydx+( x2+1)dy=0

x

y

1y

所以，d(sin-cos+x -)=0

yx故所求的解为sin-cos+x

y

x

解：2xydx+ x2dy+dy=0

d( x2y)+dy=0 xy

-1y

=C

求下列方程的解：

6．2x(yex2

-1)dx+ex2

dy=0

解：

M

2 y

= 2xex , N

=2xex2 x

所以， M y

= N

x，故原方程为恰当方程

又2xyex2dx-2xdx+ex2

dy=0 所以，d(yex2

-x2)=0 故所求的解为yex2

-x2=C 7.(ex+3y2)dx+2xydy=0 解：exdx+3y2dx+2xydy=0 exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0 所以，d ex

( x2

-2x+2)+d( x3y2

)=0

即d [ex( x2-2x+2)+ x3y2]=0 故方程的解为ex( x2-2x+2)+

即d(x2y+y)=0 故方程的解为x2y+y=C 9、ydx xdy x2 y2 dx 解：两边同除以 x2 y2 得

ydx xdyx2 y2 dx

即，d arctgx

y

dx

故方程的通解为

argtg x y

x c

10、ydx x y3 dy 0 解：方程可化为：

ydx xdy

y2

ydy 即， d x

y

ydy

故方程的通解为：

xy 12

y2

c 即：2x y y2 c

同时，y=0也是方程的解。11、 y 1 xy dx xdy 0

解：方程可化为：

ydx xdy 1 xy dx

d xy 1 xy dx

即：

d xy 1 xy

dx

故方程的通解为：

ln xy x c

12、 y x2 dx xdy 0

解：方程可化为：ydx xdy

x

2

dx d y

x

dx 故方程的通解为 ：

y

x

c x 即：y x c x 13、 x 2y dx xdy 0

解：这里M x 2y,N x ，

M y N

x

M N

y x1

N x

方程有积1

分因子 e

x

dx x

两边乘以 得：方程

x x 2y dx x2dy 0是恰当方

程

故方程的通解为：

x

2

2xy dx x2

y x2 2xy

dx

dy c

x3

3

x3y c 即：x3 3x2y c

14、

xcos x y sin x y dx xcos x y dy 0

解

：这里

M xc

x y o s x sy i,N xcn x y o

s

因

为

M N

y x

c x y xs x y

oi

故方程的通解为：

xcos x y sin x y dx

xcos x y

y

xcos x y sin x y dx

dy c 即：xsin x y c

15

、

ycosx xsinx dx ysinx xcosx dy o

解

：

这

里

M yc

x xsox,N isysx nxcix

on

s

M N y x

M y N

x

M

1 方程有积分因子： e dy

ey 两边乘以

得：

方

程

ey ycx xsx dx ey ysx xocx dyi 0

为恰当方程

故

通

解

为

：

ey

ycosx xsinx dx y N y e ycosx xsinx dx

dy c

即：eysinx y 1 eycosx c 16

、

x 4ydx 2xdy y3 3ydx 5xdy 0

解：两边同乘以x2y得：

4x3y2

dx 2x4

ydy 3x2y5

dx 5x3

ydy 0

d x4y2 d x3y5

0

故方程的通解为：

x4y2 x3y5 c

习题2.5

2．ydx xdy x2

ydy

解：

x2，得：

ydx xdy

x2

ydy dy1

x 2y2 c 即yx 12

2

y c 4．

dyy

dx

x xy

解：两边同除以x，得

y dyos

dx

1

y

nx

令

y

x u 则dydx u xdudx

即

dydx u xdu

udx 1 u

得到

1u c 1

2

lny 2，

2

即x y c 12lny

另外y 0也是方程的解。

6． xy 1 ydx xdy 0 解：ydx xdy xydx 0

ydx xdy

y2

xdx

得到d

x y

12x2

c 即

x12

y 2

x c i

另外y 0也是方程的解。 dydu 则 1

8.

dydx yx y2

x

3 解：令

y

x

u 则

：

dy u xdudx u 1

x

u2dx 即x

du12

dx xu 得到dudx

u2 x2

故 1u 1x

c 即

1c1y x x2

另外y 0也是方程的解。2

10． x

dydx 1 dy

dx

解：令dy

dx

p 即x 1 p2

p

而

dy

dx p故两边积分得到 y 12

2

p lnp c

因此原方程的解为

x 1 p2p

，y 12p2 lnp c。

12.e y

dy dx 1

xex 解：

dy

1 xex ydx

令 x y u

dxdx

dy du 1 xeudxdx 1 即du

e

u xdx

e u

12

x2 c

故方程的解为

e

x y

12

x2

c 14．

dy

dx

x y 1 解： 令x y 1 u

则1

dydudx dx 那么

dydx dudx 1 u

du

u 1

dx 求得： ln u 1 x c 故方程的解为

ln x y 1 x c

或

可

写

为

x y 1 cex

16． x 1

dy

1 2e ydx

解：令e y

u 则

y lnu

x 1

1du

udx

2u 1 11

u2u 1du x 1dx

2u 11

u x 1`

c

即方程的解为

ey x y 2x c

18

．

dyxp2 4xx2xpxdp22xdp p,则y p ,两边对x求导得p dx2p2p22dxpp2dxp2x2xdpp2x2x( ) ( ),( )dx ( )dp 0,(p3 4p)dx ( xp2 4x)dp 02p2pdx2p2pp(p2 4)dx x(p2 4)dp 0 p2 4或pdx xdp 0,当p2 4时y 2x,当pdx xdp 0时,

x

4x2y2dx 2x3y 1dy 0

解： 将方程变形后得

dy4x2y2

3

dx2xy 1

x2x2

4x 42xc2

p ,y c,2yc c2x2 4.

c

ccdy

20.y2 1 ()2 1

dx dy1dydy1sin d 2

解：令 p sin ,则y21 (sin ） 1，y ,dx d

dxcos psin sin cos2 cos2d

x c sec2 d c tg c所以方程的解为y2 （x c)2 1,另外由p 0得y 1也

2

dx2x3y 1x1

dy 4x2y2

2y

4x2y2 同除以x2得：

x2

dxx31dy 2y 4y

2 令z x

3

则

dz3zdy 2y 3

4y

2 3 z 3

2

2

y2 cy

即原方程的解为

3

x3

3

2

y2 cy2

19.X(dydx)2 2y(dy

dx

) 4x 0 解

：

方

程

可

化

为

x(

dy2y(

dy) x(dy

)2 4x,y )2

4xdxdx

2(dydx

) 令

cos

xx21.(1 ey)dx ey

(1

x

y

)dy 0解：令x z则x yz,dx z ydz

方程为(1 ez)dx (z 1)ezydydydy,

dxdy (z 1)ez1 ez zez z z ez1 ez z z ez1 ez z ydz1 ezdydy,z ezdz ylnz ez lny,y(z ez) c,y(x

x

x

ey) c所以方程的解为x yeyy

c22.

2xy2 3y3dx x2

y4

dy 0解：2xydx (y2 3x2)dy 0

M M N

y 2x, N x 6x, y x

2xy 8x4 4

dy 2xy y

所以方程有积分因子e y 42xy 3dx (y 2

3x2y4

)dy 0,dx21x21

y3 dy 0所以方程的解为y

3 y c即x2 y2 cy323.ydx (1 x y2)dy 0

解：ydx xdy (1 y2)dy,两边同除以y2得ydx xdy1 y2x1 y2

y2 y2dy,dy y2

dy

所以方程的解为

xy 1

y c即（x 1) y(y c),另外y 0也是解。24.

y x(x2 y2)

y

xdy 0解：方程可化为

ydx xdyxx2 y2

,darctgy xdx所以方程的解为arctgxx2

xdxy 2 c.

25.

dy

dy

dx

edx x 0dy p t,x t et由dy pdx得y t(1 et)dt c t2

解：令 ett etdx2

c

t2

所以方程的解为x t et 2 ett et c

dy

dy

25.

dx

edx x 0dydx p t则x t et由dy pdx得y t(1 et)dt c t2

解：令2

ett et c

2所以方程的解为：x t et，y t(1 et)dt c t

2

ett et c

326（.2xy x2y y

)dx (x2 y23

)dy 0

M N

M

2 y x y 2x x y2, N x 2x,x2 y 1所以方程有积分因子ex方程两边同乘ex2得d3exx2y dexy3 0所以方程的解为：3exx2y exy3 c

27.

dy2x 3y dx 44x 6y 5

解： 令

u 2x 3y

，

1x4

1 2ce

u

即

dudyu 4 2 3 2 3，则 dxdx2u 5

为方程的解。

， dy y

xydu7u 22

dx2u 5

x2 y2 cy2ex

4

2u 57u 22du dx

， 1

9114u 22=7

2dx7

， 两

边积分得 9ln2x 3y 227 14(3y 3

2

x) c

即为方程的通解。

另外，7u 22 0，即2x 3y 22

7

0也是方程的解。

28. x

dy

dx

y 2x2y(y2 x2) 解： 两边同除以x，方程可化为：

dydx y

x 2xy(y2 x2) 令y

x

u，则

x

du

dx

u u 2ux2(u2x2 x2) 即

du

dx

2x3(u3 u)， du3

u3

u

2xdx

(

1u 1) 12(u 1) 1u

)du 2x32(dx

两

边

积

分

得 29.

dx x

e 解： 令exy

u，则 y lnux

，

xdu

dy lnu

dx x2

，

那

么 1dulnulnuxdx x u

2x

2 u 即

du

u2

xdx 两

边

积

分

得 12

x2 e xy

c 即为方程的解。

30. dydx 4x3 2xy3 2x3x2y2

6y5 3y

2

解

：

(4x3 2xy3 2x)d x(32x2

y 65y 32y)d y0

d(x4 x2) (y3dx2 x2dy3) d(y6 y3) 0

两

边

积

分

得

x4 x2 y6 y3 x2y3 c

即

x4 x6 c (x2 1)(y3 1)

为方程的解。

31. y2

(xdx ydy) x(ydx xdy) 0

解 ： 方

程

可

化

为

y2xdx y3dy xydx x2dy 0

两

边

同

除

以

d(xy)dy(x y)(x2y2 1)

x y dxdx1 x3y

，

得

y2

xdx ydx x(ydx xdy)

y2

0

即

12d(x2 y2) xdx

dy

0 令x cos ，y sin ，则

d cos dctg 0

即

d

dsin

sin2

0 两

边

积

分

得

1sin c.将1 sin y

代入得，

y

c

即

2(y 1)2 c2y2

故

(x2 y2)(y2 1)2 c2y2 32. dydx 1 xy3

1 x3y

0

解

：

方

程

可

化

为 dydx 1 xy3

1 x3

y

两边同加上1，得 d(x y)dx xy(x2 y2)

1 x3y

（*）

再由d(xy) xdy ydx，可知

（**） 将（*）/（**

）

得

d(x y)d(xy) xy(x y)

x2y2

1

即

dudv uv

v2 1

整

理

得 duu vv2 1

dv 两

边

积

分

得 cu

即 c(x y)

另外， x y 0 也是方程的解。

33. 摩托艇以 5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇

的速度减至v1 3米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动

速度成正比例。 解：F ma m

dv

dt

，又F k1v，由此

m

dv

dt

k1v 即

dv

dt

kv 其中 k k

1 m

，解之得

lnv kt c

又

t 0 时， v 5 ； t 2时，v 3。 故

得 k

120ln3

5

，c ln5

从而方程可化

为 n n 1

t

320

v 5()

5

dxdx

at an t x 1

dtndtn 1

f1 t

当

t 2 60 120

时，

（1）

有

3120

v(20) 5 ()20 0.23328米/秒

5

即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速

dnxdn 1x

a1 t n 1 an t x f2 t n

dtdt

（2）

习题4.1

1. 设x t 和y t 是区间a t b上的连

续函数，证明：如果在区间a t b上有

x t y t yt 常数或

xt常数，则x t 和y t 在区间a t b上线形无关。

证明：假设在x t ，y t 在区间a t b上线形相关

则存在不全为零的常数 ， ，使

得 x t y t 0

那么不妨设x t 不为零，则有

y t xt

显然

为常数，与题矛盾，即假设不成立x t ，y t 在区间a t b上线形无关

2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设

x1 t ，x2 t 分别是非齐线形方程

的解，则x1 t +x2 t 是方程

dnxdtn

adn 1x

1 t dt

n 1 an t x f1 t +f2 t 的解。

证明：由题可知x1 t ，x2 t 分别是方程（1），（2）的解

则

：

dnx1 t dtn adn 1x1 t

1 t dt

n 1

an t x1 t f1 t （3）

dnx 12 t dtn a dnx2 t

1 tdt

n 1

an t x2 t f2 t （4）

那么由（3）+（4）得：

dn x1 t x2 t dtn adn 1 x1 t x2 t

1 t dt

n 1

an t x1 t x2 t f1 t +f2 t

即

x1 t +x2 t 是方程是

dnxdn 1dtn

ax

1 t dt

n 1 an t x f1 t +f2 t 的解。

3. 试验证d2x

dt

2

x 0的基本解组为

et

,e t，并求方程d2x

dt

2 x cost的通

解。

证明：由题将et

代入方程d2x

dt

2 x 0得：

et-et=0,即et是该方程的解，

同理求得e t

也是该方程的解 又显然et,e t线形无关，故et,e t

是d2x

dt

2

x 0的基本解组。 c 1 t et c 2

t e t 0 c 1

t et c 2 t e t cost由题可设所求通解为：

x t c1 t et c2 t e t，则有：

解

之

得

：

c 11 t4e t ct sot c1i;cs2

t n14et

ct sot c2i

故

所

求

通

解

为

：

x t ctt1e c2e

12

cto s

4. 试验证d2xtdxdt

2

1 tdt 1

1 tx 0有基本解组t，et

，并求方程

d2xtdx1

dt2 1 tdt 1 t

x t-1的通解。 解：由题将

t

代入方程

d2xtdx1

dt

2

1 tdt 1 tx 0得：

d2tdt2 tdt1 tdt 11 t

t tt

1 t 1 t 0

，即t为该方程的解

同理et

也是该方程的解，又显然t，

et线形无关，故t，et是方程

d2xdt2 tdx1 tdt 1

1 t

x 0的基本解组 由题可设所求通解为

x t c1 t t c2 t et，则有：

c 1 t t c 2 t et 0 c c t1 t 2 t e t 1解

之

得

：

c1 t t c1,c2 t te t e t

c2

故

所

求

通

解

为

x t cct2

1t 2e t 1

5. n以知方程d2xdt

2

x 0的基本解组为et,e t，求此方程适合初始条件x 0 1,x 0 0及x 0 0,x 0 1

的基本解组（称为标准基本解组，即有

w 0 1）并求出方程的适合初始条件

x 0 x

0,x 0 x0的解。

解：et

,e t

时间方程d2x

dt

2 x 0的基本解

组，故存在常数c1,c2使得：

x t c1et c2e t

s

于是：x t c1et ct2e

令t=0,则有方程适合初始条件

x 0 1,x 0 0，于是有：

0

c1e c2e 1 c0e01e c2 0

解得：

c11

2,c111

2 2 故x t 2et 2

e t 又该方程适合初始条件

x 0 0,x 0 1，于是：

c0

1e c2e 0 解

得

：

c001e c2e 1c12,c1111

2 2 故x t 2et 2

e t 显然x1 t ，x2 t 线形无关，所以此

方程适合初始条件的基本解组为：

x t 1et 1e t

22， x t 112et 2e t

而此方程同时满足初始条件

x 0 xx 0 x

0,0，于是：

c0 1e c0

2e x0解

得

：

c0

c0

1e 2e x0

cxx 0 0x0 x0

1 2,c2

2

故x t x

0 x0tx0 x2e 0 t

2

e

满足要求的解。

习题4.2

1. 解下列方程

（1）

x(4)

5x 4x 0 解：特征方程

4 5 2 4 0有根 1 2， 2 2， 3 1， 4 1

故

通

解

为

x=c2t

2t

t

e t

1e c2e c3e c4

(2)

x 3ax 3a2x a3x 0

解

：

特

征

方

程

3 3a 2 3a2 a3 0

有三重根

a

.故通解为

x=c1eat c2teat c23teat

（3）x

(5)

4x 0

解：特征方程 5 4 3 0,有三重根 0， 4 2， 5 -2

故

通

解

为

x c2t

c 2t

2

1e2e c3t c4t c5

（4）x 2x 10x 0 解：特征方程 2 2 10 0有

复数根 1 -1+3i, 2 -1-3i

故

通

解

为

x ct t1e cos3t c2esin3t

(5) x x x 0

解：特征方程 2 1 0有复数根 3i i1 1 2, 12 2,

故

通

解

为

x c 1

12

tc 1e

cost 2e

2

tsin3

22

t (6)

s a2s t 1

解：特征方程 2 a2 0有根

1 a, 2 -a

当a 0时，齐线性方程的通解为s=cat1e c2e at

~s A Bt

代入原方程解得

A B

1

a2

故通

解为

s=cat

1e

c at

2e

-1a

2(t 1) 当a=0时,~s t2( 1t 2)代入原方程解得 11 6

, 2 12

故通解为s=c1 c2t-16

t2

(t 3) (7)

x 4x 5x 2x 2t 3

解：特征方程 3 4 2 5 2 0有根 1 2,两重根 1 齐线性方程的通解为x=c2t1e c2et ct3te

又因为 0不是特征根，故

可以取特解行如x~

A Bt代入原方程解得A=-4，B=-1

故

通

解

为

x=c1e2t ct2e c3tet-4-t (8) x(4) 2x x t2 3

解

：特征方程

4 2 2 1 0有2重根 1，2重根 1

故齐线性方程的通解为x=c t1et ct2te c3e c t4te

取特解行如x~

At2 Bt c代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故

通

解

为

x=c1et c t2tet c3e c t4te+t2 1 (9)x x cost

解：特征方程 3 1 0有复数根

1 3i1

2, 1 i

22

, 3 1 故齐线性方程的通解为

1

x c 1

t

1e

2

tcos2t c t2e2sin2

t c3e

取特解行如x~

Acost Bsint代入原方程解得A=12

,B 12

故

通解

为

x c 1

1e

2

tcos2t c 1

tsin2e22

t c3et

1

2

(cost sint) (10) x x 2x 8sin2t

解：特征方程 2 2 0有根

1 -2, 2 1

故齐线性方程的通解为x=c1et c 2t2e

因为+-2i不是特征根

取特解行如x~

Acos2t Bsin2t代入原方程解得A= 25

,B 65

故

通解为

x=c 2t1et c2e 25

cos2t 65

sin2t

（11）x x et

解：特征方程 3 1 0有复数根

1 i1

2, 1 3i

22

, 3 1 故齐线性方程的通解为

1

x c 1

1e

2

tcost c tsin3

2e22

t ct

23e 1是特征方程的根，故

~x Atet代入原方程解得

A=13

故

通解

为

x c 1

1e

2

tcos2t c 1

t3

2e2sin2

t c3et

+13

tet

（12）s 2as a2s et 解：特征方程 2 2a a2 0有2重根 -a

当a=-1时，齐线性方程的通解为s=c1et

c2tet,

1

是特征方程的2重根，

故x~

At2et代入原方程解得

A=12

通解为s=ct

1e c2tet

12

t2, 当a -1时，齐线性方程的通解为s=cat

1e c at2te,

1

不是特征方程的根，故~x Aet

代入原方程解得A=1(a 1)2

故通

解

为

s=cat

c1t

1e 2te at+

(a 1)

2

e （13）x 6x 5x e2t 解：特征方程 2 6 5 0有根

1 -1, 2 -5

故齐线性方程的通解为x=c t

1e c2e 5t

2

不是特征方程的根，故

~x Ae2t代入原方程解得A=121

故通解为x=ct1e c2e 5t+1e2t21

（14）x 2x 3x e tcost 解：特征方程 2 2 3 0有根

1 -1+2i, 2 -1-2i

故齐线性方程的通解为

x ct1ecos2t ct2esin2t

1 i 不是特征方程的根,

取

特解行如

~x (Acost Bsint)e t

代入原方程解得A=541,B 4

41

故

通解为x c1etcos2t c2etsin2t

+

(

541cost 4

41

sint)e t (15)

x x sint cos2t

解：特征方程 2 1 0有根

1 i, 2 - i

故齐线性方程的通解为

x c1cost c2sint

x x sint

, 1 i,是方程的解~x t(Acost Bsint)

代入原方程

解得

A= 1 B=0 故x~2

1

2

tcost x x cos2t

~x Acos2t Bsin2t

代入原方程

解得

A=1 B=0 故x~

3

1

3

cos2t 故通解为

x c1cost c2sint

1

2

tcost 1

3

cos2t 习题5.1

1.给定方程组 x

‘

= 01 x1 －10

x x= x 2

（*）

a)

试

验

证

u(t)= cost sint ,v(t)= sint

cost 分别是方

程组（*）的满足初始条件u(0)= 1

0

0 , v(0)= 1

的解.

b)试验证w(t)＝c1u(t)+c2v(t)是方程组（*）的满足初始条件

w(0)= c1

c 的解，其中c1,c2是任意

2

常数.

解：a) u(0)= cos0 1 sin0

=

0

u

'

(t)=

sint

cost

=

01 cost 01

10 sint 10

u(t) 又 v(0)= sino cos0 = 0

1

v

'

(t)= cost sint

= 01 sint 01

－10 cost = －10

v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.

b) w(0)=c1u(0)+c2u(0)=

c 1

1 0 c1 0

+c2

1 = c 2

w'(t)= c1 u'(t)+ c2 v'(t)

=

c sint

+c 2 cost 1 cost

sint

= － c1sint c2cost c 1cost c

2sint =

01 －10 c1cost c2sint

c1sint c2cost

=

01

－10

w(t) 因此 w(t)是给定方程初值

问题的解.

2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x‘’+2x‘+7tx=e－t

其中 x＝ 1 .

x

2

x

b) 令x1＝x x2＝x' x3＝x''

x4＝x''' 则得：

,x(1)=7,

x‘(1)=-2 b)

x

（4）

+x=te

t

,x(0)=1,

x‘(0)=-1,x‘’(0)=2,x‘‘’

(0)=0 x‘’

＋5y’－7x＋6y＝etc) y‘’－2y＋13y‘

－15x＝cost

x(0)=1, x‘

(0)=0,y(0)=0,y‘

(0)=1

解：a）令 x1＝x, x2= x‘, 得

x'1 x' x2

x' x'' 7tx t

21 2x2 e

即

'

x1 01 x1 x 7t 2 x 0

e t

2

2 又 x1＝x(1)=7 x2

(1)=

x‘(1)=-2

于是把原初值问题化成了与

之等价的一阶方程的初值问题： x‘＝ 01 －7－2

x＋ 0 e t ,

x(1)＝

7

2

x'1 x' x2

x'

2 x'' x3 x'x'''

x 3 4

x't xt4 x te 1 te

且

x1

(0)=x(0)=1,

x'2=x(0)=-1, x3(0)= x''(0)=2,

x''4(0)= x'(0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：

0100 x'

=

0010 0

0 0001 x＋ 0 －1000 tet

1

x1 x(0)= －1

x 2

, 其中 x= 2 x .

3 0 x 4

c) 令w1＝x， w2＝x'，w3＝y，w4＝y‘，则原初值问题可化为：

w'

1 x' w2 w'''t

2 x 5w4 7w1 6w3 e

w'3 y'

w4 w'4 y'' 2w3 13w4 15w1 cost

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