《常微分方程》（第三版） - 答案

常微分方程

2.1

dy?2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx 解：对原式进行变量分离得

1.

1dy?2xdx,两边同时积分得：lny?yc?1,故它的特解为y?ex。2x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得2

2.ydx?(x?1)dy?0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

2解：对原式进行变量分离得：

?1111dx?2dy,当y?0时，两边同时积分得；lnx?1??c,即y?x?1yc?lnx?1y当y?0时显然也是原方程的解。当x?0,y?1时，代入式子得c?1,故特解是1y?。1?ln1?x

ydy3 ?dxxy?x1?23y

解：原式可化为：

dy?dx1?y2y?1x?x显然31?y2y?0,故分离变量得y1?ydy?21x?x23dx221两边积分得ln1?2y212?lnx?ln1?x?lnc(c?0),即(1?2(1?x)?cxy）222y)(1?x)?cx

故原方程的解为（1?4：(1?x)ydx?(1?y)xdy?01?x1?y解：由y?0或x?0是方程的解，当xy?0时，变量分离dx?dy?0xy两边积分lnx?x?lny?y?c,即lnxy?x?y?c,故原方程的解为lnxy?x?y?c;y?0;x?0.

- 1 -

5:(y?x)dy?(y?x)dx?0dyy?xydydu解：?,令?u,y?ux,?u?xdxy?xxdxdxduu?1u?11则u?x?,变量分离，得：?2du?dxdxu?1xu?1两边积分得：arctgu?12ln(1?u)??lnx?c。22dy2?y?x?ydxydydu解：令?u,y?ux,?u?x,则原方程化为：xdxdx6：xdu?dxx2(1?u)x2,分离变量得：11?u?2du?sgnx?1dxx两边积分得：arcsinu?sgnx?lnx?c?y代回原来变量，得arcsin?sgnx?lnx?cx另外，y?2x也是方程的解。27：tgydx?ctgxdy?0解：变量分离，得：ctgydy?tgxdx两边积分得：lnsiny??lncosx?c.y2dy8:??edxy?3x解：变量分离，得ey13xdy??e?c23y9:x(lnx?lny)dy?ydx?0yy解：方程可变为：?ln?dy?dx?0xxy1lnu令u?,则有：dx??dlnuxx1?lnuy代回原变量得：cy?1?ln。xdyx?y10：?edx

e两边积分e?e解：变量分离yyxdy?edx?c x - 2 -

dyx?y?edx解：变量分离，edy?edx两边积分得：e?e?c2dy11.?(x?y)dxyxyxdydt??1dxdxdt1原方程可变为：?2?1dxt解：令x?y?t,则变量分离得：21?1tdt?dx,两边积分arctgt?x?c代回变量得：arctg(x?y)?x?c

dy1 ?2dx(x?y)12．解

令x?y?t，则dydtdt1??1，原方程可变为?2?1dxdxdxtt2变量分离2dt?dx，两边积分t?arctgt?x?c，代回变量

t?1x?y?arctg(x?y)?x?c13.dy2x?y?1?dxx?2y?111解：方程组2x?y?1?0,x?2y?1?0;的解为x??,y?3311dY2X?Y 令x?X?,y?Y?,则有?'33dXX?2YYdU2?2U?2U令?U，则方程可化为：X?XdX1?2U变量分离2 - 3 -

14,dyx?y?5?dxx?y?2dydt?1?,dxdxdtt原方程化为：1??,变量分离(t?7)dt?7dx

dxt?712两边积分t?7t??7x?c221代回变量(x?y?5)?7(x?y?5)??7x?c.2解：令x?y?5?t,则dy?(x?1)2?(4y?1)2?8xy?115．dx

dy?x2?2x?1?16y2?8y?1?8xy?1?(x?4y?1)2?2dxdydu1du9令1?x?4y?u，则关于x求导得1?4?，所以?u2?， dxdx4dx41228分离变量2du?dx，两边积分得arctg(?x?y)?6x?c，是3334u?9原方程的解。解：方程化为dyy6?2x216． ?dx2xy5?x2y2dy(y3)2?2x2dy33[(y3)2?2x2]解：?2??，，令y3?u，则原方程化为 3232dxy(2xy?xdx2xy?x3u2?62du3u2?6x2x??2udx2xu?x2?1x ，这是齐次方程，令

ududz3z2?6dzdzz2?z?6?z，则?z?x，所以?z?x，，x?，...........(1)xdxdx2z?1dxdx2z?1当z2?z?6?0，得z?3或z??2是（1）方程的解。即y3?3x或y3??2x是方程的解。2z?11 dz?dx，两边积分的（z?3)7(z?2)3?x5c,2xz?z?d即（y3?3x)7(y3?2x)3?x5c，又因为y3?3x或y3??2x包含在通解中当c?0时。故原方程当z2?z?6?0时，变量分离的解为(y3?3x)7(y3?2x)3?x15cdy2x3?3xy?x17. ?dx3x2y?2y3?y

- 4 -

dyx(2x2?3y2?1)dy22x2?3y2?1解：原方程化为 ?;;;;;2?2222dxy(3x?2y?1)dx3x?2y?1 令y2?u,;;;;;x2?v;;;;;;;则du2v?3u?1?.......(1) dv3v?2u?1?2v?3u?1?0的解为（1，?1）；令Z?v?1，，Y?u?1，?方程组?3v?2u?1?0

y?2?3?2z?3y?0dyz 则有?，，，，从而方程（1）化为??ydz?3z?2y?03?2?z?令

ydydtdt2?3tdt2?2t2t?，，则有?t?z，，所以t?z?，，z?，...........(2)

zdzdzdz3?2tdz3?2t当

2?2t2?0时，，即t??1，是方程(2)的解。得y2?x2?2或y2??x2是原方程的解当

2?2t2?0时，，分离变量得3?2t1dt?dz两边积分的y2?x2?(y2?x2?2)5c 2z2?2t另外

y2?x2?2，或y2??x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2?x2?(y2?x2?2)5c

- 5 -

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy?y的形式 设y1是(2.28)的一个解

dy1?P(x)y1?Q(x) （4’） dx于是 （4’）-（4）得

则

d(y1?y)?P(x)(y1?y) dx从而 y1?y?ce?P(x)dx?cy

即 y1?y?cy 所以，命题成立。

（3）

设y3，y4是（2.3）的任意两个解 则

dy3?P(x)y3 （5） dxdy4?P(x)y4 （6） dxcdy3于是（5）?c得 ?cP(x)y3

dxd(cy3)即 ?P(x)(cy3) 其中c为任意常数

dx也就是y?cy3满足方程（2.3） （5）?（6）得 dydy 3?4?P(x)y3?P(x)y4 dxdxd(y3?y4)即 ?P(x)(y3?y4)

dx也就是y?y3?y4满足方程（2.3）

所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 （5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； （6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为

Y?y?y'(X?x)

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x?y,0),(0,y?xy') y' - 16 -

即 横截距为 x?y， y' 纵截距为 y?xy'。 由题意得： （5） y?xy'?x2 方程变形为

dy x?y?x2

dxdy1 ?y?x

dxxdx(?)dx??x于是 y?e(?(?x)exdx?c)

11 ?elnx(?(?x)e?lnxdx?c) ?x(?(?x)xdx?c)

1)dx?c) x ?x(?x?c)

?1 ?x(?(?x ??x2?cx

所以，方程的通解为y??x2?cx。

x?y 2方程变形为

dyyx x??

dx22dy11 ?y?

dx2x2（6）y?xy'?于是 y?e?2xdx11?(?21x)dx(?(?)edx?c)

2 ?e1lnx2lnx1?12(?(?)edx?c)

2121 ?x(?(?)x212?dx?c)

1?1 ?x(?(?x2)dx?c)

212 - 17 -

?x(?x?c) ??x?cx

所以，方程的通解为y??x?cx。 22．求解下列方程。 （1）(x2?1)y'?xy??0 解：y'?xy?11 y?22x?1x?112121212 y?e?x2?1dxx1??x2?1dx(??2e?c)

x?112x =/x?1/[??21x2?11/x2?1/3212dx?c]

=/x?1/[??212dx/x2?1/?c]

=c/1?x2/?x

（2） y'sinxcosx?y?sin3x?0

dyysin2x ??dxsinxcosxcosxsin2x1P(x)= Q(x)=

sinxcosxcosx

由一阶线性方程的求解公式

112dx??dxsinx?y?esinxcosx(?esinxcosxdx?c)

cosxsinx(?sinxdx?c) cosxsinx =(?cosx?c)

cosx =

=tgxc?sinx

习题2.3

1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。 1. (x2?y)dx?(x?2y)dy?0

- 18 -

解：

?M?y?1，?N?x=1 . 则

?M?N?y??x 所以此方程是恰当方程。

凑微分，x2dx?2ydy?(ydx?xdy)?0

得 ：13x3?xy?y2?C

2． (y?3x2)dx?(4y?x)dy?0

解：

?M?y?1，?N?x?1 . 则

?M?y??N?x . 所以此方程为恰当方程。

凑微分，ydx?xdy?3x2dx?4ydy?0 得 x3?xy?2y2?C

3． [y2(x?y)2?1x]dx?[1x2y?(x?y)2]dy?0

解： ?M2y(x?y)2?2y2(x?y)(?1)2xy?y?(x?y)4?(x?y)3?N2x(x?y)2?2x2(x?y)2xy?x??(x?y)4?(x?y)3 则

?M?N?x??y . 因此此方程是恰当方程。

?u?x?y21(x?y)2?x ?u1x2?y?y?(x?y)2 - 19 -

1）2） （ （ y21对（1）做x的积分，则u??dx?dx??(y) 2?x(x?y)y2=??lnx??(y) （3）

x?y?u?(?1)y2?(x?y)2yd?(y)对（3）做y的积分，则 ???2?ydy(x?y)?2xy?y2d?(y)= ?dy(x?y)21x2=? 2y(x?y)d?(y)1x2y2?2xy1x2?2xy?y21则???????1 222dyy(x?y)yy(x?y)(x?y)?(y)??(?1)dy?lny?y

y2yy2?xy?y2yxy u???lnx?lny?y?ln??ln?x?yxx?yxx?y1y故此方程的通解为lnyxy??C xx?y4、 2(3xy2?2x3)dx?3(2x2y?y2)dy?0

解：

?M?N?12xy . ?12xy，?x?y?M?N . ??y?x则此方程为恰当方程。

凑微分，6xy2dx?4x3dx?6x2ydy?3y2dy?0

3d(x2y2)?d(x4)?d(x3)?0

得 ：x4?3x2y2?y3?C

1xyx1yyx15.(sin-2cos+1)dx+( cos-2 sin+2)dy=0

xxyxyyxyy

- 20 -

1xyx1yyx1解： M=sin-2cos+1 N= cos-2 sin+2

xxyxyyxyyxxx1?Myyy1=-2 sin-3cos-2 cos+3sin

xxxyyyx?yyxxx1?Nyyy1=-2 sin-3cos-2 cos+3sin ?xxxxyyyxy所以，

?M?N=，故原方程为恰当方程 ?y?x1xxyy1yx1因为sindx-2cosdx+dx+ cosdy-2 sindy+2dy=0

xxxyyyxyyx1yd(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0

xyyx1y所以，d(sin-cos+x -)=0

xyyx1y故所求的解为sin-cos+x -=C

xyy求下列方程的解： 6．2x(yex-1)dx+exdy=0

解：

22?M?N= 2xex , =2xex

?x?y22所以，

?M?N=，故原方程为恰当方程 ?y?x22又2xyexdx-2xdx+exdy=0 所以，d(yex-x2)=0 故所求的解为yex-x2=C 7.(ex+3y2)dx+2xydy=0 解：exdx+3y2dx+2xydy=0 exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0

所以，d ex( x2-2x+2)+d( x3y2)=0 即d [ex( x2-2x+2)+ x3y2]=0

- 21 -

22故方程的解为ex( x2-2x+2)+ x3y2=C 8. 2xydx+( x2+1)dy=0 解：2xydx+ x2dy+dy=0

d( x2y)+dy=0 即d(x2y+y)=0

故方程的解为x2y+y=C 9、ydx?xdy??x2?y2?dx 解：两边同除以 x2?y2 得

?即，d??arctg?x???dx ?y?ydx?xdy?dx

x2?y2?x?故方程的通解为argtg??y???x?c

??10、ydx??x?y3?dy?0 解：方程可化为：

ydx?xdy?ydy 2y?x?即， d??y???ydy

??故方程的通解为：

x12?y?c 即：2x?y?y2?c? y2同时，y=0也是方程的解。

11、?y?1?xy?dx?xdy?0

解：方程可化为：ydx?xdy??1?xy?dx

d?xy???1?xy?dx 即：

d?xy??dx 1?xy故方程的通解为：ln1?xy?x?c

12、?y?x2?dx?xdy?0 解：方程可化为：

ydx?xdy?dx x2?y??d???dx ?x?

- 22 -

故方程的通解为 ：

13、?x?2y?dx?xdy?0

y?c?x 即：y?x?c?x? x解：这里M?x?2y,N?x ，

?M?N ??y?x?M?N?1?y?x1?xdx? 方程有积分因子??e?x Nx两边乘以?得：方程x?x?2y?dx?x2dy?0是恰当方程

???故方程的通解为：??x2?2xy?dx???x2???x2?2xy?dx?dy?c

?y??x3?x3y?c 3即：x3?3x2y?c

14、?xcos?x?y??sin?x?y??dx?xcos?x?y?dy?0 解：这里M?xcos?x?y??sin?x?y?,N?xcos?x?y? 因为

?M?N??cos?x?y??xsin?x?y? ?y?x故方程的通解为：

???????xcosx?y?sinx?ydx????xcos?x?y???????????xcosx?y?sinx?ydx?dy?c?y?? 即：xsin?x?y??c

15、?ycosx?xsinx?dx??ysinx?xcosx?dy?o 解：这里M?ycosx?xsinx,N?ysinx?xcosx

?M?N ??y?x?M?N??y?xdy?1 方程有积分因子：??e??ey 两边乘以?得：

?M方程ey?ycosx?xsinx?dx?ey?ysinx?xcosx?dy?0为恰当方程

- 23 -

???y故通解为 ：?ey?ycosx?xsinx?dx??????N?eycosx?xsinxdxdy?c ????y??即：eysinx?y?1??eycosx?c 16、x?4ydx?2xdy??y3?3ydx?5xdy??0 解：两边同乘以x2y得：

?4x?3y2dx?2x4ydy?3x2y5dx?5x3ydy?0

???dx4y2?dx3y5?0

???故方程的通解为：x4y2?x3y5?c

17、试导出方程M(X,Y)dx?N(X,Y)dy?0具有形为?(xy)和?(x?y)的积分因子的充要条件。

解：若方程具有?(x?y)为积分因子，

?(?M)?(?N) （?(x?y)是连续可导） ??y?xM???M???N ???N???y?y?x?xM?????M?N?N??(??) ?y?x?y?x(1) 令 z?x?y

??d???d??zd?， . ?????xdz?xdz?ydzMd?d??N?M?N??(?)， dzdz?x?yd??N?M??(?) ， dz?x?y(M?N)?N?M?d??x?y ， dz??(x?y)dz ??M?N - 24 -

?N?M??x?y方程有积分因子?(x?y)的充要条件是：是x?y的函数，

M?N此时，积分因子为?(x?y)?e?(2) 令z?x?y

?(z)dz .

??d??zd???d??zd? ， ???x????y?xdz?xdz?ydz?ydzMxd?d??N?M?Ny??(?) dzdz?x?y(Mx?Ny)d??N?M??(?) dz?x?y?N?M?d??x?y ??Mx?Ny??N?M??x?ydzMx?Ny此时的积分因子为?(xy)?e18. 设f(x,y)及

?f连续,试证方程dy?f(x,y)dx?0为线性方程的充要条件是它?ydy?P(x)y?Q(x) , dx有仅依赖于x的积分因子.

证:必要性 若该方程为线性方程,则有

?P(x)dx此方程有积分因子?(x)?e?,?(x)只与x有关 .

充分性 若该方程有只与x有关的积分因子?(x) . 则?(x)dy??(x)f(x,y)dx?0为恰当方程 , 从而

?(??(x)f(x,y))d?(x)?f??(x) , , ????ydx?y?(x)f?????(x)??(x)dy?Q(x)??y?Q(x)?P(x)y?Q(x) . ?(x)?(x)??(x) .于是方程可化为dy?(P(x)y?Q(x))dx?0 ?(x)- 25 -

其中P(x)??

即方程为一阶线性方程.

20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)?g(u),\\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0

有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])?1

证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：

uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0

?f?f?gx(f?g)?xy?xy?y?uyff?f?u?y?y则=uf+uy+yf=+-yf 222?y?y?yxy(f?g)xy(f?g)xy(f?g)y?g?f?g?xy?f?xy?gyf?g?y?y?xy?y?xy?y== 22xy(f?g)x(f?g)yff?g?f?g?xy?xy

(f?g)2=

?g?f?gy(f?g)?xy?xyg?uxg?g?u?x- xg?x?x 而=ug+ux+xg=+

?x?x?xxy(f?g)xy(f?g)x2y2(f?g)2xxf?g?f?g?xy?f?xyf?g?xg?xy?xy?xy?x?xy?x=

(f?g)2xy(f?g)2=

故

?uyf?uxg=，所以u是方程得一个积分因子 ?x?y?M?N= ??y?x21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系

Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43） 有积分因子u=exp(?f(x)dx+?g(y)dy) 证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

即证

?(uM)?(uN)?M?u?N?u+M=u+N?u? ??x?x?y?y?x?yu(

f(x)dx??g(y)dy?M?N?M?N?u?u-)=N- M-)=Ne?f(x) ?u(

?x?y?x?y?x?y-M e?

f(x)dx?g(y)dy?g(y)?u(

f(x)dx??g(y)dy?M?N-)=e?(Nf(x)-Mg(y))

?y?x- 26 -

由已知条件上式恒成立，故原命题得证。 22、求出伯努利方程的积分因子.

dy解：已知伯努利方程为：?P?x?y?Q?x?yn,y?o;

dx两边同乘以y?n，令z?y?n，

dz??1?n?P?x?z??1?n?Q?x?,线性方程有积分因子： dx??1?n?P?x?dx?n?1?P?x?dx，故原方程的积分因子为： ??e??e???1?n?P?x?dx?n?1?P?x?dx，证毕！ ??e??e?23、设??x,y?是方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0的积分因子，从而求得可微函数

U?x,y?，

~?x,y?也是方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0的积分使得dU???Mdx?Ndy?.试证?~?x,y?????U?,其中??t?是t的可微函数。 因子的充要条件是?~M??????u?M????M??????????u???M???u??y?y?y~????u?，则?y证明：若?

???M????u???M???u??N?y~N??????u?N????N????????u???N???u??M?x?x?x又 ~M????M???????u???N???u??M??y?y~为M?x,y?dx?N?x,y?dy?0的一个积分因子。 即?24、设?1?x,y?,?2?x,y?是方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0的两个积分因子，且

?1?2?常数，求证?1?2?c（任意常数）是方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0的通

解。

证明：因为?1,?2是方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0的积分因子

所以?iMdx??iNdy?o ?i?1,2? 为恰当方程 即 N??i??i??M?N?，i?1,2 ??M??i?????x?y?x???y - 27 -

下面只需证事实上：

??1?d???????2??1的全微分沿方程恒为零 ?2?2?????1????2????2??dx?1dy???dx?dy?1????y?y??x???x??22?2??????1???2M??2?M??2??dx?dx???dx?dx?1???N?yN?y??x???x??22

???2??1???2??dx????1?N???M2????2???N?x?M?y???1??x?yN?2????????M?N???M?N??dx??????????1?2??2?12??????0?y?x?y?xN?2??????即当

??1?c时，1?c是方程的解。证毕！

?2?2习题 2.4

求解下列方程 1、xy?3?1?y? 解：令

dy1?1??y??p?，则x??1??t3?t3?t2， dxt?t?13 从而y??pdx?c??d?t3?t2??c???3t?2?dt?c?t2?2t?c，

t2?x?t3?t2? 于是求得方程参数形式得通解为?. 32?y?t?2t?c2?2、y?3?x3?1?y???0

t3?121dy33解：令?t?， ?y??p?tx，则?tx??x?1?tx??0，即x?ttdx1??21?2从而y??pdx?c??t??t??d?t???c

t??t??1? ???t3?1???2t?2?dt?c

t??

- 28 -

4 ????2t?t??1?dt?c 2?t? ?25121t?t??c， 52t1?2x?t???t于是求得方程参数形式得通解为?. ?y?2t5?1t2?1?c?52t?3、y?y?2ey? 解：令

dy?y??p，则y?p2ep， dx1从而x??d?p2ep??c

p ??12pep?p2epdp?c p?? =??2ep?pep?dp?c ??1?p?ep?c，

p??x??1?p?e?c于是求得方程参数形式的通解为?, 2p??y?ye另外，y=0也是方程的解. 4、y?1?y?2??2a, a为常数 解：令

2a2ady?y??tg?，则y???2acos2?， 22dx1?tg?sec?11从而x??dy?c??d?2acos2???c

ptg? ??4a?cos2?d??c??4a? ??a?2??sin2???c，

1?cos2??c 2?x??a?2??sin2???c于是求得方程参数形式的通解为?. 2?y?2acos?5、x2?y?2?1

- 29 -

解：令

dy?y??p?cost，则x?1?cos2t?sint， dx从而y??costd?sint??c ??cos2tdt?c?? ?1?cos2tdt?c 211t?sin2t?c， 24?x?sint?于是求得方程参数形式的通解为?. 11y?t?sin2t?c?24?6、y2?y??1???2?y??2

1解：令2?y??yt，则1?y??yt?1，得y?t?，

t?1?d?t??dydy1?t?2dtt2?11t??所以dx?????dt??dt， y?2?yt1?t2t21?t2t2?1?2?t?t???t?????1?1从而x?????2?dt?c??c，

t?t?1?x??c??t于是求得方程参数形式的通解为?， ?y?t?1?t?因此方程的通解为y?1?x?c. x?c习题2.5

2．ydx?xdy?x2ydy

解：两边同除以x2，得：

ydx?xdy?ydy 2xy1d??y2?c x2y1即?y2?c x24．

dyy ?dxx?xy- 30 -

解：两边同除以x，得

dy?dx

yx1?

yx

y?u xdydu 则?u?x

dxdx 令

即

udydu ??u?xdxdx1?u得到

11??c?lnyu22?2，

1??即x?y?c?lny?

2??另外y?0也是方程的解。 6．?xy?1?ydx?xdy?0 解：ydx?xdy?xydx?0

ydx?xdy??xdx 2y?x?12 得到d????x?c ?y?2?? 即

x12?x?c y2 另外y?0也是方程的解。

dyyy28.??3 dxxx 解：令

y?u xdydu1则：?u?x?u?u2

dxdxx - 31 -

即xdudx?1xu2 得到dudxu2?x2

故?1u??1x?c

即

1y?cx?1x2 另外y?0也是方程的解。

dy?210． xdy?dx?1???dx??

解：令

dydx?p 1?p2 即x?p

而

dydx?p故两边积分得到 y?12p2?lnp?c

因此原方程的解为x?1?p2 p，e?y??dy??dx?1???xex 解：

dy?1?xex?ydx 令 x?y?u

则 1?dydudx?dx dydx?dudx?1?xeu?1 即dueu?xdx

?e?u?12x2?c

故方程的解为

ex?y?12x2?c

- 32 -

y?12p2?lnp?c。

12. 14．

dy?x?y?1 dx 解： 令x?y?1?u

dydu ?dxdxdydu 那么??1?u

dxdxdu ?dx

u?1 则1? 求得： ln?u?1??x?c

故方程的解为ln?x?y?1??x?c 或可写 为x?y?1?cex 16．?x?1?dy?1?2e?y dx 解：令e?y?u 则y??lnu ??x?1?1du?2u?1 udx11du??dx

u?2u?1?x?12u?11??c ux?1`即方程的解为ey?x?y??2x?c 18．4x2y2dx?2?x3y?1?dy?0 解： 将方程变形后得

dy4x2y2 ?3dx2xy?1dx2x3y?1x1 ???2222dy2y4xy4xydxx31 同除以x得：x??2

dy2y4y22 令z?x3 则

dz3z3 ??dy2y4y2 - 33 -

3 z?y2?cy2

233 即原方程的解为x?y2?cy2

23319.X(

dy2dy)?2y()?4x?0 dxdx解：方程可化为2y( 令

dydy)?x()2?4x,y?dxdxx(dy2)?4xdx dy2()dx - 34 -

dyxp2?4xx2xpxdp22xdp?p,则y??p?,两边对x求导得p????2dx2p2p22dxppdxp2x2xdpp2x2x(?)?(?2),(?)dx?(?2)dp?0,(p3?4p)dx?(?xp2?4x)dp?02p2pdx2p2pp(p2?4)dx?x(p2?4)dp?0?p2?4或pdx?xdp?0,当p2?4时y??2x,当pdx?xdp?0时,x2x2x?2?4x?42xccp?,y??,2yc?c2x2?4.2x2cccdy??20.y2?1?()2??1dx??dy1dydy1sin?d?2解：令?p?sin?,则y21?(sin?）?1，y?,dx???d??dxcos?psin?sin?cos2?cos2?d?222x???c?sec?d??c?tg??c所以方程的解为y?（x?c)?1,另外由p?0得y??1也2?cos???x)dy?0yxdxdz解：令?z则x?yz,?z?y方程为(1?ez)dx?(z?1)ezdy,ydydy21.(1?e)dx?e(1?dx(z?1)ezzez?z?z?ezz?ezdz1?ezdy???z??z?y,dz??dydyz?ezy1?ez1?ez1?ezxlnz?ez??lny,y(z?ez)?c,y(?ey)?c所以方程的解为x?yey?cy2xy2?3x222.3dx?dy?0yy4解：2xydx?(y2?3x2)dy?0?M?N?4??ydy?M?N8x4?y?x?2x,??6x,???所以方程有积分因子e?y?4?y?x?2xy?2xyy2xydx?(y?3?2xxxyxy3x2x21x21?4)dy?0,d3?d?0所以方程的解为3??c即x2?y2?cy3yyyyy23.ydx?(1?x?y2)dy?0ydx?xdy1?y2x1?y2解：ydx?xdy?(1?y)dy,两边同除以y得?dy,d?dy222yyyyx1所以方程的解为???y?c即（x?1)?y(y?c),另外y?0也是解。yy2224.y?x(x2?y2)?xdy?0ydx?xdyxxx2解：方程可化为2?xdx,darctg?xdx所以方程的解为arctg??c.2yy2x?y

??dy- 35 -

25.?edx?x?0dxdyt2tt解：令?p?t,x?t?e由dy?pdx得y??t(1?e)dt?c??ett?et?cdx2dy

dy25.?edx?x?0dxdyt2tt解：令?p?t则x?t?e由dy?pdx得y??t(1?e)dt?c??ett?et?cdx2t2tt所以方程的解为：x?t?e，y??t(1?e)dt?c??ett?et?c2y3226（.2xy?xy?)dx?(x2?y2)dy?03?M?N??M?N?y?x解：?2x?x2?y2,?2x,2?1所以方程有积分因子ex方程两边同乘ex得2?y?xx?yd3exx2y?dexy3?0所以方程的解为：3exx2y?exy3?c 27.

dy2x?3y?4 ?dx4x?6y?5dy

解： 令u?2x?3y，

dudyu?4，则 ?2?3?2?3dxdx2u?5du7u?22?dx2u?52u?5du?dx，

7u?229171?=dx， 14u?2227223?14(3y?x)?c 72，

两边积分得 9ln2x?3y?即为方程的通解。

另外，7u?22?0，即2x?3y?28. x22?0也是方程的解。 7dy?y?2x2y(y2?x2) dx解： 两边同除以x，方程可化为：

dyy ??2xy(y2?x2)

dxxy令?u，则 xdu x?u?u?2ux2(u2x2?x2)

dx

- 36 -

即

du?2x3(u3?u)， dxdu3?2xdx 3u?u(111??)du?2x3dx

2(u?1)2(u?1)u1x4ce 2u4两边积分得 1?即 x2?y2?cy2ex 为方程的解。

dyy29. ??exy

dxx解： 令exy?u，则 y?lnu， xxdu?lnudyudx， ?2dxx1dulnulnu那么 ??2?u

uxdxx2xdu即 2?xdx

u1两边积分得 x2?e?xy?c

2即为方程的解。

dy4x3?2xy3?2x30. ?22

dx3xy?6y5?3y2解： 方程可化为 (4x3?2xy3?2x)dx?(3x2y2?6y5?3y2)dy?0

d(x4?x2)?(y3dx2?x2dy3)?d(y6?y3)?0

两边积分得 x4?x2?y6?y3?x2y3?c 即 x4?x6?c?(x2?1)(y3?1) 为方程的解。

31. y2(xdx?ydy)?x(ydx?xdy)?0

解： 方程可化为 y2xdx?y3dy?xydx?x2dy?0 两边同除以y2，得 xdx?ydx?

x(ydx?xdy)?0

y2- 37 -

1dx即 2d(x2?y2)?xdy?0

令x??cos?，y??sin?，则

?d???cos?dctg??0

即 ?d??dsin?sin2??0

两边积分得 ???1sin??c

将

1sin???y代入得， ????y?c

即 ?2(y?1)2?c2y2 故 (x2?y2)(y2?1)2?c2y2

dydx?1?xy332. 1?x3y?0 解： 方程可化为 dy?1?xy3dx?1?x3y

两边同加上1，得 （*）

再由d(xy)?xdy?ydx，可知

d(xy)dx?xdydx?y?(x?y)(x2y2?1)1?x3y（**）

将（*）/（**）得

d(x?y)xy(x?y)d(xy)?x2y2?1 即

duuvdv?v2?1 整理得 duvu?v2?1dv

两边积分得 v2?1?cu 即 c(x?y)?x2y2?1 - 38 -

d(x?y)xy(x2?y2dx?)1?x3y

另外，x?y?0也是方程的解。

33. 求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。

解： 设p(x,y)为所求曲线上的任一点，则在p点的切线l在y轴上的截距为：

dy dxdy由题意得 y?x?x

dxdy1即 ?y?1

dxx y?x也即 ?ydx?xdy??dx

?ydx?xdydx ??x2xy即 d()??dlnx

x两边同除以x2，得

即 y?cx?xlnx

为方程的解。

34. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至v1?3米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。

dv解：F?ma?m，又F?k1v，由此

dtdv?k1v dtdv即 ?kv

dtk其中k?1，解之得

m m lnv?kt?c 又t?0时，v?5；t?2时，v?3。 故得 k?13ln，c?ln5 205t320从而方程可化为 v?5()

53120当t?2?60?120时，有 v(20)?5?()20?0.23328米/秒

5即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。

- 39 -

35. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。

F解：由物理知识得：a?合(其中a为质点的加速度，F合为质点受到的合外力)

m根据题意：F合?k1t?k2v

dv?k1t?k2v(k2?0) dt?kkdv即：?(2)v?1t(*)

dtmm(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有

故：mV?e2dt??mk2dtk1?m(?t?edt?c) mk?e?k2tm22ttk1mk1mm(t?e?2e?c) k2k2kk又当t=0时，V=0，故c=

mk1 2k2k2tmk1?mkm因此，此质点的速度与时间的关系为：V?2e?1(t?)

k2k2k236. 解下列的黎卡提方程 （1）y?e?x?y2?2yex?1?e2x

解：原方程可转化为：y???exy2?2e2xy?ex?e3x,(*)

观察得到它的一个特解为：y?ex，设它的任意一个解为y?ex?z，

d(ex?z)代入（*）式得到：??ex(ex?z)2?2e2x(ex?z)?ex?e3xdxdz??exz2 dxdz变量分离得：2??exdx

z1两边同时积分：???ex?c

z1即：z?x

e?c1故原方程的解为 y?ex? xc?e(**)

由（**）-（*）得：

- 40 -

（2）y??y2?2ysinx?cosx?sin2x

解：原方程可化为：y???y2?2ysinx?cosx?sin2x

由观察得，它的一个特解为y?sinx，设它的任意一个解为y?sinx?z，故

dz?(?2sinx?2sinx)z?z2??z2 dx11变量分离再两边同时积分得：?x?c即z?

zx?c1故原方程的解为y?sinx?

x?c（3）x2y??x2y2?xy?1 解：原方程可化为：y??y2?11y?2 xx11由观察得到，它的一个特解为y??，设它的任一个解为y???z，故

xxdz1??z?z2，该式是一个n?2的伯努利方程 dxx1dz11两边同除以z2得到：2????1

xzzdx1d111即：z??1，令?u，

zdxxzdu1则：?u?1，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：

dxxu?e1?dxx(??e1??dxxdx?c)?x(c?en|x|)

故：z?1

x(c?en|x|)因此：原方程的解为：xy?（4）4x2(y??y2)?1 解：原方程可化为：y??y2?1 24x1?1

c?en|x|由观察得到，它的一个特解为y??是

11，设它的任一个解为y???z，于2x2xdz1??z?z2，这是n?2的伯努利方程 dxx

- 41 -

两边同除以z2得到：

1dz11????1

xzz2dx1d11即：z???1

dxxz?dx??dx1则：?ex(??ex?c)?x(c?en|x|)

z11即：z?1

x(c?en|x|)故：原方程的解为：2xy?（5）x2(y??y2)?2 解：原方程可化为：y???y2?2 2x2?1

c?en|x|11由观察得，它的一个特解为y??，故设它的任一个解为y???z，于是

xxdz2?z?z2，这是n?2的伯努利方程 dxx1dz21两边同除以z2得到：2???1

zdxxz1d21即：z????1

dxxz3??dx?dx11x则：?ex(?exdx?c)?2(?c)

zx3223x212x3?c故：原方程的解为：y?3. ?，即xy?3x?cxc?x（6）x2y??(xy?2)2?0 解：原方程可化为：y???y2?44y?2 xx11由观察得到它的一个特解为y?，设它的任一个解为y??z，于是

xxdz2?z?z2，这是n?2的伯努利方程 dxx1dz21两边同除以z2得到：2???1

zdxxz - 42 -

121即：z????1

dxxzd??dx?dx11x3xx则：?e(?edx?c)?2(?c) zx3223??dx?dx1x1从而：?ex(?exdx?c)?2(?c)

zx32213x24x3?c故原方程的解为：y??3 ?xx?cx(x3?c)4x3?c即：xy? 3x(x?c)（7）y??(x?1)y2?(1?2x)y?x

解：由观察得到它的一个特解为y?1，故设它的任一个解为y?1?z，于是

dz??z?(x?1)z2，这是n=2的佰努利方程， dx1dz1两边同除以z2得：2???(x?1)

zzdx1d1即：z??(1?x)

dxzdx?dx1从而：?e?(?(1?x)e?dx?c)

z?ex(xe?x?c)?x?cex

故原方程的解为：y?1?z?1?

1 xx?ce习题3.1

1 求方程

dy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解； dx 解： 取?0(x)?0

12x

002xx1115 ?2(x)?y0??[x??12(x)]dx??[x?(x2)2]dx?x2?x

002220 ?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x - 43 -

1152 ?3(x)?y0??[x?(x2?x)]dx

0220115181 = x2?x?x?x11

2201604400

dy 2 求方程=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解；

dxx 解： 令?0(x)?0

12x

002xx1115 ?2(x)?y0??[x??12(x)]dx??[x?(x2)2]dx?x2?x

002220x1152 ?3(x)?y0??[x?(x2?x)]dx

0220115181 =x2?x?x?x11

2201604400

则 ?1(x)?y0??(x?y02)dx??xdx?xx 3 题 求初值问题：

?dy??x2 R：x?1?1，y?1 ?dx??y(?1)?0的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；

1b解： 因为 M=max{x2?y2}=4 则h=min(a,)=

4M1 则解的存在区间为x?x0=x?(?1)=x?1?

4 令 ?0(X)=0 ;

11?1(x)=y0+?(x2?0)dx=x3+;

33x0x131213xx4x711 ?2(x) =y0+?[x?(x?)]dx=x---+

9186342333?12x 又

?f(x,y)?2=L ?yM*L2311则：误差估计为：?2(x)??(x)?h= 224(2?1)

- 44 -

dy334 题 讨论方程：?y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

dx21并求通过点（0，0）的一切解；

?f(x,y)1?32解：因为=y在y?0上存在且连续；

2?y3 而y3在y???0上连续

21dy33由 ?y有：y=（x+c）2

dx213

又 因为y(0)=0 所以：y=x 另外 y=0也是方程的解；

?3?2故 方程的解为：y=?x??0x?0 x?032或 y=0;

6题 证明格朗瓦耳不等式：

设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间??t??上的连续非负函数， 且满足不等式：

t f(t)?k+?f(s)g(s)ds,??t??

?t 则有：f(t)?kexp(?g(s)ds),??t??

?t证明：令R（t）=?f(s)g(s)ds,则R'(T)=f(t)g(t)

? - 45 -

R'(T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) ?kg(t)R'(T)- R(t)g(t)?kg(t);

t 两边同乘以exp(-?g(s)ds) 则有：

?t't R(T) exp(-?g(s)ds)-R(t)g(t) exp(-?g(s)ds)

??t ? kg(t) exp(-?g(s)ds)

?两边从?到t积分：

tttR(t) exp(-?g(s)ds)?-?kg(s)dsexp(-?g(r)dr)ds

???tt即 R(t) ??kg(s)ds exp(-?g(r)dr)ds

?stt又 f(t) ?1?k+R(t) ?k+k?g(s)exp(-?g(r)dr)ds

?sts ?k(1-1+ exp(-?g(r)dr)=k exp(?g(r)dr)

stt即 f(t) ?k?g(r)dr;

?7题 假设函数f(x,y)于（x0,y0）的领域内是y的 不增函数，试证方程

dy= f(x,y)满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多只有一个解； dx证明：假设满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧有两个?(x),?(x) 则满足：

x ?(x)= y0+?f(x,?(x))dx

x0x ?(x)= y0+?f(x,?(x))dx

x0 不妨假设?(x)??(x)，则?(x)- ?(x)?0

- 46 -

xx而?(x)- ?(x)= ?f(x,?(x))dx-?f(x,?(x))dx

x0x0x =?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx

x0又因为 f(x,y)在（x0,y0）的领域内是y的 增函数，则： f(x, ?(x))-f(x, ?(x))?0

x则?(x)- ?(x)= ?[f(x,?(x))?f(x,?(x))dx?0

x0则?(x)- ?(x)?0

所以 ?(x)- ?(x)=0， 即 ?(x)= ?(x)

则原命题方程满足条件y(x0)= y0的解于x? x0一侧最多 只有一个解；

习题3.3

1．Proof若（1）成立则???0及x0?x0，????(?,x0)，使当 |y0|?|y(x,x0,y0)|??

?dy??f(x,y)时，初值问题 ?dx

??y(x0)?y0?y(x,x0,y0)的解y?y(x,x0,y0)满足对一切x?x0有|y(x,x0,y0)|??,

由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解y?y(x,x0,y0)及y?y(x,x0,y0)都过点

(x0,y0)，由解的存在唯一性

y(x,x0,y0)?y(x,x0,y0)，当x?x0时

故|y(x,x0,y0)|??,x?x0

若（2）成立，取定x0?x0，则???0，??1??(?,x0)??(?)，使当 |y(x,x0,y0)|??1

- 47 -

时,对一切x?x0有

|y(x,x0,y0)|??

?dy??f(x,y)因初值问题?dx

??y(x0)?0的解为y?0，由解对初值的连续依赖性， 对以上??0，????(?,x0,x0)??(?,x0)，使当

|y0|??时

对一切x?(x0,x0]有

|y(x,x0,y0)|?min{?,?1}??

而当x?x0时，因

|y(x,x0,y0)|?min{?,?1}??1

故|y(x,x0,y0)|??

这样证明了对一切x?x0有

|y(x,x0,y0)|??

2．Proof：因f(x,y)及

?f都在G内连续，从而f(x,y)在G内关于y满足局部?yLipschitz条件，因此解y??(x,x0,y0)在它的存在范围内关于x,x0,y0是连续的。

设由初值(x0,y0)和(x0,y0??y0)(|?y0|??,?足够小）所确定的方程解分别为

y??(x,x0,y0)??，y??(x,x0,y0??y0)??

即??y0??f(x,?)dx，??y0??y0??f(x,?)dx

x0xxx0于是

?????y0??(f(x,?)?f(x,?))dx

x0x??y0??

xx0?f(x,???(???))(???)dx0???1

?y- 48 -

因

?f及?、?连续，因此 ?y?f(x,???(???))?y??f(x,?)?r1 ?y这里r1具有性质：当?y0?0时，；r1?0且当?y0?0时r1?0，因此对?y0?0有

????y0?1??(x0x?f(x,?)????r1)dx?y?y0

即z?????y0

是初值问题

?dz?f(x,?)?r1]z??[?y ?dy?z(x)?1?z0?0的解，在这里?y0?0看成参数0显然，当?y0?0时，上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知在

?y0?0????y0是x,x0,z0,?y0的连续函数，从而存

lim????y0??? ?y0而

?f是初值问题 ?y0?dz?f(x,?)z???y ?dx?z(x)?1?0的解，不难求解

?f ?exp?y0?xx0?f(x,?)dx?y

它显然是x,x0,y0的连续函数。

3．解：这里f(x,y)?p(x)y??(x)满足解对初值的可微性定理条件 故：

- 49 -

????f(x0,y0)exp?x0?xx0?f(x,?)dx ?yxx0??(p(x0)y0?Q(x0))exp?p(x)dx

x?f(x,?)x???exp?dx?exp?p(x)dxx0x0?y?y0???f(x,?(x,x0,y0))?p(x)?(x,x0,y0)?Q(x) ?xdy?p(x)y?Q(x)满足y(x0)?y0的解为 dx y?e故

?x0p(x)dxx(?Q(x)ex0x??x0p(x)dxxdx?y0)

x???exp?p(x)dxx0?y0

xxx????p(x0)exp?p(x)dx(?Q(x)(exp(??p(x)dx))dx?y0)

x0x0x0?x0 ?exp?p(x)dx(?Q(x0)?p(x0)?Q(x)[exp(??p(x)dx)]dx)

x0x0xxxx0??(p(x0)y0?Q(x0))exp?p(x)dx

x0xxxx???p(x)exp?p(x)dx(?Q(x)(exp(??p(x)dx))dx?y0)

x0x0x0?x ?exp?p(x)dx(Q(x)exp(??p(x)dx))

x0x0xx ?p(x)?(x,x0,y0)?Q(x)

y4．解：这是f(x,y)?sin()在（1，0）某领域内满足解对初值可微性定理条件，

x由公式

?y(x,x0,y0)?x0?y(x,x0,y0)?x0(1,0)??f(x0,y0)exp(??exp(?xx?f(x,y)dx)x0?yx(1,0)?0

(1,0)?f(x,y)dx)x0?y(1,0)?exp?1ycosdxx0xxx(1,0)

?exp?11y(x,1,0)cosdx xx易见y?0是原方程满足初始条件y(1)?0的解

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