一元函数极限的若干

目录

1 摘要..........................................................................................................................1 2 前言..........................................................................................................................1 3 一元函数极限的定义及定义 ................................................................................. 1

3.1 x趋于?时函数的极限概念 .......................................................................... 2 3.2函数极限的?-?定义的定义 .......................................................................... 2 4 方法、技巧与典型例题 ......................................................................................... 3

4.1 利用极限的定义验证极限 ............................................................................. 3 4.2 利用极限的四则运算求极限 ......................................................................... 4

4.2.1

直接运用法则 .......................................................................................... 5

4.2.2 间接运用法则 .......................................................................................... 5

4.3利用迫敛准则求函数极限 .............................................................................. 7 4.4 利用左右极限求函数极限 ............................................................................. 8 4.5 利用两个重要极限公式求函数极限 ............................................................. 8 4.6 利用无穷小量的性质求函数极限 ............................................................... 10 4.7 利用替换法求函数极限 ............................................................................... 10

4.7.1

4.7.2

利用变量代换法求函数极限 ................................................................ 10 利用等价无穷小量求函数极限 ............................................................ 10

4.8 利用洛必达法则求函数极限 ....................................................................... 12 4.9 利用导数的定义求函数极限 ....................................................................... 13 4.10 利用定积分的定义验证极限 ..................................................................... 14 4.11 利用麦克劳林展式求函数极限 .................................................................. 14 4.12 利用微分中值定理求函数极限 ................................................................. 16 4.13利用积分中值定理求函数极限 .................................................................. 16 4.14 利用级数的必要条件求函数极限 ............................................................. 17 5 结束语……………………………………………………………………………17 参考文献 ..................................................................................................................... 18

1

一元函数极限的若干求法

作者 吴剑颜 指导老师 吴勇旗

（湛江师范学院数学与计算科学学院 湛江 524048）

摘 要：一元函数极限的计算是“数学分析”的基础，必须掌握其各种极限的求法才能熟练准确地计算各种极限，本文主要讲述一元函数极限的不同求法。本文在某些具体求解方法中就要注意的细节和技巧做了说明，以便我们了解函数的各种极限，这样才能达到事半功的效果. 关键词：一元函数；极限；求法

A function of several

Author Wu Jianyan Instructor Wu Yongqi

Mathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal University, Zhanjiang,

524048 Abstract: A function of the calculation of limit is the basis of “mathematical analysis”.Must be to master the method to get its various limit accurately calculate various limits, this article mianly tells a function limits of different calculation methods.This article in some concrete solving method must pay attention to details and skills,so that we can understand the function of all kinds of limits, in this way can we achieve twice the result with half the effort.

Key words: Function of one variable; Limitation; Method for evaluating

2 前言

一元函数极限的计算在数学分析中占据着重要的地位，根据此重要性，本文详细介绍了求一元函数极限的若干求法，例如：定义法、四则运算法则法、迫敛法、洛必达法则法、左右极限法、麦克劳林展式法等。除此之外，还对要注意的地方做了详细介绍，希望对求解一元函数极限有所帮助。

在研究一元函数极限的解法之前，首先我们要清楚一元函数极限的定义，这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.

3 一元函数极限的定义及分类

2

由于x趋于不同时函数极限的定义不同，下面我们主要介绍三种定义.

3.1定义1（x趋于?时函数的极限）

设f为定义在?a,???上的函数，A为定数.若对任给?>0，存在正数M??a?，使得x>M时有

f?x??A

x???A的任意小领域内必含有f在这里，当x???时函数f以A为极限意味着：

在??的某领域内的全部函数值.

3.2定义2（函数极限的?-?定义）

设函数f在点x0的某个空心领域U0?x;??内有定义，A为定数.若对任给的

00，使得当00，存在正数?（

f?x??A

则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作limf?x??A 或

x?x0f?x??A?x?x0?

4 求一元函数极限的方法、技巧与典型例题分析

4.1 用极限定义证明极限

用极限定义证明极限，在x?x0时，??>0，要找出对应的?；在x??时，要找出对应的M.一般的方法是：将f?x??A经变形、放大，得到x?x0

x>M.在变形时大多是改变f?x?的形式，但有时也可以改变A的形式来实现.

例1 证明：若limf?x??A，且f?x?>0?A?0?，则

x?x0 limf?x??A.

x?x0证：分两种情形.

3

当A?0时，若limf?x??0，取??>0，??>0，对任意满意0

x?x0有f?x?

limx?x0f?x?

f?x??0.

x?x0当A>0时，若limf?x??A，即??>0，??>0，对任意满足0

f?x??A?f?x??Af?x??Ax?x0?11?. f?x??A

有时，在将f?x??A变形时，不仅得到x?x0因式，而且还得到含x的其它因式.这时，我们要利用x?x0这一条件，限定x的取值范围，得出x?x0

例2 证明：lim证： 因为

161?x?1?x77716x2?9?1??1?， ?1?22????16x?94x?34x?316x2?9716x?9?x?17?1.

16x2?9????设x?1<1，即0

11 1-

881.再设x?1<，即

3?4x?34816?31-x

??1?,?，则当x?10，取?=min??328?7?1

16x2?9 limx?17?. 116x2?92x2?1?2. 例3 按定义验证lim2x??x?32x2?17证：因为??>0，要找到M>0，使x>M时，有2

而当x>3时，x2?3>x，故要

77<

7?7?.故??>0，取M=max?3,?，当x>M时，有 ????2x2-1 2-2

x-2于是 lim2x2?1x?32x???2.

4.2 数列极限的四则运算法则

若极限limf?x?和limg?x?都存在，则函数f?g，f?g在x?x0时极限也

x?x0x?x0存在，且

1) lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?

x?x0x?x0x?x02) lim?f?x?g?x???limf?x??g?x?；

x?x0x?x0

3） limx?x0f?x??limf?x?limg?x?.

x?x0g?x?x?x0极限四则运算法则的条件是充分非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则的条件，满足条件者，方能利用极限四则运算法则求之；不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需要将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之.

4.2.1 直接运用法则

x2?1例4 求lim2.

x?02x?x?1解： limx?10-1x?0x?0=??1 2x?02x2?x?1lim2x?limx?lim10-0-1x?0x?0x?02limx2?lim14.2.2 间接运用法则

5

4.2.1.1约分法

x2?1例5 求lim2.

x?12x?x?1x2?1分析：由于当x?1时，x?1?0,2x?x?1?0.因此，lim2不符

x?12x?x?122合四则运算法则条件，需进行恒等变形：即消去当x?1时，分子、分母为0 的因子x?1后方可利用极限四则运算法则求之.

x?1??x?1??x2?1x?1??解：当x?1?0时，有2，所以

2x?x?1?x?1??2x?1?2x?1x2?1lim2x?12x?x?1?x?1??x?1?

?limx?1?x?1??2x?1??limx?12?x?12x?134.2.1.2 通分法

3??1?3? 例6 求lim?x??1x?1x?1??分析：当x??1时，

3?13?1?3?不符??,3??，因此，lim?x??1x?1x?1?x?1x?1?合四则运算法则条件，需要进行恒等变形再求之.

3??1?3? 解：lim?x??1x?1x?1??x2?x?1?3?limx??1x3?1?x?1??x?2??limx??1x?1x2?x?1 ????x?2x??1x2?x?1??1?lim

4.2.1.3 根式有理化：分子或分母有理化

6

a2?x?a例7 求lim（a>0）

x?0xa2?x?a分析：当x?0时，分子a?x?0，分母x?0 ，因此lim不x?0x2符合四则运算法则条件，需进行恒等变形求之.

a2?x?a解： lim

x?0x?=limx?0a2?x?ax????a2?x?aa2?x?a???limx?0x?2xa2?x?a1 ?limx?0?a?x?a1

a2?0?a1?2a4.2.1.4 分子分母同除x的最高次项或根据下列结论求之

?an?b,m等于nm?anxn?an?1xn?1?…+a1x?a0?lim??0，n小于m m?1x??bxm?b?…?b1x1?b0?mm?1x?，n大于m???例8 求limx???x?1?x. x解： x???，分子各项中最高项次数为 lim对形如limf?x?g?x?1，由系数比，得 2x???x?1?x?1 xx??，其中f?x?，g?x?是多项式型的，且g?x??0，可以用分

1?0，可求得x??xk子、分母同除以f?x?,g?x?中x的最高次项的方法，再利用lim 7

最终结果.

4.3 迫敛准则

设limf?x??limg?x??A，且在某U0?x0;???内有f?x??h?x??g?x?，则

x?xox?x0x?x0limh?x??A

例9 求limx?cosx

x???x?xxsinxx ??222x?4x?4x?4解： 因x趋于正无穷，当x>2时

limx2??1?lim?????0 2x??x2?4x????x?2x?4? lim由迫敛性得 limx2??1?lim????0 2x???x2?4x???x?2x?4??x?cosx=0

x???x4.4 利用左右极限求函数极限

4.4.1函数极限的单侧极限定义

0?x0;???(或U?0?x0;???）内有定义，A为定数.若对任给的?>0，设函数f在U?存在正数?（

f?x??A

??则称数A为函数f当x趋于x0（或x0）时的右（左）极限，记作

f?x??A? lim?f?x??A ??xlim? ?x?x0??x0?或

?? ?f?x??A?x?x0???. f?x??A?x?x0右极限与左极限统称为单侧极限.f在点x0的右极限与左极限又分别记为 f?x0?0??limf?x? 与 f?x0?0??limf?x?.

x?x0x?x0

8

函数f?x?在x0极限存在的充分必要是

x?x0limf?x??A?limf?x??limf?x??A ??x?x0x?x01??2aa例10 求lim??arctan? x?a3?x?a??解： a?0时，讨论左、右极限.因为

?2aa lim??x?a??3??2aa lim??x?a??3?1?2aa?a7， arctan?????x?a?3?261?2aa???aarctan???????，

x?a?3??26?左、右极限存在，但不相等，所以 lim不存在

1??2aa a?0时，显然有lim??arctan??0 x?ax?a??3?2aa1?arctan?a?0? 3?x?a4.5 利用两个重要极限公式求函数极限

sinx?1

x?0xsinx例11 limn?N?? ?x?n?x?nx1 lim解： 令t?x?n?，则x?n??t，于是 原式=

??1?limt?0xnsintt???1?.

n1x?1?2 lim?1???e lim?1x??e ?x??x?0?x?1x?1?x?例12 lim?? x?01?x?? 9

1?1??x???2?1??2???1?x??1?x?x??1?lim?????lim? x?0解： x?0?11?x????1?x?????1??x???????e2?1?e224.6 利用无穷小量的性质求函数的极限

相关性质：（1）设f?x?在某Ux?x0时的无穷小量.

0?x?内有定义.若limf?x??0，则称f?x?为当

0x?x0（2）有限个无穷小量的代数和为无穷小量. （3）有限个无穷小量的差为无穷小量. （4）有限个无穷小量的乘积为无穷小量. （5）有界函数与无穷小量的乘积为无穷小量. （6）无穷大量的倒数是无穷小量. 例13 求limsinx

x??xx??分析：因为limsinx不存在，不能直接使用运算法则，故必须先将函数进行恒等变形.

11xs，因为当inx??时，?0，即是当x??时

xxsinx的无穷小，而sinx?1，即sinx是有界函数，由无穷小量的性质得lim?0

x??xsinx1解： lim?lim?x??x??xx4.7 利用替换法求函数极限

4.7.1 用变量代换求极限

例14 求limx????x2?x?3x3?x2

?11解：令x?，则t??0?.

tx1?t?31?t=lim t?0?t 10

?=limt?0?1?t?1?t??31?t?1?

t2=lim?t?0t?1?t?1??lim?t?0t?3?1?t??3?1?t??1?

111=-= 2364.7.2利用等价无穷小量替换

il定理 ：设f,f1,g,g1，是某一变化过程中的无穷小量，且f,f1,g,g1，若mfg存在，则limff?lim1 gg1常见的等价无穷小量

x?x x?0时： sin

例15 求limtanx?x ln?1?x??x

arctaxn?x

arcsixn?xe?1?xx1?coxs

ax?1?xlna

tanx?sinx 3x?0sinxsinx?1?cosx?， 而 解：由于tanx?sinx?cosx

x2sinx?x?x??01-cosx??x?0?,sinx3?x3?x?0?，

2 故有

tanx?sinx1x?x31?lim?3? lim3x?0x?0sinxcosxx2在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相

11

除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换，否则，将导致出错误的结果，例如例15，若因为有

而推出

tanx?x?x??0,si?xn?x?x?， 0tanx?sinxx?x?lim?0， lim33x?0x?0sinxsinx则得到的是错误的结果.

4.8 利用洛必达法则求函数极限

函数f?x?和g?x?满足：

?x?x0limf?x??limg?x???为了下文叙述方便把两个无穷小量或两个无穷大量之比?x?x00?的极限统称为不定式极限，记作：型或型

0?0定理（型）：若函数f?x? 和g?x?满足：

0（1）limf?x??limg?x??0

x?x0x?x0（2）在点x0的空心领域U0?x0?内两者都可得，且g??x??0 （3）limf?x?g?x?f??x??A （A可为实数，也可为??或?），则g??x?x?x0x?x0lim?limx?x0f??x??A g??x?（1）定理 （

?型）：若 ?（2）在x0的某右领域U0??x0?内两者都可导，且g??x??0

f??x??A （A可为实数，也可为??或?），则（3）lim+x?x0g??x?x?x0lim+f?x?g?x??lim+x?x0f??x??A g??x? 4.8.1 对于

?0型或型直接运用法则 ?012

对于0??型，?-?型要通过变形为

?0型或型，再使用法则，对于1?，00，?0?0f??x??00型要先取对数变形为0??型，然后再化为型或型等等.如果lim仍是

x?x0g??x??00型不定式极限，只要有可能，则再次用洛必达法则，即考察limx?x0f??x?极限是否g??x?存在，此时f??x?和g??x?在x0的某领域内必须满足定理4的条件.

对于不是

?0型或型时，则通过结合代数运算，等价无穷小代换，重要极限?0等方法，尽力使运算简化.

洛必达法则仅是一个充分性条件的确定商式极限工具.当满足条件时，所求极限存在，但当条件不满足时，不应当使用这一工具，但这并不等价于极限不存在，因此，必须辩证地理解商式的分子和分母.

例16 lim?x?0x1?ex

0解：这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解.但若做适当变换，

0在计算上可方便些.为此，令t?x，当x?0?时有t?0?，于是有

xt1?lim?lim?? limtt??x?0?1?ext?0t?01?e?eex例17 求 lim3

x???x1解：这是

?型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解. ?exexexex?lim??? lim3?lim2?limx???xx???3xx???6xx???6不能对任何比式极限都按比式洛必达法则求解.首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件.

下面这个简单的极限

x?sinx lim? 1x???x?虽然是型，但若不顾条件随便使用洛必达法则的其他条件：

?

13

x?sinx?1cxos lim， ?limx???x???x1就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论.

4.9 利用导数的定义求函数极限

导数的定义：设函数y?f?x?在点x0的某空心领域内有定义，若极限

limf?x??f?x0?x?x0x?x0存在，则称函数f?x?在x0处可导，即为

?f??x0??limx?0x?x0limf?x??f?x0?x?x0f?x0?x??f?x0?x

次方法可常常求自变量趋于零的极限，多用于求抽象函数的极限.

例18 设f??x0?存在，求极限limx?0f?x0?2x??f?x0?x

f?x0?x??f?x0?x解： 因为f??x0?存在，由导数的定义知f??x0??limx?0，

故 limx?0f?x0?2x??f?x0?x=limx?0f?x0?2x??f?x0??2x???2??2f??x0?

4.10 利用定积分的定义求函数极限

由定积分的定义我们知道，若f?x?在?a,b?上可积，则可对?a,b?用某种特定的分法，并取其特殊的点，所得积分和的极限就是f?x?在?a,b?上的定积分.所以，若要利用定积分求极限，其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.

?111?例19 求limn? ??…+222?n???n?n?????n?1??n?2??解： 记f?x??1?1?x?2,x??0,1?，则f?x?在?0,1?上连续，所以可积，取

n?i?12 T=?0，,,…，?,?i?xi???i,i?1,2,…，n

n?n?nn 14

??1?x?01dx2?lim?T?0i?1n1n1 f??i??xi?lim?2n??ni?i?1?1????n??111=limn???…+22n??n?1n?2?????n?n???

11?1?1=-????1???0??1+x2?2???2??

4.11泰勒公式的等价代换—麦克劳林展式

泰勒定理：若函数f?x?在x0存在n阶导数，则?x?U0?x0?，

n 有f?x??Tn?x?????x?x0??——（1）

??f?f??f??2n 其中Tn?x??f?x0???x?x0???x?x0??…+?x?x0?

1！2!n！nnn Rn?x?????x?x0??，即Rn?x?是?x?x0?的高阶无穷小.（1）式称为f?x???在x0处展开的泰勒公式.

当x0?0（函数f?x?在0处存在的n阶导数），（1）式可化为： f?x??f?0??式.

几个常用的超越麦克劳林公式

x2xn（1）e?1?x??…+???xn?；

2!n!xf??0?1!x?…+f?n?n!?0?xn???x? 此式被称为麦克劳林公

nx3x5x2m?1m?1???x2m?； （2）sinx?x???…+??1?3!5!?2m?1?!2mx2x4mx???x2m?； （3）cosx?1?++ +??1?2!4!?2m?!nx2x3n?1x???xn?； （4）ln?1?x??x??+…+??1?23n 15

（5）?1?x??1??x?（6）

?????1?2!x2?…+???-1?…???n?1?n!xn???xn?；

1?1?x?x2?…+xn???xn? 1?x例20 求极限limcosx?ex?0x4?x22.

解： 本题可用洛必达法则求解(较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解.考虑到极限的分母为x4，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取n?4，并利用

e?x22x2x4x2nn?1??2?…+??1??n???x2n?）：

22?2!2n!x2x4 cosx?1?????x5?，

224 e-x22x2x4?1?????x5?，

28-x22x?e cosx4?????x5?. 12因而求得 lim

cosx?ex?0x4-x2214x???x5?1?lim124??. x?0x12?4.12 利用微分中值定理

拉格朗日中值定理：若函数f?x?满足下列条件：（1）在闭区间?a,b?上连续 （2）在开区间?a,b?内可导 则在开区间?a,b?内至少存在一点?，使f?????.

f?a??f?b?b?a

aa??例21：求limn2?arctan?arctan??a?0? n??nn+1?? 16

?aa?解：设f?x??arctan,，在?,?上用拉格朗日中值定理，得

?n?1n??a?f????n?1?aa?aa?a?（其中<<） ?f?????2?n?11??nn?1n?1n????a1??a 1??2n?n?1?故当n??时，??0，可知：原式=limn2?n??4.13积分中值定理求函数极限

积分中值定理：如果f?x?在?a,b?连续，g?x?在?a,b?上可积且不变号，则存在???a,b?，使得?f?x?g?x?dx?f????g?x?dx

aabb例22：求lim?x?a?ln?nx??xt?2dt，其中a>0，为常数，n为自然数.

解：由积分中值定理知，在x与x?a之间存在?，使

?x?a?ln?nxt?2dt?x?aa?ln??n??2

a?ln??n所以limx???x??lnt?nt?2dt?limx?????2?0

4.14 利用级数收敛的必要条件求函数的极限

级数收敛的必要条件是：若级数?un收敛，则limun?0，故对某些极限

n?1n???limf?n?，可将函数f?n?作为级数的一般项，只须证明级数收敛，便有

n??limf?n??0.

n??nk例23：求limn（a>1）

n??ank解：研究级数?n（a>1），由于

an?0? 17

?n?1?ulimn?1?limn??un??n?kankann?1?n?1?11?lim????<1 n??n??aaknknk所以级数?n（a>1）收敛，故limn?0

n??an?0a5 结束语

以上方法是求解一元函数极限的重要方法，虽有一定的规律可循，但也决不能死搬硬套，因为有的题目可能有多种解法，有的简单，有的复杂；尽管掌握以上方法和透彻清晰地明白以上各种方法所需的条件也不够，必须细心分析仔细甄选，在做题过程中不断总结，摸索，领悟题目的含义和各种方法的精髓，才能更好地掌握极限的方法，提高解题准确率，省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。

参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h6ag.html