2018高考数学文科一轮复习讲义 8.1 第一节 任意角和弧度制及任意

第八板块

必修4 第一章 三角函数 第三章 三角恒等变换

【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴

高考纵横:

三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中时基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识．

新课标对三角函数的整体要求已降低,在新高考中,明确指出不学的内容不考，应降低难度的内容在进一步降低. 新课标高考在本章节中的考查内容主要有: 三函数函数的图象与性质、三角恒等变换.其中三函数函数的图象与性质、三角恒等变换均以客观题形式出现,属基础题或中档题,其主要通过三角函数与实际生活的紧密联系，考查三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用,通过运用三角恒等变换公式进行简单的恒等变换,考查考生的推理能力和运算能力.

命题趋向: 新课标高考的三角试题有四大特点:

l.考小题,重在基础.有关三角函数的小题，其考查的重点在于基础知识：解析式、图像及图像变换、两域（定义域、值域）、四性〔单调性、奇偶性、对称性、周期性）、简单的三角变换（求值、化简及比较大小）

2.考大题,难度明显降低.有关三角函数的大题.即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已没有了，而是考查基本知识、基本技能和基本方法

3.考应用,融入三角形之中.这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故备受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等．并结合三角公式进行三角变换，从而获解.

4.考综合,体现三角的工具作用.由于新课标高考的命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常是在知识的交汇点出题.而三角知识是基础的基础，故考查与立几、解几、复数、参数内容等综合性问题时，就突出三角的工具性作用.

状元心得: 1.三角函数是函数大家族的一员，学好三角函数有助于进一步理解函数的思想和方法.新课标教材从定义，图象，性质等角度进行学习，不再把三角变换穿插其中，使函数的“味道”更浓.

2.复习过程中要能够深化函数的意识，树立数形结合的意识，培养化归意识，突出周期意识，领会三角函数的实质，建构包含数学思想方法的知识结构.

3.弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背，要在灵、活、巧上下功夫.

4.三角函数是高考的重点，但不是难点,在学习三角函数知识的同时，着意培养以上四种意识，悟透蕴含其中的思想方法，有益于高屋建瓴地理解知识，学会学习，增强学习信心.

学科知识体系结构图:

正角 角的概念的推广 负角 零角 定义 弧度制 角度与弧度的计算 弧长和扇形面积公式l??R,S?lR/2??R2/2 概念 任意角的三角函数的定义 任意角的三角函数 三角函数线 三角函数值在各象限的符号 同角三角函数的基本关系式 三角函数 平方关系sin2??cos2??1 商数关系tan??sin?cos?终边相同的角 倒数关系tan??cot??1 正弦、余弦的诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin(???)?sin?cos??cos?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? 化简 三角公式 两角和与差的三角函数 应用 求值 证明 sin2??2sin?cos? cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2? 三角函数的图像与性质 正、余弦函数的图像与性质 正切函数的图像与性质 函数y?Asin(?x??) 的图像与性质 应用 已知三角函数求角

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

【考点点知】知己知彼，百战不殆

三角函数是高中数学中重要的初等函数之一，是历年高考的重要内容．高考对本讲的要求：“了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义”．三角函数概念是三角函数有关公式、图像和性质推导的基础，很多三角函数问题都可以化归为三角函数概念问题．高考对本讲内容的考查主要形式有：象限角问题、扇形弧长、面积公式应用、三角函数概念的简单应用等．

考点一: 角的概念的推广

1.一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角.

2.以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.它不属于任何象限.

考点二: 终边相同的角

1.一般地,与角?终边相同的角的集合为｛β｜β＝k2360°＋?，k∈Z｝. 2.终边在坐标轴上的角,即轴线角,其表示方法如下:

终边在x轴正半轴上的角的集合：{?|?=k?360?， k?Z}； 终边在x轴负半轴上的角的集合：{?|?=k?360?+180?，k?Z}； 终边在x轴上的角的集合：{?|?=k?180?，k?Z}；

终边在y轴正半轴上的角的集合：{?|?=k?360?+90?，k?Z}； 终边在y轴负半轴上的角的集合：{?|?=k?360?+270?，k?Z}； 终边在y轴上的角的集合：{?|?=k?180?+90?，k?Z}； 终边在坐标轴上的角的集合：{?|?=k?90?，k?Z}. 考点三: 弧度的概念

1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.

2.在单位圆中长为1个单位的的弧度所对应的圆心角称为1弧度的角.它的单位符号是rad,读作弧度.正角的弧度是一个正数,负角的弧度是一个负数,零角的弧度是0.

3.角以已知角?的弧度数的绝对值|?|?l,其中l是以用?为圆心角时所对的弧长,rr是圆的半径.这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制.

考点四: 角度与弧度的互化

因为圆周角在角度制下是360°，在弧度制下是2π rad，

001.角度化成弧度:360?2? rad; 180?? rad;1? rad?0.01745 rad. 180180000)?57.300?57018?. 2.弧度化成角度:2? rad?360; ? rad?180;1 rad?(0??考点五: 弧长公式及扇形面积公式

1.在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角的大小为?，则??为l??r，称为弧长公式.其中?的单位是弧度数，l与r单位要统一.

2.弧长公式还可以变形为r?l，此公式变形rl|?|(|?|?0),要灵活运用公式|α|=

l的变形形式l=|α|2r，rr=

l?，做到知二求一.

l111R223.弧长为l的扇形的面积S扇=2=lR.. 又l?|?|R, 所以S扇=lR?|?|R.

22R22考点六: 任意角的三角函

1.三角函数的概念

设α是一个任意角，α的终边上一点Ρ（除端点外）的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r=

，如下图所示. x?y?x2?y2>0）

y y ?的终边 r OP(x,y)x y ?的终边 P(x,y)rOx 22y Or Px(,y)x O r xPx(,y)?的终边

?的终边 yyx叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=；比值叫做α的余弦，记作

rrrxyycosα，即cosα=；比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα=.这些函数都是以角

rxx那么，比值

α为自变量，以比值为函数值的函数，统称为三角函数.

2. 三角函数的定义域. 三角函数 sinα cosα tanα ｛α|α≠定义域 R R π+kπ，k∈Z｝ 2【考题点评】分析原因，醍醐灌顶 例1.(基础22005全国Ⅲ)已知?为第三象限角，则

?所在的象限是 2A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 思路透析:∵?为第三象限角， ∴2k??????2k??∴k??即

3?， 2?2??2?k??3?，如右图所示, 4?位于第二或第四象限，故应选D. 2?所在的象限.根据角2点评:利用角所在象限的范围,通过不等式组在直角坐标系下判断

的集合画出角的范围,或由图示写出角的终边的集合,是此类问题的综合应用.

例2.(基础22007雅礼中学月考)已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边

长，则这段弧所对圆心角的度数为( )

Ａ．23 Ｂ．

33 Ｃ．3 Ｄ．

230思路透析:设圆半径为r,则其外切正三角形的边长为2rtan60?23r, 从而得圆中弧长l?23r, 其圆心角度数为??l23r??23, 故应选A. rr点评:本题考查了圆外切正三角形的边长与圆半径的关系及圆心角弧度数的求解问题.平

面几何知识中圆的基本性质在本章中将起到重要的应用,复习中要能够复习到位.

例3.(综合22007灌云模)已知扇形的周长为20ｃｍ，当扇形的中心角为 时，它有最大面积 .

思路透析: 解法一：设扇形半径为r，圆心角为α（α＞0），弧长为l，面积为S，则有2r+αr=20，

∴r=

200?200?200?201.∴S=αr2=. ??2??2?2???2???4???????4?又α+

4?+4=（?－

2?2）2+8≥8，

等号当且仅当?－

?=0，即α=2时成立，∴S≤

200=25. 8故当半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积有最大值25 cm2.

解法二：设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l+2r=20， ∴l=20－2r.∴S=

11lr=（20－2r）r=－r2+10r=－(r－5)2+25. 22故当半径r=5 cm时，扇形的面积有最大值25 cm2. 这时α=

l20?2?5==2 （rad）. r5点评:求最值问题途径有二：一是利用几何意义，从图中直接找；二是利用函数求解，

即设出未知数，建立函数关系式，然后用函数的方法解决.确定扇形的条件最直接的是确定出扇形的半径、弧长和圆心角其中的两个.涉及扇形周长或面积的最值问题时，其方法是利用周长（或面积）公式，将其转化为关于半径（ 或者圆心角）的表达式，然后再求最值.

例4.(综合22007年浙江模拟)有两种正多边形，其中一正多边形的一内角的度数与另一正多边形的一内角的弧度数之比为144∶π，求适合条件的正多边形的边数．

思路透析:设符合条件的正多边形的边数分别为m、n(m、n≥3，且m、n∈N)

则它们对应的正多边形的内角分别为据题意：

(m?2)?180?(n?2)?和rad

mn(m?2)180(n?2)?: =144∶π

mn(n?2)?(m?2)18022∴3144=3π，∴4(1－)=5(1－)

nmnm81010810n?8mn=5－，=1+，=，=

10n?8nmmnmn880m=10(1－)=10－

n?8n?880∵m∈N，∴是自然数，n+8是80的约数.

n?88080∵m≥3，∴≤7，∴n+8≥

n?874－

又n≥3，且n+8是80的约数. ∴n+8可取16、20、40、80.

当n+8=16时，n=8，m=5; 当n+8=20时，n=12，m=6; 当n+8=40时，n=32，m=8; 当n+8=80时，n=72，m=9;

故所求的正多边形有四组，分别是正五边形和正八边形;正六边形和正十二边形;正八边形和正三十二边形. 正九边形和正七十二边形.

点评:在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用.在进行分类讨论时，每一类的细则要讨论到位,一定要做到准确无误，

例5.(创新探究)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆

y (半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时 逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过?角,黑蚂蚁每秒爬 ? ? 00

过?角(其中0

00?,14?均为3600的整数倍,故可设

14?=m?360,m?Z,14?=n?360,n?Z.

从而可知??mn?1800,???1800,m,n?Z,又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象770

0

0

0

限,从而有2?,2?在第二象,又0

0

0

0

0

0

0

∴45<

0

mn7777?1800<900, 450

行问题转化为数学问题求解.

例6.(创新探究)已知函数f(x)?sinx,x?(0,证明

?),若x1,x2?(0,),且x1?x2, 22?f(x1)?f(x2)x?x?f(12).

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81010810n?8mn=5－，=1+，=，=

10n?8nmmnmn880m=10(1－)=10－

n?8n?880∵m∈N，∴是自然数，n+8是80的约数.

n?88080∵m≥3，∴≤7，∴n+8≥

n?874－

又n≥3，且n+8是80的约数. ∴n+8可取16、20、40、80.

当n+8=16时，n=8，m=5; 当n+8=20时，n=12，m=6; 当n+8=40时，n=32，m=8; 当n+8=80时，n=72，m=9;

故所求的正多边形有四组，分别是正五边形和正八边形;正六边形和正十二边形;正八边形和正三十二边形. 正九边形和正七十二边形.

点评:在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用.在进行分类讨论时，每一类的细则要讨论到位,一定要做到准确无误，

例5.(创新探究)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆

y (半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时 逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过?角,黑蚂蚁每秒爬 ? ? 00

过?角(其中0

00?,14?均为3600的整数倍,故可设

14?=m?360,m?Z,14?=n?360,n?Z.

从而可知??mn?1800,???1800,m,n?Z,又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象770

0

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0

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行问题转化为数学问题求解.

例6.(创新探究)已知函数f(x)?sinx,x?(0,证明

?),若x1,x2?(0,),且x1?x2, 22?f(x1)?f(x2)x?x?f(12).

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