电磁场与电磁波（第四版）谢处方 - 课后答案

电磁场与电磁波（第四版）谢处方 课后答案

第一章习题解答

1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3

B??ey4?ez C?ex5?ez2

求：（1）aA；（2）A?B；（3）AB；（4）?AB；（5）A在B上的分量；（6）A?C；

（7）A(B?C)和(A?B)C；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。

解 （1）aA?ex?ey2?ez3A123 ??ex?ey?ez222A1414141?2?(?3)（2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?－11

AB?111111，得 ?AB?cos?1(????)?135.5

AB14?17238238AB11（5）A在B上的分量 AB?Acos?AB? ??B17exeyez（6）A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 （4）由 cos?AB?50?2exeyez（7）由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20

50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4

0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4)(ex5?ez2)??42

exeyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5

50?2exey5ez20A?(B?C)?182?3?ex55?ey44?ez11

1.2 三角形的三个顶点为P、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。 1(0,1,?2) （1）判断?PP是否为一直角三角形； 12P3 （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点P、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)的位置矢量分别为 1(0,1,?2) r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5

则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3?r2?ex2?ey?ez8，

R31?r1?r3??ex6?ey?ez7

由此可见

R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0

故?PP为一直角三角形。 12P3 （2）三角形的面积 S?1R12?R23?1R12?R23?117?69?17.13

222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。

解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3， 则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为

exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35eyRP?P?3?1?y?cos()?cos?1()?120.47

RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73

RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和A在B上的分量。

?x?cos?1(解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos?1(A在B上的分量为 AB?AAB?31)?cos?1()?131 AB29?77B?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在C?ex?ey?ez上的分量。

exeyez解 A?B?23?4??ex13?ey22?ez10

?6?41(A?B)C25????14.43 C31.6 证明：如果AB?AC和A?B?A?C，则B?C； 解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即

(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C

由于AB?AC，于是得到 (AA)B?(AA)C 故 B?C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AX而P?A?X，p和P已知，试求X。

解 由P?A?X，有

A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X

故得 X?pA?A?P

AA所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?

1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,2?,3)定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐

3标中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中 x?4cos(2?3)??2、y?4sin(2?3)?23、z?3 故该点的直角坐标为(?2,23,3)。

（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1、??2?3?120 故该点的球坐标为(5,53.1,120) 1.9 用球坐标表示的场E?er25，

r2（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex；

（2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。

解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故

251E?er2?

r21?332

Ex?exE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以

E?2525r?ex3?ey4?ez5 ?3?2rr102故E与B构成的夹角为 ?EB?cos?1(EB)?cos?1(?19(102))?153.6

EB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为

cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)

解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1

R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2

R1R2? R1R2 sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?

sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2?

得到 cos??sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2

1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： ?(er3sin?)dS的值。

S解 ?(er3sin?)dS??(er3sin?)erdS?SS2??22 d?3sin??5sin?d??75???001.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验证散度定理。 解 在圆柱坐标系中 ?A?1?(rr2)??(2z)?3r?2

r?r?z4所以 ??Ad???dz?d??(3r?2)rdr?1200?

?0002?5

2又 ?AdS??(err?ez2z)(erdSr?e?dS??ezdSz)?

SS ??5?5d?dz???2?4rdrd??1200?

2000042?52?故有 ??Ad??1200????AdS

S1.13 求（1）矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度；（2）求?A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。

222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 （1）?A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）?A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

121212???Ad???12?12?12???(2x?2x2y?72x2y2z2)dxdydz?1 24 （3）A对此立方体表面的积分

?S11AdS???()2dydz???(?)2dydz?

22?12?12?12?121212121212121212 ??2x2(1)2dxdz???2x2(?1)2dxdz?

22?12?12?12?12 ??24xy(1)3dxdy???24x2y2(?1)3dxdy?1 2224?12?12?12?122212121212故有 ??Ad??1?AdS ?24S?1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求?r对球体积的积分。

解 ?rdS??rerdS?SS2?23 d?aasin?d??4?a??00?又在球坐标系中，?r?1?(r2r)?3，所以

r2?r2??a???rd??223 3rsin?drd?d??4?a???0001.15 求矢量A?exx?eyx2?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的

两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解 ?Adl??xdx??xdx??2dy??0dy?8

2C0000222exey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22又 ??A???xx所以 ???AdS???(ex2yz?ez2x)ezdxdy?8

S00故有 ?Adl?8????AdS

CS

1.16 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分，再计算??A对此圆面积的积分。 解 ?CAdl?C?xdx?xydy?22??a4

?(?acos?sin??acos?sin?)d??242204?Ax?a4 222??AdS??ez(?)ezdS??ydS???rsin?rd?dr???x?y4SSS001.17 证明：（1）?R?3；（2）??R?0；（3）?(AR)?A。其中R?exx?eyy?ezz，A为一常矢量。

?Aya2?解 （1）?R??x??y??z?3

?x?y?zexeyez??（2） ??R???0 ?x?y?zxyy（3）设A?exAx?eyAy?ezAz，则AR?Axx?Ayy?Azz，故

??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)? ?x?y?ez(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A ?z1.18 一径向矢量场F?erf(r)表示，如果?F?0，那么函数f(r)会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 ?F?1d[rf(r)]?0

rdr可得到

?(AR)?exC C为任意常数。 r在球坐标系中，由 ?F?1d[r2f(r)]?0

r2dr可得到 f(r)?C

r21.19 给定矢量函数E?exy?eyx，试求从点P到点P2(8,2,?1)的线积分Edl：（1）沿抛物1(2,1,?1)?线x?y2；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？

f(r)?解 （1） ?Edl??Exdx?Eydy??ydx?xdy?

CC222C226yyd(2y)?2ydy??dy?14 ?11（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为

x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?222故 ?Edl??Exdx?Eydy??yd(6y?4)?(6y?4)dy??(12y?4)dy?14

CC11由此可见积分与路径无关，故是保守场。

1.20 求标量函数??x2yz的梯度及?在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量

ex345定出；求?ey?ez(2,3,1)点的方向导数值。 505050解 ???ex?(x2yz)?ey?(x2yz)?ez?(x2yz)?

?x?y?zex2xyz?eyx2z?ezx2y

故沿方向el?ex3?ey4?ez5的方向导数为

50505022??6xyz4xz5xy ???el????l505050点(2,3,1)处沿el的方向导数值为

??361660112 ?????l50505050?A1.21 试采用与推导直角坐标中?A??Ax?y??Az相似的方法推

?x?y?z导圆柱坐标下的公式

?A? r?? ?r ?zz r x

o ? ?? z y

题1.21图

?A?A1?(rAr)???z。 r?rr???z解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面的通量为

????z??z????z??z

?r????zArr??r(r??r)drd?????zArrrdrd??

?(rAr)1?(rAr)?r???z??? ?rr?r[(r??r)Ar(r??r,?,z)?rAr(r,?,z)]???z?同理

r??rz??zr??rz??z?????rzr??r????A?????drdz???rzA??drdz?

?A????r???z??A?r????

[A?(r,????,z)?A?(r,?,z)]?r?z?r??r?????z????rAzz??zrdrd?????rAzzrdrd??

?Az?Ar?r???z?z?? ?z?z[Az(r,?,z??z)?Az(r,?,z)]r?r???z?因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为

1?(rAr)?A??AzΨ?Ψr?Ψ??Ψz?[??]??

r?rr???z?1?(rAr)?A??Az???故得到圆柱坐标下的散度表达式 ??A?lim

???0??r?rr???z222xyz1.22 方程u???给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 a2b2c2解 由于 ?u?ex2x?ey2y?ez2z

a2b2c2 ?u?2(x)2?(y)2?(z)2

a2b2c2

故椭球表面上任意点的单位法向矢量为

?uxyzxyz?(ex2?ey2?ez2)(2)2?(2)2?(2)2 abcabc?u1.23 现有三个矢量A、B、C为

A?ersin?cos??e?cos?cos??e?sin?

n?B?erz2sin??e?z2cos??ez2rzsin? C?ex(3y2?2x)?eyx2?ez2z

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？ （2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中

?A?1?21?1?A?(rA)?(sin?A)??r?2r?rrsin???rsin???1?21?1?(rsin?cos?)?(sin?cos?cos?)?(?sin?)? 2r?rrsin???rsin???2cos?2sin?cos?cos?sin?cos?????0 rrsin?rrsin?

er1???A?2rsin??rArre????rA?rsin?e??? ??rsin?A?er1r2sin?re?rsin?e?????0

?r????sin?cos?rcos?cos??rsin?sin?故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中 1?1?B??Bz ?B=(rBr)???r?rr???z 1?(rz2sin?)?1?(z2cos?)??(2rzsin?)?

r?rr???zz2sin?z2sin???2rsin??2rsin? rrerre?ezerre?ez1???1?????B???0

r?r???zr?r???zBrrB?Bzz2sin?rz2cos?2rzsin?故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

?C=?Cx?Cy?Cz

????x?y?z

exey??yx2ez??ez(2x?6y) ?z2z???(3y2?2x)?(x2)?(2z)?0 ??C??x?y?z??x3y2?2x故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为 ?A?0，??A?0；

?B=2rsin?，??B?0； ?C?0，??C?ez(2x?6y)

1.24 利用直角坐标，证明

?(fA)?f?A?A?f

解 在直角坐标中

f?A?A?f?f(?Ax?Ay?Az?f?f?f??)?(Ax?Ay?Az)? ?x?y?z?x?y?z?Ay?A?A?f?f?f(fx?Ax)?(f?Ay)?(fz?Az)? ?x?x?y?y?z?z???(fAx)?(fAy)?(fAz)??(fA) ?x?y?z1.25 证明

?(A?H)?H??A?A??H

解 根据?算子的微分运算性质，有

?(A?H)??A(A?H)??H(A?H)

式中?A表示只对矢量A作微分运算，?H表示只对矢量H作微分运算。

由a(b?c)?c(a?b)，可得

?A(A?H)?H(?A?A)?H(??A)

同理 ?H(A?H)??A(?H?H)??A(??H) 故有 ?(A?H)?H??A?A??H

1.26 利用直角坐标，证明

??(fG)?f??G??f?G

解 在直角坐标中

?Gy?Gx?Gx?Gz?Gz?Gyf??G?f[ex(?)?ey(?)?ez(?)]

?y?z?z?x?x?y?f?f?f?f?f?f?Gy)?ey(Gx?Gz)?ez(Gy?Gx)] ?f?G?[ex(Gz?y?z?z?x?x?y所以

f??G??f?G?ex[(Gz?Gy?Gz?f?f?f)?(Gy?f)]? ?y?y?z?z?Gx?Gz?f?fey[(Gx?f)?(Gz?f)]?

?z?z?x?x?Gy?Gx?f?fez[(Gy?f)?(Gx?f)]?

?x?x?y?y?(fGz)?(fGy)?(fGx)?(fGz) ex[?]?ey[?]??y?z?z?x

?(fGy)?(fGx)?]???(fG) ?x?y1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明??(?u)?0及?(??A)?0，试证明之。

解 （1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有 nez[?u(???u)dS??udl?dl??du?0 ????lSCCC由于曲面S是任意的，故有

??(?u)?0

（2）对于任意闭合曲面S为边界的体积?，由散度定理有

?SS1S21C2 C1S1

n2 S2 ??(??A)d???(??A)dS??(??A)dS??(??A)dS ?(??A)dS??Adl， ?(??A)dS??Adl

C1S2C2题1.27图

其中S1和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有

S1由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有 ?Adl???Adl

C1C2所以得到 ??(??A)d???由于体积?是任意的，故有 ?(??A)?0

C1?Adl??Adl???Adl??Adl?0

C2C2C2

第二章习题解答

2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为???4?0U0d?43x?23，式中阴极板位于x?0，阳极板

9位于x?d，极间电压为U0。如果U0?40V、d?1cm、横截面S?10cm2，求：（1）x?0和x?d区域内的总电荷量Q；（2）x?d2和x?d区域内的总电荷量Q?。 解 （1） Q??d??(?4?0U0d?43x?23)Sdx??4?0U0S??4.72?10?11C

??93d?0d414?11?43?23?(1?)?US??0.97?10C (??Udx)Sdx?0000?33d92??d2 2.2 一个体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解 质子的质量m?1.7?10?27kg、电量q?1.6?10?19C。由 （2） Q????d??d12mv?qU 2得 v?2mqU?1.37?106 ms 故 J??v?0.318 Am2

I?J?(d2)2?10?6 A

2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度?绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为

v???r?e??rsin?

球内的电荷体密度为

Q ??4?a33Q3Q?故 J??v?e??rsin??ersin? ?334?a34?a2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度?绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为?，则P点的线速度为

v???r?e??asin?

球面的上电荷面密度为

Q 4?a2故 JS??v?e?Q?asin??e?Q?sin?

4?a24?a2.5 两点电荷q1?8C位于z轴上z?4处，q2??4C位于y轴上y?4处，求(4,0,0)处的电场强度。 解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为

qr?r1?2ex4?ez4E1?1? 334??0r?r1???0(42)电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为

??

E2?q2r?r2?1ex4?ey4 ??334??0r?r2???0(42)ex?ey?ez2故(4,0,0)处的电场为

322??02.6 一个半圆环上均匀分布线电荷?l，求垂直于圆平面的轴线上z?a处的电场强度E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题2.6 图所示。

解 半圆环上的电荷元?ldl???lad??在轴线上z?a处的电场强度为

?ar?r? dE?ld??? 3 4??0(2a) ?lez?(excos???eysin??) d??

a82??0 在半圆环上对上式积分，得到轴线上z?a处的电场强度为 E(0,0,a)?dE?

E?E1?E2?

? 题 2.6图

?2?l(ez??ex2)?l???[e?(ecos??esin?)]d?? y?zx82??0a82??0a??22.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为?l1、?l2和?l3地线电荷构成等边三角形。设?l1?2?l2?2?l3，计算三角形中心处的电场强度。

解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

d? 则

E1?eyL3 tan30?L26?l13?l1 (cos30?cos150)?ey 4??0d2??0L 3?l23?l1 E??(ecos30?esin30)??(e3?e)2xyxy 2??0L8??0L 3?l33?l1 E3?(excos30?eysin30)?(ex3?ey)2??L8??L 2.7图 00题

故等边三角形中心处的电场强度为

E?E1?E2?E3?

3?l13?l13?l13?l1 ey?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey2??0L8??0L8??0L4??0L2.8 －点电荷?q位于(?a,0,0)处，另－点电荷?2q位于(a,0,0)处，空间有没有电场强度E?0的点？

解 电荷?q在(x,y,z)处产生的电场为

qex(x?a)?eyy?ezz E1?4??0[(x?a)2?y2?z2]32电荷?2q在(x,y,z)处产生的电场为

2qex(x?a)?eyy?ezz

E2??4??0[(x?a)2?y2?z2]32(x,y,z)处的电场则为E?E1?E2。令E?0，则有

ex(x?a)?eyy?ezz[(x?a)?y?z]由上式两端对应分量相等，可得到

22232?2[ex(x?a)?eyy?ezz][(x?a)?y?z]22232

(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32?2(x?a)[(x?a)2?y2?z2]32 ① y[(x?a)2?y2?z2]32?2y[(x?a)2?y2?z2]32 ②

z[(x?a)2?y2?z2]32?2z[(x?a)2?y2?z2]32 ③

当y?0或z?0时，将式②或式③代入式①，得a?0。所以，当y?0或z?0时无解； 当y?0且z?0时，由式①，有

(x?a)(x?a)3?2(x?a)(x?a)3

解得

x?(?3?22)a 但x??3a?22a不合题意，故仅在(?3a?22a,0,0)处电场强度E?0。

2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为?。证明：垂直于平面的z轴上z?z0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。

解 半径为r、电荷线密度为?l??dr的带电细圆环在z轴上z?z0处的电场强度为

r?z0drdE?ez232 2?0(r2?z0)故整个导电带电面在z轴上z?z0处的电场强度为

r?z0dr?z01E?ez???ez22322122?(r?z)2?0(r2?z0)0003z0???ez0? 2?03z0 而半径为3z0的圆内的电荷产生在z轴上z?z0处的电场强度为

E??ez?0r?z0dr?z01??ez2322122?0(r2?z0)2?0(r2?z0)?ez0?1?E 4?02 题2.10图

2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B。

解 球面上的电荷面密度为

Q 4?a2当球体以均匀角速度?绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r?era点处的电流面密度为

JS??v??ω?r??ez??era?

???Qsin? 4?a将球面划分为无数个宽度为dl?ad?的细圆环，则球面上任一个宽度为dl?ad?细圆环的电流为

?QdI?JSdl?sin?d?

4?细圆环的半径为b?asin?，圆环平面到球心的距离d?acos?，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

e???asin??e?23??Qasin?d??0?Qsin3?d? 0 dB?ez?ez?ez22322222322(b?d)8?(asin??acos?)8?a3???Qsin??0?Q 0故整个球面电流在球心处产生的磁场为 B?ed??ez?0z8?a6?a?0b2dI

2.11 两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11图所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B?exBx； （2）证明：在中点处dBxdx等于零；

（3）求出b与d之间的关系，使中点处d2Bxdx2也等于零。 解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 B?ez得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B?ex?0Ia22(a?z)2232

?0NIb22232(b?d4)（2）两线圈的电流在其轴线上x(0?x?d)处的磁感应强度为

??0NIb2??0NIb2 B?ex?2?2322232?2[b?(d?x)]??2(b?x)22dB3?NIbx3?NIb(d?x) x00所以 ???dx2(b2?x2)522[b2?(d?x)2]52故在中点x?d2处，有

22dB3?NIbd23?NIbd2x0 ??20??0 2522252dx2[b?d4]2[b?d4]2222dB15?NIbx3?NIbx00（3） ??? 图 222722252 题2.11

dx2(b?x)2(b?x)

15?0NIb2(d?x)23?0NIb2 ?222722522[b?(d?x)]2[b?(d?x)]225d41dBx令 ，有 ??0 ?0227222522x?d2[b?d4][b?d4]dx即 5d24?b2?d24 故解得 d?b

2.12 一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与z轴重合，通过的

电流为I。证明在第一象限内的磁感应强度为 Bx???0I?， 4?a ?Ir 中?、r1和r2如题2.12图所示。 By?0ln2 式 4?ar1 解 将导体带 划分为无数个宽度为dx?的细条带，每一细条带的电 培环路定理，可得位于x?处的细条带的电流dI在点流dI?Idx?。由安

2aP(x,y)处的磁场为

题 2.12图 ?0Idx??0dI?0Idx?dB??? 4?a[(x?x?)2?y2]122?R4?aR 则 dBx??dBsin????0Iydx?4?a[(x?x?)2?y2]?0I(x?x?)dx?

dBy?dBcos??4?a[(x?x?)2?y2]

所以

?x??x??0I Bx????arctan???4?a[(x?x?)2?y2]4?a?y??aa?0Iydx?a?a?

2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极

子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

3ppFr?124(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)

4??0r式中?1??r,p1?，?2??r,p2?，?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角。

?a?x???a?x???x?a??x?a?? ?0I??0I???arctan??arctan???arctan???????arctan????4?a?yy4?ayy????????????I?I?0(?2??1)??0?

4?a4?aaa?0I(x?x?)dx??0I?0I(x?a)2?y2?0Ilnr2 22By????ln[(x?x?)?y]?ln?22224?ar1?4?a[(x?x)?y]8?a?a8?a(x?a)?y?a并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？ 解 电偶极子p1在矢径为r的点上产生的电场为

13(p1r)rp1E1?[?3]

4??0r5r所以p1与p2之间的相互作用能为

13(p1r)(p2r)p1p2We??p2E1??[?3] 54??0rr因为?1??r,p1?，?2??r,p2?，则 p1r?p1rcos?1

p2r?p2rcos?2

又因为?是两个平面(r,p1)和(r,p2)间的夹角，所以有

题 2.13图

2 (r?p1)(r?p2)?rp1p2sin?1sin?2cos? 另一方面，利用矢量恒等式可得

(r?p1)(r?p2)?[(r?p1)?r]p2?[r2p1?(rp1)r]p2?r2(p1p2)?(rp1)(rp2)

1因此 (p1p2)?2[(r?p1)(r?p2)?(rp1)(rp2)]?p1p2sin?1sin?2cos??p1p2cos?1cos?2

rp1p2于是得到 We?(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2)

4??0r3故两偶极子之间的相互作用力为

p1p2?Wed1?sin?sin?cos??2cos?cos??()? Fr??()1212q?const4??0?rdrr33p1p2(sin?1sin?2cos??2cos?1cos?2) 4??0r4 由上式可见，当?1??2?0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。

2.14 两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力Fm。

?I解 无限长直线电流I1产生的磁场为 B1?e?01

2?r

1直线电流I2每单位长度受到的安培力为 Fm12??I2ez?B1dz??e120?0I1I2 2?d式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量。

?0I1I2 2?d2.15 一根通电流I1的无限长直导线和一个通电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为

Fm??0I1I2(sec??1)

这里?是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。

解 无限长直线电流I1产生的磁场为 ?I B1?e?01

2?r 圆环上的电流元I2dl2受到的安培力为 ?0I1I2dFm?I2dl2?B1?dl2?ey 2?x由题2.15图可知 dl2?(?exsin??ezcos?)ad? 题2.15图

x?d?acos?

2??0aI1I2(?ezsin??excos?)d?? 所以 Fm??2?(d?acos?)0同理可得，直线电流I1每单位长度受到的安培力为 Fm21??Fm12?e12?0aI1I22?d2??0aI1I22?cos??e(??)??ex?0I1I2(sec??1) ?exd??x?222?aa2?0(d?acos?)d?a2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为r?(p?)E?p?E。

解 如题2.16图所示，设p?qdl(dl??1)，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为

T?r2?qE(r2)?r1?qE(r1)?

dldldldl(r?)?qE(r?)?(r?)?qE(r?)?

2222dldlqdldlqr?[E(r?)?E(r?)]?dl?[E(r?)?E(r?)]

22222当dl??1时，有 dldl E(r?)?E(r)?(??)E(r) 22 dldl E(r?)?E(r)?(??)E(r) 22 故得到

T?r?(qdl??)E(r)?qdl?E(r)?

r?(p?)E?p?E

题2.16 图

第三章习题解答

3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和?q，试计算球赤道平面上电通密度的通量?(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q和?q共同产生的电通密度为

qR?R?D?[3?3]? 赤道平面 q 4?R?R? err?ez(z?a)qerr?ez(z?a)a {2?}2322232 4?[r?(z?a)][r?(z?a)] 则球赤道平面上电通密度的通量

???DdS??Dezz?0dS?

SS?q aqa1?(?1)q??0.293q

(r2?a2)12023.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量

Ze?1r?密度表达式为D0?er???，试证明之。

4??r2ra3?Ze解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?er

4?r2Ze3Ze?????原子内电子云的电荷体密度为

4?ra334?ra3 题3.1 图

q(?a)a[?]2?rdr? 223222324??(r?a)(r?a)0ab Ze?1r?故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?er???

4??r2ra3?3题3. 3图(a)

3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?0Cm, 两圆柱面半径分别

为a和b，轴线相距为c(c?b?a)，如题3.3图(a)所示。求空间各部分的电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为??0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

?0 c a ?4?r33Zer??e电子云在原子内产生的电通量密度则为 D2?er r4?r24?ra3 在r?b区域中，由高斯定律?SEdS??0，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别

q?b2?0?0b2r??a2?0?0a2r?????为 E1?er E1??er

2??0r2?0r22??0r?2?0r?2

b b c a ?0 ＝ ?0 c a ＋ b ?? 0a c 题3. 3图(b)

?b2ra2r?(2?2) 点P处总的电场为 E?E1?E1??2?0rr?在r?b且r??a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

?r2??r??a2??a2r???er?E2?er??? E2

2??0r2?02??0r?2?0r?2?0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?在r??a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

?r2?0?0r??r?2?0?0r???E3?er?E?e?? 3 r2??0r2?02??0r?2?0?0?0??E?E?E?(r?r)?c 点P处总的电场为 332?02?03.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为

?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数，试求电荷密度?(r)。

1d2(rDr) 2rdr解：由?D??，有 ?(r)??D?故在r?a区域 ?(r)??01d23[r(r?Ar2)]??0(5r2?4Ar) 2rdr541d(a?Aa)2[r]?0 在r?a区域 ?(r)??02rdrr23.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球

4壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra)，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

1d21d2r4r3???0?E??0[2(rE)]??0[2(r4)]?6?04

rdrrdraar322（2）球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a

a?0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面

2QQ???2?0 上的总电荷为2，故球壳外表面上的电荷面密度为 24?a 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为?1和?2的面

a电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和?2应具有什么关系？

解 （1）由高斯定理?D0dS?q，当r?a时，有 D01?0

S当a?r?b时，有 2?rD02?2?a?1 ，则 D02?era?1 ra?1?b?2 r当b?r??时，有 2?rD03?2?a?1?2?b?2 ，则 D03?er （2）令 D03?er?1ba?1?b?2?? ?0，则得到 ?2ar?1)3.7 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从点P移到点1(2,1,P2(8,2,?1)时电场所做的功：（1）沿曲线x?2y2；（2）沿连接该两点的直线。

解 （1）W??Fdl?q?Edl?q?Exdx?Eydy?

CC2C222q?ydx?xdy?q?yd(2y)?2ydy?q?6y2dy?14q??28?10?6(J)

C11（2）连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为

x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?222?6故W?q?ydx?xdy?q?yd(6y?4)?(6y?4)dy?q?(12y?4)dy?14q??28?10(J)

C113.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E????核对。

解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为 z L2?l0dz?L2?(r,0)?? ?22?L24??0r?z??l0 L2?l022P ?ln(z??r?z?)? o r 4???L20?L2 题3.8图

2r2?(L2)?L2?l0ln?

224??0r?(L2)?L22r2?(L2)?L2?l0 ln2??0r（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元?l0dz?在点P的电场为

dE?erdEr?er?l0dz?2??0r2?z?2cos??er?l0rdz?2??0(r2?z?2)32

故长为L的线电荷在点P的电场为

L2E??dE?er?0?l0rdz?2??0(r2?z?2)32?l0z??er()2??0rr2?z?2L20?er?l0L4??0rr2?(L2)2

由E????求E，有

2?l0?L2?r2?(L2)??? E????????ln2??0?r??????l0?r1?e?l0?er???r?4??0r2??0??L2?r2?(L2)2?r2?(L2)2r???????Lr2?(L2)2

rP?l3.9 已知无限长均匀线电荷?l的电场E?er，试用定义式?(r)??Edl求其电位函数。其中

2??0rrrP为电位参考点。

rPrP解 ?(r)??Edl??rr?l??rrdr?llnrr?llnP 2??0r2??02??0rP由于是无限长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。

3.10 一点电荷?q位于(?a,0,0)，另一点电荷?2q位于(a,0,0)，求空间的零电位面。 解 两个点电荷?q和?2q在空间产生的电位

1q2q?(x,y,z)?[?]

2222224??0(x?a)?y?z(x?a)?y?z令?(x,y,z)?0，则有 1(x?a)?y?z222?2(x?a)?y?z222?0

即 4[(x?a)2?y2?z2]?(x?a)2?y2?z2

524222故得 (x?a)?y?z?(a)

3354由此可见，零电位面是一个以点(?a,0,0)为球心、a为半径的球面。

33Ze1r23(??) 3.11 证明习题3.2的电位表达式为 ?(r)?4??0r2ra2raZeD?e解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 1 r4?r2?4?ra33Ze电子云在原子外产生的电通量密度则为 D2?er ??er4?r24?r2所以原子外的电场为零。故原子内电位为

Ze1r23Zea1r(??) ?(r)??Ddr?(?)dr?23?4??r2r2r?0r4??0rrra0aa3.12 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为

r?a??(r)?0? ?a2r?a??(r)?A(r?)cos??r （1）求圆柱内、外的电场强度；

（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。

解 （1）由E????，可得到 r?a时， E?????0

?a2?a2r?a时， E??????er[A(r?)cos?]?e?[A(r?)cos?]?

?rrr??r1rar

a2a2?erA(1?2)cos??e?A(1?2)sin?

rr（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为

???0nEr?a??0erEr?a??2?0Acos?

3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足?2??0 （1）sin(kx)sin(ly)e?hz 其中h2?k2?l2； （2）rn[cos(n?)?Asin(n?)] 圆柱坐标； （3）r?ncos(n?) 圆柱坐标； （4）rcos? 球坐标； （5）r?2cos? 球坐标。

?2??2??2?解 （1）在直角坐标系中 ???2?2?2

?x?y?z?2??2而 2?2[sin(kx)sin(ly)e?hz]??k2sin(kx)sin(ly)e?hz

?x?x?2??2?2[sin(kx)sin(ly)e?hz]??l2sin(kx)sin(ly)e?hz 2?y?y2?2??2?hz2?hz ?[sin(kx)sin(ly)e]?hsin(kx)sin(ly)e22?z?z故 ?2??(?k2?l2?h2)sin(kx)sin(ly)e?hz?0

1????2??2?(r)??（2）在圆柱坐标系中 ??? r?r?rr2??2?z21???1??(r)?{rrn[cos(n?)?Asin(n?)]}?n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)] 而

r?r?rr?r?r1?2???n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)]} 22r???2??2?n?r[cos(n?)?Asin(n?)]?0 ?z2?z2故 ?2??0

1???1??(r)?{r[r?ncos(n?)]}?n2r?n?2cos(n?) （3）

r?r?rr?r?r1?2???n2r?n?2cos(n?) 22r??2?2??2?n?2[rcos(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0

1?2??1???1?2?)?2(sin?)?22（4）在球坐标系中 ???2(r

r?r?rrsin?????rsin???21?2??1?2?2(r)?[r(rcos?)]?cos? 而 22r?r?rr?r?rr1???1??(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????2

?WeaU2Fe??(???0)

?h2d而液体所受重力

Fg?mg?ahd?g

2aUFe与Fg相平衡，即 (???0)?ahdg

2d故得到液面上升的高度

(???0)U21U2h??(???)() 022d?g2?gd3.36 可变空气电容器，当动片由0至180电容量由25至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。

解 当动片为?角时，电容器的电容为

350?25C??25???25?1.81?PF?(25?1.81?)?10?12F

180112W?CU?(25?1.81?)?10?12U02 此时电容器中的静电能量为 e?022?We1??1.81?10?12U02?1.45?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T???23.37 平行板电容器的电容是?0Sd，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。

（1）如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何变化？

（2）如果在电荷q一定的条件下，将一块横截面为?S、介电常

S 数为?的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入， 如题3.37(b)图所示，则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？

解 （1）在电压U0一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电?d d U0

场为 UE0?0

d题3.37图(a)

?S电容为 C0?0

d?0SU0212静电能量为 We0?C0U0?

22dU0当插入金属板后，电容器中的电场为 E?

d??d2?0SU021?U0?此时静电能量和电容分别为 We??0? ?S(d??d)?2?d??d?2(d??d)2We?0SC??

U02d??d故电容器的电容及能量的改变量分别为

?S?S?S?d?C?C?C0?0?0?0

d??ddd(d??d)?We?We?We0?

?0SU02?d2d(d??d)

（2）在电荷q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 E0??q? ?0?0Sq2dq2?静电能量为 We0? 2C02?0S当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E

再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q S qq E?于是得到极板间的电场为

??S??0(S??S) d ? ?0 qd U?Ed? 两极板间的电位差位 ?S ?q ??S??0(S??S) 211qd(b) 题3.37图

此时的静电能量为 We?qU?

22??S??0(S??S)

??S??0(S??S)其电容为 C?

d(???0)?S?C?故电容器的电容及能量的改变量分别为

d(???0)q2d1?We??

2?0S[??S??0(S??S)]3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解决。

??t2?E?（1）证明：有源区E的微分方程为，?t????P；

?0（2）证明：E的解是 E?????td?? ?4??0?R1解 （1）由??E?0，可得 ??(??E)?0，即?(?E)??2E?0

11又 ?E??(D?P)?(???P)

?0?(???P)??t2?E??故得到

?0?0??t2?E?（2）在直角坐标系中的三个分量方程为

?01??t1??t1??t22?2Ex??E??E?，， yz?0?x?0?y?0?z其解分别为

11??tEx??d?? ??4??0?R?x11??tEy??d?? ?4??0?R?y?11??tEz??d?? ?4??0?R?z?故 E?exEx?eyEy?ezEz?

?0

???t??t11??t???t1??d?? [e?e?e]d??xyz??4??0?R4??0?R?x??y??z??t)d???0 R??1???tR???t??t3?解 由于 ??(t)??t??()? ，所以

RRRRR?t???t???tR?????()d???d??d??4??E?d?? t03????RRRR???????td????4??0E 由题3.38(2)可知 ??R?t??()d????4??0E?4??0E?0 故 ?R?3.39 证明：???(

第四章习题解答

4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为

① ?(0,y)??(a,y)?0 ② ?(x,0)?0 ③ ?(x,b)?U0

根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为

?n?yn?x?(x,y)??Ansinh()sin()

aan?1y 由条件③，有

U0 ?b n?bn?xU0??Ansinh()sin()

aan?1n?xsin()，并从0到a对x积分，得到 两边同乘以o a x aaa2Un?x0题4.1图 An?sin()dx? ?asinh(n?ba)0a

4U0?,n?1,3,5,?n?sinh(n?ba) ??0，n?2,4,6,?4U01n?yn?xsinh()sin() 故得到槽内的电位分布 ?(x,y)???n?1,3,5,nsinh(n?ba)aa4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性

?(0,y)?U0yd。 变化，

2U0(1?cosn?)?n?sinh(n?ba)解 应用叠其中，?1(x,y)为即

有导体薄片时的

①

②

y boxy U0 加原理，设板间的电位为

?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)

不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U0）的电位，?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间电位，其边界条件为： ?2(x,0)??2(x,b)?0

dxy oxy 4.2图 题 x

?2(x,y)?0(x??)

(0?y?d)U0?U?y0??b③ ?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y?U0y?b?d?

(d?y?b)?xn?y?nb?(x,y))e根据条件①和②，可设2的通解为 ?2(x,y)??Ansin(

bn?1

U0?U?y(0?y?d)?n?y??0b)??由条件③有 ?Ansin(

UUbn?1?0y?0y(d?y?b)?db?n?y)，并从0到b对y积分，得到 两边同乘以sin(bdb2U02U011yn?yn?yAn?(1?)sin()dy?(?)ysin()dy?2U0bsin(n?d) ??b0bbbddbb(n?)2db?xU02bU0?1n?dn?y?nb?(x,y)?y?sin()sin()e故得到 ?bd?2n?1n2bb4.3 求在上题的解中，除开U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按Cf?缘电容。

解 在导体板（y?0）上，相应于?2(x,y)的电荷面密度

?x2?0U0?1??2n?d?nb?2???0??sin()e ??yy?0?dn?1nb则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷

?????x2?0U0n?d?nb4?0U0b?1n?dsin()edx??sin() q2???2dx?2??2dx??2???22n?db?dnbn?10n?1??02We2定出边U02?0bU021相应的电场储能为 We?q2U0??2?2d1n?dsin() ?2nbn?1??2W4?be0其边缘电容为 Cf?2?2?12sin(n?d) U0?dn?1nb4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。 解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为

?(0,y)??(a,y)?0 ①

?(x,y)?0(y??) ② y ?(x,0)?U0 ③

根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为

?n?x?(x,y)??Ane?n?yasin()

an?1?n?xU?Asin() 由条件③，有 0?no an?1a x U0

n?x题4.4图 asin()两边同乘以，并从0到a对x积分，得到 a?4U0a,n?1,3,5,2U0n?x2U0?An?sin()dx?(1?cosn?)?n? ?a?an?0??0，n?2,4,6,4U01?n?yan?xesin() 故得到槽内的电位分布为 ?(x,y)???n?1,3,5,na4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为

??y(y?b)sin(?xa)sin(?zc)

的电荷。求体积内的电位?。

解 在体积内，电位?满足泊松方程

?2??2??2?1?x?z????y(y?b)sin()sin() （1） 222?x?y?z?0ac长方体表面S上，电位?满足边界条件?S?0。由此设电位?的通解为

m?xn?yp?z)sin()sin() abc?(x,y,z)?1?0???Amnpsin(m?1n?1p?1???代入泊松方程（1），可得

???m?2n?2p?2A[()?()?()]? ???mnpabcm?1n?1p?1m?xn?yp?z?x?zsin()sin()sin()?y(y?b)sin()sin()

abcac由此可得

Amnp?0 (m?1或p?1)

?2n?2?2n?yA[()?()?()]sin()?y(y?b) （2） ?1n1abcbp?1?由式（2），可得

?2n?2?22bn?y4bA1n1[()?()?()]??y(y?b)sin()dy?()3(cosn??1)?

abcb0bbn??8b2??3?(n?)?0?n?1,3,5,n?2,4,6,8b2

1?xn?y?zsin()sin()sin()5故 1n1??0n?1,3,5,n3[()2?()2?()2]abc

abc4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷ql，其位置为(0,d)。求板间的电位函数。

解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷ql，以x?0为界将场空间分割为x?0和x?0两个区域，则这两个区域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?0的分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。

?(x,y,z)????电位的边

y① ?2(x,0)=?2(x,a)?0 ②

ql界条件为

?1(x,0)=?1(x,a)?0

③

dql????x d) (2?1)xo???(y? ?0?x?x题 4.6图 ?0 由条件①和②，可设电位函数的通解为

a ?1(x,y)?0(x??)

?2(x,y)?0(x???)

?1(0,y)??2(0,y)

n?y) (x?0) an?1?n?y?2(x,y)??Bnen?xasin() (x?0)

an?1由条件③，有

??n?yn?yAsin()?Bsin() （1） ??nnaan?1n?1??qn?n?yn?n?y??Ansin()??Bnsin() ?l?(y?d) （2）

?0aaaan?1n?1由式（1），可得

An?Bn （3）

m?ysin()，并从0到a对y积分，有 将式（2）两边同乘以

a2qla2qln?yn?d?(y?d)sin()dy?sin() （4） An?Bn?n??0?0an??0a?1(x,y)??Ane?n?xasin(?由式（3）和（4）解得 An?Bn?故 ?1(x,y)?qln??0sin(n?d) a1n?d?n?xan?ysin()esin() (x?0) ???0n?1naaql??2(x,y)?1n?dn?xan?ysin()esin() (x?0) ???0n?1naaql?4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线

电荷ql。求槽内的电位函数。

解 由于在(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql，以x?x0为界将场空间分割为0?x?x0和x0?x?a两个区域，则这两个区域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?x0的分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)，电位的边界条件为

① ?1(0,y)=0，?2(a,y)?0 ② ?1(x,0)=?1(x,b)?0 ?2(x,0)=?2(x,b)?0 ③ ?1(x0,y)??2(x0,y)

(y b o ql (x0,y0) a 题4.7图

x

q??2??1?)x?x0??l?(y?y0) ?x?x?0由条件①和②，可设电位函数的通解为

?n?yn?x?1(x,y)??Ansin()sinh() (0?x?x0)

bbn?1?n?yn?)sinh[(a?x)] (x0?x?a) ?2(x,y)??Bnsin(bbn?1由条件③，有

??n?x0n?yn?yn?Ansin()sinh()??Bnsin()sinh[(a?x0)] （1） ?bbbbn?1n?1

?Ann?1?n?x0n?n?ysin()cosh()? bbb?Bnn?1?qn?n?yn?sin()cosh[(a?x0)] ?l?(y?y0) （2）

?0bbb由式（1），可得

Ansinh(n?x0n?)?Bnsinh[(a?x0)]?0 （3） bb将式（2）两边同乘以sin(m?y)，并从0到b对y积分，有 b2qlbn?yn?x0n???(y?y)sin()dy? Ancosh()?Bncosh[(a?x0)]0?0n??bbb02qln?y0sin() （4） n??0b由式（3）和（4）解得

2qln?y01n?A?sinh[(a?x)]sin() n0sinh(n?ab)n??0bb2qln?x0n?y01Bn?sinh()sin()

sinh(n?ab)n??0bb1n?sinh[(a?x0)] ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?xn?y?sin()sinh()sin() (0?x?x0)

bbb2ql?n?x01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?n?y?sin()sinh[(a?x)]sin() (x0?x?a)

bbb若以y?y0为界将场空间分割为0?y?y0和y0?y?b两个区域，则可类似地得到

2ql?1n??1(x,y)?sinh[(b?y0)] ???0n?1nsinh(n?ba)an?x0n?yn?x?sin()sinh()sin() (0?y?y0)

aaa2ql?n?y01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ba)an?x0n?n?x?sin()sinh[(b?y)]sin() (y0?y?b)

aaa4.8 如题4.8图所示，在均匀电场E0?exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位?和电场E以及导体表面的感应电荷密度?。

解 在外电场E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位?0与感应电荷的电位?in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为

故 ?1(x,y)?2ql?定），而感应电荷远处为0。由于导① y ?0(r,?)??E0x?C??E0rcos??C（常数C的值由参考点确的电位?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，而且在无限体是等位体，所以?(r,?)满足的边界条件为 ?(a,?)?C x E0 a o 题4.8图

② ?(r,?)??E0rcos??C(r??)

?1由此可设 ?(r,?)??E0rcos??A1rcos??C

?1由条件①，有 ?E0acos??A1acos??C?C

2于是得到 A1?aE0

故圆柱外的电位为

?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C

若选择导体圆柱表面为电位参考点，即?(a,?)?0，则C?0。

导体圆柱外的电场则为

22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?2)E0cos??e?(?1?2)E0sin?

?rr??rr??(r,?)导体圆柱表面的电荷面密度为 ????0r?a?2?0E0cos?

?r4.9 在介电常数为?的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场E0?exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。

解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为?0(r,?)??E0x??E0rcos?而感应电荷的电位?in(r,?)应与

?0(r,?)一样按cos?变化，则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)的边界条件为

① r??时，?2(r,?)??E0rcos?； ② r?0时，?1(r,?)为有限值；

????③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?01??2

?r?r由条件①和②，可设

?1(r,?)??E0rcos??A1rcos? (r?a) ?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos? (r?a)

?1?2带入条件③，有 A1a?A2a，??0E0??0A1???E0??aA2

???0???02E0， A2??aE0 由此解得 A1?????0???02??(r,?)??E0rcos? (r?a) 所以 1???0???0a2?2(r,?)??[1?()]E0rcos? (r?a)

???0r4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一y 圆柱面，如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位U0和?U0。求圆柱面内部的电位函数。

U00 解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为

?(0,?)为有限值； ① x b o 0????2?U00 ?U0?0 ?2?????4.10题图 ?(b,?)??② ；

?U????3?2?0

?3?2???2??0由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为

?(r,?)??rn(Ansinn??Bncosn?) (r?b)

n?1n代入条件②，有 ?b(Ansinn??Bncosn?)??(b,?)

n?1??由此得到

1An?nb?2?1?(b,?)sinn?d??[?U0sinn?d???nb?00?23?2??U0sinn?d?]?U0(1?cosn?)?bnn??2U0,n?1,3,5,?n?n?b??0，n?2,4,6,

1Bn?nb?2???(b,?)cosn?d??b?[?Un01?203?2cosn?d??0U??0cosn?d?]?

n?1,3,5,n?2,4,6,n?3?2U0,U0n?3n??(?1)2n(sin?sin)?n?b?bnn?22?0，?

n?31rn()[sinn??(?1)2cosn?] (r?b) 故 ?(r,?)???n?1,3,5,nb4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?，在距离轴线r0(r0?a)处，有一与圆柱平行的线电荷ql，计算空间各部分的电位。

解 在线电荷ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位?l(r,?),)的叠加，即?(r?,?)?lr?(?,?p)r?(。线电荷ql的电位为 与极化电荷的电位?p(r?qq?l(r,?)??llnR??llnr2?r02?2rr0cos? （1）

2??02??0而极化电荷的电位?p(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。介质圆柱内外y2U0? a ? o ?0 ql r0 x

题4.11图

的电位?1(r,?)和?2(r,?)满足的边界条件为分别为

① ?1(0,?)为有限值；

② ?2(r,?)??l(r,?)(r??)

????③ r?a时，?1??2,?1??02

?r?r由条件①和②可知，?1(r,?)和?2(r,?)的通解为

?n?1?1(r,?)??l(r,?)??Anrncosn? (0?r?a) （2）

?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn? (a?r??) （3）

n?1?将式（1）～（3）带入条件③，可得到

?Aann?1?ncosn???Bna?ncosn? （4）

n?1??(An?nan?1?Bn?0na?n?1)cosn??(???0)n?1?ql?lnR2??0?rr?a （5）

?0(r,?)?q4??0R?q4??0r2?r12?2rr1cos?

是点电荷q的电位，?in(r,?)是导体球上感应电荷产生的电位。

电位?(r,?)满足的边界条件为

① r??时，?(r,?)?0； ② r?a时， ?(a,?)?0。

由条件①，可得?in(r,?)的通解为

z q ?in(r,?)??Anr?n?1Pn(cos?)

n?0?为了确定系数An，利用1R的球坐标展开式

r1 a o 题4.18图

??rn??n?1Pn(cos?)(r?r1)1?n?0r1?? R??r1nP(cos?)(r?r1)?n?1n?r?n?0q?an将?0(r,?)在球面上展开为 ?0(a,?)??Pn(cos?)

4??0n?0r1n?1??n?1n?0代入条件②，有 ?AnaanPn(cos?) ?P(cos?)?0 ?n?1n4??0n?0r1q?qa2n?1比较Pn(cos?)的系数，得到 An??

4??0r1n?1a2n?1?P(cos?) 故得到球外的电位为 ?(r,?)??n?1n4??0R4??0n?0(rr1)讨论：将?(r,?)的第二项与1R的球坐标展开式比较，可得到

?ar1a2n?1P(cos?)?? n?1n2222r)n?0(rr?(ar)?2r(ar)cos?111由此可见，?(r,?)的第二项是位于r??a2r1的一个点电荷q???qar1所产生的电位，此电荷正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。

4.19 一根密度为ql、长为2a的线电荷沿z轴放置，中心在原点上。证明：z P(r,?) 的点，有 对于r?a a R 5 ql?aa3?a )? ?(r,??P(cos?)?P(cos?)?? 3254r 2??0?r3r5r??? o 解 线电荷产生的电位为 aa

qlql11??(r,?)?dz?dz? ??224??R4???a r?z??2rz?cos?0?a0?a 对于r?a的点，有 题4.19图

?1(z?)n ??n?1Pn(cos?) 22r?z??2rz?cos?n?0r故得到

aql?(z?)n?(r,?)?P(cos?)dz?? ?n?1?4??0n?0?arqq?

?ql?aa3a51an?1?(?a)n?1?P(cos?)?P(cos?)?Pn(cos?)??? ?242??0?r3r35r54??0n?0n?1rn?1?4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题4.20

ql?图所示。证明：空间任意点电位为

24?Q?1?r?3?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)

4??0a?8?a???2?a??24?Q?1?a?3?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)

4??0r?8?r???2?r??解 以细导线圆环所在的球面r?a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用?函数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r?a上的电荷面密度

QQz ????(cos??cos)??(cos?) 222?a22?a再根据边界条件确定系数。

设球面r?a内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界条件为：

?1(0,?)为有限值； ① a o y ?2(r,?)?0(r??) ② ?1(a,?)??2(a,?)， ③ x 题 4.20图

根据条件①和②，可得?1(r,?)和?2(r,?)的通解为

?n?0??0(??1??2?)?r?r?r?aQ?(cos?) 2?a2?1(r,?)??AnrnPn(cos?) （1）

?2(r,?)??Bnr?n?1Pn(cos?) （2）

n?0代入条件③，有

n?n?1 Ana?Bna （3）

?Q[Annan?1?Bn(n?1)a?n?2]Pn(cos?)??(cos?) （4） ?22??0an?0将式（4）两端同乘以Pm(cos?)sin?，并从0到?对?进行积分，得

Annan?1?Bn(n?1)a?n?2(2n?1)Q?(cos?)Pn(cos?)sin?d?? ?4??0a2?0(2n?1)QPn(0) （5） 24??0a?n?1,3,5,?0?其中 Pn(0)?? (n?1)n21?3?5(?1)n?2,4,6,?2?4?6n?QQanPn(0)，Bn?Pn(0) 由式（3）和（5），解得 An?4??0an?14??0代入式（1）和（2），即得到

4?1?r?2?3?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)

4??0a?8?a???2?a??24?Q?1?a?3?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)

4??0r?8?r???2?r??4.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？

解 利用镜像法求解。当点电荷q移动到距离导体平面为x的点P处

q???q，与导体平面相距为x???x，如题4.21图所示。q 时，其像电荷q? o 处产生的电场为 像电荷q?在点P?x x x ? qxE?(x)?ex 4??0(2x)2所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功为

Q 题 4.21图

We??qE?(x)?dr??d??d?q2q2dx? ?

4??0(2x)216??0dq2外力所作的功为 Wo??We?

16??0d4.22 如题4.22图所示，一个点电荷q放在60?的接地导体角域内的点(1,1,0)处。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点x?2,y?1处的电位。

解 （1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷q到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于q，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为

???2cos75??0.366?x1y ???q,? q1 ???y?2sin75?1.366?1? q1???2cos165???1.366x?2??q,q2 q (2,1,0) ???(1, 1,0) ?y?2sin165?0.366?2? q2?60 ???x?2cos195??1.366 ?3x ???q,?q3? q3 ?o ??2sin195??0.366??y3 ? q5???? x?2cos285?0.366q4?4 ??q,q4 ?? 题 4.22图 ??2sin285??1.366??y4

???2cos315??1?x5???q,?q5 ???2sin315??1??y5（2）点x?2,y?1处电位

?q4???q2?q3?q51?qq1????? ?(2,1,0)????

4??0?RR1R2R3R4R5?q0.321q?2.88?109q(V) (1?0.597?0.292?0.275?0.348?0.477)?4??04??04.23 一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设m?2?10?3kg，h?0.02m）。

解 将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q?对q的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为q???q，位于导体平面上方为h处，则小带电体q受到的静电力为

q2fe??

4??0(2h)2q2?mg 令fe的大小与重力mg相等，即

4??0(2h)2z q z q R1 z q?q?? ?0 h o ? ? o ? h 图 2.13q ? h P R? ?0 h ? R2 0 o P 题 4.24图（a）

题 4.24图（b）

题 4.24图（c）

?8于是得到 q?4h??0mg?5.9?10C

4.24 如题4.24（a）图所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q，求：（1）z?0和z?0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q?。

解 （1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（b）、（c）所示）

???0q???q，位于 z??h

???0???0q???q， 位于 z?h

???0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q?共同产生，即

?qq????0q?11???1????? 22224??0R14??0R?4??0????r?(z?h)?0??r?(z?h)?q?q??q1???q??q下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即 24??R2?(???)2

r?(z?h)220（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为

?p?n??P1?P2?z?0??0(E1z?E2z)z?0??0(极化电荷总电量为

???2??1?)?z?zz?0??(???0)hq

2?(???0)(r2?h2)32?(???0)q(???0)hqr??q? qP???PdS???P2?rdr??dr?2232????0???00(r?h)S04.25 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。（1）求点

QRD3R?电荷q与导体球之间的静电力；（2）证明：当q与Q同号，且?成立时，F表现为吸引

q(D2?R2)2D力。

解 （1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。

根据镜像法，像电荷q?和q??的大小和位置分别为（如题4.25图所示） R Q?q?? o q? d? D q z 题 4.25图

2RRq???q， d??

DDRq????q??q， d???0

D导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电力为

qq?q(D?q??)?? F?Fq??q?Fq???q?FQ?q?224??0(D?d?)4??0D（2）当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F?0时，则应有 Q?(RD)qRq??0 222DDD??RD???q?Q?(RD)qRq???? 224??0?D2D?D??RD?????????QRD3R?由此可得出 ?

q(D2?R2)2D4.26 两个点电荷Q和?Q，在一个半径为a的导体球直径的延长线上，分别位于导体球的两侧且距球心为D。

2a3Q（1）证明：镜像电荷构成一个电偶极子，位于球心，电偶极矩为p?；

D2Q（2）令D和Q分别趋于无穷，同时保持2不变，计算球外的电场。

D解 （1）点电荷Q和?Q都要在球面上引起等量异号的感应电荷，可分别按照点电荷与不接地导体球面的镜像确定其等效的像电荷。根据镜像法，点电荷Q的像电荷为

2aa???Q， 位于：d1??q1 DDaz ????q1??Q，位于：d1???0 q1Dz D Q 而点电荷?Q的像电荷为

R12 aa??Q， 位于：d2q2???

P??Rq D11D?d1 raa ? ???0 ???q??q??Q，位于：d222o ?R2D d2?? q2 ??和q2??等值异号，且同时位于球心，故球R2如题4.26图所示。由此可见，像电荷q1?和q2?也等值异号，且位置关于球心对称，故构有 心处总的像电荷为零；而像电荷q1成位于球心的电偶极子，其电偶极矩为 ?D ?Q a2a22a3Q题4.26图 ?(2d1?)?Q? p?q2?2DDD?和q2?共同产生，即 （2）球外的电位由Q和?Q以及像电荷q1?q?q2QQ?(r,?)??1－??

??4??0R14??0R14??0R24??0R2Q?1aD??? ?2222224??0?r?D?2rDcos?r?(aD)?(2raD)cos??

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