2016年河北省衡水中学高三文科一模数学试卷

2016年河北省衡水中学高三文科一模数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分） 1. 已知 i 是虚数单位，则

A. ?i

2?i1+2i

= ??

4

3

B. 5+5i

C. ?1

D. 5?i

4

2. 若全集 ??=??，集合 ??= ?? 1<2??<4 ，??= ?? ???1≥0 ，则 ??∩?????= ??

A. ?? 1

C. ?? 0

π

D. ?? 1≤??<2 B. ?? ?1

B. 4

C. 5

D. 6

3. 定义在 ?? 上的奇函数 ?? ?? 在 ?1,0 上单调递减，则下列关系式正确的是 ??

4. 等差数列 ???? 中，若 ??2+??8=15???5，则 ??5 的值为 ?? 5. 已知 2

A.

32

B. 1

64

C.

2 23

D. 22

6. “??>2”是“函数 ?? ?? =??+log2?? ??≥ 不存在零点”的 ??

2

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2??+???2≥0,

则目标函数 ??=2???3?? 的最大值为 ?? 7. 设变量 ??，?? 满足约束条件 ???2??+4≥0,

???1≤0,

A. ?3 B. 2 C. 3 D. 4

8. 如图，在矩形 ???????? 中，????=2，????=2，沿 ???? 将矩形 ???????? 折叠，连接 ????，所得三棱锥 ????????? 的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 ????????? 的侧视图的面积为 ??

3

A. 25

9

B. 25

18

C. 25

36

D. 5

12

9. 执行如图所示的程序框图，输出 ?? 的值为 ??

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A. ?1008×2015 B. 1008×2015 C. ?1008×2017 D. 1008×2017

π π

10. 已知函数 ?? ?? =sin 2??+?? ，其中 ?? 为实数，若 ?? ?? ≤ ?? 6 对 ??∈?? 恒成立，且 ?? 2 >

?? π ，则 ?? ?? 的单调递增区间是 ??

A. ??π?3,??π+6 ??∈?? C. ??π+6,??π+

π

2π

π

π

B. ??π,??π+2 ??∈?? D. ??π?2,??π ??∈??

π

π

??∈?? 3

11. 已知 ?? 为抛物线 ??2=?? 的焦点，点 ??，?? 在该抛物线上且位于 ?? 轴的两侧， ????? ????=2（其中

?? 为坐标原点），则 △?????? 与 △?????? 面积之和的最小值是 ??

2 2 2

A. 8 B. 4

1??

C. 2 D. 2 2? ,??≤0

2的图象恰好有 3 个不同的公共点，则实数 12. 已知直线 ??=???? 与函数 ?? ?? = 1 ??2???+1,??>0

2

?? 的取值范围是 ??

A. 2?1,+∞ B. 0, 2?1 C. ? 2?1, 2?1

D. ?∞,? 2?1 ∪ 2?1,+∞

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 从编号为 001，002，?，500 的 500 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号

从小到大依次为 007，032，?，则样本中最大的编号应该为 ．

= 2,?3 ，若 14. 已知向量 ?? = ??,2 ，向量 ?? +?? ??? ?? = ?? ，则实数 ?? 的值是 ． 15. 已知定义在 ?? 上的奇函数 ?? ?? 满足 ?? ??? =?? ?? ，?? ?2 =?3，数列 ???? 的前 ?? 项和为

23

????，且 ??1=?1，????=2????+?? ??∈??? ，则 ?? ??5 +?? ??6 = ．

16. 已知点 ??，??，??，?? 在同一个球面上，????=????= 2，????=2，若球的表面积为

体 ???????? 体积的最大值为 ．

25π4

，则四面

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三、解答题（共8小题；共104分）

17. 在 △?????? 中，角 ??，??，?? 所对的边分别是 ??，??，??．已知 cos2???3cos ??+?? =1．

（1）求角 ?? 的大小；

（2）若 △?????? 的面积 ??=5 3，??=5，求 sin??sin?? 的值．

18. 现从某 100 件中药材中随机抽取 10 件，以这 10 件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本

数据的茎叶图如下：

（1）求样本数据的中位数、平均数，并估计这 100 件中药材的总质量；

（2）记质量在 15 克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取 2 件，求这 2 件

中药材的质量之差不超过 2 克的概率；

19. 如图，在四棱柱 ???????????1??1??1??1 中，????∥????，????1⊥????，且 ????1=????．

（1）求证：????∥平面??1??????1；

（2）求证：????1⊥平面??1????．

20. 已知圆 ??:??2+??2=8 交 ?? 轴于 ??，?? 两点，曲线 ?? 是以 ???? 为长轴，离心率为 2 的椭圆．

（1）求椭圆的标准方程；

=3???? ，试求（2）如图，若直线 ???? 与椭圆 ?? 交于 ??，?? 两点，交 ?? 轴于点 ?? ?2,0 ，且 ????

此时弦 ???? 的长．

2

21. 已知函数 ?? ?? = ??+ ln??+

??

4

4???2??

，其中常数 ??>0．

（1）讨论 ?? ?? 在 0,2 上的单调性；

（2）若 ??∈ 4,+∞ ，曲线 ??=?? ?? 上总存在相异的两点 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ，使得曲线

??=?? ?? 在 ??，?? 两点处的切线互相平行，求 ??1+??2 的取值范围．

22. 如图，圆 ?? 的直径 ????=8，圆周上过点 ?? 的切线与 ???? 的延长线交于点 ??，过点 ?? 作 ???? 的平

行线交 ???? 的延长线于点 ??．

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（1）求证：????2=?????????；

（2）若 ????=2 5，求 ???? 的长．

??=2+??,23. 在直角坐标系 ?????? 中，曲线 ?? 的参数方程为 （?? 为参数），在以该直角坐标系的原

??=??+1

点 ?? 为极点，?? 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线 ?? 的方程为 ??2?4??cos??+3=0． （1）求曲线 ?? 的普通方程和曲线 ?? 的直角坐标方程；

（2）设曲线 ?? 和曲线 ?? 的交点为 ??，??，求 ???? ． 24. 已知函数 ?? ?? = 2???1 + 2???3 ，??∈??．

（1）解不等式 ?? ?? ≤5；

（2）若不等式 ??2???

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答案

第一部分 1. A 2. C 3. D 4. C 5. C

π

【解析】

2?i

1+2i

=

2?i 1?2i 1+2i 1?2i

=

?5i5

=?i．

【解析】??= ?? 0

1

递减且 ?? 0 =0，所以 ?? 1

【解析】由 3sin2??=2cos?? 得 sin??=3． 因为 2

cos ???π =?cos??

12

= 1?

32 2.3【解析】函数 ?? ?? 的值域是 ???1,+∞ ，当 ??>2 时，?? ?? >1，不存在零点．若函数 ?? ??

=

1

6. A

不存在零点，则 ??>1，所以“??>2”是“函数 ?? ?? =??+log2?? ??≥2 不存在零点”的充分不必要条件． 7. D

【解析】满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．

当 ??=8. B

??+3??2

经过点 ?? 0,2 时，目标函数 ??=2???3?? 取得最大值为 4．

3×22322

【解析】由正视图及俯视图可得在三棱锥 ????????? 中，平面??????⊥平面??????，该几何体的侧

+22

视图是腰长为 9. A

1

=5 的等腰直角三角形，其面积为 2× 5 =25．

1

1

61

62

18

【解析】第一次运行时，??=21，??=2；第二次运行时，??=21+2，??=3；第三次运行时，

1

??=21+2+3，??=4；第四次运行时，??=21+2+3+4，??=5；??，以此类推，第 2015 次运行时，

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