高中物理高考专题复习

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第一章 抛体运动

本章内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，复习好本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高解决实际问题的能力。在高考中对本章知识的考查重点

专题一.运动的合成和分解

◎ 知识梳理

进制 一个比较复杂的运动，常可以看成是由两个或几个简单的运动所组成的。组成复杂运动的简单运动，我们把它们叫做分运动，而复杂运动本身叫做合运动。由分运动求合运动叫运动的合成；由合运动求分运动叫做运动的分解。

1运动的合成和分解遵循平行四边形法则。 2运动的合成和分解必须按实际情况进行。 3合运动和分运动具有等时性。 4分运动具有独立性。

◎ 例题评析

【例1】在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江而下，水的流 速为5m/s，舟在静水中的航速为lOm/s，战士救人的地点A离岸边最近点0的距离为50m 如图，问：

(1)战士要想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间为多长?

(2)战士要想通过最短的航程将人送上岸，冲锋舟的驾驶员应将舟头与河岸成多少

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度角开?

(3)如果水的流速是10m/s，而舟的航速(静水中)为5m/s，战士想通过最短的距离将人送上岸，求这个最短的距离。 【分析与解答】：(1)根据运动的独立性可知，冲锋舟到达江岸的时间 是由垂直于江岸的分速度决定，该分速度越大，则时间越短，故当冲锋 舟垂直于江岸时，时间最短，设船在静水中的速度为v2, 水速为v1,最短的时间为t=d/v2=5(s)

(2)战士要想到达江岸的过程中航程最短，则要求合速度的方向垂直于江岸，舟头必须斜向上，设与江岸的夹角为θ(如图2所示)，则COSθ=v1/v2=O.5

θ=60

(3)在v1>v2的条件下，舟只能斜向下游到江岸，此时v2所有可能的方向如图3所示，v与v2垂直时θ角最

00

大，位移最短，此时sinθ=v2/v1=o.5,则θ=30，最短位移为s=50/sin30=100(m)

【说明】 (1)不论水流速度多大，总是船身垂直于河岸开动时，渡河时间最短， t=d/sinθ，且这个时间与水流速度大小无关。

(2)当v1<v2时，合运动方向垂直河岸时，航程最短。

(3)当v1≥v2时，当合运动方向与船身垂直时，航程最短。

【例2】 如图4所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是( )

A．绳的拉力大干A的重力 B．绳的拉力等于A的重力 C．绳的拉力小于A的重力

D．拉力先大干重力，后变为小于重力

【分析与解答】 车水平向右的速度(也就是绳子末端的运动速度)为合速

度，它的两个分速度v1,v2如图5所示，其中v2就是抽动绳子的速度，它等于A上升的速度。由图得，vA=v2=vcosθ

小车匀速向右运动过程中，θ逐渐变小，知vA逐渐变大，故A做加速运动，由A的受力及牛顿第二定律知绳的拉力大于A的重力。 【答案】 故选A。

◎ 能力训练1

1．一轮船船头正对河岸航行。轮船渡河通过的路程、渡河时间在水流速度突然变大的情况下，下列说法中正确的是

A．路程变长，时问变长 B．路程变长，时间不变 C．路程变短，时间变短 D．路程与时间都不变

2．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水 沿江向下游流去，水流速度为V1，摩托艇在静水中的航速为V2，战士 救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。如战士想在最短时间内 将人送上岸，则摩托艇登陆脚地点离O点的距离为

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3．小船过河，河宽为90m，船在静水中航行速度是3m／s，水流速 度是4m／s，则

A．船渡过河的最短时间为30 s B．小船渡河的最短路程为90 m

C．船头偏向上游某一角度可使船以最短路程过河 D．小船渡河的最短路程为150 m

4．小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，V水=kx，k=4v0/d,，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为珈，则下列说法中正确的是 A．小船渡河时的轨迹为直线

B．小船到达离河岸d/2处，船的渡河速度为 C．小船渡河时的轨迹为曲线

D．小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为

2v0

v0

5．如图6所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个高尔夫球，由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击点水平距离为L的A穴，该球被击出时初速度的大小为________

6.一探照灯照射在云层底面上，这底面是与地面平行的平面，如图7所示，云层底面高h，探照灯以匀角速度ω在竖直平面内转动，当光束转过与竖直线夹角为θ时，此刻云层底面上光点的移动速度等于多少?

7.如图8所示，a图表示某物体在x轴方向上分速度的v-t图像．b图表示该物体在y轴上分速度图像。

1物体在t=O时物体的速度；○2t=8s时物体的速度； 求：○

3t=4s时物体的位移。 ○

8.雨滴在空中以4m／s速度竖直下落，人打着伞以3m／s的速度

向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向

什么方向?

9．如图9所示，一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶．经过10分钟到达正对岸下游的120米的C处；如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成a角的方向行驶，则经过12．5分钟恰好达到正对岸的B处，由此可知这条河的宽度为

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专题二．竖直上抛运动

◎ 知识梳理

1．特点：初速度V0竖直向上，只受重力作用的运动叫竖直上抛运动，是匀减速直线运动的特例。 2．公式

注意：

①选初速度V0的方向为正方向，若V方向向上，则V取正值，若V方向向下，则取负值，最高点为其分界点；若物体位于抛出点上方则S取正值，位于抛出点下方则S取负值。

②上述各式均适用于竖直上抛运动的往返全过程，这时t从抛出开始计时。 3．竖直上抛运动的对称性：

①时间对称性：对应竖直上抛物体运动的同一段竖直高度，上行和下行的时闻相等。因而，物体从某点出发上升到最高点与最高点落至抛出点所用时间相等，即： 物体从抛出到落回抛出点的总时间为：t=2Vo/2

②速度对称性：物体在上升和下降经过同一位置时速度大小相等、方向相反，即：Vt=V0 注意：若物体所受阻力不能忽略．则不存在上述对称性。

2

4．竖直上抛运动最大上升高度H=V0/2g

◎ 例题评析

【例3】 在竖直的井底，将一物块以11m/s的速度竖直地向上抛出，物体冲过井口再落到井口时被人接住，

2

在被人接住前1s内物体的位移是4m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10m／s，求： (1)物体从抛出到被人接住所经历的时间； (2)此竖直井的深度。

【分析与解答】: (1)设人接住物块前1s初的时刻速度为v

2

则有h=vt1-1/2gt1

即4=v×1-5，解得v=9m/s（以向上方向为正） 则物块从抛出到接住所有总时间为 t=

v v0

+t1=1.2s g

2

(2)竖直井的深度为h=vot-gt/2=6m

【例4】从同一地点以相同速度20m/s先后竖直上抛两个小球，第二个小球比第一个小球晚1s，则第二个小球抛出后经过多长时间与第一个小球相遇?(不计空气阻力) 【分析与解答】：此题是一道常见的竖直上抛运动习题．依据竖直上抛运动的特点，可从不同角度运用多种方法求解．一方面可对运动学公式进行全面地复习，以加深对运动学公式的理解；另一方面可培养分析问题的灵活性和解题思维的发散性． 解法1：公式法

从竖直上抛运动的整个过程来看，小球做可往返的匀减速直线运动，设第二个小球抛出后经过t s与第

2

一个小球相遇，两球相遇时其位移相等，由公式s= V0t-gt/2

22

V0t-gt/2= V0（t+1）-g（t+1）/2 可解得t=1.5s. 解法2：速率对称法

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在竖直上抛运动的过程中，在同一高度处，物体上升与下降的速率相等，即两球相遇时的速度大小相等，方向相反．有：-[20-g(t+1)]=20-gt 2gt=30．t=1.5s 解法3：时间对称法

在竖直上抛运动过程中，物体从某高度处到达最高点的时间与从最高点返回原处的时间相等．则两球运动过程如图所示． //

t=v0/g=20/10=2s,而t=t+O.5s．故t=1.5s 【答案】：1.5 s

◎ 能力训练2

1．一只氢气球以10m/s的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距离气球为h的地方，有一石子以20m/s

2

的初速度竖直上抛．那么下列说法正确的是(“撞击”不是“相遇”，g=10m/s) A．h=4m，则石子能够两次撞击气球 B．h=5m，则石子一定能够撞击气球

C．h=5m，则石子一定不能撞击气球 、 D．h=6m，则石子一定不能够撞击气球

2.一个从地面上抛的物体,它两次经过一个较低的A点的时间间隔为5s,两次经过一个较高的B点的时间间隔为3s,则AB间的距离为: A.80M B.40M C.20M

D.初速度未知，无法确定

2

3．在一拉力作用下，使小球自地面开始以a1=8m/s的加速度竖直向上做匀加速直线运动，1s末将小球释

2

放，问小球经多少时问落回地面?(不计空气阻力，g取10m/s0)

4．在地面上以初速度2竖直上抛一物体A后，又以初速度在同一地点竖直上抛另一物体B，若要两物体能在空中相碰，则A与B两物体抛出的时间隔必须满足什么条件？（不计空气阻力）

2

5．一竖直发射的火箭在火药燃烧2s内具有3g的向上加速度，不计空气阻力，g取10m/s，当它从地面点燃发射后，它能上升的最大高度为多少？在空中运动的时间为多长？ 240m

6．将一小球A从距地面高h处由静止释放，不计空气阻力，同时将另一小球B从A的正下方的地面上以速度v0竖直上抛，讨论下列问题：

(1)使A、B在B上升过程中相遇，v0满足什么条件? (2)使A、B在B下降过程中相遇，v0满足什么条件?

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专题三．平抛运动

◎ 知识梳理

1．曲线运动

（1）曲线运动产生的条件

质点所受合外力的方向和物体运动的速度方向不在一条直线上，或者加速度方向和速度方向不在同一直线上。

(2)曲线运动的轨迹和速度方向

做曲线运动的物体，速度方向即轨迹上那点切线的方向，若物体做曲线运动时，物体所受合外力突然消失，那么物体将沿轨迹上该点的切线方向抛出，此时做匀速直线运动。 (3)作曲线运动物体所受的合力

物体在作曲线运动时，它所受的合力总是指向物体运动轨迹曲线的凹侧，物体的加速度也指向曲线的

凹侧。当合力方向与物体运动即时速度方向的夹角小于90时，物体运动速度增加；当合力方向与即时速

度方向的夹角大干90时，物体运动的速度就减小。 2．平抛运动

物体具有水平初速度，只在重力作用下的运动。

(1)平抛运动的两个分运动：水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动。

(2)平抛运动的速度： 水平方向：vx=v0 竖直方向：vy=gt

(3)平抛运动的位移 水平方向：S=v0t

(4)．平抛运动的性质

做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。 ◎ 例题评析

【例5】如图10所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向而大小不变(即由F变为-F)，在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是 ( ) A．物体不可能沿曲线Ba运动 B．物体不可能沿直线Bb运动 C．物体不可能沿曲线Bc运动

D．物体不可能沿原曲线由B返回A

【分析与解答】 物体在A点时的速度VA沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动，此力F必有垂直于VA的分量，即F力只可能为图11中所示的

/

各种方向之一；当物体到达B点时，瞬时速度VB沿B点的切线方向，这时受力F=-F，

/

即F只可能为图中所示的方向之一，可知物体以后只可能沿曲线Bc运动，所以本题的正确答案是A、B、D。

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【例6】如图12所示，一个做平抛运动的小球，先后通过a、b、c三点，若相邻两点间的水平距离均为s，竖直距离分别为h1和h2，则抛出该球的初速大小为_______(不计空气阻力)

【分析与解答】本题主要考查平抛运动的独立性和等时性； 先由竖直方向的匀变速运动规律h2-h1=gt,得t=

2

21

； g

再由水平方向的匀速运动得v0=s/t=s

g

h2 h1

如果本题中的a点为坐标原点，建立坐标系，那么抛出点的坐标如何呢？

2

竖直速度Vb=(h1+h2)/2t=g*(ta+t) 得ta，则ha=1/2gta,Sa=v0ta

【例7】如右图13所示，a、b两点距地面高度分别为H和2H，从a、b两点分别水平抛出一小球，其水平射程之比为sl:s2=3:2，试求两小球运动轨迹的交点c距地面的高度． 【分析与解答】：设a、b两小球的水平初速分别为v1、v2 对a: s1=v1对b: s2=v2

,

由sl:s2=3:2，得vl:v2=3:

设小球落至c点的水平位移为s，则

【例8】、如图14所示，一高度为h=0.2m的水平面在B点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V0=5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从B点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）。 某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则

h1

V0t gsin t2,由此可求得落地的时间t。问：sin2

你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。

【分析与解答】:不同意。小球应在B点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。

正确做法为：落地点与B点的水平距离

s V0t V0 5 1(m) 斜面底宽 图14

g10

l hctg

0.2 0.35(m)

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因为s l,所以小球离开B点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。 ∴ t

0.2(s) g10

【例9】、如图15在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设

空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？

【分析与解】：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A运动到B处所需的时间为t,则： 水平位移为x=V0t 12

竖直位移为y=gt

2

由数学关系得到:

2Vtan 12

gt (V0t)tan ,t 0

2g

V0tan

。 g

图

15

（2）从抛出开始计时，经过t1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大。因Vy1=gt1=V0tanθ,所以t1

◎ 能力训练3

（1）．关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是 ①一定是直线运动 ②一定是曲线运动

③可能是直线运动，也可能是曲线运动 ④一定是匀变速运动

A．①③④ B．②④ c．②③④ D．③④ （2）．一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两力不变，此物体不可能做

A．匀加速直线运动 B．匀减速直线运动 C．类似于平抛运动 D．匀速圆周运动

3．如图所示是物体做平抛运动的图像，物体从O点抛出，x、y分别为其水平和竖直位移，在物体的运动过程中，经某一点P(x，y)时，其速度的反向延长线交于x轴上的A点，则OA的长为 A．x B．0.5x C．0.3x D．不能确定

4．人站在楼上水平抛出一个小球，球离手时速度为V0，落地时速度为V，忽略空气阻力，在图中正确表示在同样时间内速度矢量的变化情况的是图

5.如图18所示，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在

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倾角θ为30的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是

6．如图19所示倾角为口的斜面顶端，水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长L ①求抛出的初速度?

②抛出后经多长时间物体离斜面最远?

7．排球场地长为L，网球高为H，前排线到网的距离为d，如图20所示，若队员站在前排线上竖直跳起水平击球时，不论以多大的速度击球，都能把球击在对方场地之内，则该队员应跳多高?

8．一网球运动员在离开网的距离为12m处沿水平方向发球，发球高度为2.4m，网的高度为O.9m。 (1)若网球在网上O.1m处越过，求网球的初速度

2

(2、若按上述初速度发球，求该网球落地点到网的距离(取g=10m/s0，不考虑空气阻力。)

9．飞机以恒定的速度u沿水平方向飞行，高度为2000m，在飞行过程中释放一炸弹，经过30s后飞行员听见炸弹落地后的爆炸声，假设此爆炸声从落地点向空间各个方向的传播速度均为330m/s，炸弹受到的空气阻力忽略不计。求该飞机的飞行速度v。

10．一架飞机在距地面500m高处沿水平方向匀变速直线飞行．从飞机上先后投下A、B、C三包物体，其抛出间隔时闻为2s。分别落在水平地面的a、b、c处，如图21所示。已知L1=450m，L2=470m，如果不考虑空气阻力的影响，g取10m／s。，那么 (1)飞机投下B物体时的速度是多少?

(2)C物体落地时，飞机在c物体前方的水平距离是多少?

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专题四．斜抛物体的运动

◎ 知识梳理

1.斜抛运动可看成是竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动

2.所有在重力作用下的抛体运动,在任何相等时间内,速度的变化都相同,其方向总是竖直向下,且速度的变化量与量间的关系为:

3.射程和射高:当初速度一定时,假设抛出点和落地点在同一平面上,不计空气阻力,发射的仰角越大,射

程越高,在空中运动时间越长,但水平方向运动的速度越小,当仰角为45时,射程达到最大值. 若考虑空气阻力或抛出点和落地点不在同一水平面上,以上结论不一定成立.

◎ 例题评析

【例10】在高处以同一速度v0在同一竖直平面内同时向不同方向抛出一些物体,设空气阻力不计,试证明:在抛出后某一时刻,这些物体的位置是在同一圆上.

【分析与解答】根据运动的合成,我们可以把每个物体的运动看成是沿v0方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动,设想,如重力不存在,则每个物体的位置,都在原v0方向的v0t处,即都在以出发点为圆心,以v0t为半径的竖直平面的圆周上.

2

由于重力的存在,物体都同时参与了竖直方向的自由落体运动,使竖直方向发生的位移都是gt/2,所以

22

各个物体的位置都下移了gt/2,此时刻各个物体的位置仍在同一竖直圆上,只是这个圆圆心下移了gt/2,而半径为v0t

◎ 能力训练4

1．关于斜抛运动的下列说法中正确的是 A．斜抛运动物体受重力和向前的冲力 B．斜抛运动物体的速度大小不变方向改变 C．斜抛运动是匀变速曲子运动

D．斜抛运动的加速度与速度方向总是成钝角

2．物体做斜抛运动时

A．加速度大小不变，速度大小一直增加 B．加速度大小不变，速度大小一直减小 c．加速度大小不变，速度大小先减小后增加 D．加速度大小改变，速度大小变化无法确定 3．在斜抛运动中，飞行时间T A．只由竖直分运动决定 B．只由水平分运动决定

C．由竖直和水平分运动共同决定 D．与竖直和水平分运动都无关 4．斜抛运动的射程

A．只由抛出的初速度V0决定 B．只由抛出时的抛射角θ决定

c．由抛出时的初速度V0和抛射角θ共同决定 D．与抛出时的初速度V。和抛射角都无关

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5．喷水管喷水的速度大小不变，喷水管与水平方向的夹角可以改变，则 A．射程随着抛射角的增加而增大 B．射程随着抛射角的增加而减小

c．射程先随着抛射角的增加而增大，后随着抛射角的增加而减小 D．射程先随着抛射角的增加而减小，后随着抛射角的增加而增加

6．从斜向上的炮筒中射出的炮弹，运动中空气阻力的影响不能忽略，则 A．实际的弹道曲线仍是抛物线 B．实际的射高变大，射程变小 c．实际的射高变小，射程变大 D．实际的射高和射程都变小

0002

7．斜抛运动物体的初速度为V0=20m/s，抛射角θ=37(sin37=0.6，cos37=0.8，g=10 m/s) A．飞行时间为4s B．射高为20m C．射程为38.4 m D．射程为7.2 m

8．一个人向着与水平面成45角的前上方抛出一颗手榴弹，测出手榴弹的射程是65 m，手榴弹抛出时的速度是多大?射高是多高?(不计空气阻力)

9．在离地高h处以初速度Vo斜向下方与水平方向成θ角抛出一石子，求石子落地时的速度大小和落地点与抛出点的水平距离．

● 模拟测试

1.一船在静水中的速度为6 m/s，要横渡流速为8 m/s的河，下面说法正确的是 A.船不能渡过此河 B.船能行驶到正对岸

C.若河宽60 m，过河的最少时间为10 s

D.船在最短时间内过河时，船对地的速度为6 m/s 2.做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是 A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同 C.大小相等，方向不同 D.大小不等，方向相同

3.（2001年全国高考综合能力试题）在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人.假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d.如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为

A.

dv2v2 v1dv1

v2

2

2

B.0

C. D.

dv2

v1

4.如图所示，小球a、b的质量分别是m和2m，a从倾角为30°的光滑

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固定斜面的顶端无初速下滑，b从斜面等高处以初速度v0平抛，比较a、b落地的运动过程有

A.所用的时间相同

B.a、b都做匀变速运动 C.落地前的速度相同

D.重力对a、b做的功相同

5.对平抛运动的物体，若g已知，再给出下列哪组条件，可确定其初速度大小 A.水平位移 B.下落高度 C.落地时速度的大小和方向 D.落地时位移的大小和方向

6.一条船沿垂直河岸的方向航行，它在静水中航行速度大小一定，当船行驶到河中心时，河水流速突然增大，这使得该船

A.渡河时间增大 B.到达对岸时的速度增大 C.渡河通过的路程增大 D.渡河通过的路程比位移大

7.图23为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动.开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平动.要使探测器改为向正x偏负y 60 °的方向以原来的速率v0平动，则可

A.先开动P1适当时间，再开动P4适当时间 B.先开动P3适当时间，再开动P2适当时间 C.开动P4适当时间

D.先开动P3适当时间，再开动P4适当时间

8.如图24所示，从倾角为θ的斜面上的M点水平抛出一个小球，小球的初速度为v0，最后小球落在斜面上的N点，则

A.可求M、N之间的距离

B.可求小球落到N点时速度的大小和方向 C.可求小球到达N点时的动能

D.可以断定，当小球速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大

9.一个炮弹以50

2m/s的初速度以450的发射角发射,最后又落回地面,若g

取10m/s,则

A.它到达最高点的速度为50m/s B.它到达最高点的时间为5s C.它在水平方向的射程为250m

D.落地时速度与水平方向的夹角为450

10．一只氢气球以10m/s的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距离气球为h的地方，有一石子以20m/s

2

的初速度竖直上抛．那么下列说法正确的是(“撞击”不是“相遇”，g=10m/s) ( ) A．h=4m，则石子能够两次撞击气球 B．h=5m，则石子一定能够撞击气球 C．h=5m，则石子一定不能撞击气球 D．h=6m，则石子一定不能够撞击气球

11.以20 m/s的初速度将一物体由足够高的某处水平抛出，当它的竖直速度跟水平速度相等时经历的时间为_______；这时物体的速度方向与水平方向的夹角θ为_______；这段时间内物体的位移大小为_______.(g取10 m/s2)

12.有一小船正在渡河，如图25所示，在离对岸30 m

时，其下

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游40 m处有一危险水域.假若水流速度为5 m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是_______.

13.在一次“飞车过黄河”的表演中，汽车在空中飞经最高点后在对岸着地.已知汽车从最高点至着地点经历时间约为0.8 s，两点间水平距离为30 m，忽略空气阻力，则汽车在最高点时速度约为_______ m/s.

14.如图26所示，将一小球以10 m/s的速度水平抛出，落地时的速度方向与水平方向的夹角恰为45 °，不计空气阻力，则小球抛出点离地面的高度为_______，飞行的水平距离是_______.（g取10 m/s2）

15离地面高度为1470 m处一架飞机以360 km/h的速度水平飞行，已知投下的物体在离开飞机10 s后降落伞张开，即做匀速运动，为了将物体投到地面某处，求应该在离开该地水平距离多远处开始投下.（假设水平方向的运动不受降落伞的影响，g=10 m/s2）

16.房间里距地面H高的A点处有一盏白炽灯(可视为点光源)，一小球以初速度v0

从A点沿水平方向垂直于墙壁抛出，恰好落在墙角B处(如图27所示)，试问：小球抛出后，它在墙上的影子是如何运动的?

17.如图28所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，均落到斜面上.当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为 α1,当抛出时的速度为v2时，小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为α2.试通过计算说明α1、α2的大小关系.

图

28

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第二章 圆周运动

本章内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，复习好本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高解决实际问题的能力。在高考中对本章知识的考查重点在于匀速圆周运动及其重要公式，特别是匀速圆周运动的力学特点，要引起足够的重视，另外天体运动的考查都离不开匀速圆周运动。有相当一部分是与电场、磁场、机械能结合的综合题，以及与实际生活、新科技、新能源等结合的应用性题型。

专题一．匀速圆周运动

◎ 知识梳理

物体的运动轨迹是圆周的运动，叫圆周运动。物体在作圆周运动时，若在任意相等时间里通过的圆弧长度都相等，这样的圆周运动叫做匀速圆周运动。 1．匀速圆周运动的线速度

所谓线速度，就是作匀速圆周运动的物体的即时速度。作匀速圆周运动的物体，在圆周上各点的线速度方向是圆周上各点的切线方向。

作匀速圆周运动的物体在圆周轨迹上各点的线速度大小都相等，若物体沿半径为R的圆周作匀速圆周运动，运动一周的时间为T(称为周期)，则线速度的大小为：v=

2 r

T

虽然作匀速圆周运动的物体线速度的大小不变，但线速度的方向时刻在改变．所以匀速圆周运动是变速运动。

2．匀速圆周运动的角速度

用连接物体和圆心的半径转过的角度θ跟转过这个角度所用时间t的比值来表示，即： ω=

，比值ω叫做匀速圆周运动的角速度。 t

在国际单位制中角度的单位是弧度，时间单位是秒，角速度单位是弧度/秒。 角速度ω与周期丁的关系是：ω=2π/T 角速度和线速度的关系是v=ωr

在实际应用中，人们也常用转速n来描述作匀速圆周运动物体的快慢。所谓转速是指作匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数，用符号n来表示。角速度与n的关系是：ω=2πn

◎ 例题评析

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【例1】某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图所示，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前后轮直径为660mm，人骑该车行进速度为4m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为( ) A.1.9rad/s B.3.8rad/s

C.6.5rad/s D.7.1rad/s

【分析与解答】：车行进速度与前、后车轮边缘相对轴的线速度相等，故后轮边缘的线速度为4m/s，后轮的角速度ω=v/R≈12rad/s，飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度ω=12rad/s，飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以ω1r1=ω2r2 其中r1r2分别为飞轮和链轮的半径，因轮周长L=N△L=2πr，N为齿数，△L为两邻齿间的弧长，因由同一链条相连故，△L相同，r N，所以ωlN1=ω2N2．又踏板与链轮同轴，脚踩踏板的角速度ω2=ω3，ω3=ω1N1/N2,等等，要使ω3最小，则N1=15，N2=48，故ω3==3.8rad/s 【答案】：B

[点评] 注意同轴装置角速度相同，同传动装置线速度相同．此题要知道链条连接两轮半径与它们的齿数正比．

【例2】测定气体分子速率的部分装置如图所示，放在高真空容器中，A、B是两个圆盘，绕一根共同轴以相同的转速n＝25转/秒匀速转动.两盘相距L＝20cm，盘上各开一很窄的细缝，两盘细缝之间成6°的夹角，已知气体分子恰能垂直通过两个圆盘的细缝，求气体分子的最大速率。 【分析与解答】 气体分子沿直线通过L的时间为t

L

v

这段时间内圆盘B转过的弧度值为 t

要使气体分子能够通过缝隙， k 2

30

综合得2 n

Lv k 2 30

v

2nL

60nL 300m/s 2k

30

【例3】.如图所示，A、B两质点绕同一圆心按顺时针方向作匀速圆周运动，A的周期为T1，B的周期为T2，且T1＜T2，在某时刻两质点相距最近，开始计时，问： （1）何时刻两质点相距又最近？

（2）何时刻两质点相距又最远？

【分析与解答】选取B为参照物．

（1）AB相距最近，则A相对于B转了n转，其相对角度△Φ=2πn 相对角速度为ω相=ω1-ω2，

则经过时间：t=△Φ/ω相=2πn/（ω1-ω2）=

nT1T2

T （n=1、2、3 ）

2 T1

（2）AB相距最远，则A相对于B转了（n-

12）转，其相对角度： △Φ=2π（n-12

） 则经过时间：t=△Φ/ω1)T相=

1(2n 1T2

2T （n=1、2、3 ）

2 T1

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[点评]本题关键是弄清相距最近或最远需通过什么形式来联系A和B的问题，巧选参照系是解决这类难题的关键，同时也要注意它的多解性．

◎ 能力训练1

1下列说法正确的是：

A．匀速圆周运动是一种匀速运动； B．匀速圆周运动是一种匀变速运动；

C．匀速圆周运动是一种变加速运动； D．因为物体做圆周运动，所以才产生向心力； 2如图所示，竖直圆环内侧凹槽光滑，a0d为其水平直径，两个相同的小球A和B(均可视为质点)，从a点同时以相同速率v。开始向上和向下沿圆环凹槽运动，且运动中始终未脱离圆环，则A、B两球第一次：

A．可能在c点相遇，相遇时两球的速率VA<VB<VO； B．可能在b点相遇，相遇时两球的速率VA>VB>V0； C．可能在d点相遇，相遇时两球的速率VA=VB=V0； D．可能在c点相遇，相遇时两球的速率VA=VB<V。； 3．如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比

4.如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，

因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）

5.如图所示，直径为d 的纸制圆筒，使它以角速度ω绕

轴O匀速转动，然后把枪口对准圆筒，使子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a,b两弹孔，已知ao,bo夹角为φ则子弹的速度是

6.电风扇在闪光灯下运动,闪光灯每秒闪光30次,风扇的三个叶片互成1200角安装在转轴上.当风扇转动时,若观察者觉得叶片不动,则这时风扇的转速至少是 转/分;若观察者觉得有了6个叶片,则这时风扇的转速至少是 转/分.

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专题二．匀速圆周运动的向心加速度和向心力

◎ 知识梳理

1．向心加速度：是描述线速度变化快慢的物理量。作匀速圆周运动的物体线速度的大小是不变的，仅线速度的方向发生变化。若轨迹圆的半径一定，线速度越大，显然速度方向变化越快，若线速度一定，显然轨迹半径越小，线速度方向变化越快。向心加速度的大小跟线速度大小和圆周半径的关系如下：

2

a=v/r

222

由于v=ωr和ω=2π/T，所以有：a=ωr a=4πr/T

向心加速度a的方向始终指向作匀速圆周运动的物体轨迹圆的圆心。 2.向心力: 根据牛顿第二定律有：

我们把使作匀速圆周运动的物体产生向心加速度的力叫做向心力。 向心力的方向始终指向轨迹的圆心。

由于作匀速圆周运动的线速度方向是轨迹圆的切线方向，所以向心力和向心加速度的方向与线速度的方向处处垂直．

◎ 例题评析

在水平面内的圆周运动问题。 【例题4】如图，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m=O.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为O.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，

2

问角速度ω，ω在什么范围M会处于静止状态? g取10m/s． 【分析和解答】 设物体M和水平面保持相对静止。

当ω具有最小值时，M有向圆心运动趋势，故水平面对M的摩擦力方向和指向圆心方向相反，且等于最大静摩擦力2N．

2

隔离M有：T-f=Mωr 得：ω1=2.9(rad／s)．

当ω具有最大值时，M有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心，大小也为2N．

2

隔离M有：T+fm=Mωr 得：ω2=6.5(rad/s)．

故ω范围是：2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s．

【例5】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ ）

A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C、物体所受弹力和摩擦力都减小了

D、物体所受弹力增大，摩擦力不变 【分析与解答】：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN、和筒壁对它的摩擦力F1（如图13所示）。其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的（静）摩擦力F1大小等于其重力。而根据向心力公式，FN

mr 2，当角速

图

13

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度 较大时FN也较大。故本题应选D。

【例6】如图所示，在光滑水平桌面ABCD中央固定有一边长为0．4m光滑小方柱abcd。长为L=1m的细线，一端拴在a上，另一端拴住一个质量为m=0．5kg的小球。小球的初始位置在ad连线上a的一侧，把细线拉直，并给小球以V0=2m/s的垂直于细线方向的水平速度使它作圆周运动。由于光滑小方柱abcd的存在，使线逐步缠在abcd上。若细线能承受的最大张力为7N（即绳所受的拉力大于或等于7N时绳立即断开），那么从开始运动到细线断裂应经过多长时间？小球从桌面的

B C 哪一边飞离桌面?

【分析与解答】：当绳长为L0时，绳将断裂。据向心力公式得：

T0=mV02/L0 所以L0=0.29m 绕a点转1/4周的时间t1=0.785S; (匀速圆周运动1/4周期)

绕b点转1/4周的时间t2=0.471S;

绳接触c点后，小球做圆周运动的半径为r=0.2m,小于L0=0.29m,

所以绳立即断裂。

所以从开始运动到绳断裂经过t=1.256S,小球从桌面的AD边飞离图14 桌面

在竖直平面内的圆周运动的临界问题

【例7】长为l的轻杆两端分别固定一个质量都是m的小球，它们以轻杆中点为轴在竖直平面内做匀速圆周运动，转动的角速度 明是拉力还是压力。

【分析与解答】最高点处：设杆对球向下的拉力，T1 mg m 2r ①式中r得T1

，求杆通过竖直位置时，上下两个小球分别对杆端的作用力，并说

l/2 ②

mg/2，说明假设错误，杆子对小球是向上的支撑力，根据牛顿第三定律，小球对杆子是向

下的压力，大小等于mg/2。

最低点处：设杆子对小球为拉力，T2

向下的拉力，大小等于3mg/2

拓展：此时轴O点受到的力多大，方向如何？ 轴对O点的力向上，根据平衡条件N

mg m 2r ③得T1 3mg/2假设成立，则球对杆子是

2mg，杆子对O点力大小等于2.mg，方向向下。也可以用

整体法分析，N 2mg m( a) m( a) 0，所以2mg

拓展：绳子时，小球做一个完整的竖直平面内的圆周，必须在最高点的速度v [点评]物体在竖直面上做圆周运动，过最高点时的速度V

gl

gR ，常称为临界速度，其物理意义在不同

过程中是不同的．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动轨道的类型，可分为无支撑（如球与绳连结，沿内轨道的“过山车”）和有支撑（如球与杆连接，车过拱桥）两种．前者因无支撑，在最高点物体受到的重力和弹力的方向都向下．

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V02

当弹力为零时，物体的向心力最小，仅由重力提供， 由牛顿定律知mg=m，得临界速度

R

V0 ．当物体运动速度V<V0，将从轨道上掉下，不能过最高点．因此临界速度的意义表示了物体能

否在竖直面上做圆周运动的最小速度． 后者因有支撑，在最高点速度可为零，不存在“掉下”的情况．物体除受 向下的重力外，还受相关弹力作用，其方向可向下，也可向上．当物体实际运动速度V生离心运动，要维持物体做圆周运动，弹力应向下．当V

gR产

物体受弹力向上．所 物体有向心运动倾向，

以对有约束的问题，临界速度的意义揭示了物体所受弹力的方向．

对于无约束的情景，如车过拱桥，当V

gR时，有N=0，车将脱离轨道．此时临界速度的意义是物

体在竖直面上做圆周运动的最大速度．

注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度V0

。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。

◎ 能力训练2

1关于圆周运动的说法正确的是： ()

A．作匀速圆周运动的物体，所受合外力一定指向圆心； B．作圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心； C．作圆周运动的物体，其向心加速度一定指向圆心；

D．作圆周运动的物体，只要所受合外力不指向圆心，其速度方向就不与合外力方向垂直． 2一个小球在竖直放置的光滑圆环的内槽里作圆周运动，则关于小球加速度方向正确的是： A．一定指向圆心； B．一定不指向圆心； C．只在最高点和最低点位置时指向圆心； D．不能确定是否指向圆心．

3．物体A在图各种情况中均做匀速圆周运动，试对物体进行受力分析，并指出什么力(或什么力在什么方向的分力)提供向心力．

4．火车转弯的运动可看作是水平面内的匀速圆周运动，为了提供火车转弯运动所需要的巨大向心力，往往在转弯处使外轨高于内轨而提供这样一个向心力，在内、外轨道高度差确定以后，对转弯处的火车速率

有一定的限制，大于或者小于这个速率对轨道都会有一定的损害，以下关于这个问题的判断哪些是正确的 A．大于这个速率，外轨将受到挤压

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B．大于这个速率，内轨将受到挤压 c．小于这个速率，内轨将受到挤压 D．小于这个速率，外轨将受到挤压

5．狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，图为四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图(O为圆心)，其中正确的是

6．如图所示，一圆盘可绕通过其中心O且垂直于盘面的固定竖直轴转动。盘面上放一木块，从上向下看，圆盘以恒定角速度ω逆时针转动时，木块相对盘静止在P点。若在图示时刻盘作用于木块的摩擦力突然消失，那么，木块将

A．相对于盘沿直线OP滑向0点，相对于地垂直于OP向图里面运动 B．相对于盘沿直线OP远离O点，相对于地垂直于OP向图里面运动 C．相对于地沿直线OP远离O点，相对于盘垂直于OP向图里面运动 D．相对于地沿直线OP滑向O点，相对于盘垂直于OP向图里面运动

7．如图所示，直径为d的纸制圆筒，以角速度m绕中心轴匀速转动，把枪口垂直圆筒 轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度不可能是

8.质量为m的木块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使得木块的速率不变，如图．那么：

A．因为速率不变，所以木块的加速度为零； B．木块下滑过程中所受的合外力越来越大； C．木块下滑过程中的摩擦力大小不变；

D．木块下滑过程中加速度大小不变，方向始终指向球心．

9.在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ,设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为V时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于：

10.甲、乙两名溜冰运动员，M1= 80kg，M2=40kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示．两人相距O.9m，弹簧秤的示数为9.2N，下列判断中正确的是： A．两人的线速度相同，约为40m/s； B．两人的角速度相同，为6rad/s； C．两人的运动半径相同，都是O.45m；

D．两人的运动半径不同，甲为O.3m，乙为0.6m．

11.杂技演员表演“水流星”：在长为L=1.6m的细绳一端，系一个

总质量为m=0.5kg的盛水容器，绳另一端为圆心，在竖直平面内作圆周运动，如图所示．若“水流星”通过最高点的速度为v=4m/s，则下列哪些说法正确?(不计空气阻力，取

2

g=10m/s)

A．“水流星”通过最高点时，没有水从容器中流出；

B．“水流星”通过最高点时，绳的张力和容器底受到的压力均为零； C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用；

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D．绳的张力变化范围为O≤T≤30N．

12．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过0点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是：

A．a处为拉力，b处为拉力； B．a处为拉力，b处为推力； C．a处为推力，b处为拉力； D．a处为推力，b处为推力．

13.A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，则当圆台旋转时：(设A、B、C都没有滑动如图)．

A．C物的向心加速度最大； B．B物的静摩擦力最小；

C．当圆台转速增加时，C比A先滑动； D．当圆台转速增加时，B比A先滑动． 14.如图所示，为一皮带传动装置。右轮的半径

为R，a是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为 4R，小轮的半径为2R。6点在小轮上，到小轮中心的距离为 R。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。在转动过程

中皮带不打滑。求n、6、c、d四点线速度、角速度、向心加速度之比各多大?

15．如图所示，汽车以速度v>0沿半径为R的凸桥匀速率运动，且与桥的动摩擦因数为μ．若汽车到达最高点时关闭发动机．求这时汽车的水平加速度．

16.如图，为一种打夯机．在质量为M的电动机的飞轮上固定质量为m的重物，重物到飞轮轴的距离为r．若飞轮匀速转动．试计算：

①当角速度多大时，重物到达最高点可使电动机对地面没有压力?

②在上述临界角速度的条件下，重物到最低点时电动机对地面压力是多大?

17．如图，一个小球被绳子牵引在光滑的水平板上以速率ω做匀速圆周运动，其半径R=30cm，v=1.Om/s，现将牵引的绳子迅速放长20cm，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动，求： ①实现这一过渡所需的时间。

②在新轨道上做匀速圆周运动时，绳子对小球的牵引力F2是原来绳子对小球牵引力F1的多少倍。

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