广东省粤西北“九校”2012届高三联考数学（理）试题

广东省粤西北“九校”2011~2012学年度高三联考

数学理试题

考试时间:120分钟, 满分150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.若f(x)?1，则f(x)的定义域为( )

log2(x?1)A.(?1,0) B.(?1,??) C.(?1,0)?(0,??) D.(??,?1) 2．奇函数f(x)在(0,??)上的解析式是f(x)?x(1?x)，则在(??,0)上析式是（ ）

A．f(x)??x(1?x) B．f(x)?x(1?x)

C．

f(x)的函数解

f(x)??x(1?x) D．f(x)?x(x?1)

3．下列命题错误的是（ ） ．．

A. \x?2\是\x?3x?2?0\的充分不必要条件;

B. 命题“若x2?3x?2?0,则x?1”的逆否命题为“若x?1,则x2?3x?2?0”;

2C.对命题：“对\k?0,方程x?x?k?0有实根”的否定是:“ ?k>0，方程

2x2?x?k?0无实根”;

D. 若命题p:x?A?B,则?p是x?A且x?B;

4．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出AC的距离为50m，∠ACB = 45°，∠CAB = 105°后，就可以计算出A、B两点的距离为( ) A.502m B. 503m C.252m D.

252m 2

(第

4

题图)

(第5

题图)

5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A．8?2?? B．8? 33C．8?2? D．

2? 36. 已知??{(x,y)|x?y?6,x?0,y?0}，A?{(x,y)|x?4,y?0,x?2y?0}，若向区域?上随机

投一点P，则点P落入区域A的概率为( ) A．1

3开始 输入p 第 B．2 C．1 D．2

3997. 执行如图的程序框图，若输出的n＝5，则输入 整数p的最小值是（ ）

A．6 B.7 C.8 D.15 8．已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线

n?1，S?0 S?p? 是 否 ????1????????PQ上，且满足OR?(OP?OQ)，R在抛物线

2准线上的射影为S，设?、?是?PQS中的两个

S?S?2n?1 输出n 结束 锐角，则下列四个式子中不一定正确的是（ ） ．．．

A．tan?tan??1

B．sin??sin??2 (第7题图)

n?n?1 C．cos??cos??1 D．|tan(???)|?tan???2

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

a?? 9. 二项式?2x?2?的展开式中的常数项为15,则实数a的值为 ;

x??10．从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则

不同的抽取方法数为 ;

6????xy11．已知向量a=(x?1,2),b=(4,y),若a?b，则9?3的最小值为 ;

12．点P(2,?1)为圆(x?3)?y?25的弦的中点，则该弦所在直线的方程是__ __;

13．在数列{an}中，a1?221，Sn为数列{an}的前项和且Sn?n(2n?1)an，则Sn? ; 3（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）

如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC

D C B A

O 的延长线上，AD是⊙O的切线，若?B?30?，

AC?2，则OD的长为 。

15．（极坐标与参数方程选做题）

在极坐标系中,过圆??4cos?的圆心,且垂直于极轴

的直线的极坐标方程是 . (第14题图)

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题共l2分）

7?3?已知函数f(x)?sin(x?)?cos(x?)，x?R．

44（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最小值；

44?（Ⅱ）已知cos(???)?，cos(???)??，0?????．求：f(?)的值．

552

17.（本小题满分12分）

某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定 正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是

311,,，且各阶段通过与否相互独立. 424 （I）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

（II）设该选手在竞赛中回答问题的个数为?，求?的分布列、数学期望和方差.

18. （本小题满分14分）

已知四棱锥P?ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA?底面ABCD，其中 BC?2AB?2PA?6，M,N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示. （Ⅰ）求证：AN//平面MBD；

（Ⅱ）求异面直线AN与PD所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M?BD?C的余弦值.

PNABMDC

19. （本小题满分14分）

x26如图，已知椭圆C:2?y2?1(a?1)的上顶点为A,离心率为，若不过点A的动直

a3线l与椭圆C相交于P、Q两点，且AP?AQ?0. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?e?kx(x?R).

（Ⅰ）若k?e，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k?0且对任意x?R，f(|x|)?0恒成立，试确定实数k的取值范围； （Ⅲ）设函数F(x)?f(x)?f(?x)，求证：F(1)?F(2)?F(n)?(e

21. （本小题满分14分）

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]????????y A l o P Q F x xn?1?2)(n?N?).

n2

已知等比数列{an}的首项a1?2012，公比q??项积记为?(n).

（Ⅰ）求数列?Sn?的最大项和最小项；

1，数列{an}前n项和记为Sn，前n 2

（Ⅱ）判断?(n)与?(n?1)的大小， 并求n为何值时，?(n)取得最大值； （Ⅲ）证明{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d1,d2,d3,?dn，证明:数列{dn}为等比数列。（参考数据2?1024）

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数学(理科)评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 C,B,B,A,A,D,C,D

[来源:www.shulihua.net]二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9. ?1n 10. 112 11.6 12. x?y?1?0 13.Sn?14.4 15.

42n?1?cos??2

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题共l2分）

7?7?3?3?（Ⅰ）解析：f(x)?sinxcos ?cosxsin?cosxcos?sinxsin4444?2sinx?2cosx?2sin(x?)， ??????????4分

4?∴f(x)的最小正周期T?2?，最小值f(x)min??2． ??????6分

44（Ⅱ）证明：由已知得cos?cos??sin?sin??，cos?cos??sin?sin???

55两式相加得2cos?cos??0，∵0??????2，∴cos??0，则???2．???10分

∴f(?)?2sin(?)?2． ????????????12分

2417.（本小题满分12分） 解：（I）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过

决赛”为事件C，则P(A)???311,P(B)?,P(C)?. 424313?(1?)?. ??????????4分 428那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是：

p?p(AB)?P(A)P(B)?（II）?可能取值为1，2，3. ????????????5分

P(??1)?P(A)?1?

31?,44313P(??2)?P(AB)?P(A)P(B)??(1?)?,428

P(??3)?P(AB)?P(A)P(B)? ?的分布列为：

313??. ?????????8分 428? P

1 2 3 1 43 83 813317?的数学期望E??1??2??3??. ????????????10分

488817117317339. ????12分 ?的方差D??(1?)2??(2?)2??(3?)2??84888864

18. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，连结OM ， ?底面ABCD为矩形，?O为AC中点， ?M、N为侧棱PC的三等分点，?CM?MN， ?OM//AN ， ?OM?平面MBD,AN?平面MBD，

?AN//平面MBD. ????????????4分

PN（Ⅱ）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A?xyz， z则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)， P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),

?????????AN?(1,2,2),PD?(0,6,?3),

xBAMDyC????????????????AN?PD0?12?625 , ?cos?AN,PD????????????153?35ANPD

?异面直线AN与PD所成角的余弦值为25 . 15????????????9分

????（Ⅲ）?侧棱PA?底面ABCD,?平面BCD的一个法向量为AP?(0,0,3), 设平面MBD的法向量为m?(x,y,z),

???????????????????BD?(?3,6,0),BM?(?1,4,1)，并且m?BD,m?BM, ??3x?6y?0，令y?1得x?2，z??2, ???x?4y?z?0?. ?平面MBD的一个法向量为m?(2,1,?2)

????????AP?m2cos?AP,m???????, ???13分 ?3APm由图可知二面角M?BD?C的大小是锐角,

2 . ????????????14分3y 注:用综合法作答,可参考上面的标准给分.

A l 19. （本小题满分14分）

Q ?c6o ????a?3x ??解（Ⅰ）依题意有?a 3F ?二面角M?BD?C大小的余弦值为

?a2?c2?1???c?2P x2故椭圆C的方程为C:?y2?1. ?????????????4分

3[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

????????（Ⅱ）(解法1)由AP?AQ?0,知AP?AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,

由A(0,1)可设直线AP的方程为y?kx?1，直线AQ的方程为

y??1x?1(k?0). kx2将y?kx?1代入椭圆C的方程?y2?1并整理得: (1?3k2)x2?6kx?0,

36k6k6k2解得x?0或x??,因此P的坐标为(?,??1), 221?3k21?3k1?3k6k1?3k2即(?,) ?????????????6分

1?3k21?3k216kk2?3将上式中的k换成?,得Q(2,2). ???????????7分

kk?3k?3k2?31?3k2?226kk2?3k?31?3k(x?2)?2直线l的方程为y? 6k6kk?3k?3?2k?31?3k2

2k?11x?， ?????????????12分 化简得直线l的方程为y?4k2因此直线l过定点N(0,?). ?????????????14分 (解法2)由题直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为：

12y?kx?m(?A(0,1)?l,?m?1)，

x2代入椭圆C的方程?y2?1并整理得: (1?3k2)x2?6mkx?3(m2?1)?0,

3设直线l与椭圆C相交于P(x1,kx1?m)、Q(x2,kx2?m)两点，则x1,x2是上述关于x的方程两个不相等的实数解，

从而??(6mk)2?4(1?3k2)?3(m2?1)?12(3k2?1?m2)?0

6mk3(m2?1) ?????????????7分 x1?x2??,x1x2?221?3k1?3k????????由AP?AQ?0,得

x1x2?(kx1?m?1)(kx2?m?1)?(1?k2)x1x2?k(m?1)(x1?x2)?(m?1)2?0，

3(m2?1)6mk2(1?k)??k(m?1)?(?)?(m?1)?0 221?3k1?3k2整理得：2m2?m?1?0, (2m?1)(m?1)?0,由m?1知m??

20．（本小题满分14分）

x解（Ⅰ）f?(x)?e?e，令f?(x)?0，解得x?1

1. 2此时??9(4k2?1)?0, 因此直线l过定点N(0,?). ?????????14分

12当x?(1,??)时，f?(x)?0，?f(x)在(1,??)单调递增；

当x?(??,1)时，f?(x)?0，?f(x)在(??,1)单调递减.????????4分 （Ⅱ）?f(|x|)为偶函数，?f(|x|)?0恒成立等价于f(x)?0对x?0恒成立

x解法1:当x?0时，f?(x)?e?k，令f?(x)?0，解得x?lnk

（1）当lnk?0，即k?1时，f(x)在(0,lnk)减，在(lnk,??)增

?f(x)min?f(lnk)?k?klnk?0，解得1?k?e，?1?k?e

（2）当lnk?0，即0?k?1时，f?(x)?ex?k?0，?f(x)在[0,??)上单调递增，

?f(x)min?f(0)?1?0，符合，?0?k?1

综上，0?k?e. ?????????9分

ex解法2: 等价于k?对x?0恒成立,

x?x?1?e. ex,则g??x?? 设g?x??xx2x 当0?x?1时, g??x??0;当x?1时, g??x??0; ?x?0时, g?x?min?g?x?极小值?g?1??e, ?k0,

?0?k?e. ?????????9分

（Ⅲ）F(x)?e?e,F(1)?e?e,F(n)?e?ex?x?1n?n

F(1)?F(n)?en?1?e?1?n?e1?n?e?1?n?en?1?2 F(2)?F(n?1)?en?1?e?2?n?e2?n?e?1?n?en?1?2

。。。。。。

F(n)?F(1)?en?1?2 ?F(1)F(2)?F(n)?(e

21.（本小题满分14分）

n?1?2)。 ?????????14分

n2a1[1?(?1)n]2?2a[1?(?1)n] 解：（Ⅰ）Sn?3121?(?1)22n① 当n是奇数时，Sn?2a1[1?(1)], 单调递减，?S1?S3?S5?????S2n?1?a1,

323

2n② 当n是偶数时，Sn?2a1[1?(1)], 单调递增，?S2?S4?S6?????S2n?a1；

323综上，当n=1时，Sn有最大值为S1?2012; 当n=2时，

Sn有最小值为S2?1006. ?????????4分

（Ⅱ）?|?(n)|?|a1a2a3?an|，

?|?(n?1)|?|an?1|?2011(1)n，

|?(n)|2[来源:www.shulihua.net][来源:数理化网]

， ?2012?1?2012111022则当n?10时，|?(n?1)|?|?(n)|；当n?11时，|?(n?1)|?|?(n)|，??7分 又?(10)?0,?(11)?0,?(9)?0,?(12)?0，

??(n)的最大值是?(9)和?(12)中的较大者.

??(12)?a10a11a12?a113?[2011(?1)10]3?1，??(12)??(9)， ?(9)2因此当n=12时，?(n)最大. ?????????9分 （Ⅲ） |an|随n增大而减小，数列{an}的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增. ①当n是奇数时，调整为an?1,an?2,an.则

a1)n?1?a1， ，an?1?an?a1(?1)n?a1(?1)n?1?12a?2a(?n?212222n2n?an?1?an?2an?2,an?1,an?2,an成等差数列； ?????????11分

②当n是偶数时，调整为an,an?2,an?1；则

a1)n?1??a1， ，an?1?an?a1(?1)n?a1(?1)n?1??12a?2a(?n?212222n2n?an?1?an?2an?2,an,an?2,an?1成等差数列；

综上可知，数列{an}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.??12分

①n是奇数时，公差dn?an?2?an?1?a1[(?1)n?1?(?1)n]?223a1； n?12

②n是偶数时，公差dn?an?2?an?a1[(?1)n?1?(?1)n?1]?223a1. 2n?1无论n是奇数还是偶数，都有dn?dn3a1?1， ，则n?1dn?122因此，数列{dn}是首项为3a1，公比为1的等比数列. ?????????14分

42

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