初中有关圆的知识
更新时间:2024-05-13 19:51:01 阅读量: 综合文库 文档下载
圆的定义:
在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度,就是圆的周长。 弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。 弧用符号“⌒”表示以A,B为端点的弧记作“优弧:大于半圆的弧(多用三个字母表示); 劣弧:小于半圆的弧(多用两个字母表示)
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 圆心角:
顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆周角:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的顶点在圆上,它的两边为圆的两条弦。 圆心角特征识别: ①顶点是圆心; ②两条边都与圆周相交。
”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。
计算公式:
①L(弧长)=n/180Xπr(n为圆心角度数,以下同); ②S(扇形面积) = n/360Xπr2;
③扇形圆心角n=(180L)/(πr)(度)。
④K=2Rsin(n/2) K=弦长;n=弦所对的圆心角,以度计。 圆心角定理:
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 理解:(定义) (1)等弧对等圆心角
(2)把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的圆心角是1°的角.
(3)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,这时,把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.
(4)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等. 推论:
在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 与圆周角关系:
在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。
定理证明:分三种情况讨论,始终做直径COD,利用等腰三角形等腰底角相等,外角等于两内角之和来证明。 圆周角定理推论:
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 ②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等。(不在同圆或等圆中其实也相等的。注:仅限这一条。)
④半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 ⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ⑥在同圆或等圆中,圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。 垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 注:
(1)定理中的直径过圆心即可,可以是直径、半径、过圆心的直线或线段;
(2)此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据,同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
垂径定理的推论:
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧 推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
一条直线,在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧(前两条合起来就是:平分弦所对的两条弧) 3.平分弦 (不是直径) 4.垂直于弦 5.经过圆心
二条直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种:直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离。
(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点AB与⊙O相交,d (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切,d=r。 (3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离,AB与圆O相离,d>r。(d为圆心到直线的距离) 直线与圆的三种位置关系的判定与性质: (1)数量法:通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定, 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有: 直线l与⊙O相交直线l与⊙O相切直线l与⊙O相离 d (2)公共点法:通过确定直线与圆的公共点个数来判定。 直线l与⊙O相交 d 2个公共点; 直线l与⊙O相切直线l与⊙O相离 d=rd>r 有唯一公共点; 无公共点 。 圆的切线的判定和性质 (1)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长: 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 直线与圆的位置关系判定方法: 平面内,直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是: 1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x2+y2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的方程 如果b2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。 如果b2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。 如果b2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)2+(y-b)2=r2。 令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1
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