专项突破

专项一 简单的算式公式

考点一：除法算式问题

【例题一】两数相除得3余10，被除数、除数、商与余数之和是143，这两个数是多少？ A：30，100 B：94，28 C：100，34 D：95，45 【答案】A

【例题二】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是99，求被除数是多少？ A：120 B：41 C：67 D：71 【答案】D

【例题三】两个数的差是2345，两数相除得商是8，求这两数之和？ A：2353 B：2896 C：3015 D：3456 【答案】C

考点二：减法算式问题

【例题一】减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是多少？ A：0 B：1 C：2 D：减数与差之和 【答案】C

考点三：复杂算式问题

【例题一】若x=

1111??......?198019811997C：110

,则x的整数部分是（ ）

A：108

【答案】C

B：109 D：111

习题

1、 求和：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……1993+1994-1995-1996+1997+1998 【答案】1999 2、 （1+

1111111111?）?（??）?（1???）?（?）=( 23234234231111A: B: C: D: 2345【答案】C

)

专项二

考点一：常用公式法

【例题一】一张考试卷共有10道题，后面的每一道题的分值都比前面一道题多2分。如果这张考卷的满分为100分，那么第八道题的分值应为多少？

数列问题

A：9 B：14 C：15 D：16 【答案】C

【例题二】1992是24个连续偶数的和，问这24个连续偶数中最大的一个是几？ A：84 B：106 C：108 D：130 【答案】B

【例题三】一串数字按下面规律排列：1，3，5，2，4，6，3，5，7，4，6，8，5，7，9，……从第一个数字算起，前100个数的和是多少？

A：100 B：1897 C：1915 D：2525 【答案】C

考点二：错位相减法

【例题一】Sn=A:

1 4

1234n????...?n+……=( ) 2481621B:2 C: D:无法计算

2【答案】B

考点三：裂项相消法

15111989109????...???( ) 261220901101【答案】9

11【例题一】【例题二】求数列

11?2，12?3，......，1n?n?1,……的前n项和。

【答案】n?1?1

考点四：综合应用

【例题一】某人计划在7天里读完一本有385页的书，第一天读了40页。已知从第二

天起，每一天都比前一天多读同样的页数。问每天多读多少页？

A：3 B：4 C：5 D：6 【答案】C

【例题二】某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，….，9，10……,当将这些页码相加时，某人把其中一个页码错加了两次，结果和为2001，则这本书共有（ ）页

A.60 B.61 C.62 D.63 【答案】C

习题

（?）?（?）?（?1、

121314151711111）?（?）?（?）?（D） 1014152830

A.1 2、计算

B.

1 3 C.0 D.

4 1512391???......?的值为（1- ） 1?21?2?31?2?3?41?2?3?......?1010!专项三

考点一：直接大小比较问题

【例题一】分数A.

比较大小问题

5 16

717235101,,,,中最小的一个是（ 22527016304723101B. C. D. 2270304）。 （2007年四川省招警）

【答案】A

【例题二】比较a=3?15，b??6的大小。 A，a

【答案】A

B.a>b

C.a=b

D.无法确定

考点二：两分数大小的判定比较

【例题一】下列选项中，大于而小于A

4 7 B.

103 10435的是：

572547C. D. 3470【答案】D

考点三：分子分母反向变化大小的比较

【例题一】比较x=A．x

【答案】B

702.5703.5和y?的大小。

（1?12.46%）(1?13.46%)

C. x=y

D 无法确定

B .x>y

习题

1、 a=

11,b?,则a与b的整数部分之和是

1111111???......???......?10111219111221C.3

D.4

1

）

（B） A.1 B.2 2、某整数x 满足

24807??，则x除以3的余数是（ 31x9专项四 最值问题

考点一：运用均值不等式求最值

【例题一】某农民原有材料可建50米的篱笆，打算利用已有的一面墙沿墙建4间大小和形状都相同的矩形鹅舍，那么，每间鹅舍的最大面积为（）平方米。 A.25 B.28.25 C.31.25 D.35 【答案】C

考点二：二次函数的最值

【例题一】某电器生产厂决定开发某种新产品，已知销售收入函数为g(x)=800x-

12

x100(元)，其中x是产品售出的数量，0≤x≤12000,求当产品售出量为多少时，销售收入最高？

A.10000 B.12000 C.40000 D.45000 【答案】B

考点三：微分法在最值问题中的扩展应用

【例题一】某企业的净利润y（单位：10万元）与产量x（单位：100万件）之间的关系为y=-

13 2 11x+x+,问该企业的净利润的最大值是多少万元？（2008年江苏省A类33

C.60

D.70

真题）

A.5 B.50 【答案】B

习题

一根铝丝长40厘米，要弯曲成一个长方形，怎样弯曲面积最大，最大面积是多少？（答

2

案：100cm）

专项五 比例问题

考点一：直接列出比例式求解问题

【例题一】小张开车从甲地到乙地送货，从乙地返回甲地时的速度是去时的速度的3倍，

时间减少了40分钟。小张送货时从甲地到乙地用了多少分钟？ A.60分钟 B.50分钟 C.70分钟 D.65分钟 【答案】A

【例题二】甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往丙地，这样两厂的产

31，然而实际情况并不理想，甲厂仅有的产品，乙4211厂仅有的产品销售到了丙地，两厂的产品仅占了丙地市场同类产品的,则甲厂该产

33品就能占有丙地的市场同类产品的

品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为多少？

A.1：1 B 2：1 C 3：1 D 2：3 【答案】B

考点二：用比例法解分数应用题

【例题一】原有男、女同学共325人，新学年男生增加了25人，女生减少了

1，总人20

数增加了16人，那么现在有男同学（）人

A.170 B.110 C.160 D.190 【答案】A

【例题二】有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的

7，后来，上级从第一突击队调走了该队的一半队员，188而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始

17女队员的人数是该队的男队员的共有多少突击队参加会战？ A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】A

考点三：两个数量同时发生增减变化的比例问题

【例题一】A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求原来的A是多少？ A.88 B.96 C.128 D.136 【答案】D

【例题二】某学校高中学生人数占初中人数的中生占初中学生人数的生多少人？

【答案】1160人

5，高三和初三毕业生毕业后，留下的高612，已知高三、初三的毕业生都是520人，现在学校中共有学17习题

1、甲、乙客车上的人数比是4：3，如果甲客车再上15人，乙客车下8人，这时甲、乙客车上的人数比是5：2，问原来甲客车有多少人？ 【答案】40人

2、 一辆汽车从甲到乙，如果比计划每小时加快20%，可比计划提前一小时到达，如果

先按计划行驶120千米，再加速25%，可提前40分钟到达，求甲乙之间的距离？ 【答案】270米。

专项六 和差倍问题

考点一：和倍关系问题

【例题一】某校学生参加义务植树。五年级植树的棵数是四年级的3倍还多10棵，两

个年级共植树410棵，问这两个年级各植树多少棵？ 【答案】100310棵

【例题二】甲有故事书55本，乙有故事书35本。甲给乙多少本后，乙的故事书是甲的两倍？

【答案】25本。

考点二：差倍关系问题

【例题一】食堂的大米是面粉的3倍，吃了1800公斤大米和300公斤面粉后，两种粮

食剩下的重量相等。问原来的大米和面粉各多少斤？ 【答案】2250，750

【例题二】甲、乙两桶油的重量相等。如果从甲取出24千克，给乙桶加入18千克，这时乙桶重量是甲桶的3倍。两桶油原来有多少千克？ 【答案】45

考点三：综合问题

【例题一】三个饲养场共养1600头牛，第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍，第三饲养场的头数是第二饲养场的2倍多60头，三个饲养场各养牛多少头？ 【答案】220，440，940

【例题二】足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元？

A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A

考点四：和倍差问题的拓展

【例题一】李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的时，已运来的恰好是没运来的

3，第二次运了50块。这85。问还有多少块蜂窝煤没有运来？ 7【答案】700

【例题二】有两条纸带，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的【答案】0.2

8。问剪下的一段长多少厘米？ 13习题

1、 姐姐有3200元钱，弟弟有2800元钱，弟弟给姐姐多少钱后，姐姐的钱是弟弟的4

倍？【A】

A.1600 B.1400 C.1200 D.1210

2、有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的数的多少倍？【A】 A．12.5 B.100

1，那么甲数是乙8C.110 D.21.5

专项七 定义新运算

考点一：有约束条件的新运算

【例题一】设“x”的运算法则如下：对任何数，若a+b≥10,则a*b=a+b;若a+b<10,则a*b=ab。 则（1*2）+（2*3）+（3*4）+（4*5）+（5*6）+（6*7）+（7*8）+（8*9）+（9*10）=？ A.125 B.115 C.105 D.120 【答案】B

考点二：新运算的直接计算问题

【例题一】如果5*2=5+6=11，6*3=6+7+8=21，那么1*9+2*9+3*9+?+9*9=？ A.629 B.729 C.759 D.829 【答案】B

【例题二】若#是新规定的某种运算符号，定义x#y=xy+x+y,则等式2#M=-16，问M的值是多少？

【答案】-6

考点三：复杂新运算问题

【例题一】规定?为一种新的运算符号，它使得下列算式都成立：4?8=16，10?6=26，6?10=22，18?14=50，则7?3=（ ） A.34

B.28

C.23

D.17

【答案】D

考点四：新运算问题思维拓展

【例题一】有A、B、C、D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A：将输出A的数加上5；装置B：将输入的事除以2；装置C：将输入的数减去4；装置D：将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A.B，输入1后，经过A.B，输出3.

（1） 输入9，经过A、B、C、D，输出几？

（2） 经过B，D，A，C，输出的是100，输入的是几？ 【答案】9 ，66

习题

1、 a*b=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+?+(a+b-1);当x*10=65时，x=?【答案】2

2、 对有理数x,y定义新运算，x*y=ax+by+5其中a,b为常数，已知：1*2=9，（-3）*3=6，

求a,b，2*7的值。【答案】

101352，，。 993专项八 工程问题 考点一：完全合作完工问题

【例题一】做一批儿童玩具。甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天可生产64件。如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成。现在决定三个组合做剩下的玩具，这批玩具共用了多少天完成？

【答案】6天

【例题二】有甲、乙两项工程，张师傅单独完成甲工程需要9天，单独完成乙工程需要12天；李师傅单独完成甲工程需要3天，单独完成乙工程需要15天。如果两人合作完成这两项工程，最少需要多少天？ 【答案】8天

考点二：组合合作完工问题

【例题一】如果单独完成某项工作，甲需要24天，乙需要36天，丙需要48天。现在甲先做，乙后做，最后由丙完成。甲、乙工作的天数比为1：2；乙、丙工作的天数比为3：5.则完成这项工作共用了多少天？ 【答案】38天

【例题二】某工厂的一个生产小组，当每个工人都在自己的工作岗位上工作时，9小时可以完成一项生产任务。如果交换工人A和B的工作岗位，其他人不变时，可提前1小时完成任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他人不变时，也可提前1小时完成任务。如果同时交换A和B、C和D的工作岗位，其他人的工作岗位不变，可以提前多少个小时完成这项任务？ 【答案】1.8

考点三：合作+单干完工问题

【例题一】一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元。为节省工期和工程费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续做到工程完成。结算时，共花费工程费用86.5万元，那么，甲、乙两队合作了多少天？ 【答案】26天

考点四：轮流工作完工问题

【例题一】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做1个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8个小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？ 【答案】7.3

【例题二】一件工作，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要30天完成。两个人合作，期间甲休息了2天，乙休息了8天（不在同一天休息），从开始到完工共用了多少天？

【答案】11天

考点五：合作+休息完工问题

【例题一】小李和小张同时开始制作同一个零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟。现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟？ 【答案】202

【例题二】甲工程队每工作6天休息一天，乙工程队每工作5天休息两天。一件工程，甲队单独做需要97天，乙队单独做需要 75天。如果两队合作，从2007年7月28日开工，几月几日可以完成？ 【答案】9月8日

考点六：和、差倍原理在工程问题中的应用

【例题1】甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的【答案】200台

【例题二】甲、乙仓库分别有198箱、142箱货物，工人们从两个仓库里运走了相同的箱数的货物后，甲仓比乙仓多2倍。问运走了多少箱货物？ 【答案】114

12，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台？ 13习题

1、 一项工程，甲单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成工程的一半。已知甲、乙工

作效率的比是2：3.如果由乙单独做，需要多少天可以完成？【答案】26 2、 甲、乙两人植树，单独植完这批树甲比乙所需时间多

务时乙比甲多植36棵树。这批树一共多少棵？ 【答案】252

1。如果二人一起干，那么完成任3专项九 行程问题

考点一：基本题型

【例题一】有两列火车在轨道上运行。一车身长140米，每秒运行25米，另一车身长72米，每秒运行28米。现在两车相向而行，从相遇到离开需要多少秒？ 【答案】4秒

【例题二】一列客车车身长190米，每秒运行24米；在这列客车前面有一列车身长230米的货车，每秒运行18米。两列车在并行的两条轨道上运行。客车从后面追上并完全超过货车要用多少秒？ 【答案】70

【例题三】两个码头相距360千米。一艘汽艇顺水航行全程要9小时，逆水航行全程要12小时。这艘汽艇在静水中的速度是多少千米？这条河水流速是多少千米？ 【答案】35，5

考点二：平均速度问题

【例题一】李明家在山上，爷爷家在山下，李明从家出发以每分钟90米的速度走了10分钟到了爷爷家。回来时走了15分钟到家，则李明往返平均速度是多少？ 【答案】72米/分

考点三：过桥问题

【例题一】长100米的列车，以每秒20米的速度通过一座长500米的桥。列车通过这座桥要用多少秒？ 【答案】30

考点四：往返接送问题

【例题一】有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行，车在途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速为每小时40公里。空车时每小时50公里，那么，要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几？ 【答案】

1 7考点五：环形行程问题

【例题一】甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆

形运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长？ 【答案】480米

考点六：间歇型行程问题

【例题一】旅游车从甲地到乙地要行288千米。开始汽车以每小时24千米的速度行驶，途中遇事耽误了2小时，为了要按时到达乙地，汽车必须把以后的速度每小时增加12千米。遇事地点距乙地多少米？ 【答案】144

考点七：二次（多次）相遇问题

【例题一】两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，在离A城44千米处相遇。两城市相距（）千米？ 【答案】100

【例题二】两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，在离B城44千米处相遇。两城市相距（）千米？ 【答案】112

考点八：公车问题

【例题一】有一路电车的起点和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 【答案】40

习题

1、 一列货车要通过一条1800米长的大桥。已知从货车车头上桥到车尾离开桥共用120秒，

货车完全在桥上的时间为80秒。这列货车长多少米？【答案】360 2、 一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用

了10秒钟。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？【答案】12.5

专项十 浓度问题

考点一：混合特性问题

【例题一】将浓度为20%的盐水与浓度为5%的盐水混合，配成浓度为10%的盐水60克。需要20%的盐水和5%的盐水各多少克？ 【答案】20，40

【例题二】甲杯中有浓度17%上网溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲、乙中取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液的浓度是多少？ 【答案】20.6%

考点二：两种溶液混合问题

【例题一】甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合而成浓度为8.2%的盐水，那么乙容器中的浓度是多少？ 【答案】9.6%

【例题二】有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重120克，乙杯盐水重80克。现在从两杯倒出等量的盐水，分别交替倒入杯中。这样两杯新盐水的含盐率相同。从每杯中倒出的盐水是多少克？ 【答案】48

考点三：三种溶液混合问题

【例题一】把浓度为20%、30%和40%的三种酒精溶液混合在一起，得到浓度为35%的酒精溶液45千克。已知浓度为20%的酒精用量是浓度为30%的酒精用量的3倍。原来每种浓度的酒精溶液各用了多少千克？

【答案】15千克、5千克、25千克

【例题二】在编号为1、2、3的三个相同的杯子里，分别盛着半杯水。1号杯子中溶有100克糖，3号杯子中溶有100克盐，先将1号杯子中液体的一半及3号杯子中液体的1/4倒入2号杯；再将2号杯中2/7液体倒入1号杯；最后将2号杯中液体的1/7倒入3号杯。问：这时每个杯中含盐量与含糖量之比各是多少？ 【答案】1号杯子，含盐量：含糖量=1:9; 2号杯子，含盐量：含糖量=1：2 3号杯子，含盐量：含糖量=152：10.

考点四：溶液混合问题的扩展

【例题一】一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？ 【答案】15%

【例题二】有三个一样大的桶，一个装有浓度60%的酒精100升，一个装有水100升，还有一个桶是空的，现在要配制成浓度36%的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以做为量具（无其他刻度）。如果每一种量具至多用四次，那么最多可能配制成36%的溶液多少升？ 【答案】20

【例题三】A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水10克倒入A中，充分混合后从A中取出10克倒入B中，再充分混合后从B中取出10克倒入C中，最后得到的盐水的浓度是0.5%。一开始倒入试管A中的盐水浓度是多少？ 【答案】12%

习题

1、 在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%，再加入多少千克酒精，浓度

变为50%？【答案】8千克 2、 有一堆含水量14.5%的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10%。现在这堆煤的重量

是原来的百分之几？【答案】95%

专项十一 利润问题

考点一：打折出售问题

【例题一】某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个或按定价每个减价35元出售12个，二者所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元？ 【答案】200

【例题二】玩具店新进一批成本为40元的玩具，按40%的利润定价出售，售出80%以后，剩下的玩具打折扣，结果获得的利润是原计划的86%，剩下的玩具出售时按定价打了几折？ 【答案】8.0

考点二：各部分的不同售价问题

【例题一】书店卖书，凡购同一种书100本以上，就按书价的90%收款，某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙书的册数是甲书册数的

3，只有甲种书得到了优惠，这时，买甲种书5所付总钱数是买乙种书所付钱数的2倍，已知乙种书每本定价是1.5元，优惠前甲种书每本定价多少元？ 【答案】2

考点三：销售数量和售价反向变化问题

【例题一】张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元。张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，他如果减价5%，那么由于张先生多订购，仍可获得与原来一样的利润。这种商品的成本是多少元？ 【答案】75

习题

1、 商店以每盘10元的价格购进一批磁带，又以每盘12元的价格出售，卖到还剩5盘时，

除成本外还获利40元，这批磁带共有多少盘？【答案】50 2、 甲、乙两种商品成本共220元，商品甲按30%的利润定价，商品乙按20%的利润定价，

后来打折销售，两种商品都按定价的90%出售，结果仍可得利润23元，甲种商品的成本是多少元？【答案】60

专项十二 概率问题

考点一：基本的概率问题

【例题一】将一个硬币掷两次，恰好有一次正面朝上的概率是多少？ 【答案】1/2

【例题二】5人参加应聘，已知甲在乙之前接受面试（甲乙顺序相邻），但不是第一个，那么甲第三个接受面试的概率是（ ） 【答案】1/3

考点二：抽选问题

【例题一】某单位共36人，四种血型的人数分别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人。如果从这个单位中随机地找两个人，那么这两个人具有相同血型的概率是（）

【答案】11/45

考点三：打靶问题

【例题一】 某人进行一次射击练习，已知其每次射中靶心的概率是80%，求此人5次射击中有4次命中的概率？ 【答案】40.96%

考点四：比赛问题

【例题一】乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两球员的胜率分别是60%和40%。在一次比赛中，若甲先连胜了前两局，则甲最后获胜的概率： A．为60% B.在81%~85%之间 C．在86%~90%之间 D.在91%以上 【答案】D

考点五：概率问题的扩展

【例题一】有一个摆地摊的摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里，让人们摸球中奖。只需2元就可以从袋子里摸3个球，如果摸到的3个球都是黑球，可得10元回扣，那么中奖率是多少？如果一天有300人摸奖，摊主能骗走多少元？ 【答案】1/2,450

【例题二】盒中有4个白球6个红球，无放回地每次抽取1个，则第二次取到白球的概率是多少？ （2005江苏省A类真题） 【答案】2/5

习题

1、 一枚硬币连抛四次，则至少得到一次国徽向上的概率是？【答案】：

15 162、从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ B） A．小 B。大 C。相等 D。大小不能确定

专项十三

考点一：空瓶换水问题

统筹问题

【例题一】如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝几瓶矿泉水？ 【答案】5瓶

考点二：花费最少问题

【例题一】甲地有89吨货物运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟货物耗油9升，运完这些货物最少耗油多少升？ 【答案】181

【例题二】5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟。如果只有一个水龙头，试问怎样安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值。

【答案】35分钟

考点三：装卸工人数问题

【例题一】山区有一个工厂。它的十个车间分散在一条环形的铁道上。四列货车在铁道上转圈运送货物。货车到了某一车间，就要有装卸工人装下或卸下货物。各车间由于工作量不同，所需装卸工人数也不同，各车间所需装卸工人数如同所示。当然，装卸工人可以固定在车间等车；也可以坐在货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分跟车。问怎样安排跟车人数和各车间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需要多少名工人？

30 57 50 43 48 35 52 37 41 46

【答案】207

考点四：“小往大处靠”原则的应用

【例题一】在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图），共有5个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？ 一 二 三 四 五

10吨 20吨 【答案】5000元.

40吨

考点五：最优生产计划问题

【例题一】某服装厂有甲、乙、丙、丁四个生产组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子），则7天内这四个组最多可以缝制衣服（） 【答案】125套

【例题二】人工生产某种装饰用珠链，每条珠链需要珠子25颗，丝线3条，搭扣1对，以及10分钟的单个人工劳动。现有珠子4880颗，丝线586条，搭扣200对，4个工人。则8小时最多可以生产珠链（） 【答案】192条

习题

1．甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服。甲厂每月用3/5的时间生产上衣，2/5的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服；乙厂每月用4/7的时间生产上衣，3/7的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服 。现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套? (D) A．30 B.40 C.50 D.60

2.仓库有一批80米长的木材，现在要截出30米长的木材40根，20米长的木材80根，那么最少需要多少根80米长的木材？ (D)

A.38 B.37 C.36 D.35

3.8个一元真币和1个一元假币混在一起，假币与真币外观相同，但比真币略重。问用一台天平最少称几次就一定可以从这9个硬币中找出假币？ （A） A.2次 B.3次 C.4次 D.5次

专项十四

考点一：基本题型

鸡兔同笼问题

【例题一】在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？ 【答案】兔：25只，鸡：15只

【例题二】小明的储蓄盒里有二分、五分硬币共65枚，共值2.86元，二分、五分硬币各有多少枚？

【答案】二分：13枚，五分：52枚

考点二：三者同笼问题

【例题一】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现在有这三种虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每种虫各有多少只？ 【答案】蜘蛛：7只，蝉：4只，蜻蜓：10只

【例题二】有三袋大米共重191千克，甲袋比乙袋少4千克，乙袋比丙袋少12千克，则甲、乙、丙各袋装大米多少千克？

【答案】甲：57千克，乙：61千克，丙：73千克

考点三：鸡兔同笼问题的扩展

【例题一】某小学举行数学竞赛，共20道题，若做对一题得5分，做错或没做一题扣2分，小明得了79分，他做对了多少道题？ 【答案】17

【例题二】一只松鼠采松子，晴天每天采24个，雨天每天采16个，已知它一连几天一共采了168个松子，平均每天采21个，这几天当中有几天是晴天？ 【答案】5天

【例题三】某班50名同学为灾区人民捐款，平均每个女同学捐款8元，每个男同学捐款5

元，已知全班女同学比男同学多捐101元，求这个班男、女学生各多少人？ 【答案】男生：23个，女生：27个

【例题四】一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事有乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？ 【答案】4.5小时

习题

1.学校购买每支价格为4角和8角的铅笔，共花了68元。已知8角一支的铅笔比4角一支的铅笔多40支，那么两种铅笔各买了多少支？（A） A.30,70 B.25,75 C.20,80 D.35,65

2.小明每天必须做家务，做一天可得3元钱，做得特别好时每天可得5元钱，有一个月（30天）他共得100元，这个月他有（）天做得特别好。(C) A.2 B.3 C.5 D.7

专题十五 牛吃草问题

考点一：基本题型

【例题一】牧场上长满牧草，每天牧草都均匀生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。可供25头牛吃几天？ 【答案】5天

考点二：需要换算的牛吃草问题

【例题一】22头牛吃33亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40亩的草，24天可以吃尽？ 【答案】35

考点三：牛吃草问题的扩展

【例题一】某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度增加。为了防洪，需调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线。现在抗洪部队要求在2.5小时内使水位降至安全线以下，问：至少要同时打开几个闸门？ 【答案】7

【例题二】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒，则该扶梯共有多少级？ 【答案】150

公务员考试中，牛吃草问题的考点主要在于牛吃草问题的扩展

习题

1.有一牧场，17头牛30天可以将草吃完，19头牛24天可以吃完。现在有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天将草吃完，问原来有多少头牛吃草？ （C） A.33 B.38 C.40 D.45

2.某海港货场不断有外洋轮船卸下货来，又不断用汽车将货物运走。如果用9辆车，12小时

可以清场；如果用8辆车，16小时可以清场。该货场开始只用3辆车，10小时后增加了若干辆车，再过4小时就已清场，那么后来增加的车数应是多少辆？ （A） A.25 B.26 C.27 D.28

专项十六 抽屉原理

考点一：抽屉中至少多少物品的问题

【例题一】四年级某班有45名同学，那么在这45名同学中至少有几个人在同一个月中出生？ 【答案】4个

【例题二】10个足球队之间共赛了11场，赛的最多的球队至少赛了几场？ 【答案】3

考点二：抽屉数问题

【例题一】把154本书分给某班的同学，如果不管怎么分，都至少有一位同学会分得4本或4本以上的书，那么这个班最多有多少名学生？ 【答案】51

考点三：物品总数问题

【例题一】一个口袋中有50个编上号码的相同的小球，其中编号为1、2、3、4、5的各有10个。一次至少要取出多少小球，才能保证其中至少有4个号码相同的小球？ 【答案】16个

【例题二】口袋里放有足够的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取3个球，要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球？ 【答案】13

考点四：抽屉原理的综合应用

【例题一】在边长为1的正方形内随意放进13个点，则其中任意4点所构成的四边形中，面积最小者的最大值是多少？ 【答案】1/4

【例题二】一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些小球，其中红的10个，白的9个，黄的8个，蓝的2个。一次至少取多少个球，才能保证有4个相同颜色的球？ 【答案】12

习题

1.体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学去操场上拿球，每人最多拿两个。至少有几名同学拿球的情况完全相同？ （D） A.6 B.4 C.10 D.5

2.某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有（）人植树的株数相同。 （B） A.4 B.5 C.6 D.3

专项十七 容斥原理

考点一：两者容斥问题

【例题一】某班有56人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有46人，参加科技组的有28人，（1）两组都参加的有多少人？（2）只参加生物组的有多少人，只参加科技组的有多少人？ 【答案】（1）18人；（2）只参加生物组的有28人，科技组的有10人。

考点二：三者容斥问题

【例题一】某班参加体育活动的学生有25人，参加音乐活动的有26人，参加美术活动的有24人，同时参加体、音活动的有16人，同时参加音、美活动的有15人，同时参加美、体活动的有14人，三个组织都参加的有5人，这个班共有多少名学生参加活动？ 【答案】B

考点三：混合问题

【例题一】如图所示，x,y,z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290.且x与y、y与z、z与x重叠部分面积分别为24、70、36。问三者重叠部分的面积是多少？ 【答案】16

习题

1、 一个俱乐部会下围棋的有69人，会下象棋的有52人，两种棋都会下的有30人，都不

会下的人有12人，这个俱乐部共有多少人？【答案】103人

2、 某班共有49名学生，其中只有8个独生子女，又知其中28个有兄弟，25个有姐妹，则

这个班有几个人既有兄弟又有姐妹？ （2008年湖南省真题） 【答案】12

专项十八

考点一：实心方阵

方阵问题

【例题一】在一次阅兵式上，某军排成30人一行的正方形方阵接受检阅。最外两层共有多少人？

【答案】224

【例题二】用放行地砖铺一块正方形地面，四周用不同颜色的地砖加以装饰，用47块不同颜色的砖装饰了这间地面相邻的两边。这块地面一共要用多少块砖？ 【答案】576

【例题三】小明用棋子摆成一个实心方阵，如果要使这个方阵减少一行一列，则要减少13粒棋子，则小明一共摆了多少粒棋子？ 【答案】49

考点二：空心方阵

【例题一】阅兵队伍排成一个4层空心方阵，最内层人数是28人，这支阅兵队伍有多少人？ 【答案】160

【例题二】高中生参加体操表演，先排成每边16人的实心方阵，后来又变成一个四层的空心方阵，这个方阵最外层每边有多少人？ 【答案】20

【例题三】一些学生围成8圈或围成4圈（一圈套一圈），已知从外向内各圈人数依次减少4人，围成8圈人数比围成4圈的最外圈人数少20人。求学生的人数是多少？ 【答案】224

习题

1、 某校初一年级学生军训，正好排成一个324人的实心方阵，这个军训队伍每一排有多少

学生？【答案】18

2、 小王将棋子摆成一个空心方阵，最外层共64枚，最内层共32枚，共有多少枚？ 【答案】240

专项十九

考点一：不封闭路线两端植树

植树问题

【例题一】在一条长400米的公路一旁栽树，每隔5米栽一棵，这样一共要栽多少棵？ 【答案】81

【例题二】某工地从一条直道的一端到另一端每隔3米打一个木桩，一共打了49个木桩，现在要改成4米打一个木桩，那么可以不拔出的木桩共有多少个？ 【答案】13

【例题三】为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林，某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路（不相交）的两旁栽树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽上一棵，则少2754棵；若每隔5米栽上一棵，则多396棵，则共有树苗多少棵？ 【答案】13000

考点二：封闭路线植树

【例题一】长方形操场四周栽了一些松树，每两棵松树相隔5米，操场四个角上各有一棵松树，小明和小丽从一个角上同时出发，向不同的方向走去，小明的速度是小丽的2倍，结果小丽在拐了个弯后遇到的第5棵树处遇见了小明。已知操场的长和宽的两倍，则操场的周长是多少米？ 【答案】150

【例题二】有一个圆形花坛，外周长180米，沿外围每隔6米栽一株杜鹃花，然后在相邻两株杜鹃花之间等距栽上两株百合花。则可栽杜鹃花、百合花各多少株？ 【答案】30，60

考点三：植树问题的扩展

【例题一】有一幢高楼，每上一层需2分钟，每下一层需1分30秒，某人于12点20分开始不停的从底层往上走，到了最高层后立即往下去（中途没有停留），13点零2分返回底层，则这幢楼一共有多少层？ 【答案】13

【例题二】从图书馆到百货大楼有25根电线杆，相邻两根电线杆的距离都是30米，从图书馆到百货大楼距离是多少？ 【答案】720

【例题三】运动会上，某检阅队伍400人，分成8纵列并列前进，前后2人相隔2米，每分钟走80米。这支队伍通过62米的检阅台需要多少分钟？ 【答案】2

【例题四】一个人匀速在公路上行走，从第一根电线杆走到第13根用了是17分钟，这个人用同样的速度走34分钟应走到第几根电线杆？ 【答案】25

习题

1.有3根相同的木料，打算把每根锯成三段，每锯开一处需要3分钟，全部锯开需要多少时间？ （C）

A.20 B.15 C.18 D.23

2.在一周长是240米的池塘边上植树，每隔4米植一棵，沿池塘一周共植树多少棵？ （D） A.68 B.50 C.78 D.60

专项二十 年龄问题

考点一：运用大小年龄差不变的思想解题

【例题一】2004年小强小学毕业时刚好12岁，妈妈40岁，多少年前妈妈的年龄正好是小强的5倍？ 【答案】5

【例题二】已知爷爷与爸爸、爸爸与小光的年龄差都是一样的，爷爷和小光的年龄和是84岁，这个岁数再加上小光的年龄正好是100岁。那么爸爸的年龄是多少岁？ 【答案】42

考点二：作表法解决年龄问题

【例题一】10年前父亲的年龄是他儿子年龄的7倍，15年后，父亲的年龄是他儿子的2倍。则现在父亲的年龄是多少岁？ 【答案】45

【例题二】5年前甲的年龄是乙的3倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用y表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙当前的年龄？ （A） A、

y?5 6 B、

5y?10 3 C、

y?10 3 D、3y-5

【例题三】爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸是34岁。现在爸爸的年龄是多少岁？ 【答案】40

考点三：年龄问题中的和倍、差倍原理

【例题一】甲、乙两人的年龄和正好是80岁，甲对乙说：“我像你现在这么大时，你的年龄正好是我的年龄的一半。”甲、乙两人的年龄各是多少？ 【答案】甲：48，乙：32

【例题二】今年小丽的年龄是小华年龄的3倍，5年后小丽比小华大10岁，今年小丽的年

龄是多少？ 【答案】15

习题

1、甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙现在这么大时，乙8岁；当乙像甲现在这么大时，甲29岁。问今年甲的年龄为多少岁？ （A） A.22 B.34 C.36 D.43

2、今年奶奶79岁，长孙28岁，次孙24岁，三孙17岁。几年后奶奶的年龄等于三个孙子的年龄之和？【答案】5年

专项二十一

考点一：基本日期问题

日期问题

【例题一】某年二月有五个星期日，请问这年的6月1日是星期几？ 【答案】星期二

【例题二】2004年春节（2月9日）是星期一，请问再过20092008天是星期几？ 【答案】星期一

考点二：特殊日期问题

【例题一】一个月至多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月？【答案】5个

【例题二】某月有31天，有4个星期三和4个星期六，那么这个月的15日是星期几？ 【答案】星期日

【例题三】某月有31天，有4个星期一和4个星期日，那么这个月的20日是星期几？ 【答案】星期三

【例题四】学校一学期共安排86节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、四每天两节。开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，则最后两节数学课是星期几上的？ 【答案】星期二

考点三：日期问题中的平、润年问题

【例题一】2004年2月28日是星期六，那么2010年2月28日是（ ） 【答案】星期日

【例题二】1898年4月1日，星期五，三只新时钟被调到相同的时间：中午12点。第二天中午，发现A钟的时间完全正确，B钟正好快了1分钟，C钟正好慢了1分钟。现在假设三个钟都没有被调，它们保持着各自的速度继续走而且没有停。那么到（ ），三只时钟的时针会再次都指向12点。

【答案】1900年3月22日正午12点

考点四：日期问题中的公倍数问题

【例题一】甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。5月18日，四个人恰好在图书馆相遇，则下一次相遇的时间为（ ） 【答案】11月14日

习题

1、 奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”，那么2007年的元旦是星期几？ 【答案】星期一

2、某年10月份有四个星期四，五个星期三，这年的10月8日是星期（ ） 【答案】星期一

专项二十二 时钟问题

考点一：时针、分针重合与垂直问题

【例题一】一个时钟从8点开始，它再经过多少时间，时针正好与分针重合？ 【答案】

480分钟 11【例题二】小明在8点到9点之间开始解一道题，当时时针、分针正好成一条直线，解完题时两针正好第一次重合，问小明解这道题用多长时间？ 【答案】

360分 11【例题三】从4点到5点，时针与分针成直角的机会有几次？ 【答案】2次

考点二：用行程的思路解决时钟问题

【例题一】小明晚上6点到7点之间外出时，发现钟面上时针和分针成110度角，近7点回家时发现时针和分针的夹角仍是110度，那么小明外出所用的时间是几分钟？ 【答案】40

【例题二】在钟面上5时多少分时，分针与时针在一条直线上，而且指向相反？ 【答案】60

考点三：钟表快慢问题

【例题一】爷爷的老式时钟的时针与分针每隔66分重合一次。如果早晨8点将时钟对准，到第二天早晨时钟再次指向8点时，实际是几点几分？

【答案】8点12分

【例题二】一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整，慢钟恰好显示8点整，则此时的标准时间是多少？ 【答案】9点30分

考点四：工具法解决时钟问题（工具法即借助相应的工具（如手表）经过简单的操作得到正确答案）

习题

1、手表比闹钟每小时快60秒，闹钟比标准时间每小时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示时间是几点几分几秒？ 【答案】11点59分56秒

2、 上午9点多，当钟表的时针与分针重合时，钟表表示的时间是9点几分？ 【答案】9点49分

3、从钟表的12点整开始，时针和分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间约是？ 【答案】49分钟

专项二十三 几何专项

考点一：周长问题

【例题一】如下图，从A点走到B点，沿大圆周走和沿中、小圆周走的路程的大小关系是什

么？

【答案】相同

【例题二】如下图，圆的周长为20厘米，圆的面积和长方形的面积正好相等，求图中阴影的周长？

【答案】25cm

考点二：面积问题

【例题一】如下图，圆O的面积为314平方厘米（π取3.14），平行四边形ABCD的面积为160平方厘米，求三角形AOB的面积？

【答案】40平方厘米

【例题二】下图中阴影1的面积比阴影2的面积多28平方厘米，AB=40cm，BC垂直于AB，求ＢＣ的长。（π取３.１４）

考点三：体积问题

【例题一】相同表面积的四面体、六面体、正十二面体以及正二十面体，其中体积最大的是： 【答案】正二十面体

考点四：立体几何

【例题一】图下图，四边形ABCD是边长为ａ的正方形，ＯＥ垂直于平面ABCD，已知ＯＥ＝ｂ，则Ｅ点到ＡＢ的距离为：

【答案】

1a2?4b2 2【例题二】如图，菱形ABCD的边长为a,∠A=60°，沿其对角线ＢＤ折成６０度的二面角。则点Ａ′和点Ｃ的距离是多少？

【答案】

3a 2考点五：染色、覆盖问题

【例题一】一个边长为８的正立方体，由若干个边长为１的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上颜色？ 【答案】２９６

【例题二】一个正立方体木块的６个面部都被漆成了红色，它的棱长是以分米为单位的，并且都是整数。把这个正方体全都锯成棱长１分米的小正方体，其中一面有红漆的共９６块，

两面有红漆的有多少块？６个面都没有红漆的共有多少块？ 【答案】４８，６４

习题

１、一张面积为２平方米的长方形纸张，对折三次后得到的小长方形的面积是多少？ 【答案】

12m 4２、一个边长为１的正方形，截去４个角后变成正八边形，那么正八边形的边长是多少？ 【答案】2?1