《张量分析》报告

一 爱因斯坦求和约定

1.1指标

变量的集合：

x1,x2,...,xny1,y2,...,yn

表示为：

xi,i?1,2,3,...,nyj,j?1,2,3...,n

写在字符右下角的 指标，例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj 中的j称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n的所有整数，其中n称为指标的范围。

1.2求和约定

若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n求和。这是一个约定，称为求和约定。

例如：

Ax?Ax?Ax?b1111221332112222331Ax?Ax?Ax?bAx?Ax?Ax?b31132233323

筒写为：

Ax?bijji

ｊ——哑指标

ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同

遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-?符号（克罗内克符号）和置换符号

Kronecker-?符号定义

?1?????jiij?0置换符号

eijk当i?j当i?j

eijk?eijk定义为:

2，3的偶置换(123,231,312)?1当i,j,k是1，??eijk???1当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321)?0当i,j,k的任意二个指标任意?

i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。 置换符号主要可用来展开三阶行列式：

1a1a?a12a122a23a21a32123312a3?a1a2a3?a12a2a3?a13a12a33a31323312?a1a2a3?a12a12a3?a1a2a3

a13 因此有：

?a??a??a??a?aijji11i22i33i?imAmj?Aijeijk??ejik??eikj??ekjieijk?ejki?ekij

同时有：

?ii??11??22??33?3?ik?kj??ij?ij?ij??ii??jj?3?ij?jk?kl??ilaik?kj?aijaij?ij?aii?a11?a22?a33ai?ij?ajei?ej??ij

?i1?i2?i3?i1eijk??j1?j2?j3??i2?k1?k2?k3?i3?31?32?330e321??21?22?23?0?11?12?131

?j1?k1?j2?k2?j3?k30110??100

?ee???ijkpqri1j1k1???p2i2j2k2???????i3j3k3p1p2p3???p1q1q2q3???ipr1r2r3

?????????????i1p1i2i3p3i1

?ee???ijkpqripjpkp???iqjqkq???irjrkr

p?k?ee??ijkkqriqjq????????iriqjrirjrjq

aA?aa132111aaa12aa22132122a?aaa?aaa?23112233122331333132aaa?aaa?aaa?aaa321331122133112332?eaaa?eaaaijk1i2j3kijki1j2k3Kronecker-?和置换符号符号的关系为：

ee??????kijkstisjtjs

it

二 张量代数

2.1张量的加法(减法)

两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。张量相加(或相减)是相加(或相减)其同名的分量。

设Aijk,Bijk是张量，则

?i?Ai?BiAjkjkjkC?A?Bijkijkijk

也是张量。可以证明，张量相加(减)的结果是一个同阶同变异张量。

imn?y?x?x??y??A?x?A?xl?yj?ykijklmn?i?y??Bl?x??y?x?xBjkmn?xl?yj?yk?i?y??A?i?y??B?i?y?Cjkjkjkimn

?yi?xm?xnll???lAx?Amnmn?x?jk?x?y?y???yi?xm?xnl?lCmn?x??x?yj?yk2.2对称张量、斜对称张量

1）对称张量

若张量满足如下的关系式：

Aij?Aji

这样的张量称为二阶对称张量。

例如，基本度量张量和相伴度量张量 都是对称张量。 2）斜对称张量

若张量满足以下关系式：

Aij??Aji

则称为二阶斜对称张量。斜对称张量也称为反对称张量。 3）二阶张量的分解

任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反

对称张量之和，即：

Cij?Aij?Bij1?Cij?Cji??Aji 211Bij??Cij?Cji????Cji?Cij???Bji22Aij?4）高阶张量的对称和反对称

高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置换张量，它关于任一对下标是反对称的：

?ijk???jik,?ijk???ikj,?ijk???kji

2.3张量的乘法

两个张量的外积是将它们的分量相乘。这样的运算产生一个新张量，其阶数是相乘两张量的阶数之和。

设 Aij、Bk 是张量，则外积

kCij?AijBk?xm?xn?Aij?y??Amn?x?i j?y?ykmn?y?x?xl??y?B??y?????x? AAxBijmnlij?x?y?ykkmn?y?x?xk??y???x? CCijlij?x?y?ykij张量乘法的性质：张量的乘法是不可交换的。

由几个张量连乘的乘积，则乘积张量中指标排列的次序由连乘张量的排列次序确定。

Cij?AijBk Ckij?BkAij

k张量Cijk与张量Ckij不相等。

若 Aij是对称张量，Bij是斜对称张量，可以很容易证明，它们的乘积等于0，即:

AijBij?0

由于置换张量是关于任一对指标的反对称张 量，因此它与任何一个二阶对称张量的乘积等于0。 2.4张量的缩并、内积

在混合张量中，使一个上标和一个下标相等，然后按求和约定求和，这样的运算，称为缩并。每一缩并，得到一个新张量，比原张量降两阶。

设Aijkl是一个四阶混合张量。作缩并运算，则:

Aijik?Bjk

iqrs?y?x?x?xp?jkl?y??AAqrs?x? pjkl?x?y?y?yi若令指标i与k相等，可得：

iqrsqs?y?x?x?x?x?xprp?jil?y????AAx??Aqrsqrs?x? ppjiljl?x?y?y?y?y?yi缩并运算可以应用于任意阶混合张量。

还可将乘法和缩并结合起来形成新张量，这种运算称为两张量的内乘法，得到的张量称为该两张量的内积。如：

Ciij?AiBij

三 张量的扩展

3.1基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号

求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导：

?V?vigij?x?vigi????,j?vi,jgi?vigi,j?vi,jgi?vigi,j,jgi,j??j?xj??zk??2zk???xiik????xj?xiik??

可以看出基矢量gi对于坐标x的偏导数也是矢量，它也可以分成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量：

kgi,j??ijkgk??ijgkk

k式中: ?ijk是沿 g方向的分量；称为第一种克里斯托弗符号；?ij是沿

gk方向的分量; 称为第二种克里斯托弗符号。

gi,j?gk?Γijlgl?gk?Γijl?kl?Γijk

k gi,j?gk?Γlijgl?gk?Γlij?lk?Γij3.2 Hamilton 算子

记

由于

可知算子 服从向量的定义。 设

为三维区域

中的标量场，关于

，

其中

的左右梯度为

。

，下标中的逗号表示对其后坐标的微商，

从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。

设

为三维区域

中的向量场，关于

的左右散度为

，

从上面两式可以看出向量的左右散度相等。 关于向量场

的左右旋度为

，

对于 的左右旋度，有关系式标量场 的Laplace算子

为，

向量场 的Gauss公式为

其中

为区域

的边界曲面，

， 为

上的单位

外法向量。

向量场 的Stokes公式为

这里 为任意曲面，

为 的边界曲线，在边界

上积分的

环向与 的外法向 依右手定向规则： 指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。

。

第二部分 张量的简单运用

张量分析在许多领域有着广泛的应用，现在所学的弹塑性力学就有简单的运用介绍，而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意义。

岩石流变本构方程 在小变形情况下有：

如上所述，岩石流变在引进了张量分析后，其表达变得很简便，便于计算和学习。

第三部分 张量分析的展望

首先，感谢张志镇老师的教导，让我深刻学习了张量分析。张量分析在开始阶段，学习困难，入门不易，但是我相信我以后可以通过继续学习打到预期的学习目标。张量分析在实际运用中可以减少计算，并且可以大大减少表达方式，从而使表达更为清楚，张量分析的

学习为我们以后科研工作中的理论分析打下了坚实的基础，我相信以后通过张量分析可以更好的写好自己的论文。

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