奥数教材全攻略

奥 数 教 材 全 攻 略

本教材，是一套比较全面的电子书教材，包含了五年级到一年级的奥数内容，值得一看。

五年级奥数(2--71)

三年级奥数（72-146） 四年级奥数（147-） 后有一年级奥数题，仅供参考。

五年级奥数（2---71页）

目 录

? 第一讲 消去问题（一） ?????????2 ? 第二讲 消去问题（二） ???????? 7 ? 第三讲 一般应用题 ??????????12 ? 第四讲 盈亏问题（一）??????16

? 第五讲 盈亏问题（二） ??????????? 17 ? 第六讲 流水问题 ?????????? 19 ? 第七讲 等差数列 ??????????23 ? 第八讲 找规律 ???????????26 ? 能力测试（一）???????????26 ? 第九讲 加法原理 ?????????28 ? 第十讲 乘法法原理 ??????? ?31 ?第十一讲 周期问题（一）???????????35 ?第十二讲 周期问题（二） ???????????37

?第十三讲 巧算（一） ??????????? 39 ?第十四讲 巧算（二） ????????40

?第十五讲 数阵问题（一） ???????? 45 ?第十五讲 数阵问题（二） ???????? 45 ?能力测试 （二） ??????????????63

? 第16讲 平面图形的计算（一） ????? ? 第17讲 平面图形的计算（二） ????? ? 第18讲 列方程解应用题（一） ?????? ? 第19讲 列方程解应用题（二）?????? ? 第20讲 行程问题（一）?????????? ? 第21讲 行程问题（二）?????????? ? 第22讲 行程问题（三） ??????? ? 第23讲 行程问题（四）???????? ? 阶段测试（一） ????????

? 第24讲 平均数问题（一）????????? ? 第25讲 平均数问题（二） ????? ? ?第26讲 长方体和正方体（一） ?????? ?第27讲 长方体和正方体（二）???????? ?第28讲 数的整除特征 ??????????? ?第29讲 奇偶性问题????????

?第30讲 最大公约数和最小公倍数??????? ?第30讲 分解质因数（一） ???????? ?第31讲 分解质因数（二） ???????? ?第32讲 牛顿问题 ???????? ?综合测试 ???????????????

第一讲 消去问题（一）

在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”。

例题与方法

在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。

(1)买1个皮球和1个足球共用去40元，买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？

(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？

（3）6行桃树和6行梨树一共120棵，照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？

（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯，一共用去172元，每个水瓶18元，每个茶杯多少元？

例1 学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个差杯，共用去118元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？

例2 买3个篮球和5个足球共、用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。篮球和足球的单价各是多少元？

练习与思考

（第1～4题5分，其余每题10分，共100分）

１、 1袋黄豆和1袋绿豆共重50千克，同样的7袋黄豆和7袋绿豆共重（ ）千克。

２、买5条毛巾和5条枕巾共用去90元，买1条毛巾和1条枕巾要（ ）元。

３、买4本字典和4本笔记本共、用去了68元，买同样的9本字典和9本笔记本一共要（ ）元。

４、9筐苹果和9筐梨共重495千克，找这样计算，2筐苹果和2筐梨共重（ ）千克。

５、妈妈买了５米画布和３米白布，一共用去１０２元。花布每米１５元，白布每米多少元？

６、果园里有１４行桃树和２０行梨树，桃树和梨树一共有４４０棵。每行梨树１５棵，每行桃树多少棵？

７、买３千克茶叶和５千克糖，一共用去４２０元，买同样的３千克茶叶和３千克糖，一共用去８７４元。每千克茶叶和每千克糖各多少元？

８、食堂第一次运来６袋大米和４袋面粉，一共重400千克；第二次又运来9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克？

9、3豹味精和7包糖共重3800克，同样的3包味精和14包糖共重7300克。每包味精和每包糖各重多少克？

10、育新小学买了8个足球和12个篮球，一共用去了984元；青山小学买了同样的16个足球和10个篮球，一共用去1240元。每个足球和每个篮球各多少元？

11、买15张桌子和25把椅子共用去3050元；买同样的 5张桌子和20张椅子，需要1600元。买一张桌子和一把椅子需要多少元？

12、3头牛和6只羊一天共吃草93千克，6头牛和5只羊一天共吃草130千克。每头牛每天比每只羊多吃多少千克？

第二讲 消去问题（二）

例1、

7袋大米和3袋面粉共重425千克同样的3袋大米和7袋面粉共重325千克。求

每袋大米和每袋面粉的重量。

例2、

甲买了8盒糖和5盒蛋糕共用去元；乙买了5盒糖和2盒蛋糕共用去90元。每盒

糖和每盒蛋糕各多少元？

例3、

三头牛和8只羊每天共吃青草93千克，5头牛和15只羊每天吃青草165千克。

一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克？

练习与思考 （第1～4题13分，其余每题12分，共100分。） 1.

2.

2条床单和3条毛巾共280元。一条床单和一条毛巾共（ ）元，2条床单和2条毛巾3个皮球和5个足球共245元，同样的6个皮和10个足球共（ ）元。

共（ ）元。

3.

5盒铅笔和9盒钢笔共190支，同样的2盒铅笔和6盒钢笔共100支。3盒铅笔和3盒

钢笔共（ ）支，1盒铅笔和1支钢笔共（ ）支。

4.

育才小学体育组第一次买了4个篮球和3个排球，共用去了141元；第二次买了5个

篮球和4个排球，共用去180元。每个篮球和每个排球各多少元？

5.

3筐苹果和5筐梨共重138千克，5筐同样的苹果和3筐同样的共重134千克。，每筐

苹果和每筐梨各重多少千克？

6.

某食堂第一次运进大米5袋，面粉7袋，共重1350千克；第二次运进大米3袋，面粉

5袋，共重850千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？

7.

3件上衣和7条裤子共430元，同样的7件上衣和3条裤子共470元。每件上衣和每

条棵子各多少元？

8.

2千克水果糖和5千克饼干共64元，同样的3千克水果糖和4千克饼干共68元。每

千克水果糖和每千克饼干各多少元？

9.

5包科技书和7包故事书共620本，6包科技书和3包故事书共420本。每包科技书比

每包故事书少多少本？

10. 3个水瓶和8个茶杯共92元，5个水瓶和6个茶杯共102元。每个水瓶和每个茶杯各多少元？

11. 甲有5盒糖，乙有4盒糕共值44元。如果甲、乙两人对换一盒，则每人所有物品的价值相等。一盒糖、一盒糕各值多少元？

第三讲 一般应用题

在小学里，通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题|”两大类。“典型应用题” 有基本的数量关系、解题模式，较复杂的问题可以通过“转化”，向基本的问题靠拢。我们已经学过的“和差问题”、和“倍差问题”等等，都是“典型应用题”。“一般应用题|”没有各顶的数量关系，也没有可以以来的 解题模式。解题时要具体问题具体分析，在认真审题，理解题意的基础上，理清一知条件与所求问题之间的数量关系，从而确定解题的方法。对于比较复杂的问题，可以借助线段图、示意图、直观演示等手段帮助分析。

例题与方法

例 1、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分，鱼尾重4千克，鱼头的重量等于鱼尾的重量加身一般的重量，而鱼身体、的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。这条鱼重多少千克？

例2、一所小学的五年级有四个班，其中五（1）班和五（2）班共有81人，五（2）班和五（3）班共有83人五（3）班和五（4）班共有86人，五（1）班比五（4）班多2人。这所学校五年级四个班各有多少人？

例 3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼，甲钓了5条，乙钓了3条，吃鱼时，来了一位客人和甲、乙平均分吃这条鱼。吃完后来客付了8角钱作为餐费。问：甲、乙两为渔夫各应得这8角钱中的几角？

例 4、一个工地用两台挖土机挖土，小挖土机工作6小时，大挖土机工作8小时，一共挖土312方。已知小挖土机5小时的挖土量等于大挖土机2小时的完土量，两种挖土机每小时各挖土多少方？

例 5、甲、乙、丙三人用同样多的钱合买西瓜。分西瓜时，甲和丙都比乙多拿西瓜7。5千克。结果甲和丙各给乙1.5元钱。每千克西瓜多少元|？

例 6、小红有 一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个。而按钱数算，5分币比2分币多4角。已知这些硬币中有36个1分币。问：小红的储蓄筒里 共存了多少钱？

练习与思考

（第1～4题13分，其余每题12分，共100分。） 1.

有一段木头，不知它的长度。用一根绳子俩量它，绳子多15米；如果将绳子对折以后

再来量，又不够04米。问：这段绳子长多少米？

2.

甲、乙两人拿出同样多的钱合买一段花布，原约定各拿花布同样多。结果甲拿了6米，

乙拿了14米。这样，乙就要给甲12元钱。每米花布的单价是多少元？

3.

甲、乙丙合三人各出同样多的钱合买苹果若干千克。分苹果时，甲和丙都比乙多拿7。

8千克苹果，这样甲和丙各应给乙6元钱。每千克苹果多少钱？

4.

学校买了2张桌子和5把椅子，共付了330元 。每张桌子的价钱是每把椅子的3倍。

每张桌子多少元？

5.

某校六年级有甲、乙、丙丁四个班，不算甲班，期于三个班的总人数是131人，不算

丁班，期于三个班的总人数是134人。已知乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少1人，甲、乙丙、丁四个班共有多少人？

6.

李大伯买了15千克特制面粉和35千克大米，共用去31.2元。已知1千克特特制面粉

的价格是1千克大米的 2倍。李大伯买特制面粉和大米各用去多少元？

7.

14千克大豆的价钱与8千克花生的价钱相等，已知1千克花生比1千克大豆贵12元，

大豆和花生的单价各是多少元？

8.

某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零件。这样，不仅提前3天

完成原计划加工凌驾的任务，而求多加工了120个零件。这个车间实际加工了多少个零件？

9.

某班学生植树，共、有杉树苗用途杨树苗10棵。每小组分杉树苗6棵，杨树苗8棵。

这样杉树苗正好分完，而杨树苗还剩2棵。原来杉树苗与杨树帽各有多少棵？

10. 用8千克丝可以织6分米宽的绸4米，现在有10千克的丝，要织75分米宽的绸，可以织几米？|

第4讲

盈亏问题（一）

盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，又会不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：

小朋友分苹果，如果每人分2个，就多余16个；如果每人分5个，

就缺少14个。小朋友有多少个？苹果有多少个？

比较两次分的结果，第一次余16个，第二次少14个，两次相差1+

14=30（个）。这是因为第二次比第一次每人多分了5-2=3（个）苹果。相差30个，就说明有30÷3=10（个）小朋友。请小读者自己算出苹果的个数。

例题与方法 例1、将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3 粒，就会余下糖果17粒；如果每人分5粒，就会缺少糖果13粒。问：幼儿园下班有多少个小朋友|这些糖果共有多少粒？

例 2、学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果么人搬5块，就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？

例4、

某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会有余下24棵；

如果每班分20棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？

练习与思考 （第1～4题13分，其余每题12分，共100分。） 1.

小朋友分糖果若每人分4粒则多9粒；若每人呢分5粒则少6粒。问：有多少小朋友？

有多少粒糖果？

2. 小朋友分糖果，每人分10粒正好分完；若每人呢分16粒，则有3个小朋友分不到糖

果。问：有多少粒糖果？

3.

在桥上测量桥高。把绳长对折后垂到水面，还余4米；把绳长3折后垂到水面，还余

1米。桥高多少米？绳长多少米？

4.

某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人就

会有空出4间宿舍。这个学校有多少间？要安排多少个新生？

5.

在依次大扫除中，有一些同学被分配擦玻璃，他们当中如果有2人擦4块，其余的人

各擦5块，就会多下12块玻璃没有人擦；如果么人擦6块，刚好擦完。擦玻璃的同学有多少人？玻璃共有多少块？

6. 7.

有一个数，减去3所的差的4倍，等于它的2倍加上36。这个数是多少？

体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌

足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”牌足球，结果多了13元。体育老师原来身边带了多少元？

8.

某小学生乘汽车去春游，如果每辆车坐65人，就会有15人不能乘车；如果每辆车多

坐5人恰好多余了一辆车。一共有多少辆汽车？有多少个学生？

第五讲

盈亏问题（二）

上一讲，我们讲了盈亏问题的一般情形，也就是在量词分配中恰好洋盈（多余），一次亏（不足）。事实上，在许多问题里，也会出现两次都是盈（多余），或者两次都是亏（不足）的情况。

例 1、学校将一批铅笔奖给三好学生，每人9支缺15支；每人7支就缺7支。问：三好学生有多少人，铅笔有多少支？

例2、某小学的部分同学外出参观，如果每辆车坐55人就会余下30个座位；如果每辆车坐50人，就还可以坐10人。有多少辆车？去参观的学生多少人？

例3、学校规定上午8时到校。王强上学去，如果每分钟走60米，可以提早10分钟到校；如果每分钟作呕50米可以提早8分钟到校。问：王强什么时候离开家？他家离学校多远？

练习与思考 （第1～4题13分，其余每题12分，共100分。） 1.

同学们打羽毛球，每两人一组。每组分6个羽毛球，少10个球；每组分4个羽毛球，

少2个球。问：共、有多少个同学打球？有多少个羽毛球？

2. 学校将一批钢笔奖给三好学生，每人8支缺11支；每人7支缺7支。问：三好学生有

多少人？钢笔有多少支？

3.

某小学的部分学生去春游，如果每辆车坐50人，就会余下30个座位；如果每辆车坐

40个人，还可以坐10人。问有多少辆车？去春游的学生多少人？

4.

一筐苹果分给一个小组，每人5个剩16个；每人7个缺12个。这个小组有多少人？

共有多少苹果？

5.

一些学生分练习本。其中两人每人分6本，其余每人分4本，就会多4本；如果有一

人分10本，其余每人分6本，就会少18本。学生有多少人？练习本多少本？

6.

一个学生从家到学校，先用每分50米的 速度走了2分，如果这样走下去，他会迟到

8分；后来他改用每分60米的速度前进，结果早到学校5分。这个学生家到学校的路程是多少米？

7.

筑路对计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑802米，这样，在规定完成任务

时间的前3天，就只剩下1160米未筑。这条路多长？

8.

老师给幼儿园小朋友分苹果。每2人3个苹果，多2个苹果，每3人5个苹果，少4

个苹果。问：有多少小朋友？多少苹果？

第6讲

流水问题

想一想：从南京长江逆流而上去长江三峡，与从长江三峡顺水而下回南京，哪个花的时间少？哪个花的时间多？为什么？

原因很简单。在长江行船与在一个平静的湖这行船是不一样的，因为长江的水是一直从西向东（也就是从上游向下游）流着的，船的速度会受到江水的影响。而在平静的湖水中行船时，船的速度不会受到水流的影响。考虑船在水流速度的情况下行驶的问题，就是我们这一讲要讲的流水问题。

船在顺水航行时（比方说，从长江三峡顺流而下到南京），船一方面按照自己本身的速度即船速（船在静水中行驶的速度）行驶，同时整个水面又按照水的流动速度在前进，水推动着船向前，所以，船顺水时的航行速度应该等于船本身的速度与水流速度的和。也就是

顺水速度=船速+水速

比方说，船在静水中行驶10千米，水流速度是每小时5千米，那么，船顺水航行的速度就是每小时10+5=15（千米）。

同学们可以想一想，上面的问题中，如果是问“船逆水航行的速度是多少？”答案又该怎

么样呢？船逆水行驶，情况恰好相反。本来船每小时行驶10千米，但由于水每小时又把它往回推了5千米，结果船每小时只向上游行驶了10—5=5（千米）。

也就是船在逆水中的速度等于船速度与水速之差。即 逆水速度=船速—水速

例1、 一艘每小时行驶30千米的客轮，在一河水中顺水航行165千米，水速每小时3千米。问：这艘客轮需要航行多少小时？

例2、 一艘船顺水行320千米需要8小时，水流速度是每小时15千米，这艘船逆水每小时行多少千米？这艘船逆水行这段路程，需要多少小时？

例3、 甲船逆水航行360千米需要18小时，返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的异端水路需要15小时，返回原地需要多少小时？

练习与思考 （每题20分，共100分）

1. 一只小船以每小时30千米的速度在176千米长的河中逆水而行，用了211小时。这只小船返回原处需要用多少小时？

2. 船在静水中的速度是每小时25千米，河水流速位每小时5千米，一只船往返甲、乙两港共花了9小时，两港相距多少千米？

3. 两地距280千米，一艘轮船在期间航行，顺流用去14小时，逆流用去20小时。求这艘轮船在静水中的速度和水流的速度。

4. 一架飞机所带的燃料，最多可以用6小时，飞机去是顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米。这架飞机最多飞出多少千米，就需要往回飞？

5. 乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时。甲船顺水航行同一段水路，用了3小时。甲船返回原地比去时多用多少小时？

第7讲

等差数列

（1）1，2，3，4，5，6，7，8，? （2）2，4，6，8，10，12，14，16，? （3）1，4，9，16，25，36，49，? 上面三组数都是数列。

数列中称为项，第一个数叫第一项，又叫首项，第二个数叫第二项??以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项。项的个数叫做项数。

一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫等差数列。后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。

如等差数列：4，7，10，13，16，19，22，25，28。首项是4，末项是28，共差是3。 这一讲我们学习有关等差数列的知识。 例题与方法 例1、 例2、

在等差数列1，5，9，13，17，?，401中401是第几项？

100个小朋友排成一排报数，每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3，小

明站在第一个位置，小宏站在最后一个位置。已知小宏报的数是300，小明报的数是几？

例3、

有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加

一根，一共堆了28层。最下面一层有多少根？

例4、 例5、

1+2+3+4+5+6+?+97+98+99+10=？

求100以内所有被5除余10的自然数的和。

小王和小胡两个人赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。小王第一秒

例6、 跑1米，以后每秒都比以前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？ 练习与思考 （每题10分，共100分。） 1. 2. 少米？

3. 4. 5. 6. 7.

在树立俄，10，13，16，?中，907是第几个数？第907个数是多少？ 求自然数中所有三位数的和。 求所有除以4余1的两位数的和。

0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+0 11+0 13+0 15+?0 99的和是多少？

梯子最高一级宽32厘米，最底一级宽110厘米，中间还有6级，各级的宽度成等差数数列4，7，10，??295，298中，198是第几项？

蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米，第10小时蜗牛爬了1.9米，第一小时蜗牛爬多

列，中间一级宽多少厘米？

8. 9.

有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是12，求这12个数的和。

一个物体从高空落下，已知第一秒下落距离是4.9米，以后每秒落下的距离是都比前

一秒多9.8米50秒后物体落地。求物体最初距地面的高度。

10. 求下面数字方阵中所有数的和。 1，2，3，?，98，99，100

2，3，4，?99，100，101 3，4，5，?，100，101，102 ??

100,101,102, ?197,198,199 第八讲

找规律

你能找出下面各数列暴烈的规律吗？请在括号内填上合适的数》 （1） （2） （3） （4） （5） （6）

8，15，22，（ ），36，?；

17，1，15，1，13，1，（ ），（ ），9，1，?； 45，1，43，3，41，5，（ ）， （ ），37，9，?； 1，2，4，8，16，（ ），64，?；

10，20，21，42，43，（ ），（ ），174，175，?； 1，2，3，5，8，13，21，（ ），55。

例1. 一串数按下面规律排：

例2. 1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，6，7，?从第一个数算起，前100个数的和是多少？

例3. 在一个长方形中，如果没有一条直线，则长方形可以看作一个部分。如果在长方形中画一条直线，这个长方形就被分为两个部分。在长方形可中画两条直线最多可以将长方形分成四个部分。如果三条直线最多可以将长方形分成七个部分

例4. 在方格纸上画折线（如图），小方格的边长是1，图中的1、2、3、4、?分别表示折线的第1、2、3、4、?段。求折线中第1994段的长度。 9 5 1 8 4 2 6 3 7

10

练习与思考 （第1题30分，其余每题10分，共100分。） （1） （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）

找规律，在括号内填上合适的数。 1,3,9,27,( ),243; 2,7,12,17,22,( ),( ),37; 1,3,2,4,3,( ),4;

0,3,8,15,24,( ) ,( ),48; 6,3,8,5,10,7,12,9,( ),11; 2,3,5,( ),( ),17,23;

81,64,（ ），36，（ ），16，9，4，1； 21，26，19，24，（ ），（ ），15，20； 1，8，9，17，26，（ ），69；

（10） 4，11，18，25，（ ），39，46； 2.

一串数按下面规律排列：

1，3，5，2，4，6，3，5，7，4，6，8，5，7，9，? 从第一个数算起，前100个数的和是多少？ 3.

有一串黑白相间的珠子（如下图），第100个黑珠前面一共有多少个白珠？

4.

在平面中任意作100条直线，这些直线最多能形成多少个交点？

5. 6.

在平面中任意作20条直线，这些直线最多可把这个平面分成多少个部分？ 序号 算式 序号 算式 1 1+1 6 3+11 2 2+3 7 1+13 3 3+5 8 2+15 4 1+7 9 3+17 5 2+9 ? ? 根据上面的规律，第40个序号的算式是什么？算式‘1+103“的序号上多少？ 7.

小正方形的边长是1厘米，依次作出下面这些图形。

已知第一幅图的周长是10厘米。

（1）36个正方形组成的图形的周长是多少厘米？ （2）周长是70厘米的图形，由多少个正方形组成？ 已知第一幅图的周长是10厘米。 （1） （2） 8

36个正方形组成的图形的周厂是多少厘米？

周长是70厘米的图形，由多少个正方形组成？

在方格纸上画折线（如本讲例4图），小方格的边长是1，图中的1，2，3，4，?分别

表示折线扩大第1，2，3，4，?段。求折线中第100段的长度。长度是30的是第几段？

能力测试（一）

一、 填空题（每空3分，工39分）。 1.

在下面的括号里按照规律填上适当的数字。

1，2，3，4，8，16，（ ），64，128。 5，10，15，20，25，（ ），35，40。 4，7，10，13，16，（ ），22，25。 1，1，2，3，5，8，13，21，（ ）

1024，512，256，（ ），64，32，16，8，4。 2，5，11，20，32，（ ），65，86。 1，3，2，4，3，5，（ ），6，5。

（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）

（8） 1.

1，4，9，16，25，（ ），49，64。

9个人9天共读书1620页，平均1个人1天共读书（ ）页；照这样计算，5个同学

5天读书（ ）页。

2. 3.

如果平均1个同学1天植树（ ）棵，那么，3个同学4天共植树120棵。 买3只足球和9只篮球共用了570元，买9只足球和27只篮球要用（ ）元。

二、 计算题（每小题5分，共10分）。 1. 2.

2+4+6+8+10+ ? +22+24+26 1+2+3+4+5+6+ ? +1996+1997+1998

三、 应用题（第1～4题10其余每题10分，第5题11分，共51分）。 1.

李老师将一叠练习本分给第一组的同学，如果每人分7本，还多7本。如果每人分9，

那么有一个同学译本也分不到。第一组有多少同学？这叠练习本一共有多少本？

2.

一只小船在河中逆流航行176千米，用了11小时。一知水流速度是每小时4千米，这

只小船返回原处要用多少小时？

3.

4只篮球和8只足球共买560元，6只篮球和3只足球共买390元。问：一只篮球和一

只足球各买多少元？

4. 有10元钞票与5元钞票共128张，其中10元比5元多260元。两种面额的钞票各是多少张？

5.

下面是一种特殊数列的求和方法。

要求数列2，4，8，16，32，64，? ，1024，2048的和，方法如下：

S = 2+4+8+16+32+64+ ? +1024+20482 2S = 4+8+16+32+64+ ? +1024+2048+4096

用下面的式子减去上面的式子，就得到 S =4096 – 2 = 4094

即数列2，4，8，16，32，64，? ，1024，2048的和是4094。 仔细阅读上面的求和方法，然后利用这种方法求下面数列的和。 1，3，9，27，81，243，?，177147，531441。 第9讲

加法原理

在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题，我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理，不仅可以顺利

解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。

什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题：

从南京到上海，可以乘火车，也可以乘汽车、轮船或者飞机。假如一天中南京到上海有4班火车、6班汽车，3班轮船、2班飞机。那么一天中乘做这些交通工具从南京到上海共有多少种不同的走法？

我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法，那么从南京到上海，乘火车有4种走法，乘汽车有6种走法，乘轮船有3种走法，乘坐飞机有2种走法。因为每一种走法都可以从南京到上海，因此，一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。

我们说，如果完成某一种工作可以有分类方法，一类方法中又有若干种不同的方法，那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和。即N = m1 + m2 + ? + mn (N代表完成一件工作的方法的总和，m1,m2, ? mn 表示每一类完成工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。

例1 书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？

例2一列火车从上上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？

例3在4 x 4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？

例4 妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？

练习与思考 （每题10分，共100分。）

1.

从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。已知一天中汽车有2班，火车有4班，

甲城到乙城共有（ ）种不同的走法。

2.

一列火车从上海开往杭州，中途要经过4个站，沿途应为这

列火车准备____种不同的车票。 3.下面图形中共有____个正方形。

4. 5.

图中共有_____个角。

书架上共有７种不同的的故事书，中层６本不同的科技书，下层有４钟不同的历

史书。如果从书架上任取一本书，有____种不同的取法。

6.

平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两个点画一条直

线，共可以画_____条直线。

7.

图中共有_____个三角形。

8. 9.

图中共有____个正方形．

从2，3，5，7，11，13，这六个数中，每次取出两个数分别作为一个分数的分

子和分母，一共可以组成_____个真分数．

10. 某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站（包括Ａ站和Ｆ站）铁路局要为在Ａ站到F站之间运行的火车准备_____种不同的车票，其中票价不相同的火车票有_____种。

第10讲 乘法原理

上一讲我们学习了用“加法原理”计数，这一讲我们学习“乘法原理”。什么是乘法原理呢？我们来看这样一个问题：

从甲地到乙地有3条不同的道路，从乙地到丙地有4条不同的道路。从甲地经过乙

地到丙地，共有多少种走法？

我们这样思考：从甲地到乙地的3条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地，再从乙地大丙地的4条道路中任意选一条都可以从乙地到丙地，那么，从甲地到乙地的3条道地第一条到达乙地后，可以走从乙地到丙地的任意一条路，这样就有了4种不同的走法。从甲地到乙地的第二条、第三条路到达乙地后，仍可以从乙地到丙地的4条路中任选一条到丙地，如图所示：

从图中可以看出，从甲地到丙地共有3 X 4 =12（种）走法。 如果完成一件事情需要几个步，完成第一步有m1 种不同的方法，完成第二步有m2 种不同的方法，?那么，完成这件工作共有N = m1 x m2 x m3 x ? x mn 种不同的方法。这就是乘法原理。

例1 书架上有4本故事书，7本科普书，志远从书架上任取一本故事书和一本科普书，共有多少种不同的取法？

例2 从2、3、5、7、11这五个数字中每次取出2个数字，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组从多少个分数？其中有多少个真分数？

例3 用9、8、7、6这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些位数的和是多少？

例4 如图，A、B 、C、D四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，问：共有多少种不同的染色方法？ A B C D

例5 如图，小明家到学校有3条东西向的马路和5条南北向 的马路。他每天步行从家到学校（只能向东或向南走），最多有多少种不同的走法？

小明家

学校

练习与思考 （每题10分，共100分。）

1.从甲地到乙地有两条河，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地经乙地到丙地共有 种走法。

2.书架的上、中、下层各有3本、5本、、4本故事书。若要从每层书架上任取一个本书，共有 种不同的取法。

3.有1，2，3，三数字，一共可以组成 个没有重复数字的三位数。

4.两个班级进行乒乓球比赛，每班选3人，每人都要和对方的每个选手赛一场，一共要赛 场。

5.从5，7，11，13这四个数中每次取2个数组成分数，一共可以组成 个分数，其中真分数有 个。

6.图中一共有 个不同的长方形。

7.一个口袋里装有5个小球，另7一个口袋里装有4个小球。这些小球的颜色互不相同。

（1） 从两个口袋里任意取一个小球，有 种不同的取法。 （2）从两个口袋内各取一个小球，有 种不同的取法。

8.某信号兵用红、黄、蓝三面棋从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂一面、二面或三面，并且不同的顺序、不同的位置表示不同的信号。一共可以表示 种

不同的信号。

9.图中从A点到B点共有 种走法（要求走最短的线路）。 A

B 10.用0到9这十个数有重复数字的三位数。

字可以组成 个没

第11讲 周期问题（一）

世间万物，千奇百怪；运动变化，千姿百态。可这貌似“杂乱无章”的世界却受到各式各样的规律支配着。在这些规律中，有一种最常见的规律就是从形形色色的周期现象中提炼出来的规律。

如果某一事物的变化具有周期性，那么，该事物在经历一段变化后，又会呈现原俩的状态。我们把事物所经历的这一段，叫该事物变化的周期。例如，在自然数列中，各位数字变化的周期是10；星期日出现的周期是7（天）；用动物记年的走器是12（年）等等。

在数学中，我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题。解答这类问题，要抓住一下几点：

1. 2.

找出规律，发现周期现象。

把要求的问题和某一周期的变化相对应，以求得问题解决。

例1 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？

例2 1997年元旦是星期三，那么，同年12月1日是星期几？

例3 国庆节，路旁挂起了一盏盏彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏。那么，第80盏灯应是什么颜色的？

例4 7

1998

表示1998个7连乘，它的结果末位上的数字是几？

例5 下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？

8 ？ 6

思考与练习

（第1题16分，其余每题12分，共100分。） 1. 把 1\\7化成小数，请回答： （1）小数点后面第80个数字是几？ （2）小数点后面前80个数字的和是多少？

2. 把1\\81化成小数后，小数点后面100位数字之和是多少？ 3. 今天是星期一，从明天开始第1800天是星期几？

4. 有同样大小的红珠、白珠、黑株共有160个？按4个红株，3个白株，2个黑株的顺序排列着。黑株共有几个？第101个株子是什么颜色？

5. 我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年号。如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？

6. 科学家进行一项试验，每隔6小时做一次记录。第10次记录时，挂钟的时针恰好指向7，问：做第几一次记录时，时针指向几？

7. 124表示15个124连乘，所得积的末位数字是几？

8. 下面是一个11位数，每三个相邻数字之和都是15，你知道问好表示的数字是几吗？这个11位数水多少？

8 ？

15

第12讲 周期问题（二）

例1 有13名小朋友编成1到13号，他们呢依次围成月毫个源泉做游戏。现在从1号开始，每数到第3个人发一粒糖（每人只拿一次糖）。那么，最后一个拿到糖的小朋友是几号？

例2 紧接着1998后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的各个位数。例如，9 X 8 =72 。在8 后面写1，8，X 2 = 16，在2后面写6，??得到一串数：199826??这串数字从1开始往右数，第1998个数字是几？

例3 把自然数按下表规律排列后，可分成A、B、C、D、E五类，例如，3在C类，10在B类。那么985在哪一行，哪一类？

A B C D E 1 9 0 2 8 11 ? 3 7 12 ? 4 6 1 5 ? 3 1?

? ? ? 例4 把1至8个数码摆成一个圆圈《现在有一个小球，第一天从1号顺时针前进203个位置，第二天再顺时针前进335个位置，第三天又顺时针前进203个位置，第四天再舒适镇前进335个位置，第五天又顺时针前进203个位置??试问：至少经过几天后，小球又回到1号位置？

例5 下表中，将每列上下两个汉字组成一组，例如，第一组为（学做），第二组为（习接）。那么第649组是什么？ 学 做 习 接 好 班 学 人 习 做 好 接 学 班 习 人 好 做 ? ?

例6 在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔６厘米染一个红点，同时自右至左每隔５厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？

练习与思考 （第1～4题每题17分，其余每题16分，共100分。） 1.

有 a、b、c、d四条直线（如图），从直线a上开始，按箭头方向从1开始依次

在a、b、c、d上写自然数1，2，3，4，5，6，?

（1） （2） 2

106在哪条线上？

直线a上第56个数是多少？

.在一列数2，9，8，2，?从第三个数起，每个数都是它前面两个数成积的个位

数。比如，第三个数8，是前两个数的积 2 X 9 =18 的个位数字。这一列数的第180个数是几？

3.将奇数1，3，5，7，?依次排成五列（如图），把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次将每列写上数。1997出现在哪一列？

1 5 17 1 ?

4.把16把椅子摆成一个圆圈，依次编上1到16号。现在有一个人从第一号椅子顺时针前进213把椅子，再逆时针前进285把椅子，又顺时针前进213把椅子，再逆时针前进285把椅子，又顺时针前进12把椅子，这时他到了第几号椅子？

9 39 11 27 3 13 23 25 25 11 2 7 1 9 5.下表中每列上下两个汉字和字母组成一组，例如，第一组是（我A），第二组是（们B），? 我 A （3） （4）

们 B 爱 C 数 D 学 A 我 B 们 C 爱 D 数 A 学 B 我 C ? ? 第82组是什么？

（2） 如果（爱C）代表1978年，（数D）代表1979年，?那么，2000年将对应哪一组？

6

在一根长 80厘米的木棍上，自左至右每隔5厘米染上一个红点，同时自右至左

每隔4厘米染上一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？

第13讲 巧算（一）

德国大教育家高斯（1777-1855）读小学的时候，有一天，老师出了这样一道题： 1+2+3+?+99+100的和是多少？

老师刚把这道题说完，小高斯已迅速、准确地说出了答案5050，这令班上的同学吃惊不已。原来高斯是用一种巧妙的方法算出这道题的。后来人们称这种计算方法为“高斯原理”。

同学们一定想提高自己的计算能力，使自己计算时算得又快又巧。这一讲，我们学习整数的巧算，也就是根据数的 点，数的排列规律，巧妙地运用运算定律或性质，使计算简便。

例题与方法

例1．计算（1+3+3+?+1999）-（2+4+6+?+1998）

例2．计算99999×77778+33333×66666

例3．计算654321×123456-654322×123455

例4．计算123456-123455

2

2

例5．9=3×3，16=4×4，这里“9”和“16”都叫做“完全平方数”。在前300个自然数中，“完全平方数”的和是多少？

练习与思考

1．计算1+2+3+?+199+200

2．计算100+99-98+97-96+?3-2+1

3．计算1961+1971+1981+1991+2001

4．计算1990-1985+1980-1975+?+20-15+10-5

5．计算999+99+9+9999+99999

6．计算33333×66666

7．计算9999×2222+3333×3334

8．计算1989×1999-1988×2000

9．计算1999+999×999

10．计算333333

2

11．已知数列1，4，7，10，? （1）这列数的第21项是多少？

（2）118是这列数中的第几个数？

12．在前200个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？ 13．计算2974×3026

14．计算20-19+18-17+?+2-1

2

2

2

2

2

2

15．计算1997×19981998-1998×19971997

第14讲 巧算（二）

上一讲我们学习了整数的巧算，这一讲我们学习小数的巧算。 例1．计算578.47-4.62-78.47-3.38

例2．计算0.9999×1.3-0.1111×2.7

例3．计算3.6×31.4+43.9×6.4

例4．7.37×12.5×0.15×16

例5．计算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.99

例6．计算（44332-443.32）÷（88664-886.64）

练习与思考

用简便方法计算下面各题。 1． 15.4-2.17-3.83+4.6

2. 25.6-(0.23+5.6)-51.7

3. 146.95-48.3-6.95-51.7

4. 12.5×0.64×2.5

5. 36.3×4.5+6.37×45

6. 1+0.2+0.3+0.4+0.5+8.9+8.8+8.7+8.6+8.5

7. 0.876+0.765+0.654+0.543+0.432

8. 36×2.54+1.8×49.2

9. 5.76×1.1+57.7×0.89

10. (22944-22.944) ÷(45888-45.888)

11. 16.15÷1.8+1.85÷1.8

12.(4.8+3.6+2.4+1.2) ÷1.8

13.2.8×7.2×5.1÷2.8÷3.6÷5.1

14.0.7777×0.7+0.1111×2

15.(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+?+(99+1.2×99)+(100+1.2×100)

第15讲 数阵问题（一）

把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在规定形状的图形中，这样的图形叫做数

阵图。

传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。有一天，从河里浮出其不意一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”，书上有一幅奇特的图案（见下左图）。

4 3 8

9 5 1 2 7 6 这幅图用现在的数字表示，即为1到9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。多么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”可“九宫图”，国外称它为“魔方”或“幻方”。我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。

数阵问题的题型主要有三种：（1）辐射型；（2）封闭型；（3）综合型。 这一讲我们学习三阶幻方和辐射型数阵图。 例题与方法

例1．将1～9九个数字填在右图正方形的九个方格中，使得每个横行、竖列和对角线上三个数的和都相等。

例2．用7、9、11、13、15、17、19、21、23构制一个三阶幻方。

例3．下面是一个九宫图，第一行第三列上的数是6，第二行第一列上的数是7，请你在其他位置上填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和为30。

7 6

例4．把3、4、5、6、7这五个数分别填入下图中的五个方格里，使横行、竖列三个数的和都是14。

例5．将1～7分别填入右图中的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

例6．把1～9九个数填入“七一”内，使每一横行、竖行的数字和是13。

练习与思考

1．按四个填数步骤把4～12这9个数填在右图3×3的格内，制成三阶幻方。

2．用“杨辉法”，将9～17这9个数制成三阶幻方。

3．用11，13，15?，25，27这9个数制一个三阶幻方。

4.用 4,6,8,14,16,18,24,26,28制一个三阶幻方。

5．在图中空格内填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的数的和都为27。

13 12 14 14 14 24 24 24 19 19 19 第5题 第6题

6．将图中的数重新排列，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。 7．将5，6，7，8，9五个数分别填入图中，使横行、竖行三个数的和都是21。

8．将3～9这7个数填入图中的○内，使每条线段上三个○内的数的和相等。 9．将1～13这13个数分别填入图中的○内，使每条线段上四个○内的数的和相等。

10．将1～6这六个数分别填入图中的○内，使每条直线上三个○内所填数的和相等。 11．将1～8这八个数填入方格内，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格、对角线和四角四格内四个数相加的和都是18。

12．将九个不同的自然数填入九宫图中，使得每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。

第16讲 数阵问题（二）

上一讲我们学习了三阶幻方数阵图的辐射数阵图，这一讲我们学习封闭型数阵图和复合型数阵图。

例1．将1～6这六个数分别填入图中的○内，使每条边上三个○内的数字之和相等。

例2．将5～14这十个自然数填入右图中的○内，使每个大圆上六个数的和是55。

例3．将1～10这十个自然数分别填入图中的十个○内，使各条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等。

例4．把0～9这十个整数分别填入右图圆圈中，使每个正方形顶点上四个数字之和相等。

练习与思考

1．将5～10这六个自然数分别填入图中的○内，使图中每条边上三个数的和都是21。

2．将1—10这十个自然数填入图中的○内，使五边形每条边上的三个数之和相等，并使和尽可能地小。

3．将1—9这九个自然数分别填入图中九个小三角形中，使每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和等于20。

4．将1—9这九个自然数分别填入图中九个小三角形中，要求靠近三角形每条边上五个数的和相等，并尽可能地大。这五个数之和最大是多少？

5．将1—8这八个自然数分别填入图中的○内，使每个大圆上五个○内所填数的和等于21。

6．将3—10这八个自然数填在图中立方体八个顶点上的○中，使立方体每个面四个顶点上○中数的和相等。

7．将1—9这九个自然数填入图中的○内，使对角结上五个○内数的和相等，每个正方形四个顶点上数的和也相等。

8．如图，三个正方形组成八个三角形。现在把每个正方形的四个顶点上都分别填上2，3，4，5这四个数。这连续的八个自然数各是多少|

9．如图，三个圆相互交割成七部分，请在空白部分中分别五上2，3，5，7，使每个圆圈内四个数之和都等于15。

10．上右图是五圆连环图，相互交割成九个部分。将1—9这九个自然数分别填入九个部分内，使每个圆圈里数的和都相等。

11．下左图中有三个正三角形，其中有三条通过四点的线段。请你把1—9这九个自然数分别填在九个黑点的旁边，使每个正三角形顶点上三个数的和相等，每条线段上四个数

的和也相等。

12．将1—16这16个自然数填入图中的16个圆圈内，使每条线段上四个圆圈内数的和相等，两个八边形顶点上的数的和也相等。

能力测试（二）

（满分100分，90分钟完成） 一、计算（每小题4分，共32分）。 1．9+99+999+9999+99999+999999 2．1998+1996+1994+1992+?+4+2 3．1.999+2.998+3.997+4.996+?+999.001 4.2.19+6.48+0.51-1.38-5.48-0.62 5.0.6×1.6+0.6×26.4+0.6×2 6.7.5×45+17×2.5

7.1998+199.8+19.98++1.998+0.1998 8.205×32-68×95

二、解答下面和问题（第1—4题每题9分，其余每题8分，共68分）。

1．下面是一个没有写完成的算式，请你在等式左边的数字之间插入一些括号和运算符号，使等式成立。（在两个相连数之间，如果没有插入括号或运算符号，就应看成是两位数。比如1和2之间不加括号或运算符号，就看成是12。）

1 2 3 4 5 6 7 8 9=72

2．0，1，2，3四个数字，共能组成多少个各位数字不同的四位数？

3．把元钱换成角票，共有几种换法？（人民币中的角票有五角、二角、一角三种。） 4．在下面和空格中填上1，2，3，4，5，6，7，8，9，使得每行、每列、两条对角线上的三个数之和都相等。

5．1998个1998相乘，结果的末位数字是多少？ 6．下面写了一串数：

0，1，6，7，12，13，18，19，?

按照这个规律写下去，第1998个数被除余多少？

7．下面图中，从左向右、从上到下读“我们爱数学”，共有多少种读法？

我 们 爱 们 爱 数 爱 数 学 8.在自然数中，从1998开始往后数，第1998个不能被7整除的数是多少？ 第17讲 平面图形的计算（一）

在这两讲，我们主要讨论这样的问题：根据已知平面图形的特点以及图中各部分之间的关系，应用公式或其他数量关系，计算出该图形（或其中某个部分）的面积或图形中有关线段的长度。

到目前为止，我们已经学过了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这五咱简单图形，它们的概念、性质（特征）与它们的周长、面积的意义的计算公式，课本上都作了介绍。这些都是我们解答“图形计算”问题所必需的基础知识。

例题与方法

例1．图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

例2．计算右图的面积。（单位：厘米）

例3．如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。

例4．右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：分米）

例5．下页左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？（单位：米）

练习与思考

1．求图中阴影部分的面积。

2．求图中阴影部分的面积。

3．下左图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。

4．四中平等四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，

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