二次函数导学案

第二十二章 二次函数

22.1.1 二次函数

一、阅读教科书第28—29页 二、学习目标：

1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点：

一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 四、基本知识练习

3

1．观察：①y＝6x2；②y＝－ x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的

2或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．

2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．

3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2 （2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2

（4）y＝3x3＋2x2

五、课堂训练 1．y＝(m＋1)x

m2?m6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

六、目标检测

1．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（ ） A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 2．下列函数中，是二次函数的是（ ） A．y＝x2－1

B．y＝x－1

8

C．y＝

x

D．a≠－1

8

D．y＝2

x

1

（5）y＝x＋

x

－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．

2．下列函数中是二次函数的是（ ） 1

A．y＝x＋

2

B． y＝3 (x－1)2

C．y＝(x＋1)2－x2

1

D．y＝2 －x

x

3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A．28米 B．48米 C．68米 D．88米

4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式

_______________________．

5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3． 求：（1）函数y与x的函数关系式；

（2）当x＝4时，y的值；

1

（3）当y＝－ 时，x的值．

3

1

3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．

4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求 这个二次函数解析式．

22.1.2 二次函数y＝ax2的图象与性质

一、阅读课本：P29—31上方 二、学习目标：

1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y＝ax2的图象；

3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用． 三、探索新知：

画二次函数y＝x2的图象．

【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】 列表： x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? y＝x2 ? ? 描点，并连线

由图象可得二次函数y＝x2的性质：

1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．

2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________． 3．自变量x的取值范围是____________．

4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．

5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y＝x2的_________． 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”） ．

四、例题分析

例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝1

x2，y＝x22，y＝2x2的图象．

解：列表并填：

x ? －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ? y＝1 x2 2 ? ?

2

y＝x2的图象刚画过，再把它画出来． x ? －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ? y＝2x2 ? ?

归纳：抛物线y＝1

2 x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________； 对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．

例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－1

2 x2， y＝－2x2的图象．

列表： x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? y＝x2 ? ?

x ? －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ? y=－12 x2 ? ?

x ? －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ? y＝－2x2 ? ?

归纳：抛物线y＝－x2，y＝－1

2

x2， y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________， 对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ．

五、理一理

1．抛物线y＝ax2的性质 图象（草图） 开口 有最高或方向 顶点 对称轴 最低点 最值 a＞0 当x＝____时， y有最_______ 值，是______． 当x＝____时，a＜0 y有最_______ 值，是______．

2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______ 对称，开口大小_______________．

3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________； 当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_________；

因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越________．

六、课堂训练 1．填表： 开口方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值 y＝2当x＝____时，y有最3 x2 _______值，是______． y＝－8x2

2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________． 3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________． 4．如图， ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2

比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接． ___________________________________

七、目标检测

1．函数y＝3

7 x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，

当x＝___________时，有最_________值是_________．

2．二次函数y＝mxm2?2有最低点，则m＝___________．

3．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值 范围为___________．

4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．

3

22.1.3 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

一、阅读课本：P32—33上方 二、学习目标：

1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；

2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用； 3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系． 三、探索新知：

在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象． 解：先列表

x y＝x2＋1 y＝x2－1 描点并画图

观察图象得： 1． y＝x2 y＝x－1 y＝x2＋1 2 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y＝ax2 y＝ax2＋k a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________； a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________． ? ? ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? ? ? 最值 增减性

2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．

因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________； 把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．

3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2

开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 最值 与y＝ax2＋k的形状__________________．

五、课堂巩固训练

1．填表 函数 草图 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 y＝3x2

2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．

3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．

四、理一理知识点 1．

4

y＝－3x2＋1 y＝－4x2－5 2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛

物线解析式____________________________．

4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．

六、目标检测

1．填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性 y＝－5x2＋3 y＝7x2－1

2．抛物线y＝－1 x2－2可由抛物线y＝－1

x233＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________． 4．抛物线y＝4x2

－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．

5

22.1.3 二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质

一、阅读课本：P33—34页 二、学习目标：

1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；

2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用； 三、探索新知：

11

画出二次函数y＝－ (x＋1)2，y－ (x－1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．

y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a (x-h)2 开口方向 顶点 22先列表：

x ? －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ? y＝－12 (x＋1)2 ? ? y＝－12 (x－1)2 ? ? 描点并画图．

1．观察图象，填表： 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 y＝－1 (x 2＋1)2 y＝－1 (x－1)2 2 2．请在图上把抛物线y＝－1

2

x2也画上去（草图）．

①抛物线y＝－111

2 (x＋1)2 ，y＝－2 x2，y＝－2 (x－1)2的形状大小____________．

②把抛物线y＝－12 x2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－1

2 (x＋1)2 ；

把抛物线y＝－11

2 x2向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－2 (x＋1)2 ．

四、整理知识点

1．

对称轴 最值 增减性 （对称轴左侧）

2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 五、课堂训练

1．填表 图象（草图） 开口 对称方向 顶点 轴 最值 对称轴 右侧的增减性 y＝1 x22 y＝－5 (x＋3)2 y＝3 (x－3)2

2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________． 3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________． 把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________． 4．将抛物线y＝－1

3

(x－1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．

5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．

6

六、目标检测

1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞

－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．

2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则 m＝__________，n＝___________．

3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________． 4．若抛物线y＝m (x＋1)过点（1，－4），则m＝_______________．

2

7

22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质

一、阅读课本：第35-37页． 二、学习目标：

1．会画二次函数的顶点式y＝a (x－h)2＋k的图象； 2．掌握二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质；

3．会应用二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质解题． 三、探索新知：

画出函数y＝－1

2 (x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．

列表：

x ? －4 －3 －2 －1 0 1 2 ? y＝－1 2 (x＋1)2－1 ? ?

由图象归纳： 1． 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 y＝－1 2 (x＋1)2－1

2．把抛物线y＝－11

2 x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－2 (x＋1)2－1．

四、理一理知识点

y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a (x-h)2 y＝a (x－h)2＋k 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 （对称轴右 侧）

2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________． 五、课堂练习 1． y＝3x2 y＝－x2＋1 y＝12 (x＋2)2 y＝－4 (x－5)2－3 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 （对称轴左 侧）

2．y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同，而____________不同． 3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝1

2 x2相同的解析式为（ ）

A．y＝1

(x－2)22＋3

B．y＝1

2 (x＋2)2－3

C．y＝1

2

(x＋2)2＋3

D．y＝－1

2

(x＋2)2＋3

4．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．

5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为

8

_______________________．

6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值． 7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为 __________________．

六、目标检测

1． y＝x＋1 y＝2 (x－3) y＝－ (x＋5)－4

2．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．

3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）

222开口方向 顶点 对称轴

A

B

C

D

9

4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为

________________________．

5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为

____________________________．（任写一个）

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

一、阅读课本：第37-39页． 二、学习目标：

1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴； 2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象． 三、探索新知：

1．求二次函数y＝1

2 x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．

解：将函数等号右边配方：y＝1

x22－6x＋21

2．画二次函数y＝1

2

x2－6x＋21的图象．

解：y＝1

x22－6x＋21配成顶点式为_______________________．

列表： x ? 3 4 5 6 7 8 9 ? y＝12 x2－6x＋21 ? ?

3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．

四、理一理知识点： y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 （对称轴 左侧）

五、课堂练习

1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．

2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标． 3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________． 4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．

六、目标检测

1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝1

2 x2－2－1的顶点坐标．

2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．

10

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质

一、复习知识点：“理一理知识点”的内容． 二、学习目标：

1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法； 2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响． 三、基本知识练习

1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________，与x轴的交点坐标____________． 2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________． 3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________． 5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________． 四、知识点应用

1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物

线与x轴交点的横坐标）．

例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．

2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵

坐标）．

例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．

3．a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响． （1）a决定：开口方向、形状

（2）c决定与y轴的交点为（0，c）

（3）b与－b

2a

共同决定b的正负性

??0与x轴有两个交点 （4）△＝b2－4ac???0与x轴有一个交点

???0与x轴没有交点 例3 如图， 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0 △______0

例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9．

①当k为何值时，对称轴为y轴；

②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点； ③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．

五、课后练习

1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______． 2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________． 3．如图： 由图可得： a_______0 b_______0 c_______0 △＝b2－4ac______0

六、目标检测

1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．

2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．

3．如图：

由图可得：a _________0 b_________0 c_________0

△＝b2－4ac_________0

11

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法

一、阅读课本：第39～40页． 二、学习目标：

1．会用待定系数法求二次函数的解析式； 2．实际问题中求二次函数解析式． 三、课前基本练习

1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________． 2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________． 七、课堂训练

1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次 函数的解析式． 3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的 解析式为____________________．

4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－1

2

x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解

析式为________________________________．

四、例题分析

例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．

例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式．

五、归纳

用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．

2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．

3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），

设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）

六、实际问题中求二次函数解析式

例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形

水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．

4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．

A

P BQC

八、目标检测

1．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．

12

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：

22.2 二次函数与一元二次方程 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．

（1）当△＝b2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点； 一、阅读课本：第43～46页 （2）当△＝b2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点； 二、学习目标： （3）当△＝b2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．

1．知道二次函数与一元二次方程的关系． 五、基本知识练习 2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．

数． 2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．

三、探索新知 3．如图，

1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果

不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 考虑以下问题： 的解为________________

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？ 4．如图

一元二次方程ax2＋bx＋c＝3 的解为_________________

2．观察图象：

（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝5．如图 填空：

_______0； （1）a________0

2

（2）二次函数y＝x－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程 （2）b________0

x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0； （3）c________0

（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△ （4）b2－4ac________0

_______0．

六、课堂训练 1．特殊代数式求值： ①如图 看图填空： （1）a＋b＋c_______0 （2）a－b＋c_______0 （3）2a－b _______0

四、理一理知识

1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程

__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数 __________________的函数

值为3的自变量x的值． ②如图 2a＋b _______0

一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx

＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变 4a＋2b＋c_______0

量x的值．

13

2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________； （2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________； （3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________； （4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________； （5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．

七、目标检测

根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0； （8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________； （9）当y＞0时，x的范围为___________； （10）当y＜0时，x的范围为___________；

八、课后训练

1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．

2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．

3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程 ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等实数根 D．无实数根

4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：

①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．

正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．

14

22.3 实际问题与二次函数（1）

一、阅读教科书：P49的问题 二、学习目标：

几何问题中应用二次函数的最值． 三、课前基本练习

1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________．

1

2．抛物线y＝ x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．

2

3．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________． 四、例题分析：（P49的探究1）

用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？

五、课后练习

1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？

2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t2

－5t．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

3．如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD

D的面积最大？

C

A B

15

4．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？

A

ED

CFB

六、目标检测

如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形．当 点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

GDC

H

F

ABE

22.3 实际问题与二次函数（2）

商品价格调整问题

一、阅读课本：第50页（探究2） 二、学习目标：

1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法； 2．会应用二次函数的性质解决问题． 三、探索新知

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？ 解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元． （2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．

四、课堂训练

1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？

2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月

份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：

上市时间x/（月份） 市场售价P（元/千克） 1 10.5 2 9 3 7.5 4 6 5 4.5 6 3 这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．

（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式； （2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；

（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？ （收益＝市场售价－种植成本）

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五、目标检测

某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：

（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？

22.3 实际问题与二次函数（3）

一、阅读课本：第51页探究3 二、学习目标：

1．会建立直角坐标系解决实际问题； 2．会解决桥洞水面宽度问题． 2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不

计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

三、基本知识练习

1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线

的关系式为___________________________________．

2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－1

4

x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为

12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（ ）

A．3m B．26 m C．43 m D．9m

3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为46 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时

水面宽为43 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶 端M处？

四、课堂练习

1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出

a、c的值；

（2）求支柱MN的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，

高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

图①

17

二次函数综合应用

一、复习二次函数的基本性质 二、学习目标：

灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题． 三、课前训练

1．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（ ）

2．如图：

（1）当x为何范围时，y1＞y2?

（2）当x为何范围时，y1＝y2?

（3）当x为何范围时，y1＜y2?

3．如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的

图象，则a＝____________．

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4．若A（－ ，y1），B（－1，y2），C（ ，y3）为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三点，则y1、y2、y3的大小

43关系是（ ）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3

5．抛物线y＝(x－2) (x＋5)与坐标轴的交点分别为A、B、C，则△ABC的面积为__________．

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6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线做匀速运动．当点P运动到点D时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动． （1）求点P从点A运动到点D所需的时间． （2）设点P运动时间为t（秒）

①当t＝5时，求出点P的坐标． ②若△OAP的面积为S，试求出S与

t之间的函数关系式（并写出相应 的自变量t的取值范围）．

四、目标检测

如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A（－1，0），B（3，0）两交点，且交y轴于 点C．

（1）求b、c的值；

（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/on8g.html