物理上4-8习习题解

4-8章习题解答

第4章 振动

P174．

4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：

（1）此简谐振动的表达式；

（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；

（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．

[解答]（1）设物体的简谐振动方程为

x = Acos(ωt + φ)，

其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．

当t = 0时，x = 0.06m，所以

cosφ = 0.5，

因此

φ = ±π/3．

物体的速度为

v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)． 当t = 0时，

v = -ωAsinφ，

由于v > 0，所以sinφ < 0，因此

φ = -π/3．

简谐振动的表达式为

x = 0.12cos(πt – π/3)．

（2）当t = T/4时物体的位置为 x = 0.12cos(π/2 – π/3)

= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为

v = -πAsin(π/2 – π/3)

= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)． 加速度为

a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + φ) = -π2Acos(πt - π/3)

= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．

（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得

cos(πt1 - π/3) = -0.5，

因此

πt1 - π/3 = ±2π/3．

由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此

πt1 - π/3 = 2π/3，

得t1 = 1s．

当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此

cos(πt2 - π/3) = 0，

可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等． 由于t2 > 0，所以

πt2 - π/3 = 3π/2， 可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．

所需要的时间为

Δt = t2 - t1 = 0.83(s)． 方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此

cos(πt - π/3) = 0，

可得 πt - π/3 = π/2， 解得 t = 5/6 = 0.83(s)．

[注意]根据振动方程

x = Acos(ωt + φ)，

当t = 0时，可得

φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π）， 初位相的取值由速度决定．

由于

v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)， 当t = 0时，

v = -ωAsinφ，

当v > 0时，sinφ < 0，因此

φ = -arccos(x0/A)； 当v < 0时，sinφ > 0，因此

φ = arccos(x0/A)． 可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位

置x0 = -A时，φ = π．

4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：

（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；

（2）振

x 动表达式；

A a （3）画A/2 b 出旋转矢量O c 图．

d t [解答]e 方法一：由图6.2 位相求时间．

（1）设曲线方程为

x = AcosΦ，

其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．

由于xa = A，所以

cosΦa = 1，

因此 Φa = 0．

由于xb = A/2，所以

cosΦb = 0.5，

因此 Φb = ±π/3；

由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此

Φb = π/3． 由于xc = 0，所以

cosΦc = 0，

又由于c点位相大于b位相，因此

Φc = π/2．

同理可得其他两点位相为 Φd = 2π/3，Φe = π．

c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为

ta = T/6．

到达b点的时刻为

tb = 2ta = T/3．

到达c点的时刻为

tc = ta + T/4 = 5T/12．

到达d点的时刻为

td = tc + T/12 = T/2．

到达e点的时刻为

te = ta + T/2 = 2T/3． （2）设振动表达式为

x = Acos(ωt + φ)，

当t = 0时，x = A/2时，所以

cosφ = 0.5，

因此

φ = ±π/3；

由于零时刻的位相小于a点的位相，所以

φ = -π/3，

因此振动表达式为

x?Acos(2?tT??3)．

另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；

由于其斜率大于d c 零，所以速度大b 于零，因此初位e a 相取负值，从而

O φ x 可得运动方程．

A （3）如图旋转矢量图所示．

方法

二：由时间x 求位相．将

A a 曲线反方A/2 b f 向延长与tO c t 轴相交于fd 点，由于xf e = 0，根据

运动方程，可得

cos(2?tT??3)?0

所以

2?tfT??3???2． 显然f点的速度大于零，所以取负值，解得tf = -T/12．

从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为

ta = T/4 + tf = T/6，

其位相为

?taa?2?T??3?0． 由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．

4．3如图所示，质量为10g的子弹以速度v = 103m·s-1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压M 缩而作简谐振m v k 动．设弹簧的

倔强系数k =

图4.3 8×103N·m-1，木块的质量为4.99kg，不计桌面摩擦，试求：

（1）振动的振幅； （2）振动方程．

[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即

mv = (m + M)v0．

解得子弹射入后的速度为

v0 = mv/(m + M) = 2(m·s-1)，

这也是它们振动的初速度．

子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得

(m + M) v02/2 = kA2/2，

所以振幅为

A?vm?M0k= 5×10-2(m)． （2）振动的圆频率为

??km?M= 40(rad·s-1)．

取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方程可设为

x = Acos(ωt + φ)．

当t = 0时，x = 0，可得

φ = ±π/2；

由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为

x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)．

4．4 如图所示，在倔强系数为k的

弹簧下，挂一质量为

k M的托盘．质量为mx1 x2 的物体由距盘底高m O h处自由下落与盘h 发生完全非弹性碰

M 撞，而使其作简谐振

动，设两物体碰后瞬

x 时为t = 0时刻，求

图4.4 振动方程．

[解答]物体落下后、碰撞前的速度为

v?2gh，

物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为

v0?mmm?Mv?m?M2gh，

这也是它们振动的初速度． 设振动方程为

x = Acos(ωt + φ)，

其中圆频率为

??km?M．

物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x1，则

x1 = Mg/k．

物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x2，则

x2 = (M + m)g/k．

取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为

x0 = x1 - x2 = -mg/k． 因此振幅为

A?x2?v20mg22ghm20?2?(k)?k(m?M) ?mg2khk1?(m?M)g； 初位相为

??arctan?v02kh?x?． 0(m?M)g

4．5重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．

[解答]（1）可以证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k = k1k2/(k1 + k2)，因此固有

频率为

k1 k ???2π k 2 ?1k2πm (a) (b)

图4.5

?1k1k2g2?(k1?k2)P．

（2）因为当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为

???12k2π?2?m?12kg2?P．

4．6 一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．

[解答]方法一：用转动定理．通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为 O R Ic = mR2

． θ C 根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为

I = Ic + mR2 = 2mR2．

mg 当环偏离平衡位置时，重力的力矩为

M = -mgRsinθ，

方向与角度θ增加的方向相反．

根据转动定理得

Iβ = M，

即 Id2?dt2?mgRsin??，0

由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得微分方程

d2?dt2?mgRI??0． 摆动的圆频率为

??mgRI， 周期为

T?2π??2?I2R．

mgR?2?g方法二：用机械能守恒定律．取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度θ时，重力势能为

Ep = mg(R - Rcosθ)， 绕O点的转动动能为

Ek?12I?2， 总机械能为

E?12I?2?mg(R?Rcos?)． 环在转动时机械能守恒，即E为常量，将上式对时间求导，利用ω = dθ/dt，β = dω/dt，得

0 = Iωβ + mgR(sinθ) ω，

由于ω ≠ 0，当θ很小有sinθ≈θ，可得振动的微分方程

d2?dt2?mgRI??0， 从而可求角频率和周期．

[注意]角速度和圆频率使用同一字母ω，不要将两者混淆．

4.7 横截面均匀的光y滑的U型管中有适量液

体如图所示，液体的总

y长度为L，求液面上下

0yy微小起伏的自由振动的频率。

图4.7

解：建立竖直坐标如图，令微小振动中，两臂水银面相平时，水银面坐标为0，水银的重力势能为0，则以右臂水银面的坐标为准，在振动中任一时刻，水银的运动速度

??dydt．这时振动中水银的动能为12mv2，水银的势能（看作两水银面相平的状态下，从右臂移高度为y的一段水银柱到

左臂，则有质量为S?y的水银升高了高度y）

为S?gy2

．因振动中机械能守恒 12m?2?S?gy2?常量 对t求导数可得 mvd?dt?2S?gy??0 化

简 mdy2dt2?2S?gy?0 这就是简谐振动的微分方程． 由此可得振动角频率 ??2S?gm ??2S?g2gS?L?L

4．8 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧

组成的系统，按x?0.1cos(8?t?2?3)的规律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求：

（1）振动的圆频率、周期、振幅、初

位相；

（2）振动的速度、加速度的最大值；

（3）最大回复力、振动能量、平均动

能和平均势能；

（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位

置．

[解答]（1）比较简谐振动的标准方程

x = Acos(ωt + φ)，

可知：圆频率为

ω =8π，

周期

T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，

振幅为

A = 0.1(m)，

位相为

φ = 2π/3．

（2）速度的最大值为

vm = ωA = 0.8π = 2.51(m·s-1

)； 加速度的最大值为 am = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s-2)． （3）弹簧的倔强系数为 k = mω2， 最大回复力为 f = kA = mω2A = 0.632(N)；

振动能量为 E = kA2/2 = mω2A2/2 = 3.16×10-2(J)，

平均动能和平均势能为

E2k?Ep= kA2/4 = mωA2/4 = 1.58×10-2(J)．

（ 4 ）如

图t=1,2,10s 所示，当t为1，2，A 时，旋转矢量的 10s

等时刻O x 位置是相同的．

4．9 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m = 1.68×10-27kg，振动频率v = 1.0×1014Hz，振幅A = 1.0×10-11m．试计算： （1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量． [解答]（1）氢原子的圆频率为 ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s-1)， 最大速度为 vm = ωA = 6.28×103(m·s-1)． （2）氢原子的能量为 E?122mvm= 3.32×10-20(J)． 4．10 质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k = 25N·m-1，如果开始振动时具有势能0.6J，和动能0.2J，求： （1）振幅； （2）位移多大时，动能恰等于势能？ （3）经过平衡位置时的速度．

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