六年级奥数全套专题系列：数论

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平方数、奇偶性、位值原理

知识框架

一、 1. 特征

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。 2. 性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因

数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n?1|N，则p2n|N．

性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一

个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3. 一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

完全平方数常用性质

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5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

4. 重点公式回顾：平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b) 二、

奇数和偶数

1. 定义

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 2. 奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数

性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 3. 两个实用的推论

推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。 推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶 三、

位值原理

当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝

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给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 a) 位值原理的定义：

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

b) 位值原理的表达形式：

以六位数为例：abcdef?a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 c) 解位值一共有三大法宝：

（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答

重难点

本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。

例题精讲

【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?

1234567654321?(1?2?3?4?5?6?7?6?5?4?3?2?1)是 的平方． 【巩固】

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【例 2】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

【巩固】 已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。

【例 3】 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。

【巩固】 考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余

各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 .

【例 4】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个

数中最小数的最小值为 ．

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【巩固】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一

个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．

【例 5】 计算111A，求A． ?1－222?2=A×????????2004个11002个2

【巩固】 ①444?4888?89?A2，求A为多少? ??????????2004个42003个8 ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？

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【例 6】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以

5后是5次方数．

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【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

【例 7】 一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数

是多少？

【巩固】 一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶

数的和是多少？

【例 8】 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说

明理由。

（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10 （2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27

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【巩固】 是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？

【例 9】 有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、??、14页和15页

的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？

【巩固】 一本故事书共有30个故事，每个故事分别占1、2、3、…、30页（未必按这个顺

序）。第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_____个故事是从奇数页开始的。

【例 10】 能否将1~16这16个自然数填入4?4的方格表中（每个小方格只填一个数），使

得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．

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