魔方我的数学模型

数学模型M

一、基本概念

魔方的6个面分别记为：前--Front (F),后--Back(B),左--Left(L),右--Right (R),上--Up (U),下-- Down(D).分别记为：F=1;B=-1;L=-j;R=j;U=k;D=-k

魔方有26块，分类为: （1） 中心块 ----六个面的中心就叫中心块只有一个面。（2) 边块 ----和中心块相邻的有两个面。记为：上面前后左右用s=1+0+k;-s=-1+0+k;-t=0-j+k，t=0+j+k表示。下面前后左右用下面：m=1+0-k；-m=-1+0-k；-n=0-j-k；n=0+j-k表示。中间层按前左右为Z=1-j+0；H=1+j+0。后左右为Q=-1-j+0；P=-1+j+0 表示。（3) 角块 ----8个在角上有三个面。按顺时针把角块记为：前上右角7=1+k+j；.前上左角5=1-j+k；后上左角4=-1+k-j.；后上右角6=-1+j+k；前下右.角3=1+j-；前下左角1=1-k-j；后下左角0=-1-j-k；后下右角2=-1-k+j。这样我们给各个块以名称和坐标。

不管怎样旋转魔方,中心块的位置是不会变的。边块和角块都会移动,但边块不会移动到角块的位置,同样角块也不会移动到边块的位置。另一种分法：魔方分为3层---- 上层; 中层; 底层.

旋转魔方归纳起来一共有3种方法: （1）顺时针旋转(90度)，例如：顺时F针直角旋转右面，记为 R。（2)逆时针旋转(90度),例如：逆时针直角旋转上面，记为U'（或-U）。（3) 半圈旋转(180度)，例如：旋转前面180度，记为F2。

把坐标写为两套，其中一套用斜体表示，在魔方的块动起来时走到哪里带到哪里不会发生变化，称为色向函数，即各块各面原来的颜色，不会因为位置不同而变化。另一套用正常字体表示，称随位置变化而变化，称为位置函数。

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定义一：关于边块及角块的方向，因为每一个边块有两个面，相对于三个坐标轴的方向x先于y；y先于z；x先于z。即x>y;x>z;y>z即按这个顺序为正，否则为反。因为每一个角块有三个面，以x轴为法向量的面，在变化过程中，如果垂直于x轴的面发生变化，按原来垂直于x轴的面旋转；顺时针为正，逆时针为负。

魔方的基本转动看作是：

U；-D乘以-j , -U；D乘以j, 对于k不起作用； L，-R乘以-k , -L，R乘以k , 对于i不起作用； F乘以ik, -F乘以ki 对于1不起作用。

规定：jj??1;j3??j;j4?1;kk??1;k3??k;k4?1;jk??kj如此一来魔方的转动可以和数学运算结合起来。

例如：顺时针转动上90度即U，角7到了角5的位置上，角7的前面转到了右面，右面转到了前面。不妨设角7前面为红色，上面为白色，右面为蓝色这个问题我们下面可以用运算进行描述。按我们给出的记号与坐标得表一：

上， 乘以-J 7 1+k+j 5 1+k+j -j+k+1 前红，上白，右蓝 左红，上白，前蓝 按描述性定义：按原来垂直于x轴的面旋转角5的垂直于x轴的面即前面；按顺时针为正，角7正占据了角5的位置。按数学性定义：数字向前了为正，所以角7正占据了角5的位置。123按三个位置第一个位置向前即是到了第三个位置。-j乘以k不起作用，说明不发生变化，即其中一个坐标不变。真实的描述了魔方的变化。

这样的定义正好反映了魔方的真实转动情况。魔方每个基本转动总是只有两个坐标发生变化。

顶点的坐标在转动时，如果数字的位置向前移动，则为正占据，如果数字的位置向后移动，则为负占据，边用两个坐标，先x后y;先x后z;先y后z,在移动时这个顺序不变为正，变化为反。

二 基本转动方向及位置的描述表二

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R 3 _ 7 + 绕x -R 7 _ 3 - 绕x k 1+i-k K+i+1 -k I+k+i -k+1+i H - T 变 T - H 变 I+i K+i I+k -k+1 7 _ 6 - 不绕x 6 _ 7 + 不绕x I+k+i k-1+i -1+i+k K+i+1 T - P 变 P - T 变 1+i K+i -1+i K+i 6 _ 2 + 绕x 2 _ 6 - 绕x -1+i+k -k+i-1 -1-k+i -k-1+i P - N 变 N - P 变 -1+i 2 _ 3 - 不绕x 3 _ 2 + 不绕x -1-k+i -k+1+i 1+i-k -k+i-1 N - H 变 H - N 变 i-k i+1 1+i -k+i L 0 _ 4 + 绕x -L 4 _ 0 - 绕x -k -1-i-k k-i-1 k -1+k-i -k-1-i Q - -T 变 -T - Q 变 -1-i -k-i --i-k -i-1 4 _ 5 - 不绕x 5 _ 4 + 不绕x -1+k-i K+1-i 1-i+k k-i-1 -T - Z 变 Z - -T 变 -i+k -i+1 1-i k-i 5 _ 1 + 绕x 1 _ 5 - 绕x 1-i+k -k-i+1 1-k-i K+1-i Z - -n 变 -n - Z 变 1-i -k-i -i-k -i+1 1 _ 0 - 不绕x 0 _ 1 + 不绕x 1-k-i -k-i-i -1-i-k -k-k+1 -n - Q 变 Q - -n 变 -i-k -i-i -1-i -k-i U 7 _ 5 + 绕x -U 5 _ 7 - 绕x -i 1+k+i -i+k+1 i 1-i+k I+1+k S - -T -T - S 1+k i+k -i+k 1+k 5 _ 4 - 不绕x 4 _ 5 + 不绕x 1-i+k -i-1+k -1+k-i -i+k+1 -T - -S -S - -T -i-k -1-k -1-k -i-k 4 _ 6 + 绕x 6 _ 4 - 绕x -1+k-i I+k-1 -1+i+k -i-1+k 3

i F -S -1-k 6 T i+k 1-k-i M 1-k 3 1+i-k N i-k 2 -m -1-k 0 -n -i-k 5 S 1+k 7 1+k+i H 1+i 3 1+i-k M 1-k 1 1-k-i Z 1-i - T i+k I+1+k 1+k i-k+1 i-k i-1-k -1-k -i-k-1 -i-k -i+1-k 1-k 1+k+i 1+i 1+i-k 1-k 1-k-i 1-i 1-k+k 1+k _ 7 - S _ 3 - N _ 2 - -m _ 0 - -n _ 1 - M - 7 - H - 3 - M - 1 - Z - 5 - S - + - + - 绕x 绕x -i ki T i+k 7 1+k+i S 1+k 1+i-k N i-k 2 -m -1-k 0 -n -i-k 1 1-k-i m 1-k 1+k+i H 1+i 3 1+i-k M 1-k 1 1-k-i Z 1-i 5 1-i+k S 1+k - -S -1+k i+k-1 i+k -i+1-k 1-k i-k+1 i-k i-1-k -1-k -i-k-1 -i-k 1-i+k 1+k _ 6 - T _ 1 - M _ 3 - N _ 2 - -m _ 0 - -n - 5 - S - 7 - H 1+i 1+i-k 1-k 1-k-i 1-i - 3 - M - 1 - Z + - + - + 不绕x 绕x 不绕x 绕x 不绕x 不绕x -1+i+k D 1 -D 3 不绕x -1-k+i -1-k+i -1-i-k 不绕x -1-i-k -F 7 ik 1-i+k 1+k+1 魔方的所有转动都是以上基本转动的组合。

分析以上转动的特点，我们发现上述转动：F,F’不会引起垂直于x平面的变化，所以F,F’的转动引起角的变化都是零占据。顺时针凡是经过垂直于x轴的面

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上述转动引起的角的变化都是正常占据。凡是不经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是反常占据。逆时针凡是经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是反常占据。凡是不经过垂直于x轴的面上述转动引起的角的变化都是正常占据。边的变化规律是，只有L L’ R R’的转动引起四个边块的占局发生变化。正变负，负变正。在转动过程中角快数字向前变化为正。数字向后变化为负。与上述是一致的。

我们注意到：六个面的单色魔方称为初始状态，所谓玩魔方的主要问题是把魔方恢复成初始状态。即使的各个块的色向函数与位置函数完全一致。

三 基本组合的描述 例一：研究FD的变化。表三 5 7 3 1 S 1-i1+k1+i1-k1++k +i -k -i k F 7 3 1 5 H 1-i1+k1+i1-k1++k +i -k -i k j1+k1+i-1-k-1=i+1+i k +i k i k D 2 3 1+k1+i +i -k j i-1-i-k+ k 1 - + H m Z 0 2 -n -m n 1+i m 1-k Z 1-i S -1-i-k 1 -1-k+i 0 -I--1-i-k k k m -n -m 1+i 1-k n 1-k 1-i 1-i 1+k 1+i -1-i-k -i+1-k - -1-k+i -I--1-i-k k k i-k -i-k-1 1-k -i-k -1-k + 从表中容易看出转动前后各个块及各个面的变化情况。

说明：表的第一行是魔方的角块边块原来的位置，第一列是对魔方的变换或运算，第二行是魔方受到运算F作用后，引起角块边块变化的新位置。每次变化都是四个角，四个边。第三行是魔方受到运算D作用后，引起角块边块变化的新位置。以下类推，以下的表都是如此。把FD看成是乘积运算，FD共有十三块发生了变化，这十三块分为三个集合，F-D，F∩D， D- F。 例二：研究FDF’的变化。表四 5 7 3 1 S 1-i1+k1+i-1-k1++k +i k -i k F 7 3 1 5 H 1-i1+k1+i-1-k1+

H 1+i m m 1-k Z Z 1-i S 1+1-1-0 -1-i-k 2 -1-k+i -n -I-k -m -1-k n i-k 5

jj 1+i-k -j+1-k -1-k+ i -1-k+j i-k 1-k-i -1-i-1-k k -i-k -1-k -1-k -k+j j-k j-k+1 -k-1-j -k+1 角3____1-,;1____3-,周期为六，

角0自旋-周期为三。 边 m___m,反，周期为二，

-m___-n反,-n___-m正，周期为四，周期为四需要加以说明：

先看处于-m位的变化情况：第一次；-m___-n反，第二次；-n反____-m反，第三次；-m反__-n反反=正,第四次；-n____-m。

再看处于-n位的变化情况：第一次；-n___-m，第二次；-m____-n反，第三次；-n反__-m反,第四次；-m反____-n反反=正=-n)。 角3____1-,;1____3-,周期为六，周期为六需要加以说明：

第一次角3____1(-1/3)；1____3(-1/3)。 第二次角1____3(-2/3)；3____1(-2/3)。

第三次角3____1(-3/3=-1)；1____3(-3/3=-1)3与1换位不换向。 第四次角1____3(-1/3)；3____1(-1/3)。 第五次角3____1(-2/3)；1____3(-2/3)。

第六次角1____3(-3/3=-1)；3____1(-3/3=-1)又换了回来。 所以整个周期为十二。

法则二二：（对调相对两角）R’D’RFD2F’DR’DRD表八 -R 6 7 3 2 T j+k H j+k I+1 H n P -1+i t -1+i K+i 1 0 m 1-k -n 1-k -i-k -n -m -1+i+k 7 1+k+i 3 1+i-k 2 -1-k+i 6 1+i i-k n P 1-k-i 0 -1-i-k 2 -i-k -1-k -m n -1+i+k 1+k+i -k+1+i 1 1+i-k -k+i-1 3 -1-k+i K+1+i 1+i i-k -k+i m i-1 -k K+i+1 -D -i 1+k+i -k-i+1 1+i-k -k+1+i 1+i -k+1 1-k-i -i-k-1 -1-i-k i-1-k -i-k -1-k -1-k i-k 11

R k F 6 5 7 2 T j+k j+k z n i-k i-k P -1+i -1+i t -1+i 3 3 m H -1-k i+1 m -1-k -k+1 -m -1+i+k -1+i+k 1+i-k 1+k+i 3 -1-k+i -1-k+i -1-i-k i-k+1 1 n 1-k 1+k+i -j+k+1 1 1+i-k 1+i -j+1 m -n i-k -j-k -1-i-k -k-j+1 2 jk 2D jj 1+j-k 0 1 1+i-k -1-j-k 1 -1-k+i 1-k-j 3 1-k-i j-k+1 7 -1-i-k -k+j-1 6 -i-k -1-k j-k 1-k -k-1 P 1-k H -i-k 1+j n -F 1+k+i -k-j+1 3 -1-k+i 1+i -k+1 n m 1-k-i K+j+1 3 jk -R 7 1+j-k 2 H j+k J+1 -1+i+k -1-k+i -k+j-1 0 1-k-i -1-i-k -1+j+k -i-k -n -k K+j+1 D i R k D j 6 k+j 1+j-k P -1+i -1+j 2 j-1 -k+j n 1-k -m 1+k+i -k+1+j 7 1+i-k -j+1-k 3 -1-k+i 1+i i-k -k+j H 1-k 1-k-i -i-k -1-k -k-1 -k-j m -k-1-j 1 t j+k J+k j-1-k 3 2 -1+i+k -1+j+k 1+k+i 1+k+j 1+i 1+j n 1-k-i j-k+1 2 -1-i-k -k+j-1 0 j-k -m -n 1-k 1+i-k -1-k+i 1+i-k j-k 1-k-i -1-k+j -1-i-k -i-k -1-k -k-j -k+j 1+j-k -k-j+1 -k-1-j 1-k 角2____1+,;1____2,周期为六，角0自旋-，周期为三。

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边 -n___-n,反，周期为二，-m___m,反m___-m正，周期为四 所以整个周期为十二。

法则二一: （对调相邻两角）R’D’RFD(*)F。R。DRD2。 法则二二:（对调相对两角）R’D’RFD2(*)F。R。DRD。

前四步R’D’RF，与第六七八九步F。R。DR完全相同。只是第五步，第十步稍微不同，前是D，D2后是D2，D。其指数和都是三，D是对调相邻两角，D2是对调相对两角。

施行F使得Z,5,S变为S,3,H。再施行-F使得S,3,H。变为: Z,5,S。回到了原来的位置。为了节省表格稍微小些，没有写出，特此说明。

法则三：（角定向）R’D’RD’R’D2RD2。表九 6 7 3 2 T I+k H I+k I+1 I+k T I+k H 1+i n 1+i -k+i m 1+i -k+1 -n 1+i n i-k P i-k i-1 n i-k i-k m i-k P -1+i t -1+i K+i P -1+i 1 0 m -n -m -1+i+k -1+i+k 1+k+i 3 1+i-k 2 -1-k+i 6 1-k-i 0 -1-i-k 2 1-k -i-k -1-k -n -m n -R 7 1+k+i -k+1+i 1 1+i-k -k+i-1 3 -1-k+i K+1+i 2 -k K+i+1 -D -i R k 6 1+k+i -k-i+1 0 1+i-k -k+1+i 7 1-k-i -i-k-1 -1-i-k i-1-k 3 1-k -i-k -1-k -i-k -m -1-k n i-k H -1-k i+1 -1+i+k -1+i+k 1+i-k 1+k+i -1-k+i -1-i-k i-k+1 1 -1-k+i I+k 3 H I+k I+1 -i+i 2 -D -i 1+k+i -1-k+i i-k+1 2 1-k-i -1-k+i 6 -1-i-k 1-k-i 1-k -i-k -1-k i-k P n -k-1-i 3 -k-i 1-k t -1+i K+i -R 7 -1+i+k 1+i-k -k+1+i -1-k+i i-1-k 1-k-i k-1+i -i-k -1-k i-1 i-k -k K+i+1

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2D Ii R k 2D ii 6 3 0 1 n 1+i -k+i H 1+i 1+i 原 -m i-k -1-k m i-k P -1+i -1+i 2 2 m -n -1-k -i-k 1+k+i -k+1+i 7 1+i-k -1-k+i -1-i-k 1-k -k-1-i -i+1-k 3 2 T I+k I+k 原 -1-k+i 1-k 3 -m n -1+i+k -1+i+k 原 1+k+i 1+k+i 原 1-k-i -1-k+i 1 -1-i-k -k+1+i 0 -i-k i-k -n n 1+i-k -k+1+i - -1-k+i i-1-k - 1-k-i -1-i-k 1-k -i-k -1-k -1-k 正 -i-k 原 i-k 正 1-k 正 1-k-i -k-1-i 原 - 周期为三，m__-m; -m__n; n__m;周期为三，0,2,3;都是自旋-周期为三，所以整个为三。

法则四，法则五中多次施行-LR和LR：

施行-L使得Z,5,-t,4,Q变为-T,4,Q,0,-n。再施行L使得-T,4,Q,0,-n变为:Z,5,-t,4,Q。回到了原来的位置。

施行R使得H,7,t,2,P变为：T,6,P,2,n。再施行-R使得T,6,P,2,n变为：H,7,t,2,P。回到了原来的位置。

法则四重复三次，法则五重复四次，为了节省表格省略不写，特此说明。 法则四：（边定位法则一）(R’L)F(RL’)D2 (R’L)F(RL’)。表十 S 3 m 1 -n 0 -m 2 1+k 1+j-k 1-k 1-k-j -j-k -1-j-k -1-k -1-k+j -LR 7 5 z 1 3 1+i-k 1-k-j -j-k -1-j-k -1-k+j k K+j+1 K+1-j -j+1 -k-j+1 -k+1+j F H 3 Z 7 S 5 1 1+k 1+i-k 1-k 1-k-j -j-k -1-j-k -1-k+j ik 1+j i-k+1 1-j J+1+k K+1 -j+k+1 -j+1-k L-R n 2 -n 3 1 0 1+k 1+i-k 1-k 1-k-j -1-j-k -1-k+j -k -k+j j-1-k -k-j j-k+1 -j+1-k -j-1-k 2D -n 1 n 0 2 m 3 14

n j-k H j-k J+1 m j-k -k+1 -m

ii -lR k F ik L-R -k 1+k -k-j z 1+k 1-j S 1+k 1+k 1+i-k -j+1-k 5 1+i-k -j+k+1 7 1+i-k K+j+1 3 1+i-k 1+j-k 1-k -k+j H 1-k K+1 m 1-k 1-k 原 1-k-j -j-k-1 1 1-k-j -j+1-k 5 1-k-j K+1-j 1 1-k-j 1-k-j H -j-k J+1 n -j-k j-k 正 -1-j-k j-1-k 3 -1-j-k j-k+1 1 -1-j-k -k-j+1 0 -1-j-k -1-j-k -1-k 1-k z -1-k 1-j -n -1-k -k-j 反 -1-k+j j-k+1 7 -1-k+j J+1+k 3 -1-k+j -k+1+j 2 -1-k+j -1-k+j j-k -k-1 反 这里有一个主线：上面的边块沿着s,H,n, –n, Z又回到了s原来的地方。 -n___n正；n___-m; 反 ； -m___-n反；所以周期为三。

法则五：（边定位定向法则二）(R’L)F(RL’)D‘ (R’L)F’(RL’)D’ (R’L)F2(RL’)。表十一 S 3 m 1 -n 0 -m 2 n 1+k 1+j-k 1-k 1-k-j -j-k -1-j-k -1-k -1-k+j j-k -LR 7 5 z 1 3 H 1+i-k 1-k-j -j-k -1-j-k -1-k+j j-k k K+j+1 K+1-j -j+1 -k-j+1 -k+1+j J+1 F H 3 Z 7 S 5 1 m 1+k 1+i-k 1-k 1-k-j -j-k -1-j-k -1-k+j j-k jk 1+j i-k+1 1-j J+1+k K+1 -j+k+1 -j+1-k -k+1 L-R n 2 -n 3 1 0 1+k 1+i-k 1-k 1-k-j -1-j-k -1-k+j -k -k+j j-1-k -k-j j-k+1 -j+1-k -j-k-1 -D m 3 -m 1 0 n 2 -n 1+k 1+i-k 1-k 1-k-j -1-j-k -1-k -1-k+j j-k -j -k+1 1+j-k -k-1 1-k-j -1-j-k j-k -1-k+j -k-j -lR 7 5 1 H 3 z 1+i-k 1-k-j -1-j-k -1-k -1-k+j j-k k K+j+1 K+1-j -k-j+1 J+1 -k+1+j 1-j -F H 5 1 z 3 S 7 m 1+k 1+i-k 1-k-j -j-k -1-j-k -1-k -1-k+j j-k kj J+1 -j+k+1 -j+1-k -j+1 j-k+1 k+1 J+1+k 1-k L-R n 1 0 -n 2 3 1+k 1+i-k 1-k-j -j-k -1-j-k -1-k+j -k j-k -j+1-k -j-k-1 -j-k j-1-k j-k+1 -D m 0 n 2 -m 3 1 -n 1+k 1+i-k 1-k 1-k-j -j-k -1-j-k -1-k+j j-k -j 1-k -1-j-k -k+j -1-k+j -1-k 1+j-k 1-k-j -j-k

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-lR k 2F ikik L-R -k S 1+k 1+k 1 1+i-k -k-j+1 7 1+i-k K+j+1 3 1+i-k 1+j-k H 1-k 1+j z 1-k 1-j -n 1-k -k-j 反 3 1-k-j -k+1+j 5 1-k-j k+1-j 1 1-k-j 1-k-j 正 7 -1-j-k k+j+1 1 -1-j-k -k-j+1 0 -1-j-k -1-j-k m -1-k -k+1 反 5 -1-k+j k+1-j 3 -1-k+j -k+1+j 2 -1-k+j -1-k+j z j-k -j+1 H j-k j+1 n j-k j-k 原 这里有一个主线：上面的边块沿着s ,H, n, m, H, n,,m又回到了s原来的地方。 -n___-m正；-m___m; 反 ； m___-n反；所以周期为三。

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