数值分析(清华大学出版社)

第一章

3.已知e=2.7182818..，求以下近似值xA的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？

（1）x?e,xA?2.7； （2）x?e,xA?2.718；

（3）x?ee,xA?0.027； （4）x?,xA?0.02718。 100100解：（1）x?e?2.7182818..,xA?2.7?0.27?101 x?xA?0.01828...?0.05?0.5?10 ?xA?2.7有2位有效数字

?1x?xAxA?6.8?10?3

（2）xA?2.718

x?xA?0.00028...?0.0005?0.5?10

?3xA?2.718有4位有效数字 x?xA?1.04?10?4 xA（3）x?e?0.027182818...,xA?0.027?0.27?10?1 100?3 0.5100.?00?05 x?xA?0.000182?8... ?xA?0.027有2位有效数字

x?xAxA?6.8?10?3

（4）xA?0.02718

x?xA?0.0000028...?0.000005?0.5?10

?5xA?2.718有4位有效数字 x?xA?1.04?10?4 xA

4.正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2? [解]由?A((lA))?[(lA)]??A(lA)?2lA?A(lA)可知，若要求?A((lA)2)?1，则

22?A(lA)??A((lA)2)?111，即边长应满足l?100?。 ?2lA2?100200200

5(1)

①1-cos2°=1-0.9994=0.0006 只有一位有效数字 ②1-cos2°=2sin21°=2×0.01752≈0.6125×10?3

6.125?10?4?6.0917298?10?4=0.3327

?10?5＜0.5?10?5?0.5?10?3?2?0.6125?10?3具有2位有效数字xA??0.a1a2a3??an?10k?n若x?xk-nA?0.5?10则称xA具有几位有效数字

③

1?cos2???sin2??21?cos2???0.0349?21?0.9994?6.0919?10?4?0.60919?10?46.0919?10?4?6.0917298?10?4?0.0001702?10?4＜0.0005?10?4?0.5?10?7?0.5?10?3?4?0.60919?10?3有4位有效数字(2)

?24?π???π?1?cos2???90??90?2！???4！?6.092?10?46.092?10?4?6.0917298?10?4?0.0002702?10?4＜0.0005?10?4?0.5?10?7?0.5?10?3?4 ?6.092有4位有效数字6.求解方程x2?56x?1?0，使其根至少有四位有效数字，738?27.982。

计算中要求用

?b?b2?4ac2a解：利用求根公式求得两个根为x??28?783， 由x?28?783与783?27.982（五位有效数字）可知

x1??28?783??55.982（五位有效数字）

x2??28?783??28?27.982??0.018，只有两位有效数字，不符合题意。 由于两个相近数相减误差很大，所以利用韦达定理可知

1x2?a???0.017863x1x1

7. 设f(x)?x(x?1?x)，g(x)?cx，用四舍五入的六位数字运算分别计算

x?1?xf(500)和g(500)的近似值，并分析哪个结果计算比较准确，原因何在？

解：用四舍五入法保存6位有效数字可得

500?22.3607

501?22.3830f(500)?500(500?1?500)?500??22.3830?22.3607??11.1500； g(500)?500?500??22.3830?22.3607??11.1748

500?1?500而f(500)?g(500)?11.1747553

因此g(500)比较准确，原因是相近数相减有效数字会有所损失，故g(500)更加准确。 8.下列公式要怎样变换才能使数值计算时能避免有效数字的损失？ (1)

?N?1N1dx,N??1 1?x2(2)x?11?x?,x??1 xx(3)ln(x?1)?lnx,x??1

22(4)cosx?sinx,x??4

解：（1）

因为?N?1N1dx?arctan(N?1)?arctanN，当N充分大时为两个相近数相减，21?xN?1)，??arctanN，则N?1?tan?，N?tan?，从而 设??arctan(tan(???)?tan??tan?(N?1)?N1， ??21?tan?tan?1?N(N?1)N?N?1因此?

(2)当

N?1N11dx?????arctan。 221?xN?N?1x充分大时为两个相近数相减，利用分子有理化得

x?112?x?? xx?11??x?x??x??xx?????1?? x?

(3)当x充分大时为两个相近数相减，利用对数的性质得ln(x?1)?lnx?ln?1?(4)当x?

?4时为两个相近数相减，利用三角公式性质得cos2x?sin2x?cos2x10、已知,x.试求中函数的范围和.

11.求下列向量的范数xT?,x1,和x2.

(1)x??2,1,?3,4?; (2)x?sink,cosk,2解：（1）x（2）x?k?,k?N.

?10,x2??4,x1?30

，

??2k,x1?sink?cosk?2kx2?1?4k

13.求下列矩阵A的范围A1,A2,A?以及?(A).

?2?10??1?2???（1）A?? （2）A??12?1 ?????34???0?12??解：（1）A1?max1?j?n?xi?1ni=6

A2????(AA)??=5.46 A??maxAx?=7

x??1T12?(A)=?max(ATA)=5.3723 （2）A1?max1?j?n?xi?1ni=4

A2????(AA)???2?2=3.4142 A??maxAx?=4

x??1T12?(A)=?max(ATA)?2?2=3.4142

?2a?1???19.确定a的取值范围使，A?a21为对称正定矩阵

?????114??解：由题可知A矩阵为对称矩阵，而A成为对称正定矩阵的充要条件是A的顺序主子式

?i?0,i?1,2,3

故?1?2?0

?2a?2?2???a?4?0? ?a2?则?2?a?2?2a?1????4a2?2a?12?0?3??a21?? ???114??3则?2?a?2故联立可以得到a???2,?

??3?2?21、

?a10??? A??b21?

??012??分别求出所有的a、b值，使得： （1） A奇异；

（2） A严格对角占优； （3） A对称正定；

解：（1）因为Ａ奇异，所以矩阵Ａ的行列式的值等于零。求得ａ、ｂ值应满足 ３ａ＝２ｂ。

??a?1 （2）根据严格对角占优矩阵的定义可列出不等式???2?b?1解得a?1,b?1

(3)因为矩阵Ａ对称，所以ｂ＝１。

因为A对称正定，所以A的所有顺序主子式值全部大于零。

一阶顺序主子式大于零得：a＞0 二阶顺序主子式大于零得：2a＞1 三阶顺序主子式大于零得：3a＞2

解得a＞2/3。

所以满足A对称正定的条件是b=1，a＞2/3。

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