考研数学二历年真题2001

数学二历年考研试题（2001~2012）

1

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线2

21

x x y x +=

-的渐近线条数 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )

(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),

n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设2

sin d ,(1,2,3),k x

k I e

x x k π=

=?

则有

( )

(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有

(,)(,)

0,0,

x y x y x y

??>成立的一个充分条件是

( )

(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12

y x x y π

==±

=围成，则5

(1)d d D

x y x y -=??

( )

(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π

(7) 设1100c ??

?

= ? ???α,2201c ?? ?= ? ???α ,3311c ?? ?=- ? ???α ,4411c -?? ?= ? ?

??α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组

数学二历年考研试题（2001~2012）

2

线性相关的为 ( )

(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα

(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且11

000

1000

2P AP -?? ?

= ? ???

.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1

Q

AQ -= ( )

(A) 1

000

2000

1?? ? ? ??

? (B) 10001000

2?? ? ? ??

? (C) 2

0001000

2?? ? ? ??

? (D)2

0002000

1??

? ? ??

?

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2

1y

x y e -+=所确定的隐函数，则

2

2

x d y dx

== .

(10) 222221

1

1

lim 12n n n n n n →∞?

?

+++= ?+++?? . (11) 设1ln ,z f x y ??=+ ???

其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ??+=?? .

(12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件1

1x y ==的解为y = .

(13) 曲线()2

0y x x x =+<

上曲率为

2

的点的坐标是 .

(14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则

*

BA = .

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)

已知函数()11sin x f x x

x

+=

-

，记()0

lim x a f x →=，

数学二历年考研试题（2001~2012）

3 (I)求a 的值;

(II)若0x →时，()f x a -与k x 是同阶无穷小，求常数k 的值.

(16)(本题满分 10 分)

求函数()222,x y

f x y xe +-=的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分d D

xy σ??，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.

(19)(本题满分10分)

已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式; (II) 求曲线220

()()d x y f x f t t =-?的拐点. (20)(本题满分10分) 证明2

1ln cos 112x x

x x x ++≥+-,(11)x -<<.

(21)(本题满分10 分)

(I)证明方程1x x x ++= n n-1+()1n >的整数，在区间1

,12?? ???

内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞

存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)

设100010001001a a A a a ??

? ?=

? ???，11

00β?? ?

- ?

= ? ???

(I) 计算行列式A ； (II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.

(23)(本题满分11 分)

已知1010111001A a a ??

?

?

=

?- ?-??

，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，

数学二历年考研试题（2001~2012）

4

(I) 求实数a 的值；

(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上。 （1）已知当0→x 时，函数x x x f 3sin sin 3)(-=与k cx 是等价无穷小，则（ ）

（A ）4,1==c k （B ）4,1-==c k （C ）4,3==c k （D ）4,3-==c k

（2）设函数)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=-→3

3

2

)

(2)(lim x

x f x f x x （ ）

（A ）)0(2f '- （B ）)0(f '- （C ）)0(f ' （D ）0 （3）函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （4）微分方程)0(2

>+=-''-λλλλx

x

e

e

y y 的特解形式为（ ）

（A ）)(x

x

e

e

a λλ-+ （B ）)(x

x

e

e

ax λλ-+

（C ）)(x

x

be ae

x λλ-+ （D ）)(2

x

x

be ae x λλ-+

（5）设函数)(x f ，)(x g 均有二阶连续导数，满足0)0(>f ，0)0(

数)()(y g x f z =在点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A ）0)0(<''f ，0)0(>''g （B ）0)0(<''f ，0)0(<''g （C ）0)0(>''f ，0)0(>''g （D ）0)0(>''f ，0)0(<''g

（6）设?

=

4

sin ln π

xdx I ，?

=

4

cot ln πxdx J ，?

=

4

cos ln π

xdx K ，则I ，J ，K 的大小关系为（ ）

数学二历年考研试题（2001~2012）

5

（A ）K J I << （B ）J K I << （C ）K I J << （D ）I J K <<

（7）设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩

阵。记?????

?

?=10

0011

0011P ，???

?

?

?

?=01

0100

0012P ，则A =（ ） （A ）21P P （B ）211P P - （C ）12P P （D ）112-P P

（8）设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。若T

)0,1,0,1(　是方程组0=Ax 的一

个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为（ ）

（A ）31,αα （B ）21,αα （C ）321,,ααα （D ）432,,ααα 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸．．．

指定位置上。 （9）=???

?

??+→x

x

x 1

02

21lim 。 （10）微分方程x e y y x cos '-=+满足条件0)0(=y 的解为=y 。 （11）曲线?

=

x

tdt y 0

tan )4

0(π

≤

≤x 的弧长=s 。

（12）设函数???=-,

0,)(kx e x f λ ,0,

0≤>x x 0>λ，则?+∞∞-=dx x xf )( 。

（13）设平面区域D 由直线x y =，圆y y x 22

2

=+及y 轴所围成，则二重积分

??=D

xyd σ

。

（14）二次型3231212

322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数

为 。

三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸．．．

指定位置上，解答应字说明、 证明过程或演算步骤。

数学二历年考研试题（2001~2012）

6 （15）（本题满分10分）

已知函数αx dt t x F x ?+=

02)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+

→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围。 （16）（本题满分11分）

设函数)(x y y =由参数方程??????

?+-=++=3131,313133t t y t t x 确定，求)(x y y =的极值和曲线)(x y y =的

凹凸区间及拐点。

（17）（本题满分9分）

设函数))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数)(x g 可导且在1=x 处取

得极值1)1(=g ，求

1,12==???y x y x z 。

（18）（本题满分10分）

设函数)(x y 具有二阶导数，且曲线)(:x y y l =与直线x y =相切于原点，记α为曲线l 在点

),(y x 处切线的倾角，若dx dy

dx d =α

，求)(x y 的表达式。

（19）（本题满分10分）

（I ）证明：对任意的正整数n ，都有

n n n 111ln 11

1 =-+++

=n n n a n ，证明数列{}n a 收敛。

（20）（本题满分11分）

一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由)21(222≥

=+y y y x 与)21(122≤=+y y

x 连接而成。

数学二历年考研试题（2001~2012）

7 （I ）求容器的容积；

（II ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？

（长度单位：m ，重力加速度为2s m g ，水的密度为3310m kg ）

（21）（本题满分11分）

已知函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，且0),1(=y f ，0)1,(=x f ，??=D

a dxdy y x f ),(，其中{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D ，计算二重积分??''=

D xy dxdy y x f xy I ),(。

（22）（本题满分11分） 设向量组T )1,0,1(1=α，T )1,1,0(2=α，T )5,3,1(3=α不能由向量组T )1,1,1(1=β，

T )3,2,1(2=β，T a ),4,3(3=β线性表示。

（I ）求a 的值；

（II ）将321,,βββ用321,,ααα线性表示。

（23）（本题满分11分）

设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且A ????

? ??-=????? ??-10110110110

1。 （I ）求A 的所有的特征值与特征向量；

（II ）求矩阵A 。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一选择题

(1) 的无穷间断点的个数为函数222111)(x x x

x x f +--=

A0 B1 C2 D3

2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该

数学二历年考研试题（2001~2012）

8

方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则 A 21,21==μλ B 2

1,2

1-

=-=μλ

C 3

1,32=

=

μλ D 3

2,3

2==

μλ

(1) =≠==a a x a y x y 相切，则与曲线曲线)0(ln 2 A4e B3e C2e De 4.设,m n 为正整数,

则反常积分0?

的收敛性

A 仅与m 取值有关

B 仅与n 取值有关

C 与,m n 取值都有关

D 与,m n 取值都无关

5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z

F x x

=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z x

y

x

y

??+??=

A x

B z

C x -

D z -

6.(4)2

2

1

1

lim

()()

n

n

x i j n

n i n

j →∞

==++∑∑=

A 1

2

1(1)(1)

x

dx dy x y ++??

B 10

1(1)(1)

x dx dy x y ++??

C 110

1(1)(1)

dx dy x y ++??

D 112

1(1)(1)

dx dy

x y ++??

7.设向量组线性表示，，

，：，可由向量组s I βββααα??21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>s C 若向量组II 线性无关，则s r ≤ D 若向量组II 线性相关，则r>s

(A) 设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于A 1

1

1

0??

?

? ? ??

?

数学二历年考研试题（2001~2012）

9

B 11

1

0??

?

? ?

- ?

?

?

C 11

1

0?? ?-

? ?- ??

? D 11

1

0-?? ?- ? ?- ??

?

二填空题

9.3阶常系数线性齐次微分方程022=-'+''-'''y y y y 的通解y=__________

10.曲线1

22

3

+=

x x

y 的渐近线方程为_______________

11.函数__________)0(0)21ln()(==-=n y n x x y 阶导数处的在

12.___________

0的弧长为时，对数螺线

当θ

πθe r =≤≤

13.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为___________

14.设A ，B 为3阶矩阵，且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则

三解答题 15.的单调区间与极值。

求函数?

--=

2

2

1

2)()(x

t

dt e

t x x f

16.(1)比较1

ln [ln(1)]n

t t dt +?与10

ln (1,2,)n

t t dt n =? 的大小,说明理由.

(2)记10

ln [ln(1)](1,2,),n

n u t t dt n =

+=?

求极限lim .

n x u →∞

17.

设函数y=f(x)由参数方程

。

求函数，已知

，

阶导数，且具有所确定，其中)(,)

1(436)1(2

5)1(2)()1(),

(,

22

2

2t t dx

y d t t t y t t x ψψψψψ+=

='??

?=->=+=

18.一个高为l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油

面高度为b

23时，计算油的质量。

（长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为

3

/m

kg ρ）

数学二历年考研试题（2001~2012）

10

19.

,,.

05

12

4),(2

2

2

2

22

=???+=+==??+???+??=η

ξηξu by x ay x b a y

u y x u x

u y x f u 下简化

的值，使等式在变换确定且满足等式

具有二阶连续偏导数，

设函数

20.

}.

4

0,sec 0),(D ,2cos 1sin 2

2πθθθθθθ≤

≤≤≤=-=

??

r r drd r r I D

｛其中计算二重积分

21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=31

,证明：存在

.

)()(),1,21

(),21,0(2

2ηξηξηξ+='+'∈∈f f 使得

22.

的通解。

求方程组、）求（个不同的解。

存在已知线性方程组

设b Ax a b Ax a b A ==???

?

? ??=?????

?

?-=)2(.

12.11,1

101

11

λλλλ23.设

????

? ?

?--=0431

410

a

a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第一列为T )1,2,1(6

1，求a 、Q.

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数()3

sin x x

f x nx

-=

的可去间断点的个数，则（ ）

()A 1.

()B 2. ()C 3.

()D 无穷多个.

数学二历年考研试题（2001~2012）

11 （2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2

ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ） ()A 1

1,6a b ==-. ()B 1

1,6a b ==. ()C 1

1,6a b =-=-. ()D 1

1,6a b =-=.

（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）

()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.

（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,y x y dx f x y dy dy f x y dx -+=????（ ）

()A ()2411

,x dx f x y dy -??. ()B ()241,x x dx f x y dy -??. ()C ()2411,y dy f x y dx -??. ()D .()221,y dy f x y dx ??

（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()

1,2内（ ）

()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.

()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.

（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：

则函数()()0x

F x f t dt =?的图形为（ ）

数学二历年考研试题（2001~2012）

12

()A .

()B .

()C .

()D .

（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。若A =2B =3，

，则分块矩阵0

0A B

??

???

的伴随矩阵为（ ） ()A .**

0320B A ??

???

()B .**

02B 3A 0??

??? ()C .**

03A 2B

0??

???

()D .**

02A 3B

0??

???

（8）设A P ，均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T

100P AP=0

1000

2?? ?

? ??

?

，若 P=Q =+ααααααα1231223（，，），（，，），则Q AQ T

为（ ）

数学二历年考研试题（2001~2012）

13

()A .2101

10002?? ? ? ???

()B .1

101

20002?? ?

? ???

()C .2000

1000

2?? ? ? ??

?

()D .1000

2000

2?? ? ? ??

?

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -?

???=-?

?在（0，0）处的切线方程为 （10）已知+1k x

e

dx ∞=-∞

?

,则k =

（11）n 1

lim

e sin 0

x

nxdx -→∞=?

（12）设()y y x =是由方程xy 1y

e x +=+确定的隐函数，则2

x=0

d y =dx

2

（13）函数2x y x =在区间(]01，

上的最小值为 (14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T

αβ相似于2

000

0000

0?? ?

? ??

?

，则T =βα

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求极限()[]

4

1cos ln(1tan )lim sin x x x x x

→--+

（16）（本题满分10

分）计算不定积分ln(1dx +

? (0)x >

数学二历年考研试题（2001~2012）

14 （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y ???

（18）（本题满分10分） 设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。

（19）（本题满分10分）求二重积分()D

x y dxdy -??，

其中()()(){}

22,112,D x y x y y x =-+-≤≥

（20）（本题满分12分）

设()y y x =是区间-ππ（，）

内过（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=。求()y x 的表达式

（21）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可

导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=。

（22）（本题满分11分）设1

111

11042A --?? ?=- ? ?--??，1112ξ-?? ?= ? ?-??

（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关。

数学二历年考研试题（2001~2012）

15

（23）（本题满分11分）设二次型()()2

2

2

1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-

（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值。

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）

()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3

（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0

()a

t

af x dx ?（ ）

()A 曲边梯形ABOD 面积. ()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形A C D 面积.

()D 三角形A C D 面积.

（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x

y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是

（ ）

()A ''''''

440y y y y +--= ()B ''''''

440y y y y +++=

()

C '''

''

'

440y y y y --+=

()

D ''''''

440y y y y -+-=

（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）

()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.

()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛

.

数学二历年考研试题（2001~2012）

16 （6）设函数f

连续，若22(,)uv D F u v =

??，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F u ?=? ()A 2()vf u ()B 2()v

f u u

()C ()vf u

()D ()v

f u u （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）

()

A E A -不可逆，E A +不可逆. ()

B E A -不可逆，E A +可逆. ()

C E A -可逆，E A +可逆. ()

D

E A -可逆，E A +不可逆.

（8）设1221A ??=

???，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2

112-?? ?-??

. ()B 2112-?? ?-??. ()C 2112??

???. ()D 1221-?? ?-??

. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9） 已知函数()f x 连续，且201cos[()]

lim 1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.

（10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.

（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .

（12）曲线2

3(5)y x x =-的拐点坐标为______.

（13）设x

y y z x ??= ???，则(1,2)____z x ?=?.

（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.

三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.

解答应写出文字说明、证明过程

数学二历年考研试题（2001~2012）

17 或演算步骤.

(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim

x x x x x

→-????.

(16)（本题满分10分）

设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =???=+???确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --?-=???=?的解.求

22y x ??.

(17)（本题满分9分）求积分

10?.

(18)（本题满分11分） 求二重积分m ax(,1),D

xy dxdy ??其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤

(19)（本题满分11分）

设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.

(20)（本题满分11分）

(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()b

a f x dx f

b a η=-? (2)若函数()x ?具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ????>>?，证明至少存在一点(1,3),()0ξ?ξ''∈<使得

（21）（本题满分11分）

数学二历年考研试题（2001~2012）

18 求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.

（22）（本题满分12分）

设矩阵2221212n n

a

a a A a a ??? ?

?=

? ??? ，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，

（1）求证()1n

A n a =+； （2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；

（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

（23）（本题满分10分）

设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，

（1）证明123,,ααα线性无关；

（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）当0x +→

时，与

（A

）1- （B

）ln

（C

1- （D

）1cos - [ ]

（2）函数1(e e)tan ()e e x x x

f x x +=??- ???在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ]

数学二历年考研试题（2001~2012）

19

（A ）0 （B ）1 （C ）2

π

-

（D ）

2

π

（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0

()()d x F x f t t =?

，则下列结论正

确的是：

（A ）3(3)(2)4

F F =-

- (B) 5(3)(2)4

F F =

（C ）3(3)(2)4F F =

（D ）5(3)(2)4

F F =-

- [ ]

（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： （A ）若0

()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0

()()

lim x f x f x x

→+-存在，则(0)0f = . （C ）若0()lim

x f x x

→存在，则(0)0f '= （D ）若0

()()

lim

x f x f x x

→--存在，则(0)0f '=.

[ ] （5）曲线()1ln 1e

x

y x

=

++的渐近线的条数为

（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ]

（6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：

(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散

(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ] （7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[ ] （A ）

()

[](,)0,0lim

(,)(0,0)0x y f x y f →-=.

数学二历年考研试题（2001~2012）

20

（B ）0

(,0)(0,0)

(0,)(0,0)

lim

0,lim

0x y f x f f y f x

y

→→--==且.

（C ）

(

(,)0,0lim

0x y →=.

（D ）0

0lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→????''''-=-=??

??

且.

（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1

sin 2

d (,)d x

x f x y y π

π??

等于

（A ）10arcsin d (,)d y

y f x y x π

π+??

（B ）1

0arcsin d (,)d y

y f x y x π

π-??

（C ）1arcsin 0

2

d (,)d y

y f x y x ππ

+?? （D ）1arcsin 0

2

d (,)d y

y f x y x ππ

-??

（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

(A) 122331,,αααααα---

(B) 122331,,αααααα+++

(C) 1223312,2,2αααααα---.

(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] （10）设矩阵2

111001

21,01011

200

0A B --????

? ?

=--= ? ? ? ?--???

?

，则A 与B (A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.

(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） 3

arctan sin lim

x x x

x

→-= __________.

（12）曲线2cos cos 1sin x t t y t

?=+?=+?上对应于4t π

=的点处的法线斜率为_________.

（13）设函数123

y x =

+，则()

(0)n y

=________.

（14） 二阶常系数非齐次微分方程2432e

x

y y y '''-+=的通解为y =________.

（15） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ??=

?

?

?

，则z z

x y x y ??-=?? __________.

数学二历年考研试题（2001~2012）

21

（16）设矩阵01000

010

00010

0A ?? ?

?= ? ???

，则3A 的秩为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17） (本题满分10分)设()f x 是区间0,4π??

????

上单调、可导的函数，且满足

()1

cos sin ()d d sin cos f x x t t f

t t t

t t t

--=

+?

?

，其中1

f

-是f 的反函数，求()f x .

（18）（本题满分11分） 设D

是位于曲线2(1,0)x a

y a x -=

>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域. （Ⅰ

）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.

（19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.

（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程

1

e

1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求

2

2

d d ,

d d x x z z x

x

==.

（21） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.

（22） (本题满分11分)

设二元函数2

,||||1(,)1||||2

x x y f x y x y ?

+≤?

=<+≤，计算二重积分

D

(,)d f x y σ??

，其中(){},||||2D x y x y =+≤.

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