九年级模拟试题

密考号 江阳西路学校初三年级诊断性考试数学试题（二）

A 卷 第Ⅰ卷 选择题(共39分)

一、选择题(共39分，每小题3分)

以下每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出正确答案

封1、4的算术平方根为（ ）

Ａ．2 Ｂ．?2

Ｃ．?2

Ｄ．16

2、世界文化遗产长城总长约6700000m，用科学记数法可表示为 （ ） A、6.7×10m B、6.7×10m C、6.7×10m D、6.7×10m

5－5

6

－6

姓名 线3、下列计算中，正确的是 （ ）

A、x?x?x B、x?x?x C、(?x)?(?x)??x D、x?x?x 4、直角坐标系中，点（3，－2）关于原点对称的点的坐标是（ ）

3263223623内 A、（3，2） B、（－3，－2） C、（－3，2） D、（3，－2）

5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）

班级 A、8 B、a?1 C、

2?a?1?3 D、

1 2不6、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一

学校 样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）。 红 黄 红 黄 黄 绿 红 绿 黄 绿 红 红 绿 黄 绿 红 绿 黄 绿 要 黄 绿 红 黄 红 A． B． C． D．

答?x?1>0, 7、把不等式组?的解集表示在数轴上，如图1，正确的是（ ）

?x?1?0 1 0 1 -1 0 1 1 -1 0 -1 0 A B C D

1， 2 ， 4 的四张卡片，采用有放回的方式取出两张卡片，下列事件8、一个盒子中装有标号为3，

-1 中，是必然事件的是（ ）

题 A.和为奇数 B.和为偶数 C.和大于5 D.和不超过8 9、下列说法正确的是（ ）

A．为了了解我市今年夏季冷饮市场冰淇淋的质量可采用普查的调查方式进行. B．为了了解一本300页的书稿的错别字的个数，应采用普查的调查方式进行. C．销售某种品牌的鞋，销售商最感兴趣的是所销售的鞋的尺码的平均数.

D．为了了解我市九年级学生中考数学成绩，从所有考生的试卷中抽取1000份试卷进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取的1000名学生．

10、如果只用一种正多边形进行镶嵌，那么在下列的正多边形中，不能镶嵌成一个平面的是（ ）．

A、正三角形 B、正方形 C、正五边形 D、正六边形 11、如图,在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果 PQ=3， 那么菱形ABCD的周长是( )

A．6 B．18 C．24 D．30

12、在直角三角形ABC中，∠A=900，AC=5，AB=12，那么tanB=（ ） A．5 B。12 C。13

13512D。5

1213、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛 物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是 ( )

1A．（ ，0） B．（1， 0） C．（2， 0） D．（3， 0）

2

A 卷 第Ⅱ卷 (非选择题，共61分)

评卷得分 人

二、(本大题3个小题,共14分，第(1)小题7分，第(2)、(3)小题6分)

14、(1)计算：|?3|?4?(1?2)?tan45 （2）解方程: + = 1

0?（3）如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的 三角形叫做“格点三角形”.根据图形解答下列问题：

(1)图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？ (写出变换过程)

(2)在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标.

得分 评卷人 三、(本大题2个小题，共16分，每小题8分)

15、先化简，在求值，(1a?a?1?21a2?1)?a?1，其中a?3?1

16、已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它 A 和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。 （1）连结____________； （2）猜想：______=______； （3）证明： F B D E

C

得分 评卷人 四、(本大题2个小题，共16分，每小题8分)

17、在今年“五一”长假期间，某学校团委会要求学生参加一项社会调查活动．八年级学生小青想了解她所居住的小区500户居民的家庭收入情况，从中随机调

查了40户居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．

频数分布表 频数分布直方图

(户数) 20 分组 频数 频率 16 2 0.050 600~799 6 0.150 800~999 12 0.450 1000~1199 9 0.225 1200~1399 8 1400~1599 2 0.050 1600~1800 4 40 1.000 合计 0 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 (元)

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1） 补全频数分布表和频数分布直方图；

（2） 这40户家庭收入的中位数落在哪一个小组？

（3） 请你估计该居民小区家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有多少户？

18、如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： （1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式； （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？

．

得分 评卷人 五、(本题10分)

19、某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，

并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．

（1）求出树高AB；

（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．

（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414， 3≈1.732）

BD太阳光线30°ACE

密江阳西路学校初三年级诊断性考试数学试题

B 卷（共50分）

得分 评卷人 一、填空题(共20分，每小题4分) 把答案直接写在题中的横线上。 1、设点P ( m , －2 )与点Q( 3 , n )关于 x 轴对称，则mn 的值为 .

考号 封2、老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质： 甲：第一、三象限有它的图象；

乙：在每个象限内，y随x的增大而减小．

请你写一个满足上述性质的函数______________________。

3、若?,?是方程x?2x?2005?0的两个实数根，则??3???的值为 。 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，∠A＜∠B，以AB边上 的中线CM为折痕将△ACM折叠，使点A落在点D处。如果CD 恰好与AB垂直，则tanA=__ _ _。

5、一个正方体的每个面分别标有数字1、2、3、4、5、6, 根据下图中该正方体A、B、C三种状态显示数字, 可推出“？”处的数字是 .

二、(本题2个小题，共12分，每小题6分)

6、四张扑克牌的牌面如图①所示，将扑克牌洗均匀后，如图②背面朝上放置在

桌面上。

（1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好 为5的概率是_____________；

（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张 扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数为胜；

反之，则为负。你认为这个游戏是否公平？请说明理由。 得分 评卷人 CBAMD22学校 班级 姓名 线内不要答题 7、已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留两图痕迹．

（1）在图1中，只用圆规在直线l上画出两点B，C，使得点A，B，C是一个等腰三角形的三．．．．个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行． ．．．．

图1

得分 评卷人 三、(本题8分)

8、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与C D是水平的，BC与水平面的夹角为600，其中AB=60cm，

CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将园盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

Ａ Ａ

Ｉ

图2

Ｉ

得分 评卷人 四、(本题10分)

9、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）。解答下列问题： （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由； （3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

APBQMC

解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， ∴BP＝(3－t ) cm．

△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．

11当∠BQP＝90°时，BQ＝BP．即t＝(3－t )，则 t＝1 (秒)．

2211当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ．3－t＝t，则t＝2 (秒)．

22答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． ⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝PM，∴PM＝PB·sin∠B＝PB32(3－t )．

311∴S△PBQ＝1BQ·PM＝· t ·3(3－t )．∴y＝S△ABC－S△PBQ＝×32×－

2222212· t ·32(3－t )

34334934即y＝t2?t?．∴y与t的关系式为： y＝34t2?334t?934．

假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的∴34t?222，则S四边形APQC＝S△ABC ． 33334t?934＝21××32×3．∴t 2－3 t＋3＝0．∵(－3) 2－4×1×3＜0，∴方程无32223．

解．

∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的

⑶ 在Rt△PQM中， MQ＝BM?BQ＝∴x2＝[3(1－t ) ]2＋[23232?1?t?．MQ 2＋PM 2＝PQ 2．

(3－t ) ]2＝9?t2?2t?1??3?9?6t?t2?＝3?4t2?12t?12?＝3t2－9t＋9．

444∴t2－3t＝∴y＝

341?x3942?9．∵y＝3＝?34t2?334t?9343，

323?t2?3t??34?1?x32?9??943＝12x2?． ∴y与x的关系式为：y＝3x2?33．

122

密考号 江阳西路学校初三年级数学 查漏补缺 试题

一、选择题：

以下每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出正确答案 1、某天早晨的气温是7℃,中午上升了11℃,午夜下降了9℃,则午夜的气温是（ ）。 A.5℃ B.－5℃ C.－3℃ D.－9℃ 2、函数 y =

封2x?6的自变量 x的 取值范围是（ ）.

姓名 A.x ＞－3 B. x ≥－3 C.x ＜3 D.x ≤3

3、我国居民身份证的编号有 18 位数字. 其意义是:如 在“512501?”中,“51”表示四川, “07”表示泸州,“01”表示江阳区, 接下来的 4 位是出生的年份, 后2 位是出生的月份,再后 2 位是出生的日期,最后 4 位是编码.若某人的身份证的编号是: 512501198708156623, 则这 个人出 生的时间是 （ ）.

A.1987年8月15日 B.1966年2月3日 C.1987年8月1日 D.1981年5月6日 4、在 3.14 , －3,线内班级 223., 8, π 这五个数中, 无理数的个数是 （ ）. 7 A.1 B.2 C.3 D.4 5、下列调查中, 适合用普查方法的是（ ）.

A. 电视机厂要了解一批显象管的使用寿命 B.要了解我市居民的环保意识 C.要了解我市\阳山水蜜桃\的甜度和含水量 D.要了解你校数学教师的年龄状况 6、为了筹备班级毕业联欢会,班长对全班50名同学喜欢吃 哪几种水果做了民意调查,小明将班长的统计结果绘制成

不要学校 如图2所示的统计图, 并得出以下四个 结论, 其中错误的 是（ ）.

A.一个同学可以喜欢吃几种水果 . B.喜欢吃葡萄的人最多.

C喜欢吃苹果的人数是喜欢吃犁人数的3倍 . D.喜欢吃香蕉的人数占全班人数的20%. 7、把m3－m 分解因式为 .

A.m(m+1)2 B.m(m+1)2 C.m(m+1)(m－1) D. m(m+1)(1－m)

答题 8、如果圆锥的底面半径为3cm,母线长为4cm,那么它的侧面积为( ).

A. 24πcm2 B .12πcm2 C.12 cm2 D .6πcm2 9、将一正方形纸片按图5中⑴、⑵的方式依次对折 后, 再沿 ⑶中的虚线裁剪, 最后将 ⑷ 中的纸片打开 铺平, 所得图案应该是下面图案中的（ ）.

10、已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单 位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ） A.y＝2（x－2）2＋2

B. y＝2（x＋2）2－2 C. y＝2（x－2）2－2 D. y＝2（x＋2）2＋2

11、已知Rt△ABC中,∠C＝900,AC＝2,BC＝3,那么下列各式中,正确的是（ ）. A.sinA=

2222 B.cosA= C.tanA = D.cot A= 333312、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b),再沿虚线剪开,如图(1),然后拼成一个梯形,如图(2),根据这两个图形的面积关系,表明下列式子成立的是( )

A、a2－b2=(a＋b)(a－b). B、(a＋b)2=a2＋2ab＋b2. C、(a－b)2=a2－2ab＋b2. D、a2－b2=(a－b)2.

13、用一把带有刻度尺的直角尺: ① 可以画出两条平行的直线a和b,如图(1); ②可以画出 ∠AOB的平分线OP,如图(2); ③ 可以检验工件的凹面是否为半圆,如图(3); ④可以量出 一个圆的半径,如图(4). 这四种说法正确的有 .

图(1) 图(2) 图(3) 图(4) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

14、在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG的长是（ ）

A．2 B。3 C。6 D。12

15、如图，已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5， 则该等腰梯形的周长为（ ）

A．11 B．16 C．17 D．22

16、如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ）

17、下列四边形:①等腰梯形, ②正方形, ③矩形, ④菱形.其中对角线一定相等的是（ ）. A.②③ B. ①② C.①②③④ D.①②③ 18、如图，△ABC中，∠B= 90 o ，∠C=30 o, AB = 1，将△ ABC 绕顶点 A旋转1800 ，点C落在 C ′处，则CC′的长为（ ） A . 42 B.4 C . 23 D . 2

5

19、某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况 如图所示,那么这6天的平均用水量是（ ）. A.30吨 B.31吨 C.32吨 Ｄ.33吨

20、初二（1）班有48位学生，春游前，班长把全班学生对春游 地点的意向绘制成了扇形统计图，其中“想去苏州乐园的学生数” 的扇形圆心角600，则下列说法正确的是（ ）

A．想去苏州乐园的学生占全班学生的60% B．想去苏州乐园的学生有12人 C．想去苏州乐园的学生肯定最多 D．想去苏州乐园的学生占全班学生的1/6 21、为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉50条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次鱼共200条，有10条做了记号，则估计湖里有（ ）条鱼.

A.400条 B.500条 C.800条 D.1000条

AB'22、如图，一块含有30o角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕 点C按顺时针方向旋转到 A’B’C’的位置。若BC的长为15cm， 那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为 （ ）。

BCA'A．10?cm B．103?cm C．15?cm D．20?cm

23、在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，OP与x轴的正方向的夹角为α，则用 [ρ，α]表示点P的极坐标。显然，点P的坐标和它的极坐标存在一一对应关系。如点P的坐 标(1，1)的极坐标为P[2，45°]，则极坐标Q[23，120°]的坐标为（ ） A、(－3，3) B、(－3，

3) C、(3，3) D、(3， 3)

24、如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果 要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ） Ａ．22.5角

?Ｂ．30角 Ｃ．45角

??Ｄ．60角

?（第24题图）

25、如图，设M，N分别是直角梯形ABCD两腰AD，CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于( ) A．2:1 B．1:2 C．3:2 D．2:3

26、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠， 使C点与A点重合，则折痕EF的长是（ ） A．3 C．5

B．23 D．25 AFDBEC27、已知函数y=x2-2x-2的图象如图3所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ） A．-1≤x≤3 C．x≥-3

B．-3≤x≤1 D．x≤-1或x≥3

28、已知两个分式：A?411，，其中x??2， B??2x?4x?22?x

则A与B 的关系是（ ）

A、相等 B、互为倒数 C、互为相反数 D、A大于B

密考号 江阳西路学校初三年级数学 查漏补缺 试题

二、解答题

1、如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD, DE⊥BC于E, AE=BE,BF⊥AE于F,线

段BF与图中的哪一条线段相等?先写出猜想,再加以说明. 猜想: BF = . 证明: 封班级 姓名 线2、如图11，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F.

A D

（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明； 内（2）求证：AE=FC+EF. E

F 3、为了选拔合适队员参加2008年北京奥运会, 某教练近期对甲、乙两运动员参加的某体 育项目训练进行了五次模拟测试, 成绩得分情况如图所示: (1) 分别求出两人得分的平均数与方差; (2) 根据图和( 1 ) 的结果, 请你对两人的 训练成绩作出评价,并选出参加奥运会人选. 不B G 图11

C

要学校 答题

4、某公司员工的月工资情况统计如下表: 员工人数 月工资(元) 2 5000 4 4000 8 2000 20 1500 8 1000 4 700 （1）分别计算该公司月工资的平均数中位数和众数；

（2）你认为用（1）中计算出的那个数据来表示该公司员工的月工资水平更为合适？ （3）请你画出一种你认为合适的统计图来表示上面表格中的数据。

5、百舸竞渡，激情飞扬。为纪念爱国诗人屈原，泸州市在沱江河隆重举行了“海洋明珠杯”龙舟赛。下图是甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象，请你根据图象回答下列问题：

（1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先地位； （2）在这次龙舟比赛中，哪支龙舟队先到达终点；

（3）比赛开始多少时间后，先到达终点的龙舟队就开始领先。

6、某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件,该机器运行过程分为加油过程和加工 过程：加工过程中,当油箱中油量为10升时,机器自动停止加工进入加油过程,将油箱加满后 继续加工,如此往复. 已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完.下图是油箱中油量y (升)与机器运行时间 x (分)之间的函数图象, 根据图象回答下列问题：

(1) 求在第一个加工过程中,油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式(不必 写出自变量x的取值范围);

(2)机器运行多少分钟时,第一个加工过程停止? (3)加工完这批工件,机器耗油多少升?

7、制作一种产品, 需先将材料加热达到60℃后,再进行操作.设该材料温度为y(℃),从加热 开始计算的时间为x (分钟).据了解,设该材料加热时,温度y与时间 x 成一次函数关系; 停止 加热进行操作时, 温度 y 与时间 x 成反比例关系(如图).已知该材料在操作加工前的温度为 15℃, 加热5分钟后温度达到60℃.

(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的 函数关系式;

(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15℃时,须停止操作, 那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间？

8、一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C, 已知小岛C周围4 .8 海里范围内是水产养殖 场.渔船沿北偏东300方向航行10海里到达B处, 在B处测得小岛C在北偏东600方向,这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行,这艘渔船是否有进入养殖场的危险？

9、如图, 不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上, 且BP过底面圆的圆心, 其高为 2

3m,底面半径为2m. 某光源位于点A处.照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m.

(1) 求∠Ｂ的度数；

(2) 若∠ACP=2∠B, 求光源 A 距平面的高度．

10、在某张航海地图上，标明了三个观测点的坐标，如图所示，O（0，0）、B（6，0）、 C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区。 （1）求圆形区域的面积（π取3.14）；

（2）某时刻海面上出现一艘渔船A，在观测点O测得渔船A位于北偏东450，同时在观测点B测得渔船A位于北偏东300，求观测点B到渔船A的距离（3≈1.7，保留三个有效数字）；（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答。

11、有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．

（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率． （2）你认为这个游戏公平吗？为什么？

12、如图，是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是红桃1，2，3和方块1，2，3.将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张. （1）用列举法列举所有可能出现的结果；

（2）求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率.

13、将正面分别标有数字6，7，8，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）随机地抽取一张，求P(偶数)；

（2）随机地抽取一张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位上的数字，能组成哪些两位数？恰好为“68”的概率是多少？

14、如图，⊙O1和⊙O内切于点A，AB为⊙O的直径，点O1在OA上，⊙O的弦BC切⊙O1于 点D，两圆的半径R=4，r=3． C D （1）求BD的长 （2）求CD的长 A B O1 O

15、如图,AB切⊙O于点B,OA交⊙O于C点,过C作DC⊥OA交AB于D,且BD:AD=1:2.

?的长. (1) 求∠A的正切值; (2)若 OC =1,求 AB 及CB

16、已知：m、n是方程x?6x?5?0的两个实数根，且m?n，抛物线y??x?bx?c的图像经过点A(m,0)、B(0，n). (1) (2) (3)

求这个抛物线的解析式；

设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的 顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；

2a4a2222（注：抛物线y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标为（(?b,4ac?b)）

(4) P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交 于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请 求出P点的坐标.

17、已知二次函数的图象如图所示。

⑴ 求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；

⑵ 若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q。当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关

y 系式及自变量t的取值范围；

⑶ 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； AQB O1N23-2-1-3-1

-2CM

x 18、已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．

（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；

（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

QPABC

19、抛物线y＝ax2＋bx＋c (a<0)交x轴于A（－1，0）、B（3，0），交y轴于C，顶点为D，以BD为直径的⊙M恰好经过点C.

⑴ 求顶点D的坐标（用a的代数式表示）； ⑵ 求抛物线的解析式；

⑶ 抛物线上是否存在点P，使△PBD为直角三角形？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

A O B x C M · y D 解：（1）S△PCQ＝

11PC·CQ＝(3?t)?2t＝(3?t)t＝2， 22 解得 t1＝1，t2＝2 ∴当时间t为1秒或2秒时，S△PCQ＝2厘米2； ???3分

?3?92（2）①当0＜t≤2时，S＝?t?3t＝??t???； ???5分

?2?44?9?394218 ②当2＜t≤3时， S＝t?t?6＝?t???；???7分

5?4?20553?9?15322742 ③当3＜t≤4.5时，S＝?t?t?＝??t???；?9分

5?2?455539（3）有； ①在0＜t≤2时，当t＝，S有最大值，S1＝； ???11分

2412 ②在2＜t≤3时，当t＝3，S有最大值，S2＝； ???12分

5915 ③在3＜t≤4.5时，当t＝，S有最大值，S3＝； ???13分

24915∵S1＜S2＜S3 ∴t＝时，S有最大值，S最大值＝． ???14分

C24CC

PPQP222ABAHQBAQHB

．下列说法正确的是（ ）．

A、一个游戏的中奖率是1％，则做100次这样的游戏一定会中奖 B、为了解某品牌灯管的使用寿命，可以采用普查的方式 C、一组数据6、8、7、8、9、10的众数和平均数都是8

22D、若甲组数据的方差S甲＝0.05，乙组数据的方差S乙＝0.1，则乙组数据比甲组数据稳定 如图是关于x的函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则不等式kx＋b≤0的

y 解集在数轴上可表示为（ ）． 1 y=kx+b O 2 x -1 -1 0 2 0 2 0 2 -2 -1 0 A B C D (第18题图)

一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图7所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶3；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 .

⑴ 求整修后背水坡面的面积；

⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？

⑴ 作AE⊥BC于E.

图7 AE14∵ 原来的坡度是1∶0.75，∴ = . ··············································· 1分 =EB0.753设AE=4k，BE=3k，∴ AB=5k，又 ∵ AB=5米，∴k=1，则AE=4米 . ············ 2分 设整修后的斜坡为AB￠，由整修后坡度为1∶3，有 AE1，∴∠AB￠， ·············································································· 3分 =E=30°￠EB3∴ AB￠=2AE=8米 . ∴ 整修后背水坡面面积为90×8=720米2 . ·················· 4分 ⑵ 将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2 . · 5分 解法一：∵ 要依次相间地种植花草，有两种方案： 第一种是种草5块，种花4块，需要20×5×80+25×4×80=16000元； ················· 6分 第二种是种花5块，种草4块，需要20×4×80+25×5×80=16400元 . ················ 7分 ∴ 应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元 . ··························· 8分

解法二：∵ 要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，

∴ 两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少 . ··························· 7分 即：需要花费20×5×80+25×4×80=16000元 . ······················································ 8分 如图（15），在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将线段OP0按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45，长度伸长为

??OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，?，OPn（n为正整数）

（1）求点P6的坐标；

P3 P4 O y P2 P1 P0(1，0) x （2）求△POP56的面积；

（3）我们规定：把点Pn(xn，yn)（n?01，，2，3，?）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到

yn称之为点Pn的“绝对坐标”的新坐标xn，．

根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．

解：（1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点

??2)，即P6(0，64)． ·到原点距离的2倍，故其坐标为P6(0，········································ 3分

（2）由已知可得，

6△P0OP··································································· 4分 1∽△POP12∽?∽△Pn?1OPn， ·

设P1(x1，y1)，则y1?2sin45??122?S△P0OP1??1?2?

22S△P5OP6?32?2OP62????1024，S△P5OP6?1024??5122 ?32?又?S△P0OP1?1?2OP1（3）由题意知，OP0旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：

令旋转次数为n

①当n?8k或n?8k?4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，

0)； 此时，点Pn的绝对坐标为(2，②当n?8k?1或n?8k?3或n?8k?5或n?8k?7时（其中k为自然数），点Pn落在各象限的平分线上，

n?2n2n?n?12，2n?12 ?2，?2此时，点Pn的绝对坐标为?，即2??2?2????③当n?8k?2或n?8k?6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，

此时，点Pn的绝对坐标为(0，2)．

刘强同学为了调查全市初中生人数，他对自己所在城区人口和城区初中生人数作了调查：城区人口约3万，初中生人数约1200．全等人口实际约300万，为此他推断全市初中生人数为12万．但市教育局提供的全市初中生人数约8万，与估计数据有很大偏差．请你用所学的统计知识，找出其中错误的原因______________．

【样本在总体中所占比例太小；或样本不具代表性、广泛性、随机性；（只要答对其中一项均可得分）

小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图（4）请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ） A．106cm B．110cm C．114cm D．116cm A B 14cm

9cm C

O

图（5） 图（4）

9．如图（5），这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中?AOB为120，

?nOC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（ ）

A．64πcm

2B．112πcm

2

C．144πcm

2

D．152πcm

2已知点A(m?13)，与点B(2，n?1)关于x轴对称，则m? ，n? ．

如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“?”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）?根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为__(14，8)

__________．

(5,4) y (4,3) (5,3) (3,2) (4,2) (5,2) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) x O (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) 第17题图

1．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于

洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

类 别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元． （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）

解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得

1??x?(100?x), 2???1800x?1500(100?x)?161800. ………………………………（3分）

11解不等式组，得 33≤x≤39． ………………………………（5分）

33即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案． ………………（6分）

（2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得

y＝（2000－1800）x＋(1600－1500)(100－x)＝100x＋10000． ………………（7分） B ∵ 100＞0，∴ 当x最大时，y的值最大． 即 当x＝39时，商店获利最多为13900元．

如图6，?AOB?45，过OA上到点O的距离分别为

?S4 S2 S3 13，，5，7，911，，?的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出 ?． 一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积S10S1 0 1 3 5 7 9 11 13 ? A

图6

? ．

某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册． （1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？

（2）有几购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？ 解 ：（1）设文化衫和相册的价格分别为x元和y元，则 ··················································· 1分

?x?y?9 ····················································································································· 3分 ?2x?5y?200??x?35解得?

y?26?答：文化衫和相册的价格分别为35元和26元． ································································ 5分 （2）设购买文化衫t件，则购买相册(50?t)本，则

························································································ 7分 1500≤35t?26(50?t)≤1530 ·

200230 ≤t≤99····················································· 8分 ?t为正整数，?t?23，24，25，即有三种方案． ·

解得

第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元；

第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元； 第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元； ·································· 9分 所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．························································ 10分 1.如图9，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.

(1) 求l2的解析式；(2) 求证：点D一定在l2上；(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.(注：计算结果不取近似值)

解：(1) 设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，

∵l1与x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2与l1关于x轴对称， ∴l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，

??4a?2b?c?0,∴?4a?2b?c?0,∴ a=-1,b=0,c=4， ??c?4.即l2的解析式为y= -x2+4 .

(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)

(2) 设点B(m，n)为l1：y=x2-4上任意一点，则n= m2-4 (*). ∵ 四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称， ∴ B、D关于原点O对称， ∴ 点D的坐标为D(-m,-n) .

由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4， 即点D的坐标满足y= -x2+4， ∴ 点D在l2上.

图9 (3) □ABCD能为矩形.

过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l1：y=x2-4上，可设点B的坐标为 (x0，x02-4)， 则OH=| x0|，BH=| x02-4| .

易知，当且仅当BO= AO=2时，□ABCD为矩形.

在Rt△OBH中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22， (x02-4)( x02-3)=0，∴x0=±2(舍去)、x0=±3 .

所以，当点B坐标为B(3 ，-1)或B′(-3 ，-1)时，□ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D(-3 ，1)、D′( 3 ，1).

因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′ . 设直线AB与y轴交于E ，显然，△AOE∽△AHB，

EOBHEO1∴ = ，∴. ?AOAH22?3∴ EO=4-23 . 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积

11

为S=2SΔACE=2× × AC ×EO =2× ×4×(4-23 )=16 - 83 .

22(还可求出直线AB与y轴交点E的坐标解答)

2.如图，已知与x轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C?． （1）求抛物线l2的函数关系式；

（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形？

（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）由题意知点C?的坐标为(3，?4)． 设l2的函数关系式为y?a(x?3)?4． 又?点A(1，0)在抛物线y?a(x?3)?4上， ?(1?3)a?4?0，解得a?1．

?抛物线l2的函数关系式为y?(x?3)?4 （或y?x?6x?5）．

（2）?P与P?始终关于x轴对称，

22222?y 5 4 3 2 1 E l2 ?1 O ?1?2 ?3 ?4 ?5 A 1 2 3 4 B 5 x C? l1 ?PP?与y轴平行．

设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m2?6m?5，

?OD?4，?2m2?6m?5?4，即m2?6m?5??2．

2当m?6m?5?2时，解得m?3?6．

当m2?6m?5??2时，解得m?3?2．

2)或(3?6，2)或(3?2，?2)或(3?2，?2)时， ?当点P运动到(3?6，∥OD，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形． P?P （3）满足条件的点M不存在．理由如下：若存在满足条件的点M在l2上，则 ， ?AMB?90?，??BAM?30?（或?ABM?30?）

?BM?11AB??4?2． 22?过点M作ME?AB于点E，可得?BME??BAM?30．

?EB?11BM??2?1，EM?3，OE?4． 22?3)． ?点M的坐标为(4，但是，当x?4时，y?4?6?4?5?16?24?5??3??3．

2?不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形． y 5 C D

3

2 1 E A 2 1 3 4 ?1 O ?1

?2

l2 B 5 x

?3 M C? ?4

．如图，已知与x轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线l2 与l1关于

x轴对称，顶点为C?．

（1）求抛物线l2的函数关系式；

（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称，则当点P运

动到何处时，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形？

（3）设l2上的点M、N（M在N的左侧）分加与l1上的点M?、N?始终关于x轴对称，是否

存在点M、N（M在N的左边），使四边形MNN?M?为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意知点C?的坐标为(3，?4)．

设l2的函数关系式为y?a(x?3)?4． ??????????????1分 又?点A(1，0)在抛物线y?a(x?3)?4上，

22?(1?3)2a?4?0，解得a?1．

?抛物线l2的函数关系式为y?(x?3)2?4

（或y?x?6x?5）． ??????2分 （2）?P与P?始终关于x轴对称，

2?PP?与y轴平行．

设点P横坐标为m，则其纵坐标为m?6m?5，

2?OD?4，?2|m2?6m?5|?4，即m2?6m?5??2．

2当m?6m?5?2时，解得m?3?6．

当m?6m?5??2时，解得m?3?2．

22)或(3?6，2)或(3?2，?2)或(3?2，?2)时，?当点P运动到(3?6，∥ODP?P ，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形．??? 6分

（3）存在满足条件的点M、N．由抛物线的对称性可知，点M、N关于直线x?3对称. 设M(x0,y0)，则正方形MNN?M?的边长为2y0. ?x0?3?y0.

?点M在l2上，?y0?(3?y0?3)?4

2x?3 解得y0?1?17. 25?177?17或. 22 ?x0?3?y0? ∴点M的坐标为(5?171?177?171?17,)或 (,). 22222在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)． （1）求此二次函数的表达式；

（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及

点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角?PCO与?ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围． 解：（1）?二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)， x ?b??2a?1，?a??1，???由?4a?2b?c?3， 解得?b?2，

?c?3.?9a?3b?2??12.???1 O 1 y ?此二次函数的表达式为 y??x2?2x?3．

（2）假设存在直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D

（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似． ，x2?3 在y??x?2x?3中，令y?0，则由?x?2x?3?0，解得x1??122?A(?1，，0)B(3，0)． 令x?0，得y?3．?C(0，3)．

设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．

x l C D 0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为(?1，0)． ?点B的坐标为(3，??AB?4，OB?OC?3，?OBC?45.

?BC?32?32?32．

要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC， 已有?B??B，则只需

BDBC?BOBA，①

或

BOBC?BDBA.②成立．

若是①，则有BD?BO?BCBA?3?3292???BE?DE． ．而?OBC?45，442?92?2222． ?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD???4????993解得 ．?OE?OB?BE?3??． BE?DE?（负值舍去）

444?39??点D的坐标为?，?．将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?3．

?44??满足条件的直线l的函数表达式为y?3x．

［或求出直线AC的函数表达式为y?3x?3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为

y?3x．此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y??x?3．联立?39?］ y?3x，y??x?3求得点D的坐标为?，?．

?44?若是②，则有BD?BO?BABC?3?4?BE?DE． ?22．而?OBC?45?，322222?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD?(22)2．

解得

BE?DE?2（负值舍去）．?OE?OB?BE?3?2?1．

2)． ?点D的坐标为(1，将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?2．

∴满足条件的直线l的函数表达式为y?2x．

，使得以B，O，D为?存在直线l:y?3x或y?2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合）顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为?，?或(1，2)．

（3）设过点C(0，，3)E(1，0)的直线y?kx?3(k?0)与该二次函数的图象交于点P． 将点E(1，0)的坐标代入y?kx?3中，求得k??3．?此直线的函数表达式为y??3x?3．

22x 设点P的坐标为(x，并代入y??x?2x?3，得x?5x?0．解得x1?5，x2?0（不?3x?3)，

?39??44?合题意，舍去）．?x?5，y??12．

?12)． ?点P的坐标为(5，此时，锐角?PCO??ACO． 又?二次函数的对称轴为x?1，

C · C? A O E B 3)． ?点C关于对称轴对称的点C?的坐标为(2，?当xp?5时，锐角?PCO??ACO；

x?1 当xp?5时，锐角?PCO??ACO； 当2?xp?5时，锐角?PCO??ACO．

P 1、已知：如图（13），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点C在以D（－2，－2）为圆心，4为半

径的圆上，且经过⊙D与x轴的两个交点A、B，连结AC、BC、OC. （1）求点C的坐标；

（2）求图中阴影部分的面积；

（3）在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说出理由. 解：（1）如图，作CH⊥x轴，垂足为H.

∵直线CH为抛物线对称轴， ∴H为AB的中点. ∴CH必过圆心D（－2，－2）.

∵DC＝4，∴CH＝6. ∴C点的坐标为（－2，－6） （2）连接AD.在Rt△ADH中，AD＝4，DH＝2.

∴∠HAD＝30°，AH＝AD2?DH2＝23∴∠ADC＝120°. ∴S扇形DAC＝

120????421611＝π，∴S△DAC＝AH·CD×23×4＝43，

360?32216π－43. 3（3）又∵AH＝23，H点坐标为（－2，0），H为AB的中点， 则阴影部分的面积S＝S扇形DAC－S△DAC＝

∴A点坐标为（－2－23，0），B点坐标为（23－2，0）

又∵抛物线顶点C的坐标为（－2，－6），设抛物线解析式为y＝a（x＋2）2－6. ∵B（23－2，0）在抛物线上，∴a（23－2＋2）2－6＝0. 解得 a＝∴抛物线的解析式为y＝

1. 21（x＋2）2－6 2设OC的中点为E，过E作EF⊥x轴，垂足为F，连接DE.∵CH⊥x轴，EF⊥x轴，∴CH∥EF.

11∵E为OC的中点，∴EF＝CH＝3，OF＝OH＝1. 即点E的坐标为（－1，－3）.

22设直线DE的解析式为y＝kx＋b（k≠0）， ∴｛－2＝－2k＋b 解得k＝－1，b＝－4. ｛－3＝－k＋b，

∴直线DE的解析式为y＝－x－4

若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上. 设点P的坐标（m，n），∴n＝－m－4，即点P坐标为（m，－m－4）.

1∴－m－4＝（m＋2）2－6，即m1＝0，m2＝－6.∴点P的坐标为（0，－4）和（－6，2）.

2故在抛物线上存在点P，使DP所在直线平分线段OC

2、如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心、2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过A、B两点，且顶点C在圆P上。 ①求圆P上劣弧AB的长。 ②求抛物线的解析式

③问：抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。 y B A O x ·P

3、已知二次函数y=mx2+(m-3)x-3 (m＞0) ①、求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点。 ②、这条抛物线与x轴交于A（x1,0）和B（x2,0）（x1＜x2）,与y轴交于点C，且AB=4， ⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积S

③、在②的条件下，抛物线上是否存在点P使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分。若存在，请求出点P的坐标。若不存在，请说明理由。

y

A O M B C

4.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC = ?，∠CBE = ?，求sin（?－?）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点 的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并 直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意可知C（0，－3），?b?1， 2a∴ 抛物线的解析式为y = ax2－2ax－3（a＞0）， 过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN = 1，CM?∴ CN = 2，于是m =－1．同理可求得B（3，0）， ∴ a×32－2－2a×3－3 = 0，得 a = 1， ∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3．

（2）由（1）得 A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．∴ 在Rt△BCE中，BC?32，CE?∴

5，

2，

OB3OBBCOBODBC32，即 ，∴ Rt△BOD∽Rt△BCE， ??3，????3，∴

OD1ODCEBCCECE2BC2得 ∠CBE =∠OBD =?，因此 sin（?－?）= sin（∠DBC－∠OBD）= sin∠OBC =CO?2． （3）显然 Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．

过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2 ∽Rt△BCE，得P2(0,)． 过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）． 故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2(0,)，P3（9，0）， 使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．

已知：如图，二次函数y=x2+(2k–1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点. (1)求这个二次函数的解析式；

(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3.求点B的坐标； (3)对于(2)中的点B，在抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.

1313

已知：如图，△ABC中，CA?CB，点D为AC的中点，以AD为直径的?O切BC于点E，

AD?2．

（1）求BE的长；（2）过点D作DF∥BC交?O于点F，求DF的长．

（1）连结OE交FD于点G，

?BC切?O于E，?BE?BC．

A B F O

D E

C

（第25题图）

?CE?32?12?8?22，

?BE?4?22． ················································································································ 5分

（2）?DF∥BC， ?△OGD∽△OEC，

GDOD． ??ECOC22GD1??，?GD?．

3322A B O F G E

D C

（第25题图）

?OE?BC，?OE?FG，

?FD?2GD?42． 9分 3??如图，在△OAB中，?B?90，?BOA?30，OA?4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA?B?，C点的坐标为（0，4）． （1）求A?点的坐标；

（2）求过C，A?，A三点的抛物线y?ax?bx?c的解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y C B? A?

2

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