2011年黄冈中学高考数学压轴题精选14

【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选14 66、设函数 .

(1)求 的单调区间;

(2)若当 时,(其中 )不等式 恒成立,求实数 的取值范围; (3)试讨论关于 的方程: 在区间 上的根的个数.

67、已知 ， ， .

（1）当 时，求 的单调区间；

（2）求 在点 处的切线与直线 及曲线 所围成的封闭图形的面积；

（3）是否存在实数 ，使 的极大值为3？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.

68、已知椭圆 的离心率为 ，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（3）设C?2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且 满足 ， 求 的取值范围。

69、已知F1,F2是椭圆C: （a>b>0）的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足 。

（1）求椭圆C的方程。

（2）椭圆C上任一动点M 关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。

70、已知 均在椭圆 上，直线 、 分别过椭圆的左右焦点 、 ，当 时，有 . (Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)设 是椭圆 上的任一点， 为圆 的任一条直径，求 的最大值.

参考答案 66、（1）函数的定义域为 . 1分 由 得 ; 2分 由 得 , 3分

则增区间为 ,减区间为 . 4分

(2)令 得 ,由(1)知 在 上递减,在 上递增, 6分 由 ,且 , 8分

时, 的最大值为 ,故 时,不等式 恒成立. 9分 (3)方程 即 .记 ,则 .由 得 ;由 得 .

所以 在 上递减;在 上递增. 而 , 10分 所以,当 时,方程无解; 当 时，方程有一个解; 当 时,方程有两个解; 当 时,方程有一个解;

当 时,方程无解. 13分 综上所述, 时,方程无解; 或 时,方程有唯一解;

时,方程有两个不等的解. 14分

67、解：（1）当 .…（1分） ……（3分） ∴ 的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为： ， . ……（4分）

（2）切线的斜率为 ，

∴ 切线方程为 .……（6分） 所求封闭图形面积为 .

……（8分）

（3） ， ……（9分）

令 . ……（10分） 列表如下： x (－∞，0) 0 （0，2－a） 2－a (2－a，+ ∞) － 0 + 0 － ↘ 极小 ↗ 极大 ↘

由表可知， . ……（12分） 设 ，

∴ 上是增函数，……（13分） ∴ ，即 ，

∴不存在实数a，使 极大值为3. ……（14） 68、解：（1）由 （2分） 由直线

所以椭圆的方程是 （4分）

（2）由条件，知|MF2|=|MP|。即动点M到定点F2的距离等于它到直线 的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是 。 （8分） （3）由（2），知Q（0，0）。设

所以当

故 的取值范围是 。 69、解：（1）由已知，点P 在椭圆上 ∴有 ①┉┉┉┉┉┉┉┉1分 又 ，M在y轴上，

∴M为P、F2的中点，┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴ .┉┉┉┉┉┉┉┉3分

∴由 ， ②┉┉┉┉┉┉┉┉4分 解①②,解得 （ 舍去），∴

故所求椭圆C的方程为 。┉┉┉┉┉┉┉┉6分 （2）∵点 关于直线 的对称点为 ， ∴ ┉┉┉┉┉┉┉┉8分 解得 ┉┉┉┉┉┉┉┉10分 ∴ ┉┉┉┉┉┉┉┉11分

∵点P 在椭圆C: 上，∴ ∴ 。 即 的取值范围为［－10，10］。┉┉┉┉┉┉┉┉12分 70、解:(Ⅰ)因为 ，所以有

所以 为直角三角形； …………………………2分 则有

所以， …………………………3分 又 ， ………………………4分 在 中有 即 ，解得

所求椭圆 方程为 …………………………6分 (Ⅱ)

从而将求 的最大值转化为求 的最大值…………………………8分 是椭圆 上的任一点，设 ，则有 即 又 ，所以 ………………………10分 而 ,所以当 时， 取最大值

故 的最大值为 …………………………12分

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