中考数学压轴题精选及答案

中考数学压轴题100题精选

【001】如图，已知抛物线y a(x 1) a≠0）经过点A( 2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴

正半轴上，连结BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，

2

分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．

图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D

（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。

28

x 与直线l2:y 2x 16相交于点C，l1、l2分别交x33

轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．（1）求△ABC的面积；【004】如图，已知直线l1:y

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向 以每秒1个单位长度的速度平移，

设移动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重

叠部分的面积为S，求S关t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． 【005】如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB 4，BC 6，∠B 60 . （1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP x. ①当点N在线段AD上时（如图2），△P求出△PMNMN的形状是否发生改变？若不变，的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

N

A A A D D D E B

B

图4（备用）

2

F C

图1 A E

D B

E

F C B

E

N

F

C

M

图2

D F

M 图3

（第25题） A

E

C

B

图5（备用）

F

C

【006】如图13，二次函数y x px q(p 0)的图象与x

轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为

5

。 4

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC

的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直

角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1） 求证：BE=AD；

（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

【009】一次函数y ax b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N，与反比例函数y

k

的x

图象相交于点A,B．过点A分别作AC x轴，AE y轴，垂足分别为C,E；过点B分

别作BF x轴，BD y轴，垂足分别 为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．

)

k

（1） 若点A，B在反比例函数y 的

x

（2） 图象的

（3） 同一分支上，如图1，试证明： ①S四边形AEDK S四边形CFBK；②AN BM．

k的 x

图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．

（2）若点A，B分别在反比例函数y

【010】如图，抛物线y ax bx 3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点

2

(2， 3a)，对称轴是直线x 1，顶点是M．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N

P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线y

x 3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E （不与B，D重合），经过A，B，E

三点的圆交直线BC于点F， 试判断△AEF的形状，并说明理由；

（

4）当E是直线y

x 3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？ （请直接写出结论）．

【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

D E

D

第24题图①

第24题图②

第24题图③

【012】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y ax bx c与y轴交于 点D，与直线y x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相

切于点A和点C．

（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交

圆O于F，求EF的长．

（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

2

【013】如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0， 2)三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x轴，垂足为M，是 否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？ 若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4） 在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大， 求出点D的坐标．

【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数； （3）设 MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【015】如图，二次函数的图象经过点D(0，7)，且顶点

9C的横

坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【016】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

(第26题)

x

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，

m)求m的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与

x轴、y轴分别交于C、D求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（5） 在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E（6） 使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满

足：S1

2

S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3

2

【017】如图，已知抛物线y x bx c经过A(1，0)，B(0，2)两 点，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的 位置，

将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；

（第

26

（3）设（

2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为

D1

，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标． 【018】如图，抛物线y ax bx 4a经过A( 1，0)、C(0，4)两点， 与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式； （2）已知点D(m，m 1)在第一象限的抛物线上， 求点D关于直线BC对称的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点， 且 DBP 45°，求点P的坐标．

2

【019】如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方

形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO

(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 (2)令m

S四边形CFGH

S四边形CNMN；

，请问m是否为定值？若是，

请求出m的值；若不是，请说明理由 (3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝

＝

1

，Q为AE上一点且QF3

2， 3

抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在

点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合）， 如图乙，线段CF、BD之间的位置关系

为 ，

数量关系为 。

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）

（3）若AC=42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。 【021】如图，点P是双曲线y

k1x

(k1 0，x 0)上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，

k2

（0＜k2＜|k1|）于E、F两点． x

分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=

（1）图1中，四边形PEOF的面积S1(用含k1、k2的式子表示)； （2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．

①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；

②记S2 S PEF S OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。

【022】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

(1)若m为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． A D

60

B

P

C

【023】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD 2，BC 4，点M是AD的中点，

△MBC是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，

且∠MPQ 60 保持不变．设PC x，MQ y， 求y与x的函数关系式；

（3）在（2）中：①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

【024】如图，已知 ABC为直角三角形， ACB 90 ，AC BC,点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m 0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．

（1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，

连结PQ并延长交BC于点E，连结 BQ并延长交AC于点

试证明：FC(AC EC)为定值．

【025】如图12，直线y x 4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0 a 4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

图12

图

12图

12

【026】如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有 一直角梯形DEFH

（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3 （1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.

（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个

单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯 形为DEFH′（如图12）.

探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，

请求出此时t的值；若不能，请说明理由.

探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠

部分的面积为y，求y与t的函数关系.

【027】阅读材料：

如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC

1

ah，即三角形面积等于2

水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题： 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.

(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，

连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的

y

B

1 O

1

A

x

铅垂高CD及S CAB；(3)是否存在一点P，使S△PAB=

请说明理由.

【028】如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。

9

S△CAB，若存在,求出P点的坐标；若不存在， 8

图12-2

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；

如果不相似，请说明理由。

【029】已知二次函数y x ax a 2。

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。 （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为

2

3，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。 2

【030】如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3，0)和点E(0，4)．动点C从点

M(5，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D

出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P

（2）以点C为圆心、

1

t个单位长度为半径的 2

， ⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）连接PA、PB．

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当△PAB

为等腰三角形时，求t的值．

x

【031】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3). 现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA 向终点A运动，设运动时间为t秒.

（1）填空：菱形ABCD的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲ ； （2）探究下列问题：

①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；

②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值。

E

O

y【032】如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN 4，MA 1，MB 1．以A为中心顺

时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使，设AB x． （1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？

【033】已知抛物线y x 2x a（a 0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y 分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N.

2

1

x a2

(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M ， ，N ， ； (2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

(3)在抛物线y x 2x a（a 0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.

第（2）题

备用图

（第24题）

【034】若P为△ABC所在平面上一点，且 APB BPC CPA 120°，则点P叫做△ABC的费马点.

（1）若点P为锐角△ABC的费马点，且 ABC 60°，PA 3，PC 4， B 则PB的值为________；

（2）如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′.

求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA PB PC.

第（25）题 【035】如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），

点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒．

2

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标； (3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相

等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

【036】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1

EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，

在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q， 使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成

的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标 x

；若不存在，请说明理由．

26题图

【037】已知平行于x轴的直线y a(a 0)与函数y x和函数y 和点B，又有定点P（2，0） .

6

1

的图像分别交于点Ax

1

，求线段AB的长； 9

（2）在过A，B两点且顶点在直线y x上的抛物线

（1）若a 0，且tan∠POB=中，已知线段AB=

8

，且在它的对称轴左边时，y随着x3

的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y

92

x的图像，求点P到直线AB的距离。 5

【038】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时声母OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q． （1）四边形的形状是 ，当α=90°时，

BP

的值是 ． PQ

BP

的值; PQ

（2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求

②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积． （3）在四边形OABC旋转过程中,当0 180时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=

1

BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；基不存在，请说明理由． 2

【039】如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y ax2上．

(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最

短，求出点Q的坐标；

(2) 平移抛物线y ax2，记平移后点A的对应点为A′， 点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，

求此时抛物线的函数解析式；

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，

使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛 物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 【040】△ABC与△A B C 是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点。△ABC位置固定，△A B C 按如图叠放，使斜边A B 在直线MN上,顶点B 与点M重合。等腰直角△

(第24题)

A B C 以1厘米/秒的速度沿直线

MN向右平移，直到点A 与点N重合。设x秒时，△A B C 与△ABC重叠部分面积为y平方厘米。

（1）当△A B C 与△ABC重叠部分面积为（2）求y与x的函数关系式；

（3）求△A B C 与△ABC重叠部分面积的最大值。

【041】某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．

（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象．

（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案） （3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．

3

2平方厘米时，求△A B C 移动的时间；

2

【042】如图9，在矩形OABC中，已知A、0)C(0，2)，D为OAC两点的坐标分别为A(4，、的中点．设点P是 AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）． （1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，

试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式； （3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点， 当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？

图9

求出此时点P的坐标和△PDE的周长；

（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使 CPN 90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

【043】已知函数y1 x，y2 x bx c， ， 为方程y1 y2 0的两个根，点

2

M 1，T 在函数y2的图象上．

（Ⅰ）若 ，

131

，求函数y2的解析式； 2

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为

1

时，求t的值； 12

（Ⅲ）若0 1，当0 t 1时，试确定T， ， 三者之间的大小关系，并说明理由．

12

x–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与2

y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．

【044】如图9，已知抛物线y=

(1) 求直线l的函数解析式； (2) 求点D的坐标； (3) 抛物线上是否存在点Q， 使得S△DQC= S△DPB? 若存在，

求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【045】如图，已知直线y 点D，抛物线y

图9

1

x 1与y轴交于点A，与x轴交于2

12

x bx c与直线交于A、E两点，与x轴交2

于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM MC|的值最大，求出点M的坐标。

【046】如图，已知直线l1:y

28

x 与直线l2:y 2x 16相交于点C，l1、l2分别交x33

轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长； （3）若矩形DEFG从原点出发，

沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，

设移动时间为t(0≤t≤12)秒，

矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

【047】如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当

CE1AM

的值．

时，求

CD2BN

方法指导：

为了求得AM的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2

BN 类比归纳

CE1AMCE1AM

则的值等于 ；若则的值等 ， ，

CD3BNCD4BNCE1AM

于 ；若，则的值等于 ．（用含n的式子表示） （n为整数）

CDnBN

在图（1）中，若

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设

F

AB1CE1AM

则的值等于 ．（用含 m 1 ，

BCmCDnBN

m，n的式子表示）F

D

A

D E

E

B

B

N 图（1）

C

图（2）

C

【048】如图11，抛物线y a(x 3)(x 1)与x轴相交于A、B两点

（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.

(1)求a的值及直线AC的函数关系式；

(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N. ①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由。

2

【049】已知：抛物线y ax bx c a 0 的对称轴为x 1与x轴交于A，B两点，，

2 ．0 、C 0，与y轴交于点C，其中A 3，

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．

请求出点P的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）

过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接

PD、PE．

设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m试说明S

【050】如图，在梯形ABCD中，AD∥

BC

，AD 6cm，CD 4cm，BC BD 10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0 t 5）．解答下

列问题： （1）当t为何值时，PE∥AB？

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ

2

S△BCD？ 25

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由． 【051】如图14（1），抛物线y x 2x k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］ 3）

（1）k ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）设抛物线y x 2x k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y x 2x k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

2

2

2

图14（1） 图14（2） 图14（3）

2

【052】已知二次函数y ax bx c（a 0）的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0， 2)，直线x m（m 2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x m（m 2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

【053】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y ax bx c（a 0）经过A( 1，0)，

2

B(3，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D

重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为(x，y)，△PBE的面积为s，

求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围， 并求出s的最大值；

（4） 在（2）的条件下，当s取得最大值时，

（5） 过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对

应点为P ，请直接写出P 点坐标，并判断点P 是否在该抛物线上． 【054】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分 别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到

1

点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线y x2 bx c

4经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）． （1）求抛物线对应的函数关系式． （2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．

（3）当0＜t≤5时，求S与t之间的函数关系式， 并直接写出S的最大值．

【055】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板

2)，ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，

点C( 1，0)，如图所示：

抛物线y ax ax 2经过点B．

2

（第25题）

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P （点B除外），使△ACP仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，

求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【056】如图18，抛物线F：y ax bx c的顶点为P

抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过

点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y a x b x c ，抛物线F′与x一个交点为C．

⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(⑵若a、b、c满足了b 2ac

①求b：b′的值；

②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

【057】直线y kx b(k 0)与坐标轴分别交于A、B2

22

2

两点，OA、OB的长分别是方程x 14x 48 0根（OA OB），动点P从O点出发，沿路线O→B→每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止． （1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点P的运动时间为t(秒)， OPA的面积为求S与t（3）当S 12时，直接写出点PA、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【058】如图，已知抛物线y x 1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P， 求四边形ACBP的面积．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M， 过M作MG x轴于点G，使以A、M、G三点为

2

顶点的三角形与 PCA相似．若存在，请求出M点 的坐标；否则，请说明理由．

【059】如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC

上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；(4分)

（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(4分) （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．(5分)

F

M B E C

N

图

【060】已知：如图所示，关于x的抛物线y ax x c(a 0)与x轴交于点A( 2，0)、点B(6，0)，与y轴交于点C．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等 腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；

2

G

F

M B

E 图

C

N

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