209-2012挑战中考数学压轴题精选_及_答案(1)

初中数学压轴题

目录

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2012年苏州市中考第29题

例2 2012年黄冈市中考第25题

例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题

例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题

例5 2010年义乌市中考第24题

例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题

例7 2009年临沂市中考第26题

例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2012年扬州市中考第27题

例2 2012年临沂市中考第26题

例3 2011年湖州市中考第24题

例4 2011年盐城市中考第28题

例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题

例6 2010年南通市中考第27题

例7 2009年重庆市中考第26题

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 2012年广州市中考第24题

例2 2012年杭州市中考第22题

例3 2011年沈阳市中考第25题

例4 2011年浙江省中考第23题

例5 2010年北京市中考第24题

例6 2009年嘉兴市中考第24题

例7 2008年河南省中考第23题

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2012年福州市中考第21题

例2 2012年烟台市中考第26题

例3 2011年上海市中考第24题

例4 2011年江西省中考第24题

例5 2010年河南省中考第23题

例6 2010年山西省中考第26题

例7 2009年福州市中考第21题

例8 2009年江西省中考第24题

1

1.5 因动点产生的梯形问题

例1 2012年上海市松江中考模拟第24题

例2 2012年衢州市中考第24题

例3 2011年北京市海淀区中考模拟第24题

例4 2011年义乌市中考第24题

例5 2010年杭州市中考第24题

例6 2010年上海市奉贤区中考模拟第24题

例7 2009年广州市中考第25题

1.6 因动点产生的面积问题

例1 2012年菏泽市中考第21题

例2 2012年河南省中考第23题

例3 2011年南通市中考第28题

例4 2011年上海市松江区中考模拟第24题

例5 2010年广州市中考第25题

例6 2010年扬州市中考第28题

例7 2009年兰州市中考第29题

1.7因动点产生的相切问题

例1 2012年河北省中考第25题

例2 2012年无锡市中考第28题

1.8因动点产生的线段和差问题

例1 2012年滨州市中考第24题

例2 2012年山西省中考第26题

第二部分图形运动中的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题

例2 2012年连云港市中考第26题

例3 2010年上海市中考第25题

2.2 由面积公式产生的函数关系问题

例1 2012年广东省中考第22题

例2 2012年河北省中考第26题

例3 2011年淮安市中考第28题

例4 2011年山西省中考第26题

例5 2011年重庆市中考第26题

2

3 第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2012年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线211(1)444

b y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,

4

b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．

因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．

如图3，联结OP ．

4 所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428

b x b x bx ??+??=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55

)

．

图2 图3

（3）由2111(1)(1)()4444

b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA

=，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14

b b =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)． ②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

因此△OCQ ∽△QOA ． 当BA QA QA OA

=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此BO QA CO OA =，即1

4

b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)

．

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．

如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？

如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．

例2 2012年黄冈市中考模拟第25题

5 如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m

=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．

（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m

的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C 在x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与BF 保持平行，但是∠BFC 在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF 保持45°，存在∠BFC ＝∠BCE 的时刻．

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．

2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF ，作∠CBF ＝∠EBC ＝45°，或者作BF //EC ．再用含m 的式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程．

满分解答

（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m

=-?-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442

y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)． 所以S △BCE ＝1162622

BC OE ?=??=． （3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．

设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO

=． 因此

234HP =．解得32

HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．

由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =?时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m

+-=+． 解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．

6 由'CO BF CE BF =，得244

m m BF m +=+．所以2(4)4m m BF m ++=． 由2BC CE BF =?，得222

(4)4(2)4m m m m m +++=+?． 整理，得0＝16

．此方程无解．

图2 图3 图4

②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，

由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF

=，即2BC BE BF =?时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m

+-=+． 解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2(22)BF m =+．

由2BC BE BF =?，得2(2)222(22)m m +=?+．解得222m =±．

综合①、②，符合题意的m 为222+．

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．

例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题

直线113

y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆

时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三

点．

(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；

(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；

(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形

与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

7 请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q 在直线BG 上运动， 可以体验到，

△ABQ 的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B 上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．

2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．

3．第（3）题判断∠ABQ ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个．

满分解答

（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．

（2）因为抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=??=??-+=? 解得1,

2,3.a b c =-??=??=?

所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．

（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±．

Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当3BQ BA =时，10310

x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当

13BQ BA =时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是22(3)10BQ x x x =+=±．

8 我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．

通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°．

在Rt △BGH 中，1sin 110∠=，3cos 110

∠=． ①当

3BQ BA

=时，310BQ =． 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =?∠=，cos 19BN BQ =?∠=． 当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =时，1103BQ =．同理得到31(,2)3Q ，41(,0)3

Q -．

例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题

Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x =

≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．

（1）求m 与n 的数量关系；

（2）当tan ∠A ＝12

时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．

思路点拨

1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．

2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．

3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．

满分解答

9 （1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k y x =

的图象上，所以4,2.m k n k =??=?

整理，得n ＝2m ． （2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝

12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．

已知△BDE 的面积为2，所以

11(1)2222BD EH m ?=+?=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．

因为点D （4，1）在反比例函数k y x =的图象上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x

=． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+??

=+? 解得12k =，1b =． 因此直线AB 的函数解析式为112

y x =+．

图2 图3 图4

（3）如图3，因为直线112

y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：

①如图3，当EA EF AO FP =时，2552FP

=．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）． ②如图4，当EA FP AO EF =时，2525

FP =．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）． 考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x

=-，直线AB 为172

y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．

10 图5

例5 2010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x 2－x 1随S 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运动，可以体验到，如果∠GAF ＝∠GQE ，那么△GAF 与△GQE 相似．

思路点拨

1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．

满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =

-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62

x x S x x -+-?3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于

11 213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()38

4x x x x ??-+-=????．因此得到2172x x S

-=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得126,8.

x x =??=? 此时点A 1的坐标为（6，3）．

（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．

在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．

因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t

∠==-，所以345t t =-．解得207t =．

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题

如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．

（1）求m 、n ；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．

12

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．

思路点拨

1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．

2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．

3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．

满分解答

(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.

m m n m m n -+=??++=? 解得43

m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133

x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为()3

164342,+--=x y ．

图2

(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝45．

如图2，由AM//CN，可得

''

''

B N B C

B M B A

=，即

2'

845

B C

=．解得'5

B C=．所以35

AC=．根据菱形

的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．

①如图3，当

'

'

AB B C

AC B D

=时，

55

'

35B D

=，解得'3

B D=．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．

②如图4，当

'

'

AB B D

AC B C

=时，

5'

355

B D

=，解得

5

'

3

B D=．此时OD＝

13

3

，点D的坐标为（

13

3

，0）

．

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．

我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．

例7 2009年临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

,

图1

动感体验

13

14 请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△P AM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△P AM 与△OAC 相似的三个情景．

双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．

思路点拨

1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．

2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．

3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．

满分解答

（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-

=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(2

1,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2

1---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO

AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么2

14)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）． ②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=

x x PM ，4-=x AM ． 解方程24

)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-． 解方程2

14)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意． ③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2

1--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x

x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--． 解方程2

14)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．

15

图2 图3 图4

（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为22

1-=

x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<

521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)22

1()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=． 因此4)22

1(212?+-=?m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）

．

图5 图6 考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．

设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<

42)4(21)2(214)22(21++-=--+-?+=

n m m n n m n S ． 由于22

5212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题

如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝

3

10

．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC

交射线CA于点E.．

(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．

图1 备用图备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．

双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．

思路点拨

1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．

2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN 表示的形式分两种情况．

3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．

4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答

（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝

3

10

AH

AB

=，所以AH＝

3

2

＝

1

2

AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．

因为DE//BC，所以

AB AC

DB EC

=，即53

y x

=．于是得到

5

3

y x

=，（0

x>）．

（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以

DE AE

BC AC

=，

MN AN

BC AC

=，即|3|

53

DE x

-

=，

1

|3|

2

53

x

MN-

=．因此

5|3|

3

x

DE

-

=，圆心距

5|6|

6

x

MN

-

=．

16

17

图2 图3 图4

在⊙M 中，115226M r BD y x =

==，在⊙N 中，1122

N r CE x ==． ①当两圆外切时，5162x x +5|6|6

x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313

x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6

x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533

x DE -==

．

图5 图6 图7

（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．

如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．

如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534

BF =

．

图8 图9 图10 图11

考点伸展

第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2012年扬州市中考第27题

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．

2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，

代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．

（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．

由BH PH

BO CO

=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．

所以点P的坐标为(1, 2)．

图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6

-)或(1,0)．

考点伸展

18

19 第（3）题的解题过程是这样的：

设点M 的坐标为(1,m )．

在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．

①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1．

此时点M 的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±．

此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．

③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6．

当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)

．

图3 图4 图5

例2 2012年临沂市中考第26题

如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P

的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O 和⊙B 以及OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P 运动到⊙O 与对称轴的另一个交点时，B 、O 、P 三点共线．

请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P ，发现存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形

20

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．

满分解答

（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．

在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =．

所以点B 的坐标为(2,23)--．

（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，

代入点B (2,23)--，232(6)a -=-?-．解得36

a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)663

y x x x x =--=-+． （3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．

①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±．

当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．

②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-．

③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-．

综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．

图2 图3

考点伸展

如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形． 由23323(4)(2)663

y x x x =-

-=--+，得抛物线的顶点为23(2,)3D ． 因此23tan 3DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．

21 例3 2011年湖州市中考第24题

如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．

（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；

（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；

（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）

．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．

思路点拨

1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备．

2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．

3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．

满分解答

（1）因为PC //DB ，所以

1CP PM MC BD DM MB

===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．

（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．

①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32

m =（如图3）． ②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43

m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23

m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）． 综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．

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