2014挑战中考数学压轴题(第七版精选)

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2

＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．

图1 满分解答

（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．

在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，

所以AH ＝1，OH 3A (13)-．

因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，

设y ＝ax (x －2)，代入点A (13)-，可得3a =

． 图2 所以抛物线的表达式为23323(2)y x x x =-=． （2）由22323331)3333

y x x x =-=-- 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,．所以3tan BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．

（3）由A (13)-、B (2,0)、M 3(1,3

-

， 得3tan ABO ∠=23AB =23OM =． 所以∠ABO ＝30°，3OA OM = 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．

△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：

①如图3，当3BA OA BC OM ==时，23233

BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当3BC OA BA OM ==时，33236BC BA ==．此时C (8,0)．

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．

如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．

图5

例2 2012年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线211(1)444

b y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1 满分解答

（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4

b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．

如图3，联结OP ．

所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428

b x b x bx ??+??=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．

图2 图3

（3）由2111(1)(1)()4444

b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA

=，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14

b b =-．解得843b =±Q 为(1,23． ②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

因此△OCQ ∽△QOA ． 当BA QA QA OA

=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此BO QA CO OA =，即14

b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)．

图4 图5 考点伸展

第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．

如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？

如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．

例3 2012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m

=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．

（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

图1 满分解答

（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-?-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442

y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)． 所以S △BCE ＝1162622

BC OE ?=??=． （3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．

设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO

=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2

． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．

由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF

=，即2BC CE BF =?时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m

+-=+． 解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)． 由'CO BF CE BF =，得244

m BF m +=+．所以2(4)4m m BF ++=． 由2BC CE BF =?，得222

(4)4(2)4m m m m +++=+?． 整理，得0＝16．此方程无解． 图2 图3 图4

②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，

由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF

=，即2BC BE BF =?时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m

+-=+． 解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2(22)BF m =+．

由2BC BE BF =?，得2(2)222(22)m m +=+．解得222m =±

综合①、②，符合题意的m 为222+

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．

例4 2010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =

-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62

x x S x x -+-?3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484

y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()38

4x x x x ??-+-=????．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得12

6,8.x x =??=? 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．

在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例5 2009年临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以

A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．

,

图1 满分解答

（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为

)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得2

1-=a ．所以抛物线的解析式为22

521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(2

1,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2

1---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．

如果21==CO AO PM AM ，那么2

14)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(2

1--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24

)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-． 解方程2

14)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意． ③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2

1--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)

4)(1(21=---x

x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--． 解方程2

14)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．

图2 图3 图4

（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=

x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<

521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 22

12+-=． 因此4)22

1(212?+-=?m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．

图5 图6 考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．

设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<

42)4(2

1)2(214)22(21++-=--+-?+=

n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6 2008年苏州市中考第29题

图1 满分解答

（1）1OH =，3k =，23b =． （2）由抛物线的解析式(1)(5)y a x x =+-，得

点M 的坐标为(1,0)-，点N 的坐标为(5,0)． 因此MN 的中点D 的坐标为（2，0），DN ＝3．

因为△AOB 是等腰直角三角形，如果△DNE 与△AOB 相似，那么△DNE 也是等腰直角

三角形．

①如图2，如果DN 为直角边，那么点E 的坐标为E 1（2，3）或E 2（2，－3）． 将E 1（2，3）代入(1)(5)y a x x =+-，求得1

3

a =-． 此时抛物线的解析式为21145(1)(5)3

333

y x x x x =-+-=-++． 将E 2（2，－3）代入(1)(5)y a x x =+-，求得3

1=a ． 此时抛物线的解析式为3

53431)5)(1(312--=-+=x x x x y ． ②如果DN 为斜边，那么点E 的坐标为E 311(3,1)22或E 4)2

11,213(-． 将E 311(3,1)22代入(1)(5)y a x x =+-，求得29

a =-． 此时抛物线的解析式为222810(1)(5)9999

y x x x x =-+-=-++． 将E 4)211,213(-代入(1)(5)y a x x =+-，求得9

2=a ． 此时抛物线的解析式为9109892)5)(1(922--=-+=x x x x y ．

图2 图3 对于点E 为E 1（2，3）和E 311(3,1)22

，直线NE 是相同的，∠ENP ＝45°． 又∠OBP ＝45°，∠P ＝∠P ，所以△POB ∽△PGN ． 因此2101472<=?=?=?PN PO PG PB ． 对于点E 为E 2（2，－3）和E 4)2

1

1,2

13(-，直线NE 是相同的． 此时点G 在直线5=x 的右侧，33

14>PG ． 又334>PB ，所以21034143343314>?=?>?PG PB ． 考点伸展

在本题情景下，怎样计算PB 的长？

如图3，作AF ⊥AB 交OP 于F ，那么△OBC ≌△OAF ，OF ＝OC PF ＝2

PA 1PF =-=，所以1PB =．

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题

如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ ＝90°．

（1）求ED 、EC 的长；

（2）若BP ＝2，求CQ 的长；

（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．

图1 备用图 满分解答

（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10．

在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =?∠=?=，254

EC =． （2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是 △ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．

由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．

因此△PDM ∽△QDN ． 所以43

PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43PM QN =．

图2 图3 图4

①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1． 此时3344QN PM ==．所以319444

CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5． 此时31544QN PM =

=．所以1531444

CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4

QD DN QPD PD DM ∠===． 在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ． 由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ．

因此△PDF ∽△CDQ ．

当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．

①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）．

此时4433PM QN =

=．所以45333

BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CH C CQ

=，可得5425258CQ =÷=． 所以QN ＝CN －CQ ＝257488

-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．

图5 图6 考点伸展

如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256

BP =

例2 2012年扬州市中考第27题

如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；

（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 满分解答

（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3．

（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．

当点P 落在线段BC 上时，PA ＋PC 最小，△PAC 的周长最小．

设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO

=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．

图2

（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的：

设点M 的坐标为(1,m )．

在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．

①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1．

此时点M 的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±．

此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．

③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．

图3 图4 图

例3 2012年临沂市中考第26题

如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 满分解答

（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．

在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =

所以点B 的坐标为(2,23)--．

（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)， 代入点B (2,23)--，232(6)a -=-?-．解得3a =．

所以抛物线的解析式为2(4)y x x x x =-=． （3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．

①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16

．解得y =±

当P

在时，B 、O 、P 三点共线（如图2）． ②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16

．所以224(16y ++=

．解得12y y ==- ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2

．所以22224(2y y ++=+

．解得y =-． 综合①、②、③，点P

的坐标为(2,-，如图2所示．

图2 图3 考点伸展

如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．

由2(4)2)y x x =-=-

D ．

因此tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°． 例4 2011年盐城市中考第28题

如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43

y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．

（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动

点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A

的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度

向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA

或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都

停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积

为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

图1

满分解答

（1）解方程组7,4,3y x y x =-+???=?? 得3,4.x y =??=? 所以点A 的坐标是(3，4)．

令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C P P O R C O R A S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -?-??--?-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．

因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．

如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．

如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．

因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．

我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．

在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333

AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418

t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =． 如7，当P A ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP

∠=．因此2c o s A Q A P A =?∠．解方程52032(7)335t t -=-?，得22643

t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643

时，△APQ 是等腰三角形．

图5 图6 图7

考点伸展

当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =?∠来求解．

例5 2010年南通市中考第27题

如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．

（1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

（3）若12y m

=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？

图1

满分解答

(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此

DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m

=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-

+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．

(3) 若12y m =

，那么21218x x m m m

=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即

x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m

=，得m ＝2（如图4）．

图2 图3 图4

考点伸展

本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：

由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m

=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一

个特殊性．

再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程 218x x x m m

=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． 例 6 2009年江西省中考第25题

如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF //BC 交CD 于点F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．

（1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交BC 于M ，过M 作MN //AB 交折线ADC 于N ，连结PN ，设EP ＝x ．

①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3

满分解答

（1）如图4，过点E 作EG ⊥BC 于G ． 在Rt △BEG 中，22

1==

AB BE ，∠B ＝60°， 所以160cos =??=BE BG ，360sin =??=BE EG ． 所以点E 到BC 的距离为3．

（2）因为AD //EF //BC ，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中点．

因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF ＝4．

①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变．

过点N 作NH ⊥EF 于H ，设PH 与NM 交于点Q ．

在矩形EGMP 中，EP ＝GM ＝x ，PM ＝EG ＝3．

在平行四边形BMQE 中，BM ＝EQ ＝1＋x ．

所以BG ＝PQ ＝1．

因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH ＝2PQ ＝2．

在Rt △PNH 中，NH ＝3，PH ＝2，所以PN ＝7．

在平行四边形ABMN 中，MN ＝AB ＝4．

因此△PMN 的周长为3＋7＋4．

图4 图5

②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．

如图5，当PM ＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线上．

在Rt △PCM 中，PM ＝3，∠PCM ＝30°，所以MC ＝3．

此时M 、P 分别为BC 、EF 的中点，x ＝2．

如图6，当MP ＝MN 时，MP ＝MN ＝MC ＝3，x ＝GM ＝GC －MC ＝5－3． 如图7，当NP ＝NM 时，∠NMP ＝∠NPM ＝30°，所以∠PNM ＝120°．

又因为∠FNM ＝120°，所以P 与F 重合．

此时x ＝4．

综上所述，当x ＝2或4或5－3时，△PMN 为等腰三角形．

图6 图7 图8 考点伸展

第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：

如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m ，0），那么点P 的坐标为（m ，3），MN ＝MC ＝6－m ，点N 的坐标为（

26+m ，2

)6(3m -）． 由两点间的距离公式，得21922+-=m m PN ．

当PM ＝PN 时，92192=+-m m ，解得3=m 或6=m ．此时2=x ． 当MP ＝MN 时，36=-m ，解得36-=m ，此时35-=x ．

当NP ＝NM 时，22)6(219m m m -=+-，解得5=m ，此时4=x ．

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 2013年山西省中考第26题

如图1，抛物线213442

y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．

（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 满分解答

（1）由21314(2)(8)424

y x x x x =

--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为142

y x =-+． 由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m --，213(,4)42

Q m m m --． 所以MQ ＝221131(4)(4)82424m m m m m -+---=-++． 当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程21884

m m -++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）． 此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)．

所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分．

所以四边形CQBM 是平行四边形．

图2 图3

（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)． 考点伸展

第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1

(,(2)(8))4

x x x +-． ①如图3，当∠DBQ ＝90°时， 12QG BH GB HD ==．所以1(2)(8)1482

x x x -+-=-． 解得x ＝6．此时Q (6,－4)．

②如图4，当∠BDQ ＝90°时， 2QG DH GD HB ==．所以14(2)(8)42x x x

-+-=-． 解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．

图3 图4 例2 2012年广州市中考第24题

如图1，抛物线233384

y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；

（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．

三个时，求直线l 的解析式．

图1 满分解答

（1）由23333(4)(2)848

y x x x x =--+=-+-， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．

（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．

过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．

由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34

DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4

-． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．

而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．

图2 图3

（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．

联结GM ，那么GM ⊥l ．

在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．

在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4

M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334

y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展

第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．

在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．

因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．

例3 2012年杭州市中考第22题

在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．

（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．

满分解答

（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x =

． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x =-

．

（2）在反比例函数k y x

=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．

当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x

增大而增大．

抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24

k x k +-的对称轴是直线

12

x =-． 图1 所以当k ＜0且12

x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大． （3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24

k --，A 、B 关于原点O 中心对称， 当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．

由OQ 2＝OA 2，得222215()()124

k k -+-=+．

解得1k =2），2k =3）．

图2 图3 考点伸展

如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线k y x

=

（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．

问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？

如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．

因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．

图4 图5

例4 2011年浙江省中考第23题

设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．

（1）已知直线①122

y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线

（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，

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