2013挑战中考压轴题1

目 录

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题 例2 2012年黄冈市中考第25题

例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题 例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题 例5 2010年义乌市中考第24题

例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题 例7 2009年临沂市中考第26题

例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2012年扬州市中考第27题 例2 2012年临沂市中考第26题 例3 2011年湖州市中考第24题 例4 2011年盐城市中考第28题

例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题 例6 2010年南通市中考第27题 例7 2009年重庆市中考第26题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2012年广州市中考第24题 例2 2012年杭州市中考第22题 例3 2011年沈阳市中考第25题 例4 2011年浙江省中考第23题 例5 2010年北京市中考第24题 例6 2009年嘉兴市中考第24题 例7 2008年河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2012年福州市中考第21题 例2 2012年烟台市中考第26题 例3 2011年上海市中考第24题 例4 2011年江西省中考第24题 例5 2010年河南省中考第23题 例6 2010年山西省中考第26题 例7 2009年福州市中考第21题 例8 2009年江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题

例1 2012年上海市松江中考模拟第24题 例2 2012年衢州市中考第24题

例3 2011年北京市海淀区中考模拟第24题 例4 2011年义乌市中考第24题 例5 2010年杭州市中考第24题

例6 2010年上海市奉贤区中考模拟第24题 例7 2009年广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题

例1 2012年菏泽市中考第21题 例2 2012年河南省中考第23题 例3 2011年南通市中考第28题

例4 2011年上海市松江区中考模拟第24题 例5 2010年广州市中考第25题 例6 2010年扬州市中考第28题 例7 2009年兰州市中考第29题 1.7因动点产生的相切问题

例1 2012年河北省中考第25题 例2 2012年无锡市中考第28题 1.8因动点产生的线段和差问题 例1 2012年滨州市中考第24题 例2 2012年山西省中考第26题

第二部分 图形运动中的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例2 2012年连云港市中考第26题 例3 2010年上海市中考第25题

2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 2012年广东省中考第22题 例2 2012年河北省中考第26题 例3 2011年淮安市中考第28题 例4 2011年山西省中考第26题 例5 2011年重庆市中考第26题

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2012年苏州市中考第29题

121bx?(b?1)x?（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线y?

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

b)． 4（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．

1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝??x??b?x?bx＝2b．

2428161616解得x?．所以点P的坐标为(,)．

555（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,

图2 图3 11b1（3）由y?x2?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1．

4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

BAQA当，即QA2?BA?OA时，△BQA∽△QOA． ?QAOAb所以()2?b?1．解得b?8?43．所以符合题意的点Q为(1,2?3)．

4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． ?QAOA所以C、Q、B三点共线．因此

BOQA，即b?QA．解得QA?4．此时Q(1,4)． ?COOAb14

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例2 2012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C1：y??1(x?2)(x?m) (m＞0)与x轴交于点B、C，与my轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小． 2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．

满分解答

11(x?2)(x?m)，得2???4(2?m)．解得m＝4． mm111（2）当m＝4时，y??(x?2)(x?4)??x2?x?2．所以C(4, 0)，E(0, 2)．

44211所以S△BCE＝BC?OE??6?2?6．

22（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

HPEO设对称轴与x轴的交点为P，那么． ?CPCOHP233因此?．解得HP?．所以点H的坐标为(1,)．

3422（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

CEBC由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即BC2?CE?BF时，△BCE∽△FBC． ?CBBF（1）将M(2, 2)代入y??1(x?2)(x?m)1FF'EO2m设点F的坐标为(x,?(x?2)(x?m))，由，得??．

mBF'COx?2m解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．

COBF'(m?4)m2?4mm?4由，得．所以BF?． ??2CEBFmBFm?4(m?4)m2?4由BC?CE?BF，得(m?2)?m?4?．

m222整理，得0＝16．此方程无解．

图2 图3 图4

②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

BEBC由于∠EBC＝∠CBF，所以，即BC2?BE?BF时，△BCE∽△BFC． ?BCBF在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得

1(x?2)(x?m)?x?2． m解得x＝2m．所以F′(2m,0)．所以BF′＝2m＋2，BF?2(2m?2)． 由BC2?BE?BF，得(m?2)2?22?2(2m?2)．解得m?2?22． 综合①、②，符合题意的m为2?22．

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．

例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题

直线y??1x?1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°3后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q在直线BG上运动， 可以体验到， △ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．

满分解答

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以

?9a?3b?c?0,?a??1,? 解得??c?3,?b?2, ?a?b?c?0.?c?3.??所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)．

（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么BQ?x2?(3x)2??10x． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当

BQ?10x?3时，?3．解得x??3．所以Q1(3,10)，Q2(?3,?8)． BA10BQ1111?10x1．解得

?时，x??．所以Q3(,2)，Q4(?,0)． ?BA3333310②当

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是BQ?x2?(3x)2??10x．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．

通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°．

在Rt△BGH中，sin?1?1，cos?1?3．

1010BQ?3时，BQ?310． BA在Rt△BQN中，QN?BQ?sin?1?3，BN?BQ?cos?1?9．

①当

当Q在B上方时，Q1(3,10)；当Q在B下方时，Q2(?3,?8)． ②当

BQ1111?时，BQ?10．同理得到Q3(,2)，Q4(?,0)． BA3333

例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y?k(k?0)在第一象限内的x图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．

（1）求m与n的数量关系；

（2）当tan∠A＝

1时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； 2（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况．

思路点拨

1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．

3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．

满分解答

?4m?k,k

（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y?的图象上，所以?

x2n?k.?整理，得n＝2m．

（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．

已知△BDE的面积为2，所以1)，E(2，2)，B(4，3)．

因为点D（4，1）在反比例函数y?

1，211BD?EH?(m?1)?2?2．解得m＝1．因此D(4，22k

的图象上，所以k＝4．因此反比例函数的解析x

式为y?4． x设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得?,?3?4k?b1 解得k?，

2.?2?2k?bb?1．

因此直线AB的函数解析式为y?1x?1． 2

图2 图3 图4

（3）如图3，因为直线y?1x?1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），2所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：

①如图3，当

EAEF255?时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）． ?AOFP2FPEAFP25FP?时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）． ?AOEF25②如图4，当

考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条

件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为y??直线AB为y?12，x1x?7．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似． 2

图5

例5 2010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．

思路点拨

1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．

满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线x?1，解析式为y?（2） 梯形O1A1B1C1的面积S?1211． x?x，顶点为M（1，?）8842(x1?1?x2?1)???3(x1?x2)?6，由此得到

2s12111x1?x2??2．由于y2?y1?3，所以y2?y1?x2?x2?x12?x1?3．整理，得

38484721??1． (x2?x1)?(x2?x1)???3．因此得到x2?x1?S84??当S=36时，??x2?x1?14,?x1?6, 解得? 此时点A1的坐标为（6，3）．

?x2?x1?2.?x2?8.（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x

轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．

因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

由于tan?GAF?

33t20DQt，tan?PQD?，所以?．解得t?． ?45?t74QP5?t

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题

如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线y?mx2?2mx?n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A′B′B为菱形．再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△B′CD与△ABC相似有两种情况．

思路点拨

1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′ 的坐标、AC和B′C的长．

2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．

3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．

满分解答

(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线y?mx2?2mx?n上，所以

4?4m?4m?n?4, 解得，n?4． m???3?m?2m?n?0.(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB＝5．因为四边形A A′B′B为菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因为y??4284162x?x?4???x?1??，所以原抛物线的对3333,称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．

因此平移后的抛物线的解析式为y??4?x?4?2?16． 33

图2

(3) 由点A (-2，4) 和点B′ (6，0)，可得A B′＝45． 如图2，由AM//CN，可得

B'NB'C2B'C?，即?．解得B'C?5．所以B'MB'A845AC?35．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．

①如图3，当标为（3，0）．

②如图4，当

ABB'C55?时，，解得B'D?3．此时OD＝3，点D的坐?ACB'D35B'DABB'D5135B'D??时，，解得B'D?．此时OD＝，点D的

33ACBC'355坐标为（

13，0）． 3

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．

我们也可以讨论△B′CD与△CB B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．

例7 2009年临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

,

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．

双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．

思路点拨

1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为

1y?a(x?1)(x?4)，代入点C的 坐标（0，－2），解得a??．所以抛物线的解析式为

2115y??(x?1)(x?4)??x2?x?2．

2221（2）设点P的坐标为(x,?(x?1)(x?4))．

21①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM??(x?1)(x?4)，AM?4?x．

21?(x?1)(x?4)AMAO??2，那么2如果?2．解得x?5不合题意． PMCO4?x1?(x?1)(x?4)AMAO11??，那么2如果?．解得x?2． PMCO24?x2此时点P的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，PM?1(x?1)(x?4)，AM?x?4． 21(x?1)(x?4)解方程2?2，得x?5．此时点P的坐标为(5,?2)．

x?41(x?1)(x?4)12解方程?，得x?2不合题意．

x?421③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，PM?(x?1)(x?4)，AM?4?x．

21(x?1)(x?4)2解方程?2，得x??3．此时点P的坐标为(?3,?14)．

4?x1(x?1)(x?4)1解方程2?，得x?0．此时点P与点O重合，不合题意．

4?x2综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或(?3,?14)或(5,?2)．

图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为y?设点D的横坐标为m(1?m?4)，那么点D的坐标为(m,?1x?2． 2125m?m?2)，点E的221121251坐标为(m,m?2)．所以DE?(?m?m?2)?(m?2)??m?2m．

2222211222因此S?DAC?(?m?2m)?4??m?4m??(m?2)?4．

22当m?2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．

图5 图6

考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．

设点D的横坐标为（m，n）(1?m?4)，那么

111(2n?2)?4?m(n?2)?n(4?m)??m?2n?4． 2221252由于n??m?m?2，所以S??m?4m．

22S?

例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题

如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝

3．D为射线BA上的点（点D不与点B10重合），作DE//BC交射线CA于点E.．

(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．

图1 备用图 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．

双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．

思路点拨

1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．

2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．

3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．

4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．

满分解答

（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝所以AH＝

AH3?，AB1031＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5． 22因为DE//BC，所以

ABAC5?，即5?3．于是得到y?x，（x?0）．

3DBECyx（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以

DEAEMNANDE|3?x|??，，即，?BCACBCAC531|3?x|MN2．因此DE?5|3?x|，圆心距MN?5|6?x|． ?3653

图2 图3 图4

11511BD?y?x，在⊙N中，rN?CE?x． 2262251305|6?x|①当两圆外切时，x?x?．解得x?或者x??10．

62136305(3?x)15如图5，符合题意的解为x?，此时DE??．

13313515|6?x|②当两圆内切时，x?x?．

626305(x?3)15当x＜6时，解得x?，如图6，此时E在CA的延长线上，DE??；

737在⊙M中，rM?当x＞6时，解得x?10，如图7，此时E在CA的延长线上，DE?5(x?3)35． ?33

图5 图6 图7

（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．

如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．

如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时

BF?125． 34

图8 图9 图10 图11

考点伸展

第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形．

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2012年扬州市中考第27题

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． BHPH由，BO＝CO，得PH＝BH＝2． ?BOCO所以点P的坐标为(1, 2)．

图2

（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,?6)或(1,0)．

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)．

在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．

①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m??6． 此时点M的坐标为(1,6)或(1,?6)．

③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．

图3 图4 图5

例2 2012年临沂市中考第26题

如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．

请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．

满分解答

（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC?23． 所以点B的坐标为(?2,?23)．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B(?2,?23)，?23??2a?(?6)．解得a??3． 633223x(x?4)??x?x． 663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

所以抛物线的解析式为y??①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y??23． 当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42?(y?23)2?16．解得y1?y2??23． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42?(y?23)2?22?y2．解得y??23． 综合①、②、③，点P的坐标为(2,?23)，如图2所示．

图2 图3

考点伸展

如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．

332323，得抛物线的顶点为D(2,x(x?4)??(x?2)2?)．

366323因此tan?DOA?．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

3由y??

例3 2011年湖州市中考第24题

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，

垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．

思路点拨

1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．

3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．

满分解答

CPPMMC???1．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以BDDMMBAD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．

（2）在△APD中，AD2?(4?m)2，AP2?m2?4，PD2?(2PM)2?4?4(2?m)2．

3①当AP＝AD时，(4?m)2?m2?4．解得m?（如图3）．

24②当PA＝PD时，m2?4?4?4(2?m)2．解得m?（如图4）或m?4（不合题意，

3舍去）．

2③当DA＝DP时，(4?m)2?4?4(2?m)2．解得m?（如图5）或m?2（不合题意，

3舍去）．

342综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．

233（1）因为PC//DB，所以

图3 图4 图5

（3）点H所经过的路径长为

5?． 4 考点伸展

第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：

PCMB1①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以因??．

CMBA213此PC?，m?．

22②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此4?m?2m．解4得m?．

3第（2）题的思路是这样的：

如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．

图6 图7

例4 2011年盐城市中考第28题

如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y?4x的图象交于点A，且与x轴交于3点B．

（1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．

思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．

满分解答

?y??x?7,?x?3, 所以点A的坐标是(3，4)． （1）解方程组? 得?4?y?x,?y?4.?3?令y??x?7?0，得x?7．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APR?S梯形CORA?S△ACP?S△POR?8，

111得（3+7?t)?4??4?(4?t)??t(7?t)?8．整理，得t2?8t?12?0．解得t＝2或t＝6222（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6． 因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB?42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴． 因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．

35520在△APQ中， cos?A?为定值，AP?7?t，AQ?OA?OQ?OA?OR?t?．

533352041如图5，当AP＝AQ时，解方程7?t?t?，得t?．

833如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程

7?t?2[(7?t)?(t?4)]，得t?5．

1AQ2如7，当PA＝PQ时，那么cos?A?．因此AQ?2AP．解方程?cos?AAP5203226． t??2(7?t)?，得t?43335综上所述，t＝1或

41226或5或时，△APQ是等腰三角形． 843

图5 图6 图7

考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP?2AQ?cos?A来求解．

例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题

如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．

(1)求证：MN∶NP为定值；

(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．

思路点拨

1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．

2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．

3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．

4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．

满分解答

(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒． 在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．

在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3． 在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．

(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．

如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，时CM?AN35t330?，?．所以解得t?．此AM53110?2t560． 31

图2 图3 图4

(3)如图5，图6，图7中，

OP28OPMP?．所以OP?t． ，即?4t55QNMN8581020(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程8?t?10?5t，得t?．此时CM?．

17175①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，BP?8?t，BN?10?5t． (Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，BE?451?8?4BN．解方程?8?t???10?5t?，得t?．此

452?5?5时CM?5． 212414?8?BP．解方程?10?5t???8?t?，得t的值为负数，525?5?(Ⅲ)当PB＝PN时，BN?因此不存在PB＝PN的情况．

②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时BN?5t?10．解方程8?t?5t?10，得t?

853060．此时CM?． 1111

图5 图6 图7

考点伸展

如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，

14BN?BP，这样计算简便一些． 25

例6 2010年南通市中考第27题

如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若y?12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．

拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．

思路点拨

1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．

2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．

3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；

第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．

满分解答

(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此

DCEBm8?x?，即?．整理，得y关于x的函数关CEBFxy系为y??128x?x． mm(2)如图2，当m＝8时，y??值为2．

121x?x??(x?4)2?2．因此当x＝4时，y取得最大881218122??x2?x．，那么整理，得x?8x?12?0．解得x＝2或x＝6．要

mmmm使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x

(3) 若y?＝y．将x＝y ＝2代入y?图4）．

1212，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入y?，得m＝2（如mm

图2 图3 图4

考点伸展

本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到y??1281116x?x??(x2?8x)??(x?4)2?， mmmmm那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为

多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．

再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程

x??

128x?x总有一个根x?8?m的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． mm

例7 2009年重庆市中考第26题

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