2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷

2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3分，共36分。） 1．（3分）（2018?赤峰）2018的相反数是（ ） A．﹣2018 B．

C．2018

D．﹣

2．（3分）（2018?赤峰）下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．（3分）（2018?赤峰）下列运算正确的是（ ） A．x2+x2=2x4

B．x2?x3=x6 C．（x2）3=x6

D．（2x2）3=6x6

4．（3分）（2018?赤峰）红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6亿立方米，现在水库实际库容量16.2亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2亿用科学记数法表示为（ ） A．16.2×108

B．1.62×108

C．1.62×109

D．1.62×1010

5．（3分）（2018?赤峰）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ）

A． B． C． D．

6．（3分）（2018?赤峰）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（ ）

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A． B．

+

C． D．

7．（3分）（2018?赤峰）代数式A．

C．

B

中x的取值范围在数轴上表示为（ ）

．

D．

8．（3分）（2018?赤峰）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°

9．（3分）（2018?赤峰）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（ ）

A． B． C． D．1

10．（3分）（2018?赤峰）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）

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A．x（x﹣1）=380 B．x（x﹣1）=380 C．x（x+1）=380 D．x（x+1）=380

11．（3分）（2018?赤峰）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（ ）

A．50° B．60° C．25° D．30°

12．（3分）（2018?赤峰）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）

A．5

B．10 C．15 D．20

二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分） 13．（3分）（2018?赤峰）分解因式：2a2﹣8b2= ．

14．（3分）（2018?赤峰）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是 ．

15．（3分）（2018?赤峰）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是 cm．

16．（3分）（2018?赤峰）如图，已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x+b=的解是 ．

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17．（3分）（2018?赤峰）如图，P是?ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若?ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是 cm2．

18．（3分）（2018?赤峰）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是 ．

三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分96分）

19．（10分）（2018?赤峰）先化简，再求值：﹣|1﹣

|．

﹣x+1，其中x=

﹣（）﹣1

20．（10分）（2018?赤峰）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC． （1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．

21．（12分）（2018?赤峰）国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质

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量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．

根据以上信息，解答下列问题： （1）将图1补充完整；

（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是 ； （3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．

22．（12分）（2018?赤峰）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：

类别 次数 第一次 第二次 第三次 解答下列问题：

（1）第 次购买有折扣； （2）求A、B两种商品的原价；

（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；

（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．

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购买A商品数量购买B商品数量消费金额（元） （件） 4 2 5 （件） 5 6 7 320 300 258

23．（12分）（2018?赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是2cm，E是根号）

的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和

24．（12分）（2018?赤峰）阅读下列材料：

如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到： S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，sinB=∴AD=c?sinB

∴S△ABC=a?AD=acsinB 同理：S△ABC=absinC S△ABC=bcsinA

∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA （1）通过上述材料证明：

=

=

（2）运用（1）中的结论解决问题：

如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20

，求AC的长度．

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（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．

（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，

≈1.4，结果取整数）

25．（14分）（2018?赤峰）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2（1）求GC的长；

（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．

（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．

cm．

26．（14分）（2018?赤峰）已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示：

（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 ．

（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3分，共36分。） 1．（3分）（2018?赤峰）2018的相反数是（ ） A．﹣2018 B．

C．2018 D．﹣

【考点】14：相反数． 【专题】511：实数．

【分析】根据相反数的意义，可得答案． 【解答】解：2018的相反数是﹣2018， 故选：A．

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．（3分）（2018?赤峰）下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形． 【专题】1：常规题型．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．

【解答】解：轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．

中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合 故选：D．

【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形与轴对称图形的定义，本题属于基础题型．

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3．（3分）（2018?赤峰）下列运算正确的是（ ） A．x2+x2=2x4

B．x2?x3=x6 C．（x2）3=x6

D．（2x2）3=6x6

【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方． 【专题】11：计算题．

【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方和幂的乘方法则计算，判断即可．

【解答】解：A、x2+x2=2x2，故本选项不符合题意； B、x2?x3=x5，故本选项不符合题意； C、（x2）3=x6，故本选项符合题意； D、（2x2）3=8x6，故本选项不符合题意； 故选：C．

【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．

4．（3分）（2018?赤峰）红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6亿立方米，现在水库实际库容量16.2亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2亿用科学记数法表示为（ ） A．16.2×108

B．1.62×108

C．1.62×109

D．1.62×1010

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【专题】1：常规题型．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：16.2亿=162000 0000=1.62×109． 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

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5．（3分）（2018?赤峰）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图． 【专题】1：常规题型；55F：投影与视图．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：该空心圆柱体的俯视图是

故选：D．

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．

6．（3分）（2018?赤峰）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（ ）

A． B．

C． D．

【考点】E6：函数的图象． 【专题】53：函数及其图象．

【分析】根据题意得出兔子和乌龟的图象进行解答即可．

【解答】解：乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不

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变，再增大，并且乌龟所用时间最短， 故选：D．

【点评】此题考查函数图象问题，本题需先读懂题意，根据实际情况找出正确函数图象即可．

7．（3分）（2018?赤峰）代数式A．

C．

B D．+

中x的取值范围在数轴上表示为（ ）

．

【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件；C4：在数轴上表示不等式的解集．

【专题】514：二次根式．

【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案． 【解答】解：由题意，得 3﹣x≥0且x﹣1≠0， 解得x≤3且x≠1， 在数轴上表示如图故选：A．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键．

8．（3分）（2018?赤峰）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（ ）

，

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A．30° B．35° C．40° D．45° 【考点】JA：平行线的性质．

【专题】551：线段、角、相交线与平行线．

【分析】依据AB∥CD，可得∠EHD=∠EGB=25°，再根据∠PHD=60°，即可得到∠PHG=60°﹣25°=35°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠EHD=∠EGB=25°， 又∵∠PHD=60°， ∴∠PHG=60°﹣25°=35°， 故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

9．（3分）（2018?赤峰）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（ ）

A． B． C． D．1 【考点】O1：命题与定理．

【专题】17：推理填空题．

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性判定命题的真假，根据概率公式计算即可．

【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，①是真命题；

对称轴为直线x=1，②是真命题； 当x＞1时，y随x的增大而增大，

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∴抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＜y2，③是假命题； 顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题； ∴真命题的概率=， 故选：C．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

10．（3分）（2018?赤峰）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ） A．x（x﹣1）=380

B．x（x﹣1）=380 C．x（x+1）=380 D．x（x+1）=380

【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】1：常规题型．

【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程． 【解答】解：设参赛队伍有x支，则 x（x﹣1）=380． 故选：B．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．

11．（3分）（2018?赤峰）如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（ ）

A．50° B．60° C．25° D．30°

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【考点】M5：圆周角定理．

【专题】55：几何图形．

【分析】根据圆周角定理进行解答即可． 【解答】解：∵∠AOD=130°， ∴∠C=90°﹣故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．

12．（3分）（2018?赤峰）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）

，

A．5 B．10 C．15 D．20

【考点】F5：一次函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】531：平面直角坐标系．

【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题

【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．

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∵C（﹣1，0），直线AB的解析式为y=﹣x+3， ∴直线CH的解析式为y=x+，

由解得，

∴H（，∴CH=

），

=3，

∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3，AB=5， ∴EH=3﹣1=2，

当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=×5×2=5， 故选：A．

【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分） 13．（3分）（2018?赤峰）分解因式：2a2﹣8b2= 2（a﹣2b）（a+2b） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】44：因式分解．

【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：2a2﹣8b2， =2（a2﹣4b2）， =2（a+2b）（a﹣2b）．

故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．

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14．（3分）（2018?赤峰）一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是 3 ． 【考点】W4：中位数；W5：众数．

【专题】11：计算题．

【分析】先根据数据的众数确定出x的值，即可得出结论．

【解答】解：∵一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3， ∴x=3，∴此组数据为﹣1，2，3，3，5， ∴这组数据的中位数为3， 故答案为3．

【点评】此题主要考查了数据的中位数，众数的确定，掌握中位数和众数的确定方法是解本题的关键．

15．（3分）（2018?赤峰）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是 5 cm．

【考点】MP：圆锥的计算．

【专题】554：等腰三角形与直角三角形．

【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．

【解答】解：∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥， ∴圆锥的母线l=10cm，圆锥底面半径r=5cm， ∴圆锥的高h=故答案为：5

．

=5

cm．

【点评】本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．

16．（3分）（2018?赤峰）如图，已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠

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0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x+b=的解是 x1=1，x2=2 ．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【专题】532：函数及其图像．

【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案． 【解答】解：由图象，得

y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P（1，2）， 把P点坐标带入函数解析式，得 ﹣1+b=2，k=1×2=2， 解得b=3，k=2

关于x的方程﹣x+b=，即﹣x+3=， 解得x1=1，x2=2， 故答案为：x1=1，x2=2．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法得出k，b的值是解题关键．

17．（3分）（2018?赤峰）如图，P是?ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若?ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是 2 cm2．

【考点】L5：平行四边形的性质．

【专题】1：常规题型；555：多边形与平行四边形．

【分析】先根据S?ABCD=16cm2知S△PBC=S?ABCD=8，再证△PEF∽△PBC得

=

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（

）2，即

=，据此可得答案．

【解答】解：∵?ABCD的面积为16cm2， ∴S△PBC=S?ABCD=8，

∵E、F分别是PB、PC的中点， ∴EF∥BC，且EF=BC， ∴△PEF∽△PBC， ∴

=（

）2，即

=，

∴S△PEF=2， 故答案为：2．

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质．

18．（3分）（2018?赤峰）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是 n2+n+2 ．

【考点】38：规律型：图形的变化类．

【专题】2A：规律型．

【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有2+1×2=4个★，第二个图形中有2+2×3=8个★，第三个图形中有2+3×4=14个★，…，继而可求出第n个图形中★的个数．

【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4个， 第二个图形有2+2×3=8个， 第三个图形有2+3×4=14个， 第四个图形有2+4×5=22个， …

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∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2． 故答案为：n2+n+2．

【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．

三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分96分）

19．（10分）（2018?赤峰）先化简，再求值：﹣|1﹣

|．

﹣x+1，其中x=

﹣（）﹣1

【考点】6D：分式的化简求值；6F：负整数指数幂． 【专题】11：计算题；513：分式．

【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用二次根式性质、负整数指数幂及绝对值性质计算出x的值，最后代入计算可得． 【解答】解：原式===

﹣，

﹣2﹣（

=

﹣1）=2=

．

﹣2﹣

+1=

﹣1，

﹣（x﹣1）

∵x=2∴原式=

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及负整数指数幂、绝对值性质、二次根式的性质．

20．（10分）（2018?赤峰）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC． （1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．

第20页（共46页）

【考点】J9：平行线的判定；N2：作图—基本作图．

【专题】13：作图题．

【分析】（1）利用基本作图作∠ADB的平分线BE；

（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论．

【解答】（1）解：如图，

（2）证明：∵DE平分∠ADB， ∴∠ADE=∠BDE， ∵∠ADB=∠C+∠DAC， 而∠C=∠DAC，

∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C， ∴DE∥AC．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定．

21．（12分）（2018?赤峰）国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．

第21页（共46页）

根据以上信息，解答下列问题： （1）将图1补充完整；

（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是 95% ； （3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．

【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．

【专题】1：常规题型；54：统计与概率．

【分析】（1）先由A类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和等于总户数求得C的数量即可补全图形； （2）用A、B、C户数和除以总户数即可得；

（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【解答】解：（1）∵被调查的总户数为60÷60%=100， ∴C类别户数为100﹣（60+20+5）=15， 补全图形如下：

第22页（共46页）

（2）贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是故答案为：95%；

×100%=95%，

（3）画树状图如下：

由树状图知共有20种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有8种结果，

所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为

=．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

22．（12分）（2018?赤峰）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：

类别 次数 第一次 第二次 购买A商品数量购买B商品数量消费金额（元） （件） 4 2 （件） 5 6 320 300 第23页（共46页）

第三次 解答下列问题：

5 7 258 （1）第 三 次购买有折扣； （2）求A、B两种商品的原价；

（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；

（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．

【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．

【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用．

【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；

（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价=单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（3）设折扣数为z，根据总价=单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；

（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价=单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．

【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少， ∴第三次购买有折扣． 故答案为：三．

（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件， 根据题意得：解得：

．

，

答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件． （3）设折扣数为z，

第24页（共46页）

根据题意得：5×30×解得：z=6． 答：折扣数为6．

+7×40×=258，

（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件， 根据题意得：30×解得：m≥

，

m+40×

（10﹣m）≤200，

∵m为整数， ∴m的最小值为7． 答：至少购买A商品7件．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

23．（12分）（2018?赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是2cm，E是根号）

的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和

【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．

【专题】559：圆的有关概念及性质．

【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；

（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题； 【解答】解：（1）连接OD．

第25页（共46页）

、

∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵∠OAD=∠DAC， ∴∠ODA=∠DAC， ∴OD∥AC， ∴∠ODB=∠C=90°， ∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OE，OE交AD于K． ∵

=

，

∴OE⊥AD，

∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°， ∴△AKO≌△AKE， ∴AO=AE=OE，

∴△AOE是等边三角形， ∴∠AOE=60°， ∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE=

﹣

×22=

﹣

．

【点评】本题考查切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24．（12分）（2018?赤峰）阅读下列材料：

如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：

第26页（共46页）

S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，sinB=∴AD=c?sinB

∴S△ABC=a?AD=acsinB 同理：S△ABC=absinC S△ABC=bcsinA

∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA （1）通过上述材料证明：

=

=

（2）运用（1）中的结论解决问题：

如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20

，求AC的长度．

（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．

（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，

≈1.4，结果取整数）

【考点】K3：三角形的面积；T7：解直角三角形． 【专题】21：阅读型；55：几何图形．

【分析】（1）根据材料中的S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA，化为比例式可得结论； （2）根据公式

，直接代入可得结论；

第27页（共46页）

（3）先根据公式计算AC的长，由S△ABC=AC×BC×sin∠ACB可得结论． 【解答】解：（1）∵absinC=acsinB， ∴bsinC=csinB， ∴

=

， ==

， ；（4分）

，

：同理得：∴

=

（2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20∴∴

，即，

，

∴AC=40×0.3=12；（8分）

（3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°， ∠A=180°﹣15°﹣45°=120°， 由

=

=

得：

=

，

∴AC=6，

∴S△ABC=AC×BC×sin∠ACB=×6×18×0.7≈38．（12分）

【点评】本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关键是理解并运用公式S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA解决问题．

25．（14分）（2018?赤峰）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2（1）求GC的长；

（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．

（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过

第28页（共46页）

cm．

（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．

【考点】RB：几何变换综合题．

【专题】152：几何综合题．

【分析】（1）解直角三角形求出AC、AG即可解决问题； （2）由△AHM∽△CBN，可得①②可得AM?BN=DN?DM，即

==

①，由△DHM∽△CDN，可得，推出

=

，推出

=

=

②由

，由AD=BD，

可得AM=DN，由此即可解决问题；

（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．求出AK的值即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵BC=2，∠B=60°，

，

∴AC=BC?tan60°=6，AB=2BC=4在Rt△ADG中，AG=∴CG=AC=AG=6﹣4=2．

=4，

（2）如图2中，结论：DM+DN=2或DM=DN．

理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，

第29页（共46页）

∴∠AMH=∠DMH=∠CNB=∠CND=90°， ∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BCN=90°， ∴∠A=∠BCN． ∴△AHM∽△CBN， ∴

=

①，

同法可证：△DHM∽△CDN， ∴

=

②

由①②可得AM?BN=DN?DM， ∴∴∴

==

， =，

，

∵AD=BD， ∴AM=DN，

∴DM+DN=AM+DM=AD=2

．

或∵△ABC为直角三角形，D为斜边AB的中点， ∴CD=BD=AD．

又∠B=60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠CDB=60°． 又∠EDF=90°，∴∠MDA=30°． ∵∠A=90°﹣∠B=30°，∴AH=HD， 又HM⊥AD，∴MD=．

在等边三角形 BCD中，CN⊥BD， ∴ND=NB． 又AD=BD， ∴MD=ND．

（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．

第30页（共46页）

在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H． 则AH=AG?cos30°=2可得AK=2AH=4∴DD′=DB=2

．

，

，此时K与B重合．

【点评】本题考查几何变换综合题、旋转变换平移变换、相似三角形的判定和性质、比例的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用比例式证明线段相等，属于中考压轴题．

26．（14分）（2018?赤峰）已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示：

（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 y=﹣x2﹣x+2 ． （2）判断△ABC的形状，并说明理由．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】537：函数的综合应用．

【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；

第31页（共46页）

（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；

（3）根据等腰三角形的定义，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：（1）将该抛物线向上平移2个单位，得y=﹣x2﹣x+2， 故答案为：y=﹣x2﹣x+2；

（2）当y=0时，﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）． 当x=0时，y=2，即C（0，2）． AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，

AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20， ∵AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）y=﹣x2﹣x+2的对称轴是x=﹣，设P（﹣，n）， AP2=（1+）2+n2=

+n2，CP2=+（2﹣n）2，AC2=12+22=5

+n2=5，方程无解；

+n2=+（2﹣n）2，解得n=0，即P1（﹣，0），

，n2=2﹣

，P2（﹣，

当AP=AC时，AP2=AC2，当AP=CP时，AP2=CP2，

当AC=CP时AC2=CP2，+（2﹣n）2=5，解得n1=2+2+

），P3（﹣，2﹣

）．

综上所述：使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（﹣，0），（﹣，2+

），（﹣，2﹣

）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．

第32页（共46页）

考点卡片

1．相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．

2．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

3．合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；

第33页（共46页）

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．

4．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

5．同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am?an=a m+n（m，n是正整数）

（2）推广：am?an?ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

6．幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n=amn（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n=anbn（n是正整数）

第34页（共46页）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

7．提公因式法与公式法的综合运用 提公因式法与公式法的综合运用．

8．分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零．

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．

9．分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．

2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．

10．负整数指数幂

负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）

﹣2

=（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

第35页（共46页）

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

11．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数． 学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件

1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

12．二元一次方程组的应用

（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解．

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元．

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．

13．由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数

第36页（共46页）

量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．

14．在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．

15．一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解．

16．函数的图象 函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．

注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在

第37页（共46页）

函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．

17．一次函数的性质 一次函数的性质：

k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．

18．一次函数图象上点的坐标特征

一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．

19．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=可总结为：

①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=有2个交点；

②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=有0个交点．

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在同一直角坐标系中的交点个数

在同一直角坐标系中

在同一直角坐标系中

20．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

21．平行线的判定

（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．

（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．

（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．

（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．

（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．

22．平行线的性质 1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

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定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等．

23．三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

24．平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

25．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这

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种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

26．切线的判定与性质 （1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．

27．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S=πr2

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形=

πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）

（4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

28．圆锥的计算

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（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．

（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

（3）圆锥的侧面积：S侧=?2πr?l=πrl． （4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl （5）圆锥的体积=×底面积×高

注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．

29．作图—基本作图 基本作图有：

（1）作一条线段等于已知线段．

（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．

30．命题与定理

1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．

2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．

4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．

5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

31．轴对称图形

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（1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

32．中心对称图形 （1）定义

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．

（2）常见的中心对称图形

平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．

33．几何变换综合题 几何变换综合题．

34．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a2+b2=c2；

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③边角之间的关系：

sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．

（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）

35．简单组合体的三视图

（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．

（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．

（3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等．

36．扇形统计图

（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．

（3）制作扇形图的步骤

①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；

④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．

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37．条形统计图

（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．

（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较． （3）制作条形图的一般步骤：

①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．

②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．

③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．

④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．

38．中位数 （1）中位数：

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．

如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． （2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．

（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 39．众数

（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．

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40．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

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40．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

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