相交线和平行线典型例题及拔高训练（附答案）

4.2 相交线和平行线 典型例题及强化训练

课标要求

①了解对顶角，知道对项角相等。

②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 ④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质

⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

典型例题 1.判定与性质 例1 判断题：

1)不相交的两条直线叫做平行线。 ( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ( ) 3)两直线平行，同旁内角相等。 ( ) 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。 ( ) 答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。

(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 例2 已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED。 分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和。如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证 EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。 证明：过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作）， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。

变式1已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）。 分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。 又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。 ∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。 变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1

CA BEDF

与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。 ∵AB∥CD（已知）， 又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠BED=∠FED-∠FEB，

∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。

变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。 分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。

证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴∠1+∠2+∠D=180°。

∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。 ∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。 即∠BED=∠B-∠D。

例3 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。 证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。 过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。 ∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知）， ∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 又∵EH∥CD （已知），

∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。 ∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质） 即∠BFE=∠FEC。 证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。 ∵AB∥CD（已知），

∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠ABF=∠DCE（已知）， ∴∠1=∠DCE（等量代换）。

∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。

证法三：（如图12）连结BC。

∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠ABF=∠DCE（已知），

∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE（等式的性质）。 即∠FBC=∠BCE。

∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

强化训练

2. 如图,已知DE∥BC,BD是∠ABC的平分线，∠EDC＝109°， ∠ABC＝50°则∠A 度，∠BDC＝ 度。 3. 如图，AB∥CD,BE,CE分别平分∠ABC，∠BCD, 则∠AEB＋∠CED= 。

4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，-1)，则xy=___________ 。

DCABE5、已知：如图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠BOC， 且∠AOC=68°，则∠BOE= 二.选择题

1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）

A 南偏西50度方向； B南偏西40度方向 ；

C 北偏东50度方向 ； D北偏东40度方向

2.如图,AB∥EF∥DC，EG∥BD, 则图中与∠1相等的角共有( )个 A 6个 B .5个 C .4个 D.2个

3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是（ ）

A、 a∥d B 、b⊥d C、a⊥d D、b∥c

4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( ) A. 50° B. 60° C.70° D.80° 5.已知：AB∥CD，且∠ABC=20°，∠CFE=30°, 则∠BCF的度数是 ( )

AEDCHF1GBA. 160° B.150° C.70° D.50°

6（2003南 通 市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l1∥l2的是（ ） （A）∠1＝∠3 （B）∠2＝∠3 （C）∠4＝∠5 （D）∠2＋∠4＝180°

7.（ 北京市海淀区2003年）. 如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)?1??2；(2)?1??3；(3)?3??2中正确的个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8.（2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是（ ）

A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B、两线与第三线相交，内错角相等； C、两直线平行，内错角相等； D、两直线平行，同旁内角相等。

9.（2003年安徽省）如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有??（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

A

E

B

C

D

10.( 日照市2004年)如图，已知直线AB∥CD，当点E直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE＋∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是 （ ） A ∠BED＝∠ABE＋∠CDE或∠BED＝∠ABE－∠CDE; B ∠BED＝∠ABE－∠CDE

C ∠BED＝∠CDE－∠ABE或∠BED＝∠ABE－∠CDE; D ∠BED＝∠CDE－∠ABE

三.解下列各题： 2、已知AD∥BC，∠A= ∠C，求证：AB∥CD。 C 3.如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数. 4.已知,如图AC⊥BC,HF⊥AB,CD⊥AB, ∠EDC与∠CHF互补, 求证：DE⊥AC. A B DFHCEECDBA

1.如图，已知OA⊥OC，OB⊥OD，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。

DACBDEFB321O第1题 AA第2题 BC第3题 DE A F 3 2 1 B G D C 第4题 第5题 第6题 5.如图，已知AB∥ED，∠ABC=135°,∠BCD=80°，求∠CDE的度数。 6.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AE =AF.求证：AD平分∠BAC。 四、如图A、B是两块麦地，P是一个水库，A、B之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A、B两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算？请说出你的设计方案，并说明理由。

相交线与平行线

2. 1略；121°，84°；3. 90°；4.-10；5。56° 二. 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 A 5 D 6 B 7 D 8 C 9 B 10 C 三.1.解：∵OA⊥OC，OB⊥OD ∴∠1+∠2 =90°，∠3+∠2 =90° ∴∠1=∠3=26° ∴∠2=64° 2证明：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B=180° ∵∠A= ∠C， ∴∠C+∠B=180° ∴AB∥CD. 2. 解：连结AC. ∵AB∥DC ∴∠CAB+∠ACD=180° ∵∠CAE+∠ACF+∠E+∠F =360° ∴∠CAB+∠ACD=180° ∴∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD=540° 4. 证明：∵HF⊥AB，AB⊥CD ∴CD∥HF， ∴∠CHF+∠HCD=180° ∵∠EDC与∠CHF互补, ∴∠EDC = ∠HCD， ∴ED∥CB ∴∠AED=∠ACB ∵∠ACB=90° ∴∠AED=90° ∴DE⊥AC. 5.解：延长BC交 DE于F. 由∠ABC=135°易得∠BFD=45°, 又∠BCD=80°，得∠CDE=35°

6. 证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G ∴AD∥EG，

∴∠2=∠3, ∠1=∠E, ∵AE =AF

∴∠E = ∠3， ∴∠1 = ∠2， ∴AD平分∠BAC。

BGDEAF321AEFCBDADFBHECBA CEFDC

四.略

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