浙江省温州中学2017届高三10月高考模拟数学试题

温州中学2016学年第一学期高三10月高考模拟考试

数学试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

（命题老师：周浙柳 审题老师：徐芳芳 命题时间：2015年9月）

选择题部分（共50分）

参考公式：

柱体的体积公式：V?Sh 锥体的体积公式：V?

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高

1Sh 31台体的体积公式：V?h(S1?S1S2?S2)3球的表面积公式：S?4?R2

43球的体积公式：V??R其中R表示球的半径

3

[来源:学,科,网]

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若“0?x?1”是“(x?a)[x?(a?2)]?0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A．(??,0]?[1,??) B．(?1,0) C．[?1,0] D．(??,?1)?(0,??)

【答案】C 【分值】5分

【解析】由(x?a)[x?(a?2)]?0得a?x?a?2.

因为“0?x?1”是“(x?a)[x?(a?2)]?0”的充分不必要条件，所以(0,1)?[a,a?2]，

所以??a?0，解得?1?x?0。故选C.

?a?2?1【解题思路】解二次不等式得到解集，根据充分不必要条件对应的包含关系解出取值范围。 【考查方向】本题主要考查充要条件。 【易错点】充分条件中条件集是结论集的子集，必要条件中结论集是条件集的子集，二者易混淆。

?x?y?0,?2．若整数x，y满足不等式组 ?2x?y?10?0, 则2x＋y的最大值是（ ）

??3x?y?53?0,A．11 B．23 C．26 D．30 【答案】B 【分值】5分

【解析】画出可行域，如图中阴影部分中的整点（注意x,y为整数）。

设2x＋y=z，即y=-2x＋z，

z的几何意义是直线y=-2x＋z在y轴上的截距。显然，在 点M处z取得最大值。将点M坐标(8，7)代入得z=23

【解题思路】画出可行域，判断目标函数的几何意义，结合图形求出最值。

【考查方向】本题主要考线性规划。

【易错点】此题最优解必须为整数解，忽略就会出错；其次要注意可行域边界线的虚实和目标函数的几何意义。

3．下列命题中错误的是（ ） ．．

A. 如果平面??平面?，平面??平面?，????l，那么l?? B. 如果平面??平面?，那么平面?内一定存在直线平行于平面?

C. 如果平面?不垂直于平面?，那么平面?内一定不存在直线垂直于平面? D. 如果平面??平面?，过?内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于? 【答案】D 【分值】 5分

【解析】对于答案A，如图（1），设????a,????b，在平面?内任取一点P,作PA?a,PB?B,则PA??,PB??,所以PA?l,PB?l?l??，故A正确。

对于答案B，如图（2），设????a,在?内作n∥?，则n∥?，故B正确。

对于答案C,可以反证，假如平面?内一定存在直线垂直于平面?，根据面面垂直的判定定理，平面?必垂直于平面?，这与条件相矛盾，故平面?内一定不存在直线垂直于平面?，答案C正确。 对于答案D，如图（3）当此点在两平面交线上时，所做的垂线可以不在平面?内，么此垂线就不一定必垂直于平面?，故答案D错误。

【解题思路】画出直观图，利用判定定理和性质定理进行证明判断。

【考查方向】本题主要考查空间线面垂直、面面垂直、线面平行的判定和性质。 【易错点】在运用定理时条件必须充分。

4．已知函数f(x)?sin?x?3cos?x(??0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于若将函数y?f(x)的图象向左平移数的区间为（ ） A．(?2，

?6个单位得到函数y?g(x)的图象，则y?g(x)是减函

??,) B．(?,) C．(0,) D．(?,0) 434433????【答案】A

【分值】 5分

【解析】f(x)?sin?x?3cos?x?2(sin?x?的两个相邻交点的距离等于

123?cos?x)?2sin(?x?)(??0)因为f(x)图像与23x轴

?2?2??T???2?f(x)?2sin(2x?)，，所以f(x)的周期T????32??所以g(x)?2sin[2(x?)?]?2sin2x,，

63令2k???2?2x?2k??3??3??3??k???x?k??所以减区间为[k??,k??](k?Z)，当k?0时，24444?3?得到减区间[,]，答案A是其子集.选A.

44【解题思路】化简f(x)为y?Asin(?x??),利用周期求出?,利用平移变换求出g(x),进而求出其减区间。也可以将答案中的范围代入g(x)解析式进行判断。

【考查方向】本题主要考查三角函数的恒等变换、三角函数的图像、平移和性质。 【易错点】图像的平移（左加右减，注意系数）、求单调区间（整体代换，本质为复合函数） 5．在平面斜坐标系xoy中?xoy?45，点P的斜坐标定义为：“若OP?x0e1?y0e2（其中e1,e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的坐标为(x0,y0)”．若

0????????F1(?1,0),F2(1,0),且动点M(x,y)满足MF1?MF2，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为

（ ）

A．x?2y?0 B．x?2y?0 C．2x?y?0 D．2x?y?0 【答案】D 【分值】 5分

????????????????????????????????????【解析】MF)e1?ye2,同理MF2?(x?1)e1?ye2 1?OM?OF1?(xe1?ye2)?(?e1)?(x?1???????????????2?????2?????2?????2?|MF1|?|MF2|?MF1?MF2?[(x?1)e1?ye2]?[(x?1)e1?ye2]??2????????2???????2???2222?(x?1)e1?2(x?1)ye1?e2?ye2?(x?1)e1?2(x-1)ye1?e2+ye22

2代入上式化简得2x?y?0选：D． 2?????????????【解题思路】用e1，e2表示MF1和MF2，将向量的模变为向量的平方，利用向量的数量积进行

将e1=e2=1，e1?e2=化简。

【考查方向】本题主要考查了向量减法的三角形法则和数量积的运算。 【易错点】向量数量积的运算和化简。

6．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排

??2???2?????

法共有（ ）

A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分值】 5分

【解析】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高分别用1，2，3，4，5来表示，并且1和4不相邻．高矮相间就是排列成形如字母M或者W的波浪队形。 当波浪队形是M型时，波峰上的两个数只能是3，5或者4，5.

若先排波峰的两个数是4和5时，则1只有1种排法，2和3排在剩余的2个位上这样的数有

22A2A2?4种。

若先排波峰的两个数是3和5时，则4只有1种排法，2和1排在剩余的2个位上这样的数有

22A2A2?4种。

当波浪队形是W型时，波谷的两个数只能是1，2或者1，3.

3和排在剩余的2个位上这样的数有A2A2?4若先排波谷的两个数是1和2时，则4只有1种排法，种。

若先排波谷的两个数是1和3时，这样的数只有2个，分别为21534，43512． 综上，甲丁不相邻的不同的排法共有4+4+4+2=14 种 【解题思路】先按照队形进行分类（M、W两类），在每一类中在进行讨论。 【考查方向】本题主要考查了排列组合和分类分步计数原理。 【易错点】分类分步要求不重不漏。

7．数列?an?满足a1?（ ） A．1 【答案】B 【分值】 5分

B．2

C．3

D．4

2241112，an?1?an的整数部分是?an?1(n?N*)，则m?????3a1a2a201322【解析】?an?1?an?an?1(n?N*)，an?1?an?（an?1）?0?an?1?an,数列?an?单调递增?an?1?1?a（） ?nan?1?Sn??111111=??=?an?1?1a（）an?1ananan?1an?1?1nan?1=1 111111111?????(?)?(?)???(?)a1a2ana1?1a2?1a2?1a3?1an?1an?1?1111??3?a1?1an?1?1an?1?1

?m?S2013?3?1a2014?1

4131336916?a1?,a2?a12?a1?1?,a3?,a3??1?2

39816561?a2014?a4?2,a2014?1?1,0?1a2014?1?1,2?3?1a2014?1?3.

因此m的整数部分是2，选B．

【解题思路】整理递推公式，利用裂项相消法求出m，再判断范围。 【考查方向】本题主要考查一阶二次递推数列和裂项求和法。 【易错点】递推公式的变形和构造。

????????8．在△ABC中，已知AB?AC?9,sinB?cosA?sinC,S?ABC?6，P为线段AB上的点，且

????????????CACB??y?????,则xy的最大值为（ ） CP?x????|CA||CB| A．1

【答案】C 【分值】 5分

B．2

C．3

D．4

[X。K] 【解析】?ABC中，设AB?c,BC?a,CA?b

?sinB?cosA?sinC

?sin(A?C)?cosA?sinC

?sinAcosC?cosA?sinC?cosA?sinC?sinAcosC?0

?sinA?0,?cosC?0,C??2

?????????AB?AC?9,S?ABC?61?bccosA?9,bcsinA?624433?tanA?,sinA?,cosA?,bc?15?c23555 ?a?4,b?3.c?5?????????????y????CACBx?????y??????CA?CB?x?0,y?0??CP?x????4|CA||CB|3

xy???1?x?0,y?0?34

成角为?。

?????????cos??cos?PQ,OB??3y3?x?y?(y?3)222?yx?2y?6y?922?1x?96??2yy22(1?x?2,1?y?2)x2?9622?96136136?2??2???2???2???2?9yyyy2y2y121x2?961?961061063??2???2???2???2?yy2y2y2y2y2223??21??3x2?96??2?3,yy21x2?96??2yy2?616即cos??[，]333

【解题思路】建立坐标系，用向量求空间两直线的夹角。

【考查方向】本题主要考查用向量的坐标运算解决立体几何问题。

?????????【易错点】cos??cos?PQ,OB?，如果右边不带绝对值符号则可能错误。其次，在求最大最小值的时候必须认真分析函数式的单调性。

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）已知函数f(x)?sinxxxcos?3cos2. 333(Ⅰ)求函数f(x)图象对称中心的坐标； 【答案】(3k-1π,0),k∈Z 2【分值】7分

【解析】（Ⅰ）f(x)?1sin2x?3(1?cos2x)?1sin2x?3cos2x?3?sin(2x??)?3

232323232332由sin(2xπ3k12x?π,k∈Z ?)=0即+=kπ(k∈z)得x=332333k-1π,0),k∈Z． 2即对称中心为(【解题思路】用和差角公式和倍角公式化简函数式为Asin(?x??)形式，并求其对称中心。 【考查方向】三角恒等变换和正弦型函数的性质。。 【易错点】sinx的对称中心为（k?，0）

(Ⅱ)如果ΔABC的三边a,b,c满足b2=ac，且边b所对的角为B，求f(B)的取值范围。

【答案】(3,1?【分值】 7分

3] 2a2+c2-b2a2+c2-ac2ac-ac1【解析】由已知b=ac，cosB==≥=2ac2ac2ac22

[来源:学|科|网]1ππ2Bπ5π∴≤cosB<1，0

ππ5πππ2Bπ2Bπ3?|-|>|-|∴sin

【考查方向】本题主要考查余弦定理和基本不等式，以及正弦函数的性质。 【易错点】sinx在(0,5?]不调性。 917．（本题满分15分）如图，已知平面ABC?平面BCDE，

?DEF与?ABC分别是棱长为1与2的正三角形，AC//DF，四边形BCDE为直角梯形，DE//BC，

点G为?ABC的重心，N为AB中BC?CD,CD?1，

?????????点，AM??AF(??R,??0)，

（Ⅰ）当??【答案】见解析 【分值】7分

【解析】连AG延长交BC于P，因为点G为?ABC的重心，所以

2时，求证：GM//平面DFN 3AG2? AP3?????2????AGAM2??，所以GM//PF； 又AM?AF，所以

3APAF3因为AC//DF，DE//BC，所以平面ABC//平面DEF，

又?DEF与?ABC分别是棱长为1与2的正三角形，

N为AB中点，P为BC中点,NP//AC,又AC//DF， 所以NP//DF，得P,D,F,N四点共面

?GM//平面DFN

【解题思路】结合??2和重心G，可取BC中点P，证明GM//PF，再证P,D,F,N四点共面。 3【考查方向】本题主要考查线面平行的判定和四点共面的证明。 【易错点】证明P,D,F,N四点共面

（Ⅱ）若直线MN与CD所成角为

?3，试求二面角M?BC?D的余弦值。

【答案】231 31【分值】 8分

【解析】平面ABC?平面BCDE，易得平面DEF?平面BCDE，

以P为原点，PC为x轴，PE为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系， 则C(1,0,0),D(1,1,0),A(0,0,3),F(,1,12313),B(?1,0,0),N(?,0,)，设M(x,y,z)， 222????????????????????1?33?)，NM?(,?,(1??))，CD?(0,1,0) ?AM??AF,?M(,?,3?2222?????????NM?CD??1?因为MN与CD所成角为，所以cos60??????， ??????32??123NM?CD()??2?(1??)22411133)， ，?M(,,2424?????????n?BC?0设平面MBC的法向量n?(a,b,c)，则??????，取n?(0,33,?2)， ???n?BM?0??n?v231?面BCD的法向量v?(0,0,1)，所以二面角M?BC?D的余弦值cos?????。

31n?v得2?2???1?0，???

??????????【解题思路】建立坐标系，利用cos?MN,CD??cos求?，再用法向量求二面角角?。

3【考查方向】本题主要考查用向量的坐标运算解决立体几何问题。

??n?v????【易错点】求二面角?时，cos??cos?n,v????(n,v为二面角两个面的法向量)

n?v??a?b????求空间直线夹角?时，cos??cos?a,b????(n,v为两直线的方向向量)

a?b

x2y218．（本题满分15分）设直线l与抛物线x?2y交于A,B两点，与椭圆??1交于C，D432两点，直线OA,OB,OC,OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1,k2,k3,k4，若OA?OB. （1）是否存在实数t，满足k1?k2?t(k3?k4)，并说明理由； 【答案】存在实数t=?【分值】9分

【解析】设直线l方程为y?kx?b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4).

2联立y?kx?b和x?2y，得x?2kx?2b?0， 2则x1?x2?2k，x1x2?2b，??4k?8b?0.

[来源:学科网]1 6

2由OA?OB，所以x1x2?y1y2?0，得b?2.

联立y?kx?2和3x?4y?12，得(3?4k)x?16kx?4?0，

2222[来源:学*科*网]

16k4，. xx??34223?4k3?4k1由?2?192k2?48?0，得k2?.

4所以x3?x4??因为k1?k2?yy1y2yk?k1??k，k3?k4?3?4??6k 所以12??. x1x2x3x4k3?k462x2y2??1联立，【解题思路】设直线l方程为y?kx?b，直线l分别与抛物线x?2y、椭圆43

永根与系数关系表示k1?k2和k3?k4

【考查方向】本题主要考查用根与系数关系解决直线和圆锥曲线中的定值问题。 【易错点】方程组的整理和化简。

（2）求?OCD面积的最大值. 【答案】3 【分值】 6分

【解析】由（1）根据弦长公式CD?1?k2x3?x4，

4k2?1得：CD?43?1?k? 23?4k2根据点O到直线CD的距离公式，得d?21?k2，

所以S?OCD14k2?1， ?CD?d?43?23?4k243t?3， t2?4设4k?1?t?0，则S?OCD?2所以当t?2，即k??5时，S?OCD有最大值3. 52【解题思路】用弦长公式求CD?1?kx3?x4，用点线距离公式求点O到直线CD的距离d，

从而表示S?OCD，用均值不等式求最值。

【考查方向】本题主要考查椭圆中的三角形面积计算问题。 【易错点】构造基本不等式。

x3?x2?2ax?a?R? 19．（本题满分15分）已知函数f?x??ln?2ax?1??3（Ⅰ）若x?2为f?x?的极值点，求实数a的值；

【答案】a?0 【分值】 4分

2ax2ax2??1?4a?x?4a2?22【解析】（I）f??x?? ?x?2x?2a?2ax?12ax?1因为x?2为f?x?的极值点，所以f??2??0，即

????2a?2a?0，解得a?0。??4分 4a?1【解题思路】x?2为f?x?的极值点,所以f??2??0 【考查方向】本题主要考查了函数极值的充分条件。 【易错点】导函数的化简。

（Ⅱ）若y?f?x?在?3,???上为增函数，求实数a的取值范围；

?3?13?【答案】?0,?

4??【分值】 6分

【解析】因为函数f?x?在?3,???上为增函数，所以

x2ax2??1?4a?x?4a2?2f??x???0在?3,???上恒成立。???6 分

2ax?1?当a?0时，f??x??x?x?2??0在?3,???上恒成立，所以f?x?在?3,???上为增函数，故

????a?0 符合题意。 ? ??7分

?当a?0时，由函数f?x?的定义域可知，必须有2ax?1?0对x?3恒成立，故只能a?0，

所以2ax??1?4a?x?4a?2?0在?3,???上恒成立。

22?????8分

令函数g?x??2ax??1?4a?x?4a?2，其对称轴为x?1?22??11，因为a?0，所以1??1，4a4a2要使g?x??0在?3,???上恒成立，只要g?3??0即可，即g?3???4a?6a?1?0，所以

3?133?133?13。因为a?0，所以0?a?。 ?a?444综上所述，a的取值范围为?0,?3?13??。 ???10分 4??

【解题思路】y?f?x?在?3,???上为增函数，则f??x??0在?3,???上恒成立。 【考查方向】本题主要考查了用导数判断函数单调性的方法。 【易错点】f??x??0应该带等号。

1?1?x??b有实根，求实数b的最大值.

（III）当a??时，方程f?1?x??23x3【答案】0

【分值】 5分

1?1?x??b可化为lnx??1?x?2??1?x??b。

【解析】当a??时，方程f?1?x??2x3x3问题转化为b?xlnx?x?1?x??x?1?x??xlnx?x2?x3在?0,???上有解，即求函数

2g?x??xlnx?x2?x3的值域。

因为函数g?x??xlnx?x?x，令函数h?x??lnx?x?x?x?0?，???12分

232则h??x???2x?1??1?x?， 1?1?2x?xx所以当0?x?1时，h??x??0，从而函数h?x?在?0,1?上为增函数， 当x?1时，h??x??0，从而函数h?x?在?1,???上为减函数， 因此h?x??h?1??0。 而x?0，所以b?x?h?x??0，因此当x?1时，b取得最大值0. ???15分

23【解题思路】问题转化为b?xlnx?x?x在?0,???上有解，即求函数g?x??xlnx?x?x的

23值域。

【考查方向】本题主要考查了函数的零点问题和导函数综合应用。

【易错点】分离参数法和构造函数，将函数g?x??xlnx?x?x简化为函数

23h?x??lnx?x?x2?x?0?

22?20．（本题满分15分）已知数列?an?，an?0，a1?0，an?1?an?1?1?an(n?N)．记

Sn?a1?a2???an．Tn?求证：当n?N?时 （Ⅰ）0?an?an?1?1； 【答案】详见解析 【分值】 5分

111 ????1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an)22?(1)?an?1?an?1?1?an【解析】因为?2 2??an?an?1?an?1(n?2)(2)22（1）（-2）得(an?1?an)(an?1?an?1)?an?an?1

(an?1?an)(an?1?an?1)?(an?an-1)(an?an-1)且已知an>0

?an?1?an与an?an?1同号，即与a2?a1一致.

因为a2??1?5，且a2?a1?0，?an?1?an?0 22222?an?a?1?a，?a?a?1n?1nn?1n?(an?an-1)(an?an-1)=1?an?1?0 即an?1?1

根据①和②，可知0?an?an?1?1对任何n?N都成立．

22?(1)?an?1?an?1?1?an（）1-（2）【解题思路】用?2，推导an?1?an与an?an?1关系，从而递2??an?an?1?an?1(n?2)(2)22推到a2?a1，用an?1?an?1?an?1证明an?1与1的大小关系。

*【考查方向】本题主要考查数列递推关系的变形与应用。 【易错点】an?1?an与an?an?1的符号关系。

（Ⅱ）Sn?n?2； 【答案】详见解析 【分值】 5分

【解析】证明：由ak?12?ak?1?1?ak2，k2得an?(a2?a3???an)?(n?1)?a12．

?1，2，?，n?1（n≥2），

2因为a1?0，所以Sn?n?1?an．

?an?1，所以Sn?n?2． ????10分

?a22?a2?1?a12?22?a3?a3?1?a1222【解题思路】由ak?1?ak?1?1?ak得到?累加可得到Sn?n?1?an

????????a2?a?1?a2nn?1?n【考查方向】本题主要考查数列求和的累加法和裂项相消法。

2【易错点】求出Sn?n?1?an即可，不需要求出具体的Sn公式。

（Ⅲ）Tn?3 【答案】祥见答案 【分值】 5分

【解析】证明：由ak?12?ak?1?1?ak2≥2ak，得

a1≤k?1(k?2，3，?，n?1，n≥3)

1?ak?12ak所以

a1≤n?2n(a≥3)，

(1?a3)(1?a4)?(1?an)2a2ana11≤n?22?nn?(n≥3)， ?2n?2(1?a2)(1?a3)?(1?an)2(a2?a2)22于是

故当n≥3时，Tn?1?1?又因为T1?T2?T3，

11???n?2?3， 22所以Tn?3． ????15分 【解题思路】由ak?12?ak?1?1?ak2≥2ak，得

1a1进而将≤k?1，

(1?a3)(1?a4)?(1?an)1?ak?12ak进行放缩再求和。

【考查方向】本题主要考查用放缩法证明不等式。

【易错点】控制放缩的程度，从第三项开始放大，否则就会超出范围。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w5x7.html