综合评价与决策方法及其计算机软件实现

综合评价与决策方法及其计算机软件实现

评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、层次分析法、功效系数法等。另一类是客观赋权，根据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权数，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也称TOPSIS法）等。目前国内外综合评价方法有数十种之多，其中主要使用的评价方法有主成分分析法、因子分析、TOPSIS、秩和比法、灰色关联、熵权法、层次分析法、模糊评价法、灰色理论法、物元分析法、聚类分析法、价值工程法、神经网络法等。

1．理想解法

目前已有许多解决多属性决策的排序法， 如理想点法、简单线性加权法、加权平方和法、主成分分析法、功效系数法、可能满意度法、交叉增援矩阵法等。本节介绍多属性决策问题的理想解法，理想解法亦称为TOPSIS法， 是一种有效的多指标评价方法。这种方法通过构造评价问题的正理想解和负理想解， 即各指标的最优解和最劣解， 并用靠近正理想解和远离负理想解的程度， 通过计算每个方案到理想方案的相对贴近度来对方案进行排序， 从而选出最优方案。 1.1 方法和原理

设多属性决策方案集为A?{a1,a2,?,am}，衡量方案优劣的属性向量为

X?{x1,?,xn}，这时方案集A中的每个方案ai（i?1,?,m）的n个属性值构成的向量

是Xi?(xi1,?,xin)，它作为n维空间中的一个点，能唯一地表征方案ai。

正理想解Z*是一个方案集A中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好值；而负理想解Z0则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差值。在n维空间中，将方案集A中的各备选方案ai与正理想解Z*和负理想解Z0的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方案就是方案集A中的最佳方案；并可以据此排定方案集A中各备选方案的优先序。

用理想解法求解多属性决策问题的概念简单，只要在属性空间定义适当的距离测度就能计算备选方案与理想解。TOPSIS法所用的是欧氏距离。至于既用正理想解又用负理想解是因为在仅仅使用正理想解时有时会出现某两个备选方案与正理想解的距离相同的情况，为了区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离，与正理想解的距离相同的方案离负理想解远者为优。 1.2 TOPSIS法的算法步骤

TOPSIS法的具体算法如下。

步骤一，用向量规划化的方法求得规范决策矩阵。

设多属性决策问题的决策矩阵X?(xij)m?n，规范化决策矩阵Y?(yij)m?n，则

m

yij?xij?xi?12ij，i?1,2,?,m，j?1,2,?,n （1）

步骤二，构成加权规范阵Z?(zij)m?n。

T设由决策人给定各属性的权重向量为w?(w1,w2,?,wn)，则

zij?wj?xij，i?1,2,?,m，j?1,2,?,n （2）

*0步骤三，确定正理想解Z*和负理想解Z0。

设正理想解Z*的第j个属性值为zj，负理想解Z0第j个属性值为zj，则

?maxzij,?i正理想解z??minzij,??i*jj为效益型属性j为成本型属性，j?1,2,?,n （3）

?maxzij,?i负理想解z??minzij,??i0jj为成本型属性j为效益型属性，j?1,2,?,n （4）

步骤四，计算各方案到正理想解与负理想解的距离。

备选方案ai到正理想解的距离为

n d?*i?(zj?1nij ?zj)，i?1,2,?,m （5）

*2备选方案ai到负理想解的距离为

d0i??(zj?1ij ?zj)，i?1,2,?,m （6）

02步骤五，计算各方案的排队指标值（即综合评价指数）。

Ci?di/(di?dj)，i?1,2,?,m （7）

*00*步骤六，按Ci*由大到小排列方案的优劣次序。

1.3 示例

例1 研究生院试评估。

为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评估。为了取得经验，先选5所研究生院，收集有关数据资料进行了试评估，表1是所给出的部分数据。

表1 研究生院试评估的部分数据

j i 1 2 3 4 5 人均专著x1 （本/人） 0.1 0.2 0.4 0.9 1.2 生师比x2 5 6 7 10 2 科研经费x3 （万元/年） 5000 6000 7000 10000 400 逾期毕业率x4 （%） 4.7 5.6 6.7 2.3 1.8 解：第一步，数据预处理

数据的预处理又称属性值的规范化。

属性值具有多种类型，包括效益型、成本型和区间型等。这三种属性，效益型属性越大越好，成本型属性越小越好，区间型属性是在某个区间最佳。

在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主要有如下三个作用：① 属性值有多种类型，上述三种属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方案的优劣，因此需要对数据进行预处理，使得表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。② 非量纲化，多属性决策与评估的困难之一是属性间的不可公度性，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位（量纲）。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。在用各种多属性决策方法进行分析评价时，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就是非量纲化。③归一化，属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，为了直观，更为了便于采用各种多属性决策与评估方法进行评价，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数值均变换到[0，1]区间上。

此外，还可在属性规范时用非线形变换或其它办法，来解决或部分解决某些目标的达到程度与属性值之间的非线性关系，以及目标间的不完全补偿性。常用的属性规范化方法有以下几种。

(1)线性变换

原始的决策矩阵为X?(xij)m?n，变换后的决策矩阵记为Y?(yij)m?n，i?1,?,m，

j?1,?,n。设xjmax是决策矩阵第j列中的最大值，xjmin是决策矩阵第j列中的最小值。若

j为效益型属性，则

yij?xij/yjmax （8）

采用上式进行属性规范化时，经过变换的最差属性值不一定为0，最佳属性值为1。

若j为成本型属性，则 yij?1?xij/xjmax （9）

采用上式进行属性规范时，经过变换的最佳属性值不一定为1，最差属性值为0。

（2）标准0－1变换

为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0，可以进行标准0－1变换。对效益型属性j，令

yij?对成本型属性j，令

yij?xjxmaxxij?xjxmaxjminminj?x （10）

?xijminjmaxj?x （11）

（3）区间型属性的变换

有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。显然这种属性不能采用前面介绍的两种方法处理。

设给定的最优属性区间为[xj,xj]，xj为无法容忍下限，xj为无法容忍上限，则

0''0?1?(x0?xij)/(xj?xj),若xj?xij?xjj?0*?1, 若xj?xij?xj （12） yij??*\**\?1?(xij?xj)/(xj?xj),若xj?xij?xj??0, 其它0*'\

变换后的属性值yij与原属性值xij之间的函数图形为一般梯形。当属性值最优区间的上下限相等时，最优区间退化为一个点时，函数图形退化为三角形。

'\设研究生院的生师比最佳区间为[5,6]，x2?2，x2?12。表1的属性2的数据处理见表2。

表2 表2的属性2的数据处理 j i 生师比x2 5 6 7 10 2 y2 '1 2 3 4 5 1 1 0.8333 0.3333 0 计算的Matlab程序如下： function main1

qujian=[5,6]; lb=2; ub=12; x=[5 6 7 10 2]';

y=guifanhua(qujian,lb,ub,x) xlswrite('book1.xls',y)

function y=guifanhua(qujian,lb,ub,x);

y=(1-(qujian(1)-x)./(qujian(1)-lb)).*(x>=lb & x=qujian(1) &

x<=qujian(2))+(1-(x-qujian(2))./(ub-qujian(2))).*(x>qujian(2) & x<=ub);

（4）向量规范化

无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下式进行变换

n

yij?xij?i?1 xij （13）

2这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变换不同，从变换后属性值的大小上无法分

辨属性值的优劣。它的最大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1，因此常用于计算各方案与某种虚拟方案（如理想点或负理想点）的欧氏距离的场合。

（5）标准化处理

在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一样的。为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常对数据进行标准化处理，即

yij?xij?xjsjij，i?1,2,?,m，j?1,2,?,n， （14）

(x?m?1i?1其中xj?x?mi?11m，sj?1mij?xj)，j?1,2,?,n。

2表1中的数据经标准化处理后的结果见表3。

表3 表1数据经标准化的属性值表 j i 人均专著x1 （y1） 生师比x2 （y2） 科研经费x3 （y3） 逾期毕业率x4 （y4） 1 2 3 4 5 -0.9741 -0.7623 -0.3388 0.7200 1.3553 -0.3430 0 0.3430 1.3720 -1.3720 -0.1946 0.0916 0.3777 1.2362 -1.5109 0.2274 0.6537 1.1747 -0.9095 -1.1463 计算的Matlab程序如下： x=[0.1 5 5000 4.7 0.2 6 6000 5.6 0.4 7 7000 6.7 0.9 10 10000 2.3 1.2 2 400 1.8]; y=zscore(x)

我们首先对表1中属性2的数据进行最优值为给定区间时的变换。然后对属性值进行向量规范化，计算结果见表4。

表4 表11.3的数据经规范化后的属性值 j i 人均专著x1 （y1） 生师比x2 （y2） 科研经费x3 （y3） 逾期毕业率x4 （y4） 1 2 3 4 5 0.0638 0.1275 0.2550 0.5738 0.7651 0.597 0.597 0.4975 0.199 0 0.3449 0.4139 0.4829 0.6898 0.0276 0.4546 0.5417 0.6481 0.2225 0.1741 第二步，设权向量为w?(0.2,0.3,0.4,0.1)，得加权的向量规范化属性矩阵见表5。

表5 表1的数据经规范化后的加权属性值 j i z1 z2 z3 z4 1 2 0.0128 0.0255 0.1791 0.1791 0.1380 0.1656 0.0455 0.0542 3 4 5 0.0510 0.1148 0.1530 0.1493 0.0597 0 0.1931 0.2759 0.0110 0.0648 0.0222 0.0174 由表5和式（3）和式（4），得

正理想解Z*?(0.1530,0.1791,0.2759,0.0174) 负理想解Z0列于表6。

表6 距离值及综合指标值 1 2 3 4 5 *di 0di *Ci ?(0.0128,0,0.0110,0.0648)

第四步，分别用式（5）和式（6）求各方案到正理想点的距离di*和负理想点的距离di0，

0.1987 0.1726 0.1428 0.1255 0.3198 0.2204 0.2371 0.2385 0.2932 0.1481 0.5258 0.5787 0.6255 0.7003 0.3165 第五步，计算排队指示值Ci*（见表6），由Ci*值的大小可确定各方案的从优到劣的次序为4，3，2，1，5。

求解的Matlab程序如下。 clc, clear

x=[0.1 5 5000 4.7 0.2 6 6000 5.6 0.4 7 7000 6.7 0.9 10 10000 2.3 1.2 2 400 1.8]; [m,n]=size(x);

x2=@(qujian,lb,ub,x)(1-(qujian(1)-x)./(qujian(1)-lb)).*(x>=lb & x=qujian(1) & x<=qujian(2))+(1-(x-qujian(2))./(ub-qujian(2))).*(x>qujian(2) & x<=ub);

%x2为匿名函数，

qujian=[5,6]; lb=2; ub=12;

x(:,2)=x2(qujian,lb,ub,x(:,2)); %对属性2进行变换 for j=1:n

y(:,j)=x(:,j)/norm(x(:,j)); %向量规划化 end

w=[0.2 0.3 0.4 0.1];

z=y.*repmat(w,m,1); %求加权矩阵 zstar=max(z); %求正理想解

zstar(4)=min(z(:,4)) %属性4为成本型的 z0=min(z); %q求负理想解

z0(4)=max(z(:,4)) %属性4为成本型的 for i=1:m

dstar(i)=norm(z(i,:)-zstar); %q求到正理想解的距离 d0(i)=norm(z(i,:)-z0); %求到负理想的距离 end

c=d0./(dstar+d0);

[sc,ind]=sort(c,'descend') %求排序结果

2. 模糊综合评判法

随着知识经济时代的到来，人才资源已成为企业最重要的战略要素之一，对其进行考核评价是现代企业人力资源管理的一项重要内容。

人事考核需要从多个方面对员工做出客观全面的评价，因而实际上属于多目标决策问题。对于那些决策系统运行机制清楚，决策信息完全，决策目标明确且易于量化的多目标决

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