金融时间序列分析（非平稳部分）

第1节 有关单位过程的极限分布

对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新的处理方法。这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上的。

一、 维纳过程

维纳过程(Wiener Process)也称为布朗运动过程(Brownian Motion Process)，是现代时间序列经济计量分析中的基本概念之一。设W(t)是定义在闭区间[0，1]上一连续变化的随机过程，若该过程满足：

(a) W(0)=0；

(b) 对闭区间[0，1]上任意一组分割0?t1?t2???tk?1，W(t)的变化量：

W?t2??W?t1?,W?t3??W?t2?,?,W?tk??W?tk?1?

为相互独立的随机变量；

(c) 对任意0?s?t?1，有

W(t)?W(s)~N(0,t?s) (5.2.1)

则称W(t)为标准维纳过程（或标准布朗运动过程）。

从定义我们可以看出，标准维纳过程是一个具有正态独立增量的过程。由定义显然有：

W(t)?W(t)?W(0)~N(0,t) (5.2.2)

W(1)~N(0,1)

即标准维纳过程W(t)在任意时刻t服从正态分布。

将标准维纳过程推广，可得到一般维纳过程的概念。令

B(t)??W(t)

称B(t)是方差为?2的维纳过程。显然，B(t)满足标准维纳过程定义中的前两个条件，第三个条件则变为：

对任意0?s?t?1，有

B(t)?B(s)~N(0,?2(t?s))

根据上式，显然有

B(t)?B(t)?B(0)~N(0,?2t) (5.2.3)

B(1)~N(0,?2) 利用标准维纳过程还可以构造其它的连续随机过程，例如，对于Y?t???W?t??，在任意时刻t，有分布：

Y(t)~t?2(1)

更为重要的是：维纳过程所具有的良好性质以及它相当广泛的适用性，使得它在概率极限定理，随机积分和随机微分方程等许多理论研究和实际应用中扮演着十分重要的角色。

2二、 有关随机游动的极限分布

1、泛函中心极限定理

1

泛函中心极限定理是对一般中心极限定理的推广，它是研究非平稳时间序列过程的重要工具。在给出泛函中心极限定理之前，我们先回顾一下概率论与数理统计中研究平稳随机变量序列的中心极限定理：

如果随机变量序列{?t}：?1,?2,?,?n,?独立同分布，且有

E(?t)??,D(?t)??2??,1令?N?Nt?1,2,?

??1Nt，则

N(?N??)?1(??N1NtL??)???N(0,?2) (5.2.4)

中心极限定理表明：独立同分布的随机变量之和（或样本均值）为正态分

布。

对于白噪声序列??t?，由于

E(?t)???0,D(?t)??2??,t?1,2,?

根据中心极限定理，有

1NLN(?N??)??t???N(0,?2) (5.2.5) ?N1下面，我们根据白噪声序列??t?，构造一新统计量：

设r为闭区间[0，1]上的任一实数，记Nr?[rN]为不超过rN的最大整数，对于给定白噪声序列??t?：?1,?2,?,?N，取其前Nr?[rN]项构造统计量：

1NrX(r)???t (5.2.6)

N1显然X(r)为一样本均值，当N固定，r在闭区间[0，1]上变化时，X(r)是定义在[0，1]上的一个阶梯函数，其具体表达式为：

00?r?1N??1?r?2?1/NNN??2?r?3 (5.2.7) X?r???(?1??2)/NNN?????r?1?(?1??2???N)/N

将X(r)乘上N，再写成如下形式：

NX?r??1??N1Nrt?Nr??1?N??Nr????t? ?1?Nr由前述中心极限定理，有

1Nrt?1另一方面，对于[0，1]上的任意实数r，有

Nr[rN]lim?lim?r N??N??NN

因此，NX(r)有如下极限分布：

2

??NrtL???N0,?2

??NX?r??对照(5.2.3)式，有

1??N1NrtL???N(0,?2r) (5.2.8)

B(r)??W(r)~N(0,?2r)

这表明，NX(r)的极限分布与一般维纳过程B(t)??W(t)的分布是一致的。

将上述结论整理如下，就得到泛函中心极限定理。

泛函中心极限定理：

设序列??t?：?1,?2,?,?t,?独立同分布，且满足

E(?t)?0,D(?t)??2??,t?1,2,?

r为闭区间[0，1]上的任一实数，给定样本?1,?2,?,?N，取其前Nr?[rN]项构造统计量：

1NrX(r)???t

N1那么，当N??时，统计量NX(r)有如下极限：

NX?r??1??N1NrtL???B(r)??W(r) (5.2.9)

在(5.2.9)式中令r=1，有

1NLNX?1???t????W(1)~N(0,?2) (5.2.10) ?N1与(5.2.5)式对照可以看出，一般中心极限定理是泛函中心极限定理的一个特例。

下面给出非平稳时间序列分析中经常用到的有关随机游动的极限分布，所使用的基本工具就是泛函中心极限定理。

2、 有关随机游动的极限分布

设序列?yt?遵从随机游动过程：

yt?yt?1??t （5.1.4）

其中，{?t}独立同分布，且E(?t)?0,D(?t)?E(?t2)??2??，y0=0。则以下极限成立：

（1） N（2）N（3）N?1?12??1NtL????W(1)；

122Ly?????[W(1)?1]； ?t?1t21L????W(r)dr； ?yt?1?1N01N1N?32L（4）N?32?t?t????W(1)???W(r)dr； L（5）N?52?tyt?1?????rW(r)dr；

101N01（6）N?2?y1N2t?1????L2?W012(r)dr。

证明过程中，可用到下列关系：

3

1X(r)?N??1Nrt，

NX?r??1??N1NrtL???B(r)??W(r)

1Yt?1 N证明：（1）由(5.2.10)式，显然成立。 （2）因为

yt2?(yt?1??t)2?yt2?1??t2?2yt?1?t

整理得

1yt?1?t?(yt2?yt2?1??t2)

2两边求和并除以N，得

1N1121N2?t) ?yt?1?t?2(NyN?N?N11又因为

1N1X(1)???t?yN

N1N代入上式，有

1N1?1N2?2yt?1?t??(NX(1))???t? ?N12?N1?根据大数定理，有

1N2p?t????2 ?N1注意(5.2.10)式，从而有

1N122Ly?????[W(1)?1] （2）证毕。 ?t?1tN12(3)根据(5.2.7)式知，X(r)是[0，1]上的一个阶梯函数，再由（5.1.4），有

yt?yt?1??t??1??2????t

r?t/N，dr?1/N，X(r)?因此X(r)可表示为

?0?y/N1??X?r???y2/N?????yN/N0?r?12NN1N?r?2N?r?3N (5.2.11)

?r?1求阶梯函数X(r)在[0，1]上的积分，有

N1yN?111y11y21?2yt?1 ?0X(r)dr?0?N?N?N?N?N???N?N?N?1两边同乘

N，得

?由于

10NX(r)dr?N?32?y1Nt?1

4

LNX?r????B(r)??W(r)

根据连续映射定理?，则有

N（1） 因为

N?32N1?32?yt?1??1N10LNX(r)dr?????W(r)dr （3）证毕。

01?yt?1?N?32[?1?(?1??2)?(?1??2??3)???(?1??2????N?1)]

?N?32[(N?1)?1?(N?2)?2???2?N?2??N?1] ?N ?N所以

N?32?32?(N?t)???1N1Nt

?121Nt?N?32?t?1?12N1Nt

N1?t?tt?N??t?N?32?yt?1

利用（1）和（3）的结论，有

N（2） 因为

?32?t?1NN????W(1)???W(r)dr （4）证毕。

012NL1tyt?11?? ?NN11NN[Nr]?11t?1t12 ?N??X(r)?(?r?)

NNNN11[Nr]?1?N12??X(r)dr0N

1[Nr]?1???[NX(r)]dr0N根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用连续映射定理，得到

N?52?tyt?1?NN?52?ty1Nt?1?????rW(r)dr （5）证毕。

0L1（3） 因为

?y?1 N?y?N??t?1??

N11?N?N1 ?N?X2(r)?N1?2N2t?1N2(t?1t?r?) NN?N?X2(r)dr

01 ??[NX(r)]2dr

01 LL?

连续映射定理是指：若St(?)???g[S(?)]。 ??S(?)，g(?)是连续泛函，则有：g[St(?)]?

5

根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用连续映射定理，得

N?2?y1N2t?1????[?W(r)]dr??0L122?W012(r)dr （6）证毕。

三、有关单位根过程的极限分布

1、 一般形式的泛函中心极限定理

前面所介绍的泛函中心极限定理是针对独立同分布序列??t?而言的。如果序列??t?不是白噪声序列而是一般的平稳序列，则上述结论就不再成立。此时，有更一般形式的泛函中心极限定理。

一般形式的泛函中心极限定理：

设序列?ut?：u1,u2,?,ut,?为一平稳过程，它有无穷阶MA表示形式：

ut??t??1?t?1??2?t?2????(B)?t???j?t?j其系数??j?满足条件：

j?0? (5.2.12)

?j?j?0?j?? (5.2.13)

比绝对收敛条件略强，任意平稳ARMA过程都满足它。 ??t?独立同分布，且满足

E(?t)?0,D(?t)??2??,

贝弗里奇-纳尔逊分解

Beveridge-Nelson(1981)提出，有

t?1,2,?

?ut?1Tt??(1)??t??T??0

t?1T ?(1)???j，?t??aj?t?j，其中aj??(?j?1??j?2?)且?aj??。故?t为一平稳过程。

j?0j?1j?0???

r为闭区间[0，1]上的任一实数，记Nr?[rN]，构造如下统计量：

1X(r)?N那么，当N??时，统计量

?u1Nrt (5.2.14)

NX(r)有如下极限： 1u?N1NrtL?????(1)W(r) (5.2.15)

NX?r??显然，一般形式的泛函中心极限定理是前述泛函中心极限定理的推广。根据该

定理，可以得到有关单位根过程的极限分布。

2、 有关单位根过程的极限分布

假设序列?yt?遵从单位根过程：

yt?yt?1?ut (5.1.5)

6

其中平稳过程?ut?满足一般形式泛函中心极限定理中的条件。则有

yt?y0??t??0??(1)??j

j?1t令

?j?E(utut?j)??若y0?0，那么，下列极限成立： （1） N?122???ss?0?s?j,j?0,1,2,?

????(1)

?u1N1NtL????W(1)；

L（2） N?12?ut?j?t???N(0,?2?0),j?1,2,?；

（3） N（4） N?1?uu1Ntt?jp????j,j?0,1,2,;

?1?y1N1NL2???????W(1)?1?; t?1t（5） N?1?yt?1ut?jN12?122?W(1)??0,??2L???j?1?122??W(1)??0???i,?i?0?2??j?0??;

j?1,2,?（6） N?32L????W(r)dr； ?yt?1?1N011L（7） N?32?tut?j?????W(1)??W(r)dr?,??0??1j?0,1,2,?；

（8） N（9） N（10） N

?2?y1N1N1N2t?1????L2?W010112(r)dr;

?52L????rW(r)dr； ?tyt?1??3L???2?rW2(r)dr. ?tyt2?1?0第3节 Dickey—Fuller单位根检验（DF检验）

前面两节已为检验单位根做了理论准备。下面我们介绍Dickey—Fuller建

立的单位根检验法。

任何一个序列都有其自身的真实生成过程。Dickey—Fuller假设数据序列是由下列两种模型之一产生：

（1） yt??yt?1??t， (5.3.1)

7

（2） yt????yt?1??t； (5.3.2)

其中，?t~iid(0,?2)。然后分为如下四种情形建立估计模型，并在其中进行单位根检验： 情形一：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.1)中检验假设：

H0:??1

情形二：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.2)中检验假设：

H0:??1;??0

情形三：假设数据由（真实过程）(5.3.2)产生，在其中检验假设：

H0:??1;

情形四：假设数据由（真实过程）(5.3.2)产生，在回归模型yt????yt?1??t??t中检验假设：

H0:??1;??0

对于上述各种情形下的回归模型，可以使用最小二乘法得到参数估计量和相应的t或F统计量。但是，Dickey与Fuller的研究发现，在原假设成立的条件下，相应的t统计量不再服从渐近正态分布，F统计量的分布与普通的F分布也大不相同，从而临界值与拒绝域发生变化。此时，统计量的极限分布依赖于数据生成过程及回归模型形式的选择（即是否包含常数项和趋势项），具体分布如下：

一、 情形一的DF检验法

1、检验方法

回归模型(5.3.1)系数?的OLS估计为：

????y?yt?1yt2t?1

构造统计量：

t?????????? (5.3.3) 122???2??s?yt?1?其中s2为模型的剩余方差。

在H0:??1成立的条件下，t统计量为：

??1??1??t??????s2y2????t?12t?112?yt?1(yt?yt?1)?y?y2t?1t?1t12212?1

2t?112?s?y?2 ??[?y][s]?[NN?1?yt?1?t?2?y2t?1][s]2121

2在H0:??1成立的条件下，模型(5.3.1)为随机游动过程，有关随机游动的极限定理成立，因此，

N?1?y?2t?1t????2LL?22??W2102(1)?1

??N?yt?1?????W?r?dr

2 8

其中W(r)为维纳过程。又因为s2为?2的相合估计，根据连续影射定理，t统计量具有如下极限：

21N?1?Yt?1?t??????1?L2W1?1t????? (5.3.4) 1112221?222???2?N?Yt?1?S??W?r?dr???0?即t统计量依分布收敛于维纳过程的泛函，表明t检验统计量不再服从传统的t分布，传统

的t检验法失效。上面的极限分布一般称为Dickey—Fuller分布，对应的检验称为DF检验。

由于W(1)2~?2(1)，(5.3.4)式的分母恒正，分子是?2(1)分布与其均值之差，因此上述检验统计量的极限分布是非对称、左偏的。又因P{?2(1)?1}?0.70，所以检验值大都是负数。

??1)?T(?T?yt?1(yt?yt?1)?yt2?1?N?1?yt?1?tN?2?yt2?1W?1??1?? ?????W?r?dr?L122120

9

Dickey—Fuller分布是非标准的，因此人们用Monte Carlo方法模拟得到检验的临界值，并编成DF检验临界值表（情形一）供查。在进行DF检验时，比较t统计量值与DF检验临界值，就可在某个显著性水平上拒绝或接受原假设。在实际应用中，可按如下检验步骤进行：

(1) 根据所观察的数据序列，用OLS法估计不带常数项的一阶自回归模型：

yt??yt?1??t

得到回归系数?的OLS估计

yt?1yt???? 2y?t?1(2) 提出假设：

H0:??1

2检验用统计量为常规t统计量，

????????t??????s2?yt2?1??1根据(5.3.4)式，在H0:??1

成立的条件下，该统计量的极限分布为Dickey—

10

Fuller分布。

(3) 计算在原假设成立条件下的t统计量值，查DF检验临界值表（情形一），得临界值，

然后将t统计量值与DF检验临界值进行比较：

若t统计量值小于DF检验临界值，则拒绝原假设H0:??1，说明序列不存在

单位根；

若t统计量值大于或等于DF检验临界值，则接受原假设H0:??1，说明序列

存在单位根；

需要说明的是，在一般计量经济软件中对回归模型回归系数的检验，原假设都是回归系数为零。因此，为了能直接使用计算机输出结果，通常将回归模型(5.3.1)变形为：

?yt?(??1)yt?1??t

令????1，上述模型等价地变成：

?yt??yt?1??t (5.3.5) 原假设H0:??1则变为H0:??0。

二、 情形二的DF检验法

对于情形二，估计模型：

yt????yt?1??t； (5.3.2) 中含有常数项，模型参数的OLS估计为：

???N???yt?1??????2??????????yt?1?yt?1?在H0:??0,??1成立时，上式可改写为：

???N?????????????1???yt?1?1??yt?????yy?

t?1t???1?yt?1??2??yt?1?1以矩阵A?diagN2,N左乘上式两端，得

?????t?????y??

t?1t???11?N?N2?????1?????A??N???????1??????yt?1??yt?1??1??A?2?y?t?1????32??t????1?????A????y???t?1t??????12?1N?yt?1??N??t???????1?22???N?32?yN?yt?1??N?yt?1?t?t?1??在H0:??0,??1成立时，序列?yt?服从随机游动过程，利用有关随机游动的极限定理，可得

1?21?W(r)dr??N???L???0?????1?1??N??????W(r)dr?2?W2(r)dr????1??0?0?12??1)的极限分布分别为： ?和N(?据此，可得N?

1?1

?1?W(1)???1?

22??[W(1)?1]??2? 11

112?W(1)?W?r?dr??[W?1??1]?W?r?dr00L122??? (5.3.6) N??1122?W?r?dr?[?W?r?dr]1200112[W?1??1]?W(1)?W?r?dr0L2??1)? (5.3.7) N(???1122?W?r?dr?[?W?r?dr]00?的样本方差为 另一方面，估计量??Nyt?1??0?s2N?22?? ???(01)s????2?22??y?y1Ny?(y)?t?1????t?1?t?1t?1?12????y????y其中 s2= ?tt?1N?2为模型的剩余方差，它是随机扰动项方差?2的最小二乘估计。

2??可以证明，统计量N2??有以下极限分布：

?1

s21L???2 (5.3.8) N????112?3/2222N?yt?1?(N?yt?1)?W?r?dr?[?W?r?dr]22??00由连续影射定理，可得t统计量的极限分布为

??1???t????????1?N??L???2212??(N?)???W?r?dr?[?W?r?dr]?12120012?W?1??1??W?1??W?r?dr21012 (5.3.9)

这表明当估计模型中含有常数项时，t统计量的极限分布发生了变化，从而临界值也就不同。Dickey、Fuller利用Monte Carlo方法得到不同样本长度和显著性水平下DF检验临界值表（情形二）供查。

12

13

2??????yN?y?(?ys22t?12t?1

t?1)2

??N?2??N?y?(?yt?1)2t?1L???s2N?yt2?122?N?2?y21s2N?2?yt2?12t?1?(N?3/2?yt?1)2

?120??W?r?dr?[?W?r?dr]?2012211?10W?r?dr

得到

t?????L?????????W?r?dr?[?W?r?dr]???W?r?dr?122112W(1)?W?r?dr?[W?1??1]?W?r?dr002121/2

000显然截距项的t检验也不是通常的t分布。

14

三、 情形三的DF检验法

估计模型跟情形二相同，但数据生成过程不同，此时为yt???yt?1??t，其中??0。 此时yt?y0??t??1???t?y0??t?ut，显然趋势项变化最快，于是有：

?yt?1Tt?1??(y0??(t?1)?ut?1)

t?1TT?2?yt?1Tt?1?T?2??(t?1)??/2

t?1TT?3?yt?1T2t?1?T?3??t?1T2(t?1)2??2/3

N?3/2?yt?1?t?N?3/2?a(t?1)?t?N(0,?2a2/3)（易证其方差为?2a2/3）

事实上，根据中心极限定理，容易证明：

1?N?2??t???0?2?1a/2???N,???????a/2a2/3?? ?N?3/2?y??0???t?1t?????比如cov(N?112??t,N?3/2?yt?1?t)?E([N?N?2?yt?1??N?3?yt2?1???1?1?N2(???a)??1????N?2?y?N3/2??????1?t?1?????][N?a(t?1)?])???N?????N?y?????

12?3/22tta/2

?12t?3/2t?1ta/2??1?N(0,?2?)?2?a/2a/3?符合正态分布，可以构建传统的t、F检验。

15

??j?N?1t?j?1?u??utNt?j， j=0,1,2,….

及????(1)的估计值：

????0?2??1??2j?1q??j??j ???q?1?其中，q的大小根据实际情况确定。若从某一阶之后（比如从第h阶之后），??j对

?2的贡献可忽略不记，则q取为h。构造该估计量的Newey和West建议q取3?或4。

2?的标准差???（3） 计算参数估计量??和残差ut的估计方差s?1?t2。 u?N?2（4） 将上述计算结果代入Z?或Zt统计量的表达式，得到统计量的值，查临

界值并进行比较，然后作出推断。 二、ADF （Augmented Dickey—Fuller）检验

ADF （Augmented Dickey—Fuller）检验法由Dickey和Fuller于1979年提出，该方法是对DF检验的推广，所以常称为增广DF检验。其特点是，假设时间数据序列?yt?是由一个P阶自回归过程AR（P）生成的，然后建立估计模型并进行单位根检验。

在介绍ADF检验法之前，先分析P阶自回归过程的特性。

1、P阶自回归过程的特性

假设时间序列?yt?服从AR(P)过程：

yt??1yt?1??2yt?2????pyt?p??t (6.4.11)

其中，?t为白噪声。利用滞后算子，可将上式表示为：

21

?(B)yt?yt??1yt?1??2yt?2????pyt?p

?(1??1B??2B2????pBp)yt??t (6.4.12) 令

???1??2????p

?j??(?j?1????p);j?1,2,?,p?1

可将滞后多项式?(B)分解成：

?(B)?(1??1B??2B2????pBp)

?(1??B)?(?1B??2B2????p?1Bp?1)(1?B) (6.4.13) 则(6.4.12)式可转化为：

?(B)yt?{(1??B)?(?1B??2B2????p?1Bp?1)(1?B)}yt??t

整理可得：

yt??yt?1??1?yt?1??2?yt?2????p?1?yt?p?1??t (6.4.14)

若服从(6.4.11)的序列有且只有一个单位根，则其特征方程：

1??1z??2z2????pzp?0

有且只有一个值为1的根，从而有：

?(1)?1??1??2????p?1???0

上式等价于??1。因此，对服从(6.4.11)的序列的单位根检验，就是检验模型(6.4.14)中是否有??1。

将模型(6.4.14)与(6.3.1)对比可以发现，模型(6.4.14)中多了?yt的p-1个滞后项。如果将这些滞后项归到随机扰动项中，则扰动项就成为序列相关的平稳过程，这样，在模型(6.4.14)中检验单位根，实际上就是对扰动项为一平稳过程的

22

单位根检验。因为事实上，由(6.4.13)式可得特征多项式的如下表示形式：

?(z)?(1??1z??2z2????pzp)

?(1??z)?(?1z??2z2????p?1zp?1)(1?z)

当序列有且只有一个单位根时，??1，从而有

(1??1z??2z2????pzp)?(1??z)?(?1z??2z2????p?1zp?1)(1?z)

?(1??1z??2z2????p?1zp?1)(1?z)

使上式左边为零的根中，除了一个根为1外，其余的根全在单位圆之外。这一结论对于等式右边也成立，因此

(1??1z??2z2????p?1zp?1)?0

的根全在单位圆之外。这样，滞后多项式

C(B)?1??1B??2B2????p?1Bp?1

的逆存在，在??1 为真的情况下，(6.4.14)式可写成：

(1??1B??2B2????p?1Bp?1)?yt??t (6.4.15)

进一步可表示为：

?yt?C?1(B)?t??(B)?t?ut (6.4.16)

其中，?(B)?C?1(B)为一无穷阶的滞后多项式。(6.4.16) 式恰好为模型(6.4.1)在

??1时的形式。说明在模型(6.4.14)中检验单位根，与PP单位根检验在本质上是

相通的。正因如此，基于模型(6.4.14)的单位根检验被称为增广DF检验。

2、ADF检验：

与DF检验一样，ADF检验也分为四种情形建立估计模型，并在其中进行

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单位根检验。

情形一：数据序列由模型(6.4.14)生成，并在其中单位根，即H0:??1。 情形二：数据序列由模型(6.4.14)生成，在如下估计模型中检验H0:??1。

yt????yt?1??1?yt?1??2?yt?2????p?1?yt?p?1??t (6.4.17)

情形三：数据序列由模型(6.4.17)生成，在其中检验H0:??1。

情形四：数据序列由模型(6.4.17)生成，在如下估计模型中检验H0:??1。

yt????t??yt?1??1?yt?1??2?yt?2????p?1?yt?p?1??t (6.4.18)

首先考察情形二：

（1）可以证明，在H0:??1成立时，对模型(6.4.17)进行最小二乘估计，得

?是?的超一致估计，并且有如下极限： 到的???1)N(?L???1??1??2????p?112??W?1???1??W?1??210W?r?dr2??W?r??dr?[?20110W?r?dr] (6.4.19)

??1)的极限分布(6.3.7)一致，从可见，此极限分布与DF检验情形二中统计量N(?而可用相同的临界值表。但是，上述统计量中含有未知参数，因此不能直接用于检验。现用?j（j=1,2,…,p-1）的最小二乘估计??j代替?j，得修正统计量：

ZADF???1)N(? (6.4.20)

???1??1??2????p?1该统计量的极限分布与(6.4.19)相同。

（2）对于检验H0:??1的t统计量，可以证明有如下极限分布：

t???1?L?????????12???W?r??dr?[?W?r?dr]?121200??W?1???1??W?1??W?r?dr21012 (6.4.21)

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此极限与DF检验情形二中t统计量的极限分布(6.3.9)是完全一致的。说明在ADF检验中，不需要对t统计量进行修正，就可直接利用DF检验中的临界值表进行检验。

ADF与DF单位根检验的t统计量分布完全重合（T=100）

这与PP检验形成鲜明对照。我们知道，在PP检验中，需要对t统计量进行修正。其原因主要是，PP检验中对回归系数?的最小二乘估计没有考虑受扰动项

?是?的超一致估计，序列相关性的影响。当扰动项序列相关时，最小二乘估计?但t统计量的极限分布由于受扰动项序列相关性的影响而发生了变化，为了能借

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用DF检验临界值表，就必须对t统计量进行修正，修正后的统计量Z（见(6.4.10)）t的极限分布才与DF检验情形二中t统计量的极限分布相同。ADF检验则不同，

?和??j是同时估计的，由于增添了?yt的滞后项，随机扰动项不在该检验法中，?再序列相关，因此在构造t统计量时不需再作修正。

（3）可以证明，滞后项?yt的系数估计量??j有正态的极限分布，从而对参数?j的假设检验可由一般的t统计量和F统计量进行检验，临界值可在一般的t分布和F分布表中查得。

（4）对于联合假设H0:??1,??0，可用F统计量进行检验。F统计量为

~?2)/2(R2?RF?2 (6.4.22) ?R/(N?p?1)?2为无约束的残差平方和，2为假设中受约其中，R2为有约束的残差平方和，R

~束的个数，p+1为模型中待估参数的个数。F检验统计量的极限分布存在，但不再是标准的F分布，相应的临界值已由人们用Monte Carlo模拟方法得到并编制成表供查。

此外，Dickey和Fuller还证明了，对于情形一和情形四，检验H0:??1的ZADF统计量：

ZADF???1)N(?

???1??1??2????p?1和t统计量：

t???1??? ????都有非常规的极限分布，它们的极限分布与DF检验中对应情形的极限分布完全一致，从而可直接使用DF检验对应情形的临界值表。而对于情形三，t统计量的极限分布为常规的t分布，因此可用常规的t检验，临界值由t分布表查得。

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上面我们对ADF检验的相关理论做了简要介绍。在实际应用中，出于理论上和实践上的考虑，常用如下三种回归模型进行ADF检验：

?yt??yt?1???i?yt?i??t (6.4.23)

i?1k?yt????yt?1???i?yt?i??t (6.4.24)

i?1k?yt????t??yt?1???i?yt?i??t (6.4.25)

i?1k在模型中引入足够的滞后项?yt?i，目的在于使残差白化。因此，检验单位根的假设H0:??1在上述模型中就变为H0:??0。

五、其它高效的单位根检验法简介

在样本数较小时，DF单位根检验的检验功效是很低的，这时常常会将平稳过程误判为存在单位根。ADF与PP的检验功效尽管有所改善，但也并不让人特别满意。为了解决这个问题，人们从不同的角度，提出了各种提高单位根检验功效的检验方法。 （一） WS（对称加权）检验

1994年，Pantula等人提出WS对称加权检验法。用后向延迟和前向延迟两

?： ?及其方差?个回归式，通过求两个残差加权平方和的最小值来估计?Q(?)??wt(yt??yt?1)??(1?wt?1)(yt??yt?1)2 （7.52）

2t?2t?1TT?1其中权重wt?(t?1)/T。

?，然后用DF检验同样的方法?及其方差?通过使Q(?)最小来估计回归系数?来构造统计检验量。

（二） RMA（递归均值调整）检验

2001年，Dong Wan Shin等人提出RMA递归均值调整单位根检验法。其基本设想是用递归平均取代样本平均来估计回归系数及其方差，可应用于DF、ADF或PP等检验中。

通常回归分析中样本平均数的计算公式为：

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y?T?1?y,tt?1tTt?1,2,...T

而递归平均数的定义为：

yt?t?1?y,ii?1t?1,2,...T

也即平均数不使用所有样本计算出来的统一值，而只用它之前和它本身的观测值来计算，而不涉及到其后的样本值。

对通常的DF统计而言，有

?o?(y??1??(yt?1t?1?y)et2?y)t?1

对RMA而言，有

?r?(y??1??(y?yt?1)et2?y)t?1t?1

RMA用递归平均代替普通样本平均进行计算，其好处在于：DF计算中，因

(yt?1?y)与et是相关的，故估计出来的回归系数是有偏的，特别是样本数较小或回归系数接近于1时，偏误是很大的，导致此时的检验功效不高。

?=1的单位根情形时，而对RMA而言，表明et与(yt?1?yt?1)E[?(yt?1?yt?1)et]?0，是不相关的，故而可显著改善对回归系数?估计的有偏性，进而改善单位根检验的功效。

（三） MAX (最大值) 检验

1995，雷波恩(Leybourne)提出MAX单位根检验法。设时间序列滞后模型为：

yt??zt??yt?1?ut

其中zt表示确定趋势部分。设序列DF统计量为DFf。其反射模型为：

vt??zt??vt?1??t

其中

vt?yT?1?t，即vt序列为{yT,yT?1,,y1}。反射模型的DF 统计量为DFr。

可以构造单位根检验的统计量：MAX=max(DFr,DFf)。其极限分布为：

MAX?max(F0,R0)

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其中F0?(1/2)(W(1)2?1)?W(1)?W(r)dr01(?W(r)dr?[?W(r)dr])0012121/2

R0??(1/2)(W(1)?1)?W(1)?W(r)dr021(?W(r)dr?[?W(r)dr])0012121/2

MAX检验法的思路是这样的：由

yt??yt?1?ut可以得到反射模型

yt?1?yt/??ut/?，如果序列为单位根过程，则应该有??1/??1，由此得到两

个检验回归式。

根据极限分布或者蒙特卡罗仿真，容易求出其检验临界值。结果表明，较DF检验而言，MAX检验确实改善了检验功效。让人好奇的是，如果将MAX检验与其它高功效检验法（如RMA或WS检验）结合，是否还可以继续提高检验功效呢？事实证明并非如此，其原因在于，检验功效的提高总有一个限度，普通的MAX检验渐近检验功效已经很接近高斯渐近势包络线了，没有进一步提高的空间。

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