概率论第一章习题解答

更新时间:2023-03-28 16:59:01 阅读量: 说明书 文档下载

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1. 写出下列随机试验的样本空间:

1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分);

2) 一个口袋中有5个外形相同的球,编号分别为1、2、3、4、5,从中同时

取出3个球;

3) 某人射击一个目标,若击中目标,射击就停止,记录射击的次数;

4) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.

解:1)设小班共有n个学生,每个学生的成绩为0到100的整数,分别记为x1,x2, xn,则全班平均分为x xi 1ni

n,于是样本空间为

12100niS {0,,, ,}={|i 0,1,2,3, 100n} nnnn

32)所有的组合数共有C5 10种,

S {123,124,125,134,135,145,234,235,245,345}

3)至少射击一次,S {1,2,3, }

4)单位圆中的坐标(x,y)满足x2 y2 1,S {(x,y)|x2 y2 1}

2. 已知A B,P(A) 0.3,P(B) 0.5,求P(A),P(AB),P(AB)和P(AB). 解 P(A) 1 P(A) 1 0.3 0.7 P(AB) P(A) 0.3(因为A B)

P(AB) P(B A) P(B) P(A) 0.2

P(AB) P(B) 0.5(因为A B,则B A)

3. 设有10件产品,其中6件正品,4件次品,从中任取3件,求下列事件的概率:

1) 只有一件次品;

2) 最多1件次品;

3) 至少1件次品.

12C4C解 1)设A表示只有一件次品,P(A) 36. C10

2)设B为最多1件次品,则表示所取到的产品中或者没有次品,或者只有一件次312C6C4C品,P(B) 3 36. C10C10

3)设C表示至少1件次品,它的对立事件为没有一件次品,

3C6P(C) 1 P(C) 1 3 C10

4. 盒子里有10个球,分别标有从1到10的标号,任选3球,记录其号码. (1)求最小号码为5的概率. (2)求最大号码为5的概率.

解1)若最小号码为5,则其余的2个球必从6,7,8,9,10号这5个球中取得。

C521则它的概率为3 . C1012

2)若最大号码为5,则其余的2个球必从1,2,3,4号这4个球中取得。 2C41则它的概率为3 . C1020

5. 有a个白球,b个黑球,从中一个一个不返回地摸球,直至留在口袋中的球都是同一种颜色为止. 求最后是白球留在口袋中概率.

解 设最后留在口袋中的全是白球这一事件为A,另设想把球继续依次取完,设

a取到最后的一个球是白球这一事件为B,可以验证A=B, 显然P(B) . a b

6. 一间学生寝室中住有6位同学,求下列事件的概率:

1)6个人中至少有1人生日在10月份;

2)6个人中有4人的生日在10月份;

3)6个人中有4人的生日在同一月份.

(假定每个人生日在同各个月份的可能性相同)

解 1)设6个人中至少有1人生日在10月份这一事件为A;它的逆事件为没

11有一个人生日在10月份,生日不在10月份的概率为,则12

11P(A) 1 P(A) 1 ()6 12

1112)设6个人中有4人的生日在10月份这一事件为B,则P(B) C64()4()2. 1212

3) 设6个人中有4人的生日在同一月份这一事件为C. 则

111P(C) 12P(B) 12C64()4()2 1212

7. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,问由甲射中的概率为多少?

解 设A和B分别表示甲和乙射中。C表示目标被射中,则

P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.6 0.5 0.3 0.8.

P(AC)0.6P(A|C) 0.75 PC)0.8

8. 某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产,其中甲厂的产品占60%,乙厂的产品占40%. 已知甲厂产品的次品率为4%,乙厂产品的次品率5%. 一位顾客随机地取出一个电灯泡,求它是合格品的概率.

解 设A和B分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产,C表示产品为合格。 则P(C) P(A)P(C|A) P(B)P(C|B) 0.6 0.96 0.4 0.95 0.956

9. 已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者. 今从男女为数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率多少? 解 设挑选到的人为男性和女性分别为A和B。另设某人是色盲患者为C。由已

1,P(C|A) 0.05;P(C|B) 0.0025. 2

P(A)P(C|A)0.5 0.05则P(A|C) 0.952 P(A)P(C|A) P(B)P(C|B)0.5 0.05 0.5 0.0025

10. 甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击,设甲、乙、丙命中率分别为0.4,0.5,

0.7,又设敌机被击中1次,2次,3次而坠毁的概率分别为0.2,0.6,1. 现三人向敌机各射击一次,求敌机坠毁的概率.

解 设敌机被击中1次,2次,3次的事件分别为A,B,C. 敌机坠毁的事件为D。

则P(D|A) 0.2;P(D|B) 0.6;P(D|C) 1

P(A) 0.4 (1 0.5)(1 0.7) (1 0.4) 0.5 (1 0.7) (1 0.4) (1 0.5) 0.7 0.36P(B) 0.4 0.5 (1 0.7) 0.4 (1 0.5) 0.7 (1 0.4) 0.5 0.7 0.51

P(C) 0.4 0.5 0.7 0.14

P(D) P(A)P(D|A) P(B)P(D|B) P(C)P(D|C) 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1知条件,P(A) P(B) 0.458

11. 三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4. 问

三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?

解 三人译出密码分别记为A,B,C。则A B C即为所求事件(三人中至少

有一人能将此密码译出)。它的对立事件为ABC。又因为各人译出密码是相互独立的,则P(A B C) 1 P(ABC) 1 (1 1/5)(1 1/3)(1 1/4) 0.6

12. 甲袋中装有n只白球、m只红球;乙袋中装有N只白球、M只红球. 今从甲

袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球,问取到白球的概率是多少?

解 设从甲袋中取出白球记为A, 从乙取出白球记为B。

nN 1mNn(N 1) mNP(B) P(A)PB|A) P(A)P(B|A) m nN M 1m nM N 1(m n)(M N 1)

13. 做一系列独立的试验,每次成功的概率为p,求在成功n次之前已经失败了

m次的概率.

解 根据题意,试验在第n+m次是成功的(记为A),前n+m-1次中有m次是失

败的(记为B)。而前n+m-1次中有m次失败是一个二项分布B(n+m-1,1-p), 所求概率为

mmn 1mmnP(AB) P(A)P(B) pCn Cn m 1(1 p)p m 1(1 p)p

14. 甲给乙打电话,但忘记了电话号码的最后1位数字,因而对最后1位数字就

随机地拨号,若拨完整个电话号码算完成1次拨号,并假设乙的电话不占线.

(1)求到第k次才拨通乙的电话的概率;(2)求不超过k次而拨通乙的电话的概率. (设k 10)

解 1)该问题相当于在0~9这十个数字中不放回抽样,第k次正好抽到所需的数

字这一个问题。根据抽签与次序无关的结果,第k次抽到的概率为1/10。

2)第二个问题相当于一次性地抓了k个数字,所需数字正好在所抓的数字中

这样一个问题。由于每个数字都是等可能被抽到,所需数字落在所抓数字中的概率与所抓的数目k成正比。设Ak表示所需数字在所抓的k个数字中,P(Ak) kC,其中C为常数。P(A1) 1/10

(或P(A10) 1)可得出C=1/10。所以P(Ak) k/10

15. 将3个小球随机地放入4个盒子中,求盒子中球的最多个数分别为1, 2, 3的

概率.

解 3个球随机放入4个盒子共有43种放法。盒子中最多个数为1,相当于4个盒

1子中分别有1,1,1,0个球,这种情形的放法共有C43!种(选一个空盒有4

1C43!3种选法,剩下的每盒有一个球相当于全排列)。故P(A1) 3 48

盒子中最多个数为3,相当于4个盒子中有一个盒子中有3个球,其它3个盒子

1C411没有球。它的放法共有C4种(选一个盒子,放入3个球)。故P(A2) 3 416

盒子中求的最多个数为2相当于排除以上2种情况而剩下来的情形。 P(A2) 1 P(A1) P(A3) 1 3/8 1/16 9/16

16. 设有一传输信道,若将三字母A, B, C分别输入信道, 输出为原字母的概率为

, 输出为其它字母的概率为(1 )/2, 现将3个字母串AAAA, BBBB, CCCC分别输入信道,输入的分别为p1, p2, p3, 且p1+p2+p3=1,已知输出字母串为ABCA, 问输入为AAAA的概率是多少?

(1 )(1 ) 2(1 )2

解 P(ABCA|AAAA) 224

(1 )(1 )(1 ) (1 )3

P(ABCA|BBBB) 2228

(1 )(1 )(1 ) (1 )3

P(ABCA|CCCC) 2228

P(AAAA)P(ABCA|AAAA)P(AAAA|ABCA) P(AAAA)P(ABCA|AAAA) P(BBBB)P(ABCA|BBBB) P(CCCC)P(ABCA|CCCC

2 p1 2(1 )2 (1 )3 (1 )3(3 1)p1 (1 )p1 p2 p3488p1 2(1 )2

17. 证明: 若P(A|B) P(A|B), 则事件A与B相互独立. P(AB)P(AB),P(A|B) ,所以P(AB)P(B) P(B)P(AB) P(B)P()

即P(AB)[1 P(B)] P(B)[P(A) P(AB)]

即P(AB) P(A)P(B)

18. 某地区约有5%的人体内携带有乙肝病毒, 求该地区某校一个班的50名学生证明:P(A|B)

中至少有一人体内携带有乙肝病毒的概率.

解 设A为学生携带有乙肝病毒,P(A) 0.05. 不携带有乙肝病毒为,

P(A) 0.95,50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的对立事件是50名学生都不携带有乙肝病毒,P(50名学生都不携带有乙肝病毒)=0.9550。所以P(50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒)=1-0.9550

19. 两人相约于7点到8点之间在某地见面,求一人要等另一人半小时以上的概

率.

解 设X和Y分别为两人的到达时刻。显然,0 X 60;0 Y 60。

30 30P(|X Y| 30) 0.25 60 60

20. 从区间(0,1)内任取两个数,求这两数的和小于1.2概率.

解 设X和Y分别为两个所取的数。显然,0 X 1;0 Y 1。

1 1 0.8 0.8/2P{X Y 1.2} 0.68 1 1

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