第10讲 智巧趣题

第10讲 杂题第01讲

智巧趣题

例1 用数字1、1、2、2、3、3拼凑出一个六位数，使两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有三个数字．

答案 312132或231213．

分析 我们可以考虑两个1之间可能是哪个数字，或者考虑两个2之间、两个3之间都可能是哪些数字．以下介绍两种方法．

详解1 考虑两个数字2之间不可能是两个相同的数字，所以只能是2132或者2312这两种情况．先来看2132，另一个1只能在第一个2的前面，因为两个1之间有一个数字．最后一个数字3显然只能放到最前面．即这个六位数是312132．同理，可以找到另一个六位数231213．

详解2 直接考虑两个3之间的数字．肯定不能有两个2，因为两个2之间有两个数字．那就只能是121这样的三个数字点在两个3之间，即31213．还剩一个数字2，放到最前面或最后面都可以．这样就得到两个三位数：231213和312132． 评注 这个题目中数字很少，所以解答并不困难，也许有的同学很容易就可以写出来．但有必要向大家强调两点：①要学会这种思维方式；②是考虑问题要全面，不要只写出来其中一个就认为大功告成了．

例2 有10张卡片，分别标有从2开始的10个连续偶数．如果将它们分成五组，每组两张，计算同组中两个偶数和分别得到：①34；②22；③16；④30；⑤8．那么每组中的两张卡片上标的数各是多少?

答案 ①16、18；②8、14；③4、12；④10、20；⑤2、6。 分析 这个题就像一个数字谜的问题一样，需要寻找“突破口”．从2开始的10个连续偶数是2、4、6、8、10、12、14、16、18、20．任选两个数和最小是2+4=6，最大是20+18= 38．那么在这个题中，第①组和最大，第⑤组和最小，这两组就自然成为我们的“突破口”． 详解 第①组的两个偶数和为34，有两种可能：34=16+18或34=14＋20；第⑤组的两个偶数和为8，只有1种可能，那就是8=2+6．看来真正的“突破口”在第⑤组． 在确定第⑤组的两个数后，第①组的情况并没有发生变化，还是两种可能，这时我们把目光投向第③组．和为16，那么必然是一个比8大、一个比8小，而比8小的只有一个4 了，所以第③组又只有1种可能：16=4+12．

确定完两组后，我们应该注意到没有用过的又是最小的一个偶数：8．因为第①组与第④组的两个偶数和分别是34和30，都很大，8不可能在这两个组．那么8应该在第②组，这样就确定了第②组应该是22=8+14．

由于第③组中有14了，那么就容易看到第①组就不可能是14+20=34，只能是34=16+18．所以第④组就是20+10=30．

评注 这个题的确很像一个数字谜问题，慢慢地一个一个地去试，总能试出来，但也许会花很多很多的时间．这就要求大家在会做一个题目的同时，要注意如何利用有效的思维方法去节约时间．

例3 小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币，这些硬币都是1分、2分或者5分的，并且两衣袋中硬币的总钱数相等．当任意从左边衣袋取出2枚硬币与右边衣袋的 任意2枚硬币交换时，左边衣袋的钱数要么比原来的钱数多2分，要么比原来的钱数少2分．那么两个衣袋中共有多少分钱? 答案 24分．

分析 这个题要求结果是两个衣袋中共有多少分钱，可是却并没有告诉各种硬币分别有

多少枚．看来我们只能通过题目中给的条件推理出各种硬币的枚数，然后再计算这两个 衣袋中共有多少分钱．

详解 我们先考虑交换1枚硬币的情况： ①等值的硬币交换时，钱数不变；

②1枚5分和1枚1分的硬币交换时，钱数增加或减少了4分钱； ③1枚5分和1枚2分的硬币交换时，钱数增加或减少了3分钱； ④1枚2分和1枚1分的硬币交换时，钱数增加或减少了1分钱．

交换2枚硬币后，钱数应该增加或减少2分．我们把交换2枚硬币看成两次交换1枚硬币，这两次都是从上面的4条中选出来的．经过实验后，看出只有2种可能：③+④或者④＋④，即：1枚5分加上l枚1分与2枚2分交换，或者2枚1分与2枚2分交换． 这就说明：有一个口袋全是2分的；另一个口袋全是1分和5分的，并且最多只有1枚5分的硬币，否则拿出2枚5分硬币的话，另一边不管怎么拿也不行了．

两个衣袋分别是6枚和8枚硬币．如果是8枚2分的，另一边就是1枚5分和5枚1分的．这时，两边钱数不相等．所以应该是6枚2分的，另一边就是1枚5分和7枚1分的．这样的话，两边都是12分钱，那么两个衣袋一共就是24分钱．

评注 有的题看上去条件不足，那就必须通过分析和判断推出别的有用的条件． 例4 请将16个棋子分放在边长分别为30厘米、20厘米、10厘米的三个正方盒子里，使大盒子里的棋子数是中盒子里棋子数的2倍，中盒子里的棋子数是小盒子里棋子数的2倍．问：应当如何放置？

． 答案 ①先分别在大、中、小盒子内装入4、8、4个棋子，然后把小盒子和中盒子都放在大盒子里，但小盒子不在中盒子内．②先分别在大、中、小盒子内装入8、4、4个棋子，然后把小盒子放到中盒子里，再把中盒子放到大盒子里即可． 分析 这个题看上去像一个简单的和倍问题，可是当我们用和倍问题的公式“和除以倍数加1”时，却发现16÷(2×2+2+1)是除不尽的，那究竟是怎么回事呢?再回头看一看题目，还有一个条件我们没有用上，那就是这三个方盒子的边长30、20、10厘米．实际上，这个条件是告诉我们：小盒子可以放到中盒子里，中盒子可以放到大盒子里，并且还可以把小盒 子和中盒子一起放到大盒子里．

详解 把小盒子里的棋子看作1份，那么中盒子就是2份，大盒子就是4份．这说明大盒子里的棋子数必须是4的倍数，并且还占总数的一大半．所以大盒子里的棋子数只能是12个或16个．

①如果大盒子里有12个棋子，中盒子里就有6个，小盒子里就有3个．可是这无论如何也无法满足一共有16个棋子这个条件，因为12+6=18，12+3=15．

②如果大盒子里有16个棋子，中、小盒子就分别是8个和4个棋子．这时就又分两种情况了：一种是小盒子放在中盒子里，那么就分别在中、小盒子里各放4个棋子，再把小盒子放到中盒子里；另一种就是小盒子不放在中盒子里，小盒子4个，中盒子8个．这样就得到了两个可能的结果：

评注 本题的关键在于要善于观察条件．如果三个方盒的边长分别是30、25、20厘米的话，图10—2的情况就不会再出现了，那也就只有惟一的一个结果了．

例5 有大、中、小三个瓶子，最多分别可以装入水1000克、700克和300克．现在大瓶中装满水，希望通过水在三个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标上装100克水的刻度线．问最少要倒几次水？

． 答案 6次．

分析 要在中瓶和小瓶上有100克水的刻度线，实际就是要通过水的流动，使得在(某一次)中瓶或小瓶中有100克水．

详解 我们首先观察700和300这两个数之间的关系．怎么样可以凑出一个100来呢?700－300=400，400－300=100，这就是说，把中瓶装满水，倒出2次300克就是100克水了．然后把小瓶中的水倒掉，把中瓶的100克水倒入小瓶中就可以了． ‘ 所以，一共需要倒6次水：、

①把大瓶中的水倒入中瓶，倒满为止； ②把中瓶中的水倒入小瓶，倒满为止；

③把小瓶中的水倒入大瓶，倒空为止；

④把中瓶中的水倒入小瓶，倒满为止，此时，中瓶中刚好有水700－300=100克，此时中能标上100克的刻度线．

⑤把小瓶中的水倒入大瓶，倒空为止；

⑥最后把中瓶里的100克水倒入小瓶中即可．

评注 本题的关键就是如何通过1000、700、300这几个数去凑出100来．

例6 若干个同样的盒子排成一排，小明把50多枚同样的棋子分装在盒中，其中只有一枚盒子没有装棋子，然后他外出了．小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒里， 再把盒子重新排了一下．小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子．问共有多少个盒子?

答案 11个盒子．

分析 小明没有发现有人动过这些盒子和棋子，这说明棋子的数量看上去是没有变的．原来有一个空盒子，那么现在也应该有一个空盒子，这个空盒子原来应该有一枚棋子；同样，既然原来有一个盒子里有一枚棋子，那么现在也应该有一个盒子里有一枚棋子，这个盒子原来就应该有2枚棋子??依此类推，原来的每个盒子里应该分别有0、1、2??个棋子．

详解 因为一共有50多枚棋子，所以我们需要找到一个自然数，使得从零开始加，加到这个自然数的和是50多．

0+1+2+??+10=55

所以原来有11个盒子． ’ ·

评注 本题的关键在于观察到每一个盒子的变化情况，找到前后的关系．

例7 在一块黑板上将123456789重复50次得到450位数123456789123456789??删去这个数中从左至右所有位于奇数位上的数字；再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字??依此类推．那么最后删去的是哪一个数字? 答案 4．

分析 首先我们需要把最后删去的那个数字在第几位找出来，这样才能知道这是几．如何才能找到它是第几位呢?我们看，第一次划掉的数都是奇数位上的数，剩下的就是偶数位上的数，即第2、4、6、8、10??450位上的数．再划一次就是把第2、6、10??450位上的数给划掉，剩下的就是第4、8、12??448位．由此我们可以看出，第一次剩下的数都是偶数数位上的数，第二次剩下的数的数位都是4的倍数．依此类推，第三次剩下的数的数位

就都是8的倍数，第四次剩下的数的数位就都是16的倍数??

详解 我们需要在450以内找出一个数，它能够尽可能多地除以2．那么这个数应该是2 × 2×2×2×2 × 2×2×2=256，所以第256位数是最后一个被划掉的数．又因为256÷ 9=28??4，所以第256位数是第29个123456789的第4个，那么就是4．

评注 对于三年级的学生，本题的方法是去找一个剩下的数所在数位的规律．

例8 如图10—8，在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的棋子． 一个同学进行这样的操作．从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚取走1枚． 当他取出黑子时。圆周上还剩下多少枚白子? 答案 124枚．

分析 一共有1991枚棋子．因为是 隔1枚取1枚，所以取了一圈后就取走了

一半左右．那么我们需要知道：取到第几圈时，才取出黑子．

详解 我们把这些棋子做一下编号：黑棋子1号，白棋按顺时针方向依次2号、3号??1991号．第一次取走的是3、5、7??1991号，共(1991—3)÷2+1=995枚，还剩1991－995=996枚，并且下一次是从2号开始．把剩下的996枚棋子重新编号：1、2??996．第二次取走的是2、4、6??996号，共996÷2=498枚，剩498枚．再重新编号，第三次取走的是2、4、5??498号，共498÷2=249枚，剩249枚．再重新编号为1、2、3??249，这次取走的是2、4、6??248号．很明显，下一个就是要取走的黑子了．所以当取走黑子的时候，还剩下249－(249－1)÷2－1=124枚白子．

评注 在考虑本题时，对棋子进行编号是一个朴素而直接的想法．但拘泥于惟一一种编号方式，将使本题的详解变得繁琐而且困难．请读者体会详解中改变编号的想法，是新颖而 且实用的．

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