2011届高考数学考点知识专题总复习38

课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望

高考考纲透析：

等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差

高考风向标：

离散型随机变量的分布列、期望和方差

热点题型1 n次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II·理19)

甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令?为本场比赛的局数,求?的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）

本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4

比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P（?＝3）＝0.6?0.4?0.28 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。因而

22P（?＝4）＝C3?0.62?0.4?0.6＋C3?0.42?0.6?0.4?0.3744

33比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。因而

22 P（?＝5）＝C4?0.42?0.62?0.4?0.3456 ?0.62?0.42?0.6＋C4所以?的概率分布为

? P 3 4 5 0.28 0.3744 0.3456 ?的期望E?＝3×P（?＝3）＋4×P（?＝4）＋5×P（?＝5）＝4.0656

变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从A1中摸出一个红球的概率是．

3 (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率； (ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为?，求随机变量?的分布列及数学期望E?．

?2?1403?1? 解：(Ⅰ) C5 ?????????3??3?324333

?2?182?1?(Ⅱ)（i）C4????????

?3??3?381(ii)随机变量?的取值为0，1，2，3，；

kk由n次独立重复试验概率公式Pn?k??Cnp?1?p?n?k22，得

1?320?； P???0??C5??1????3?2431?8011? P???1??C5???1???3?3?24380?1??1? P???2??C?????1????3??3?24325234532?80?21717?1?3?1??（或P???3??1?） P???3??C5?????1???24324333243????随机变量?的分布列是

32? P 0 1 2 3 32808017 243243243243?的数学期望是

E??32808017131?0??1??2??3? 24324324324381热点题型2 随机变量?的取值范围及分布列

[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；

有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽

2张，求：

（Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值?（元）的概率分布列和期望E?. 解法一：

2C62152 （Ⅰ）P?I?2?1??，即该顾客中奖的概率为.

3453C10（Ⅱ）?的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

11C621C3C62且P(??0)?2?,P(??10)??,25C103C1011C32C1C612 P(??20)?2?,P(??50)??, 215C1015C1011C1C31P(??60)??.215C10

故?有分布

? P 0 10 20 50 60 1 32 51 152 151 15列：

从而期望E??0?解法二：

12121?10??20??50??60??16. 35151515112(C4C6?C4)302 （Ⅰ）P???, 2453C10（Ⅱ）?的分布列求法同解法一

由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值E?=2×8=16（元）.

变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作

日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：

（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）

解：以?表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则?~B（5，0 2）

k P(??k)?C5?0.2k?0.85?k(k?0,1,2,3,4,5). 2 （Ⅰ）P(??2)?C5?0.22?0.83?0.21.

（Ⅱ）以?表示利润，则?的所有可能取值为10，5，0，－2

P(??10)?P(??0)?0.8?0.32. 81 P(??5)?P(??1)?C5?0.21?0.84?0.410. 2 P(??0)?P(??2)?C5 ?0.22?0.83?0.20.55 P(???2)?P(??3)?1?P(??0)?P(??1)?P(??2)?0.05. 7? 10 5 0 －2 ??的概率分布为

0 0 0 0 P

328 410 205 057 ?利润的期望=10×0 328+5×0 410+0×0 205－2×0 057≈5 2（万元）

[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设?表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求?的取值范围； （2）求?的数学期望E?.

?|m?n|?5?解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则?m?n??，可得：

?1???9?当m?5,n?0或m?0,n?5时,??5;当m?6,n?1或m?1,n?6时,??7;当m?7,n?2或m?2,n?7时,??9;所以?的所有可能取值为:5,7,9.（2）P(??5)?2?()?

125215117?;P(??7)?2C5()?; 32162641555??;166464

1555275E??5??7??9??.16646432P(??9)?1?变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，

并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中

射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。

分析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可取值为1，2，3，4，5ξ＝1，表示第一发击中(练习停止)，故P(ξ＝1)＝0．8

ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P(ξ＝2)＝(1－0．8)×0．8＝0．16ξ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P(ξ＝3)＝(1－0．8)2×0．8＝0．032以下类推

解：（1）ξ的分布列为

1 2 3 4 5 ξ P 0．8 0．16 0．032 0．0064 0．0016

补充备例：有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用

它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数 的数学期望和方差．

分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第k次打开．不过，一 ，发现规律后，推广到一般．

般我们应从简单的地方入手，如

解： 的可能取值为1，2，3，…，n．

；所以 的分布列为：

k … 1 2 … n … … ；

说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，

进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．

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