平面向量的概念及其线性运算

平面向量的概念及其线性运算

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

→

1．(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OC→＝0，那么 ＋OB→＝OD→ A.AO

→＝3OD→ C.AO

( )．

→＝2OD→

B.AO→＝OD→ D．2AO

→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→

解析 由2OA→. ＝OD答案 A

→＝a，→＝b，→＝c，→＝d，

2．已知OAOBOCOD且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )． A．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0

B．a－b－c＋d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0

→＝DC→，故AB→＋CD→＝0，即OB→－OA→＋OD→－OC→＝0，即有解析 依题意，得AB

→－OB→＋OC→－OD→＝0，则a－b＋c－d＝0.选A. OA答案 A

→＋2OC→

3．(2013·长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→|

|BC→

＝3OB，则的值为

→|AB|1A.2

1

B.3

1D.6

( )．

1

C.4

→||BC→→→→→→→→→

解析 由OA＋2OC＝3OB，得OA－OB＝2OB－2OC，即BA＝2CB，所以＝→|AB|

1

2.故选A. 答案 A

4．(2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A→1A3＝11→→λA→A(λ∈R)，AA＝μAA(μ∈R)，且121412

λ＋μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是 ( )． A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C、D可能同时在线段AB上

D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上

11

解析 若A成立，则λ＝2，而μ＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，11

则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，λ＋μ＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的11

延长线上时，λ＞1，且μ＞1，λ＋μ＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确． 答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝

5．(2013·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，ABa－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________． →＝BC→＋CD→＝2a－b，又A，B，D三点共线， 解析 ∵BD

→＝λBD→.

∴存在实数λ，使AB?2＝2λ，即?∴p＝－1. ?p＝－λ，答案 －1

→|＝1，|AD→|＝2，设AB→＝a，

6.如图，在矩形ABCD中，|AB

→＝b，BD→＝c，则|a＋b＋c|＝________. BC

→＋BC→

解析 根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|AB

→→→→→→→

＋BD|＝|AB＋BD＋AD|＝|AD＋AD|＝2|AD|＝4. 答案 4

三、解答题(共25分)

→＝a，OB→＝

7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设OA

→＝1BC→，CN→＝1CD→.试用a，b表示OM→，ON→及MN→. b，BM

33→＝1BC→＝1BA→

解 由题意知，在平行四边形OADB中，BM

361→→111

＝6(OA－OB)＝6(a－b)＝6a－6b， →＝OB→＋BM→＝b＋1a－1b＝1a＋5b. 则OM

6666→＝2OD→＝2(OA→＋OB→)＝2(a＋b)＝2a＋2b，

ON

33333→＝ON→－OM→＝2(a＋b)－1a－5b＝1a－1b. MN

36626

→＝2e＋3e，BC→＝6e＋23e，

8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果AB1212

→＝4e－8e，求证：A，B，D三点共线． CD12

→＝2e＋ke，CB→＝e＋3e，CD→＝2e(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB12121－e2，若A，B，D三点共线，求k的值． →＝6e＋23e，CD→＝4e－8e， (1)证明 因为BC1212→＝BC→＋CD→＝10e＋15e. 所以BD12

→＝2e＋3e，得BD→＝5AB→，即BD→∥AB→， 又因为AB12→，BD→有公共点B，所以A，B，D三点共线． 又因为AB

→－CD→＝e＋3e－2e＋e＝4e－e，

(2)解 D→B＝CB121221→＝2e＋ke， AB12

→∥D→若A，B，D共线，则ABB，

?－1＝2λ，→→

设DB＝λAB，所以??k＝－8.

?4＝λk

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2013·济南一模)已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，1→1→→?→＝1??2OA＋2OB＋2OC?，动点P满足OP则点P一定为三角形ABC的 ( )．

3??A．AB边中线的中点

B．AB边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．AB边的中点

1→1→→→＝1(OM→＋2OC→)＝1OM→＋

解析 设AB的中点为M，则2OA＋2OB＝OM，∴OP

332→→＝OM→＋2OC→，也就是MP→＝2PC→，∴P，M，C三点共线，且P

OC，即3OP3

是CM上靠近C点的一个三等分点． 答案 B

→＝AB→＋3AC→，则△ABM与

2．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM△ABC的面积比为 1A.5

2

B.5

4D.5

( )．

3

C.5

→＝AB→＋3AC→，→

解析 设AB的中点为D，由5AM得3AM→＝2AD→－2AM→，→＝2MD→.如图所示，－3AC即3CM故C，→＝3CD→，也就是△ABM与△M，D三点共线，且MD

5ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△3

ABC的面积比为5，选C. 答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则

3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB△ABC的形状为________．

→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→， 解析 OB

→→→→→→→→→OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|. 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案 直角三角形

4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直→＝mAM→，

线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝nAN→，则m＋n的值为________． AC

解析 ∵O是BC的中点， →1→→∴AO＝2(AB＋AC)．

→＝mAM→，AC→＝nAN→，∴AO→＝mAM→＋nAN→. 又∵AB

22mn

∵M，O，N三点共线，∴2＋2＝1，则m＋n＝2. 答案 2

三、解答题(共25分)

5．(12分)如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，11

使得AN＝3AC，在AB上取一点M，使得AM＝3AB，1

在BN的延长线上取点P，使得NP＝2BN，在CM的

→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值．

延长线上取点Q，使得MQ

→＝NP→－NA→＝1(BN→－CN→)＝1(BN→＋NC→)＝1BC→，QA→＝MA→－MQ→＝1BM→

解 ∵AP

2222→，

＋λMC

→＝QA→，∴1BM→＋λMC→＝1BC→， 又∵AP

22→＝1MC→，∴λ＝1. 即λMC

22

6．(13分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点． →＋GB→＋GO→；

(1)求GA

→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA

11

m＋n＝3.

→＋GB→＝2GM→，又2GM→＝－GO→，

(1)解 ∵GA

→＋GB→＋GO→＝－GO→＋GO→＝0. ∴GA

→＝1(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以OG→＝2OM→＝1(a

(2)证明 显然OM

233→∥GQ→，所以，有且只有一个实数λ，使PG→

＋b)．由P，G，Q三点共线，得PG→. ＝λGQ

11?→＝OG→－OP→＝1(a＋b)－ma＝??3－m?a＋b， 而PG

33??1?→＝OQ→－OG→＝nb－1(a＋b)＝－1a＋??n－3?b， GQ

33??1??1?1??1?

n－3?b?. 所以?3－m?a＋3b＝λ?－3a＋???????11－m＝－??33λ，

又因为a，b不共线，所以?1?1?

n－?＝λ，??3?3??11

消去λ，整理得3mn＝m＋n，故m＋n＝3.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z5xf.html